2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，4，，，则A. B. 1，2， C. 2， D.2.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为A. 1B.C. 0D. i3.函数的部分图象可能是A. B.C. D.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则角B等于A. B. C. D.5.两个非零向量，满足，则向量与夹角为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题p，q都是假命题，则命题“”为真命题B. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到C. ，函数都不是奇函数D. 函数的图象关于直线对称7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为A.B.C.D.8.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D.9.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D.10.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为A. B. C. D.11.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则______．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，，则，则______．16.设数列的前n项和为，已知，对任意的正整数n满足，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是首项，的等比数列，设Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，求数列的前n项和．18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030根据如表说明，能否有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？Ⅱ现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动求男、女学生各选取多少人；若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：，其中．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，底面，侧面底面ABCD，，．Ⅰ求证：面PAC；Ⅱ过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆C：，圆：，圆：，椭圆C与圆、圆均相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线l与圆相切同时与椭圆C交于A、B两点，求的最大值．21.设函数，．当时，求函数的极值；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个实数解，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线：．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若，且对任意，恒成立，求m的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，对数的运算性质，以及交集的运算．【解答】解：2，4，，1，2，；．故选：A．2.答案：A解析：解：由，得．则z的虚部为1．故选：A．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解；显然原函数是偶函数，立即排除B，取，则排除A．故选：C．先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题4.答案：A解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，可得，，．故选：A．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量与夹角．本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中档题．【解答】解：两个非零向量，满足，如图，设，，则，，则四边形OACB为矩形，．设向量与夹角为，则，，，，故选：A．6.答案：D解析：解：选项A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，所以命题“”为假命题，即A错误；选项B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，即B错误；选项C，例如，当时，函数，是奇函数，即C错误；选项D，，所以其图象关于直线对称，即D正确．故选：D．A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，根据复合命题中“”命题一假则假的原则，所以命题“”为假命题；B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到；C ，举特例，当时，函数，是奇函数；D ，把代入函数解析式中计算其结果是否为1或，由于，所以其图象关于直线对称．本题考查命题的真假判断，主要包含复合命题的真假判断、正弦函数的性质及图象变换，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体．所以几何体的外接球的半径设为r，则：，解得，所以，故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：因为，所以点A，B，F共线，所以直线经过抛物线的焦点，所以，因为抛物线的准线为，所以得，即因为，所以，所以，解得，将点A的坐标代入抛物线方程得：，解得，所以．故选：B．因为，所以点A，B，F共线，即直线经过抛物线的焦点，得，联立得，因为，所以，解得A坐标，将点A的坐标代入抛物线方程解得，进而得出结论．本题考查直线与抛物线方程，向量问题，属于中档题．9.答案：B解析：解：当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又函数在上是单调函数，，解得．故选：B．先利用导数与函数单调性的关系可知，当时，单调递增，于是在R上单调递增，还需要满足，解之即可得a的取值范围．本题考查分段函数的单调性，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，的图象关于原点对称，，．