函数解答题汇总(整理)

函数解答题汇总
1、对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已
知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．
2、设向量R x a x q x p ∈+==→→),2,(),1,(，令函数→
→⋅=q p x f )(.
（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式2()1f x x ≥-的解集；
（2）若函数2()()1g x f x x =++在区间(1,2)上有两个不同的零点， 求实数a 的取值范围.
3、已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3），
（1）若f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式，
（2）若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围。

200000010()2,()2
,,()(),,()()1,3,()()21,3,()()211(5),3,,22f x x x g x ax x R f x g x a x R f x g x a x f x g x a x f x g x a x x =-=-∈<∈>⎡⎤∈<⎢⎥⎣⎦
⎡⎤∈<⎢⎥⎣⎦⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦4、已知函数（1）若存在使得成立，求的范围
（2）若对任意恒成立，求的范围.
（3）若存在使得成立，求的范围（4）若对任意恒成立，求的范围.若对任意都存在013,()=()f x g x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
使得成立，求的范围.
5、已知二次函数2
()f x x x =+，若不等式()()2f x f x x +-≤的解集为C ； （1）求集合C ；
（2）若方程1()5(1)x x f a a a +-=>在C 上有解，求实数a 的范围。

6、已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．（1）若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m ∈R ，使得f （m ）=－ a 成立时，f （m +3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；
（3）若对)()(,,,212121x f x f x x R x x ≠<∈且，方程)]()([2
1)(21x f x f x f +=有2个不等实根，),(21x x 证明必有一个根属于。

7、已知函数⎩⎨⎧≤+->++=)
0()23()0(3)(2x b x a x ax x x f
(1) 若)(x f 为R 上增函数，求b a ,的取值范围；
(2) 若3=b ，记)(x f 在]2,2[+-a a 上的最大值为)(a h ，求函数)(a h 的单调区间.
8、 已知222()32(1)5,()2,f x x k k x g x k x k =--++=+（1）设()()()p x f x g x =+，若
存在12,(0,3)x x ∈，有12().()0p x p x <，求实数k 的范围；（2）设(),0()(),0
f x x q x
g x x <⎧=⎨≥⎩，
是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在唯一212,()x x x ≠，是的21()()q x q x =成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由。

9、已知函数2()25(1)f x x ax a =-+>
（1）若函数()f x 的定义域和值域均为[1,]a ，求实数a 的值；
（2）若()f x 在区间(,2]-∞上是减函数，且对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4-≤f x f x ，求实数a 的取值范围.
10、已知函数a x
a x x f +--=4||)(，R a ∈，（1）若1=a ，试判断并用定义证明函数)(x f 在]4,1[上的单调性；（2）当]4,1[∈x 时，求函数)(x f 的最大值的表达式)(a M ；
（3）是否存在实数a ，使得3)(=x f 有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，
求出所有a 的值，若不存在，说明理由.
11、已知函数).0()1()21(),()(,3)(21f g g R b a cx bx
x g ax x f =--∈+=-=--且 (Ⅰ)试求,b c 所满足的关系式；
(Ⅱ)若0b =，集合{|
()||()}A x f x x x a g x =≥-,试求集合A.
12、设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |.
(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值；
(3)设函数[)()(),,h x f x x a =∈+∞，求不等式()1h x ≥的解集．
13、()(1)||f x x x a =--
(1)()30f x ∈－＜对x [2,4]恒成立，求a 的取值范围；
(2)若()f x 在(2,4)内既有最大值又有最小值，求a 的取值范围；
(3)若 3.5a =，试讨论()m=0f x －在]4,2[的根的个数。

14、已知函数)1||(||2)(2≤-=a a x x x x f
－ (Ⅰ) 当1=a 时，求)(x f 的单调递增区间；
(Ⅱ) 设)(x f 在]1,1[-∈x 上的最大值为)(a M ，最小值为)(a m ，若4)()(≤-a m a M ，
求实数a 的取值范围.
15、已知函数2()3,()21,().f x x a g x ax a R =+=+∈
(1)证明：方程()()f x g x =恒有两个不相等的实根；
（2）若函数()f x 在(0,2)上无零点，试写出函数()y g x =在(0,2)上的单调性；
（3）设()()(),F x f x g x =-若对任意的(0,1)x ∈，恒有()1F x <成立，求实数a 的范围.
16、已知函数2()3,f x x x x a =+-其中.a R ∈
（1）当13
a =
时，方程()f x b =恰有三个根，求实数b 的范围； （2）当13a =时，是否存在区间[],m n ，使得函数的定义域和值域均为[],m n ；若存在，求出所有可能的区间[],m n ，若不存在，说明理由；
（3）若0a >，函数()f x 在区间(,)m n 上既有最大值，又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围.
17、已知函数∈-+=a a x a x x f ，)1()(R .
（Ⅰ）若函数)(x f 恰有两个零点，求a 的值； （Ⅱ）若1)(≤x f 对∈x [11，
-]恒成立，求a 的取值范围.
18、设函数a x x x f 2|1|)(2+-+=,R a ∈.
（1）若方程x x f 3)(=在)2,1(上有根,求a 的取值范围；
（2）设)14(log )(2+-=+a x x g ，若对任意的)2,0(,21∈x x ，都有4
21)()(21+<x f x g ，求a 的取值范围.
19、设2()2f x x x a a =--+； （1） 若14
a =
，求()f x 在[]1,1-上的值域； （2） 设不等式()0f x <的解集为A ，(),,2A A ≠∅⊆-∞,求a 的取值范围.
20、设22()23;f x x ax a =--（1）解关于x 的不等式：()0f x <；
（2）设1,4
a >
对任意[]1,4x a ∈，都有()4f x a ≤成立，求实数a 的取值范围；
21、已知22()1f x x x kx =-++；（1）若2k =，求方程()0f x =的解；（2）若关于x 的方程()0f x =在(0,2)上有两个不同的解12,,x x 求k 的取值范围，并证明
12114x x +<。

22、已知函数a x x x f -+=2)(2
（1）若a =1，求)(x f 的最小值；
（2）设R b ∈，若[]4)(2≤+b x f 对[]1,1-∈x 恒成立，求2a +b 的取值范围.
23、已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x . （1）如果4,221==x x ，求的值；（2）如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.
24、已知a>0，函数f(x)=ax-bx 2,
（1）当b>0时，若对任意x ∈R 都有f(x)≤1，证明：a ≤2b ；
（2）当b>1时，证明：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a ≤2b ；
（3）当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件。

11 25、已知函数),,()(2R c b c bx x x f ∈++=对任意的R x ∈,
b x x f +≥2)(恒成立.
(1)证明:0≥x 时,2)()(c x x f +≤;
(2)若对满足题设条件的任意c b ,,)()()(22b c M b f c f -≤-恒成立,求M 的最小值.
26、已知函数c bx x x f ++=2)(b c R ∈（，） （Ⅰ）若4
1)1(,41)1(≤-≤f f 成立，求22c b + 的取值范围； （Ⅱ）若)(x f 在区间)1,0(上有两个零点，求证：16
1)1(2≤
++c b c .。