令，可得的最小值为，故选：A．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数奇偶性的应用，属于难题．根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，然后将不等式变形转化可得关于x的不等式组，求解得答案．【解答】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，由，得或，解可得：或，则x的取值范围是．故选：C．12.答案：D解析：解：设，根据双曲线的定义可知：，即，且，即，所以，则，在中，，整理得，所以，则，所以渐近线方程为，故选：D．设，利用双曲线定义，可得，，利用余弦定理可得，进而得到a，b关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线求法，余弦定理，整体思想，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由得：，将直线向上平移，可知当直线经过点时，的截距取得最大值，z的最大值，，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，由得：，将直线向上平移，结合图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：11解析：解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20，即，解得；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即，解得．故；故答案为：11．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出m、n的值．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题目．15.答案：解析：解：，，，由正弦定理可得：，，，可得，或，若，由于，可得，可得舍去，，可得，可得：，，，，由，可得，由余弦定理可得．故答案为：．由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键，属于难题．16.答案：解析：解：，，，，；；；；；；；故答案为：．根据递推关系式得到；再利用累加法即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及累加法的应用，属于中档题目．17.答案：解：由，得，，所以．．由，得，．所以数列的前n项和．解析：利用已知条件推出数列的公比，然后求解数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：因为，所以有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；根据分层抽样方法得，男生有人，女生有2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人；设抽取的6名男生分别为A，B，C，D，E，F；2名女生为a，b；从中抽取两人，分别记为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情形；其中2男的共15种情形，所以所求的概率值为．解析：根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；根据分层抽样法求得男生、女生抽取人数；利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：由题意，，，则，又侧面底面ABCD，面面，面PAB，面ABCD．面ABCD，则，又，ABCD为平行四边形，则，又，则为等边三角形，可得ABCD为菱形，则．又，面PAC；Ⅱ解：由，得M为PB中点，由Ⅰ知，ABCD为菱形，又，，．又面ABCD，且，．解析：Ⅰ由题意，，得到，再由平面与平面垂直的性质可得面ABCD，从而得到，结合已知条件证明ABCD为菱形，则由直线与平面垂直的判定可得面PAC；Ⅱ由，得M为PB中点，然后利用求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题易知的半径，圆的半径，又椭圆与、同时相切，则，则C：．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意，斜率不为0时，设l：，原点到l的距离．则，由，可得：，设，由根与系数的关系得：，，，将代入得，令则，在上单调递增，则，即时，．解析：Ⅰ利用已知条件求出椭圆的长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意；斜率不为0时，设l：，通过原点到l的距离则，由，，设，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，是难题．21.答案：解：依题意知的定义域为，当时，，，令，解得则单调递增，，单调递减．所以当时函数取得极小值，且极小值为，当时函数取得极大值，且极大值为．由，可得，又，所以，．令，则，由，得；由，得，在区间上是增函数，在区间上是减函数．当时函数有最大值，且最大值为，又，当时，方程在区间上有两个实数解．实数m的取值范围为．解析：当把代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值的关系即可求解；由，可得，构造函数，然后对函数求导，结合导数可分析函数的性质，进而可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用分离法求解参数范围问题，构造函数并利用导数知识是求解问题的关键．22.答案：解：Ⅰ直线l的参数方程为：为参数，转换为曲线的普通方程为：，曲线：根据整理得普通方程为：；Ⅱ将为参数代入：化简整理得：，设A、B两点对应的参数分别为、，则恒成立，，，，所以：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：Ⅰ当时，，原不等式等价于或或，解得：或无解或，所以，的解集为分Ⅱ，．则所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，．因为对任意恒成立，所以．又因为，所以，解得不合题意．所以m的最小值为分解析：Ⅰ通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。
河南省八市中评2020年高考数学三模试题 文(含解析)
2020年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．12．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．83．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．44．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．79．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．510．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ=．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= ．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：感染未感染总计没服用 20 50服用 40总计 100（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2020年河南省八市中评高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知复数（i是虚数单位），则|z|=（）A．5 B．C．D．1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由模的计算公式求解．【解答】解：∵ =，∴|z|=．故选：D．2．已知，则B中的元素的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】求出B={1，4}，由此能求出B中的元素的个数．【解答】解：∵，∴B={1，4}，∴B中的元素的个数为2．故选：B．3．某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了6个数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，执行如图所示的程序框图，那么输出的S是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】EF：程序框图．【分析】由模拟程序框图的运行过程，得出输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数，由数据得出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知输出的S是记录六次数学测试成绩中得分60以上的次数；∴比较数据：x1=52，x2=70，x3=68，x4=55，x5=85，x6=90，得出S=4；故选：D．4．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得b∥α；在B中，面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由线面垂直的性质定理得b∥α，故A正确；在B中，若a∥α，a⊥β，则面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：C．5．已知x，y满足，若存在x，y使得2x+y≤a成立，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】画出x，y满足的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到a的取值范围．【解答】解：令z=2x+y，画出x，y满足，的可行域，由可行域知：目标函数过点A时取最大值，由，可得x=3，y=4，可得A（3，4）时，z的最大值为：10．所以要使2x+y≤a恒成立，只需使目标函数的最大值小于等于a 即可，所以a的取值范围为a≥10．故答案为：a≥10．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．2 C．6 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB ⊥BC，PC⊥平面ABCD．然后由棱锥体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，PC⊥平面ABCD．∴该几何体的体积V=．故选：B．7．数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），若a1=2，a2=1，则a20=（）A． B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．利用等差数列的通项公式得出．【解答】解：数列{a n}满足a n+1（a n﹣1﹣a n）=a n﹣1（a n﹣a n+1），展开化为： +=．∴数列是等差数列，公差为=，首项为1．∴=1+=，解得a20=．故选：C．8．长为的线段AB在双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线上移动，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，则△ABC面积的最小值是（）A．B．C．D．7【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，设C（m，﹣m2﹣2），运用点到直线的距离公式，以及二次函数的最值的求法，再由三角形的面积公式，即可得到三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，C为抛物线y=﹣x2﹣2上的点，设C（m，﹣m2﹣2），C到直线y=x的距离为d==≥，当m=﹣时，d的最小值为，可得△ABC的面积的最小值为S=×4×=．故选：A．9．已知圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），若弦长AB为整数，则直线AB的条数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d=，从而弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），由此能求出直线AB的条数．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心O（0，0），半径r=2，圆x2+y2=4的动弦AB恒过点（1，1），点（1，1）与圆心O（0，0）的距离d==，∴弦长AB的可能取值为2，3，4，且弦AB过点（1，1），∴直线AB的条数是3条．故选：B．10．将函数的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后关于y轴对称，则θ的最小值是（）A．B．C．D．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数f（x）化简，根据三角函数的平移变换规律即可求解．【解答】解：函数=sin（x+），图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，可得sin（x﹣θ+），关于y轴对称，∴，k∈Z．即θ=﹣∵θ＞0，当k=﹣1时，可得θ的最小值为，故选：D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是（）A．12π B．32π C．36π D．48π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直），∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴S=4πR2=36π．故选：C12．若函数f（x）=xlnx﹣ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A． B． C．（1，2）D．（2，e）【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，由于函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点⇔g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．求出g（x）的导数，当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得，要使g（x）有两个不同解，只需要g（）=ln＞0，解得即可．【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．令g（x）=lnx+1﹣2ax，∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=﹣2a=，当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=，令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．∴当x=时，函数g（x）取得极大值．当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（）=ln＞0，解得0＜a＜．∴实数a的取值范围是（0，）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知=（﹣2，2），=（1，0），若向量=（1，﹣2）使﹣λ共线，则λ=﹣1 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求得﹣λ的坐标，再由向量关系的坐标运算列式求解．【解答】解：∵ =（﹣2，2），=（1，0），∴﹣λ=（﹣2，2）﹣λ（1，0）=（﹣2﹣λ，2），由向量=（1，﹣2）与﹣λ共线，得1×2+2×（﹣2﹣λ）=0．解得：λ=﹣1．故答案为：﹣1．14．一组数据1，10，5，2，x，2，且2＜x＜5，若该数据的众数是中位数的倍，则该数据的方差为9 ．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据题意求出该组数据的众数和中位数，得出x的值，再计算平均数和方差．【解答】解：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷=3，把这组数据从小到大排列为1，2，2，x，5，10，则=3，解得x=4，所以这组数据的平均数为=×（1+2+2+4+5+10）=4，方差为S2=×[（1﹣4）2+（2﹣4）2×2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2]=9．故答案为：9．15．非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，则（a﹣b）sin（a+b）﹣（a+b）sin（a﹣b）= 0 ．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】由已知可得b=tanb，a=tana，利用两角和与差的正弦函数公式化简所求可得2acosasinb﹣2bsinacosb，利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．【解答】解：∵非零实数a，b满足tanx=x，且a2≠b2，∴可得：b=tanb，a=tana，∴原式=（a﹣b）（sinacosb+cosasinb）﹣（a+b）（sinacosb﹣cosasinb）=2acosasinb﹣2bsinacosb=2tanacosasinb﹣2tanbsinacosb=2sinasinb﹣2sinasinb=0．故答案为：0．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P为椭圆上任意一点（不包括椭圆的顶点），则以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的位置关系为内切．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，即可【解答】解：如图，设PF1的中点为M，可得以线段PF i（i=1，2）为直径的圆与以A1A2为直径的圆的圆心距为OM，根据中位线的性质得OM==a﹣，a﹣就是两圆的半径之差，故两圆内切．故答案为：内切．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且角A 为锐角．（1）求三角形内角A的大小；（2）若a=5，b=8，求c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据化简，即可求解A的大小；（2）a=5，b=8，利用余弦定理即可求解c的值．【解答】解：（1）由题意，，即tan2A=．∴2A=或者2A=，∵角A为锐角，∴A=．（2）由（1）可知A=，a=5，b=8；由余弦定理，2bccosA=c2+b2﹣a2，可得：，解得：c=或者．18．如图，ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=．（1）求证：CN∥平面AB'M；（2）求三棱锥B'﹣AMN的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取A′B′的中点E，连接EC′，EN，由已知可得AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，可得NF∥CM，NF=CM，从而得到CN∥FM，然后利用线面平行的判定可得CN∥平面AB'M；（2）由CM∥平面ABB′，可得M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，则V M﹣ANB′=V C，证得BC⊥平面ABB′A′，则三棱锥B'﹣AMN的体积可求．﹣ANB′【解答】（1）证明：如图，取A′B′的中点E，连接EC′，EN，∵ABC﹣A′B′C′为直三棱柱，∴ABB′A′为矩形，则AB′，EN共面，设AB′∩EN=F，连接FM，则EN∥BB′∥CC′，且F为AB′的中点．又∵M为CC′的中点，∴NF∥CM，NF=CM，则CN∥FM，而MF⊂平面AB'M，CN⊄平面AB'M，∴CN∥平面AB'M；（2）解：∵CM∥平面ABB′，∴M到平面ANB′的距离等于C到平面ANB′的距离，∴V M﹣ANB′=V C﹣ANB′∵ABB′A′为矩形，N为AB中点，∴．∵ABC﹣A'B'C'为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面ABB′A′，且平面ABC∩平面ABB′A′=AB，在三角形ABC中，AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，即BC⊥平面ABB′A′，∴．19．为考查某种疫苗的效果，进行动物实验，得到如下疫苗效果的实验列联表：感染未感染总计没服用 20 50服用 40总计 100（1）请完成上面的列联表，并回答是否有97.5%的把握认为这种疫苗有效？并说明理由；（2）利用分层抽样的方法在感染的动物中抽取6只，然后在所抽取的6只动物中任取2只，问至少有1只服用疫苗的概率是多少？参考公式：K2=参考数值：P（K2≥k0） 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635【考点】BO：独立性检验的应用；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论；（2）利用分层抽样原理以及列举法计算基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写列联表如下：感染未感染总计没服用 20 30 50服用 10 40 50总计 30 70 100根据表中数据，计算K2==≈4.76＜5.024，所以没有97.5%的把握认为这种疫苗有效；（2）利用分层抽样法抽取的6只中有4只没服用疫苗，2只服用疫苗，记4只没服用疫苗的为1，2，3，4，2只服用疫苗的为A、B；从这6只中任取2只，基本事件是12、13、14、1A、1B、23、24、2A、2B、34、3A、3B、4A、4B、AB共15种，至少有1只服用疫苗的基本事件是1A、1B、2A、2B、3A、3B、4A、4B、AB共9种，故所求的概率是=．20．一张坐标纸上涂着圆E：（x+1）2+y2=8及点P（1，0），折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与EP'的交点为M．（1）求M的轨迹C的方程；（2）直线l：y=kx+m与C的两个不同交点为A，B，且l与以EP为直径的圆相切，若，求△ABO的面积的取值范围．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，推导出E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，由此能求出M的轨迹C的方程．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，从而m2=k2+1，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积、弦长公式、三角形面积公式，能求出△AOB的面积的取值范围．【解答】解：（1）折痕为PP′的垂直平分线，则|MP|=|MP′|，由题意知圆E的半径为2，∴|ME|+|MP|=|ME|+|MP′|=2＞|EP|，∴E的轨迹是以E、P为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1，∴M的轨迹C的方程为=1．（2）l与以EP为直径的圆x2+y2=1相切，则O到l即直线AB的距离：=1，即m2=k2+1，由，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=16k2m2﹣8（1+2k2）（m2﹣1）=8k2＞0，k2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，又=x1x2+y1y2=，∴，∴，==，设μ=k4+k2，则，∴=，，∵S△AOB关于μ在[，2]单调递增，∴，∴△AOB的面积的取值范围是[，]．21．已知函数f（x）=mx+2lnx+，m∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设函数g（x）=，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，根据函数的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=m++=，m=0时，f′（x）=，f（x）在（0，+∞）递增，m＞0时，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=1﹣或x=﹣1，若1﹣＞0，即m＞2时，x∈（0，1﹣）时，f′（x）＜0，x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（1﹣，+∞）递增，在（0，1﹣）递减，若1﹣≤0，即m≤2时，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，m＜0时，x∈（0，1﹣）时，f′（x）＞0，x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1﹣）递增，在（1﹣，+∞）递减；（2）令h（x）=f（x）﹣g（x）=mx+2lnx﹣，∵至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，∴至少存在一个x0∈[1，e]，使得m＞﹣成立，设H（x）=﹣，则H′（x）=﹣2（+），∵x∈[1，e]，1﹣lnx＞0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在[1，e]递减，H（x）≥H（e）=∴m＞．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，且曲线C在极坐标系中过点（2，π）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线（t为参数）与曲线C相交于A，B两点，直线m过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l的倾斜角的2倍，求m的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C在极坐标系中过点（2，π），得到曲线C的极坐标方程为4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，由此能求出曲线C的直角坐标方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，求出AB的中点为M（﹣1，），从而直线l的斜率为，由此求出直线m的斜率为．从而求出直线m的直角坐标方程，进而求出m的极坐标方程．【解答】解：（1）∵曲线C在极坐标系中过点（2，π），∴把（2，π）代入曲线C的极坐标方程，得：4=，解得a=4，∴曲线C的极坐标方程为，即4ρ2sin2θ+ρ2cos2θ=4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即=1．（2）∵直线（t为参数），∴消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣2y+2=0，联立，得x2+2x=0，解得x=﹣2或x=0，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB的中点为M（﹣1，），∵直线l的斜率为，即tanα=，∴tan2α==．∴直线m的方程为y﹣=（x+1），即8x﹣6y+11=0，∴m的极坐标方程为8ρcosθ﹣6ρsinθ+11=0．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a＞0），其最小值为3．（1）求实数a的值；（2）若关于x的不等式f（x）+|x|＞m2﹣2m对于任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值即可；（2）根据不等式的性质，问题转化为m2﹣2m＜3，解出即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，故|a﹣1|=3，解得：a=﹣2或4，由a＞0，得a=4；（2）由（1）得f（x）=|x﹣1|+|x﹣4|，x≥4时，f（x）=x﹣1+x﹣4=2x﹣5≥3，1＜x＜4时，f（x）=x﹣1﹣x+4=3，x≤1时，f（x）=1﹣x﹣x+4=﹣2x+5≥3，∴f（x）+|x|≥3，当x=0时”=“成立，故m2﹣2m＜3即（m+1）（m﹣3）＜0，解得：﹣1＜m＜3，故m的范围是（﹣1，3）．。
2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷（文科）（三模）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I.(5 分)已知集合A = {1, 2, 4, 8}, 3={)*=log 小.正A},则 AC1B=(A. {1, 2}B. {0, 1, 2, 3}C. {L 2, 3}D. {().3}【解答】解：A = {1, 2, 4, 8}, B={0,1, 2, 3}；•.•AC8={1, 2).故选：2.（5分）己知复数z 满足（2・D z=l+2/3为虚数单位），则z 的虚部为（A. 1B. - 1C. 0D. /)【解答】解：由（2・i ） z=l+2nl+2i (l+20(2+i) Si 得2 =打=(2r)(2+i) =5='则Z 的虚部为1.故选：A.3.（5分）函数y=A- - 2lr, （.veR ）的部分图象可能是（【解答】解：显然原函数是偶函数，立即排除D.取x=0,则），排除A・故选：C.4.（5分）在△A8C 中，角A, B, C 所对的边分别为s b 9c 若=c ・ bcosA .则7T A.—67T B.-47T c.—3n D・—12【解答】解:•/v ；3</sinB=c - bcos4,角B 等于（)由正弦定理可得：V^sia4sinB=sinC - sinFcosA./. V3sia4sinB+sinBco5i4 = sinC,VsinC=s in(A+B)=sin/lcosB+coSsinB,/.V3sin4sin5=siMcosB，VsinA^O..•.V5sinB=cos8，可得taiiB=孕,VBE(0.n).••・b=m故选：5.（5分）两个非零向量b满足诺+刎=福一州=2局,则向量b与，方夹角为（5 A.一7T6nB.-62C.-7T3nD.-3【解答】解：•.•两个非零向量"，E满足馈+；1=苻一；1=2赤如图.设OA=a.OB=b.贝lj OC=a+b9BA=a—b9则四边形OAC8为矩形BA=2OA.OB=yj^OA.设向量b与a-b夹角为S则NOBA=n・。
2020年郑州市高三三测数学文科试题及参考答案
2020 年郑州市高三三测数学文科试题
评分参考
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C A A D B B B A D B
二、填空题
13. 8 ； 14.11； 15. 6 ； 16. − 3 . 17
三、解答题
17．（1）由 a1
=
1 4
所以 m 的最小值为 1．……………………………………………10 分
7 读万卷书 行万里路
，………8
分
= 1 1−1+1−1+⋯+ 1 − 1 = 1 1− 1 =
3
447
32 31 3
31 3
1.12 分
1
读万卷书 行万里路
旗开得胜
18．（1）因为 K2 = 150(30 × 60 − 40 × 20)2 ≈ 5.357 > 5.024. ，……………2 分 100× 50×80× 70
所以有 97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关.……………3 分
（2）（i）根据分层抽样方法得，男生8× 3 = 6 人，女生 2 人， 4
所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.……………5 分
（ii）设抽取的6名男生分别为 A, B,C, D, E, F ，2 名女生为 a,b ；
从中抽取两人，分别记为( , )， (A,C),(A, D),(A, E),(A, F) , (A, a),( A,b) ,( , ),
∴所以当 x = 1 时函数 f (x) 取得极小值，且极小值为 f (1) = −3 ，
旗开得胜
当 x = 1 时函数 f (x) 取得极大值，且极大值为 f (1) = − ln 4 − 9 ． …………5 分
【精准解析】河南省郑州市2020届高三第三次质量预测数学(文)试题
右两支分别交于点 A，B，若 ABF1 为等边三角形，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
A. y 7x
B. y 6x
C. y 2 2x
D.
y 2 7x,
【答案】B 【解析】 【分析】
首先根据双曲线的定义得到 BF2 2a ， AB AF1 BF1 4a ， 进而得到 AF2 AB BF2 6a ，再利用余弦定理得到 c2 7a2 ，再求渐近线方程即可.
a
的取值范围是
（）
A. 1,
B. 1,3
C.
1 2
,1
D. 1, 2
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数可知函数 y f x 在区间 0, 上为增函数，由此可知该函数在区间 , 0 上也
为增函数，且有 3a 2 e0 2a ，进而可得出关于 a 的不等式组，即可解得实数 a 的取值范
围.
【详解】
f
x
e x
a
x 2a, x 0
1 x 3a 2,
x
，当
0
x
0 时，
f
x
ex
1
0，
所以，函数 y f x 在区间 0, 上为增函数，
由于该函数在 -,+ 上是单调函数，则该函数在 -,+ 上为增函数，
-6-
a 1 0 所以 3a 2 e0 2a ，解得1 < a £ 3 .
7.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接
球的体积为（
）
A. 6
【答案】B
B. 8 6
C. 32 3 π
D. 64 6
-4-
【解析】 【分析】 根据三视图得到三棱锥是从长为 4，宽为 2，高为 2 的长方体中截取而来，其外接球即为长方 体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．(★)已知集合A={1，2，4，8}，B={y|y=log 2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2，3}C．{1，2，3}D．{0，3}2．(★)已知复数z满足（2-i）z=1+2i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．1B．-1C．0D．i3．(★★)函数y=x 2-2 |x|（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．4．(★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若asinB=c-bcosA，则角B 等于（）A．B．C．D．5．(★★)两个非零向量，满足| |=| |=2| |，则向量与夹角为（）A．B．C．D．6．(★)下列说法正确的是（）A．命题p，q都是假命题，则命题“￢p∧q”为真命题B．将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y=sin4xC．∀φ∈R，函数y=sin（2x+φ）都不是奇函数D．函数的图象关于直线x=对称7．(★★)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．8πC．32πD．64π8．(★★)已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线C：y 2=8x及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若2 ，则m等于（）A．B．2C．2D．29．(★)若函数f（x）= 在（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，3]C．[，1）D．（1，2]10．(★★)若将函数f（x）=cos（2x+φ）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，且g（x）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．(★★★)设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，当x＞0时，xlnx•f'（x）＜-f（x），则使得（x 2-1）f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（-1，0）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．（-1，0）∪（1，+∞）D．（-∞，-1）∪（0，1）12．(★★★)如图，已知双曲线 C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若△ABF 1为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．(★★)已知x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 8 ．14．(★★)某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n= 11 ．15．(★★★★)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，a=2，则sinB= ，则b= ．16．(★★)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a 1=3，对任意的正整数n满足S n+1=S n+ （2n-1）a n a n+1+a n，则a 19= - ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．(★★)已知数列{a n}是首项a 1= ，a 4= 的等比数列，设b n=-2-3log 4a n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n= ，求数列{c n}的前n项和S n．18．(★★)2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：（I）根据如表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？（Ⅱ）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动（i）求男、女学生各选取多少人；（ii）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：K 2= ，其中n=a+b+c+d．会参与不会参与男生6040女生2030P（K2≥k0）0.100.050.0250.010.005k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87919．(★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，底面ABCD=120°，侧面PAB⊥底面ABCD，PB=2 ，AB=AC=PA=2．（Ⅰ）求证：BD⊥面PAC；（Ⅱ）过AC的平面交PD于点M，若V M-PAC= V P-ACD，求三棱锥P-AMB的体积．20．(★★)已知椭圆C：，圆C 1：x 2+y 2=3，圆C 2：x 2+y 2=4，椭圆C与圆C 1、圆C 2均相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与圆C 1相切同时与椭圆C交于A、B两点，求|AB|的最大值．21．(★★★)设函数f（x）=lnx+2x 2-（m-1）x，m∈R．（I）当m=6时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=2x 2在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C 1：（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为（1，0），曲线C 2：ρ2= ．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★)已知函数f（x）=|mx+1|+|2x-1|，m∈R．（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若0＜m＜2，且对任意x∈R，f（x）≥恒成立，求m的最小值．。
2020届河南省郑州市普通高中高三下学期第三次质量检测数学(文)试题及解析
所以 ，
所以 {1，2}
故选：A
2.若复数z满足 则复数z的虚部是（ ）
A.iB. -iC. 1D. -1
【答案】C
【解析】
根据复数z满足 得到 ，再利用复数的乘除法求解.
【详解】因为复数z满足
所以 ，
所以复数z的虚部是1.
故选：C
3.函数 的部分图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
2020届河南省郑州市普通高中高三下学期第三次质量检测
数学（文）试题
★祝考试顺利★
(含答案)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 则 （ ）
A. {1，2}B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可知，将 分别代入函数 中，求出的值组成的集合就是集合B，然后再求集合A和集合B的公共元素可得结果.
，
所以 ，
所以该三棱锥的外接球的体积为 ，
故选：B
8.已知直线 与抛物线 及其准线分别交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若 则m等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意可知直线 过抛物线的焦点,得 ,过 做 准线 ,垂足为 ,由 与直线 倾斜角相等,根据抛物线的定义即可求得 ,即可求得 的值,进而得 .
【答案】8
【解析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出 的最大值.
【详解】作出不等式组 表示的可行域，如图中阴影部分所示，
因 ，所以 ，
显然直线过 与 的交点时， 最大，
，解得 此时 ，
所以， 的最大值为8.
故答案为：8.
河南省郑州市荥阳第三中学2020年高三数学文模拟试题含解析
河南省郑州市荥阳第三中学2020年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 当时，恒成立，则实数的取值范围是（）参考答案：A2. 已知双曲线的左右顶点分别为，是双曲线上异于的任意一点，直线和分别与轴交于两点，为坐标原点，若依次成等比数列，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C.D．参考答案：A本题考查双曲线的标准方程与几何性质,等比数列.由题意得,,而是双曲线上的点,令;求得直线:,:,所以;而依次成等比数列，所以,即①;而②,联立解得,;所以离心率===;经验证,当时,不满足题意,所以双曲线的离心率.即双曲线的离心率的取值范围是.选A.【备注】双曲线,离心率,.3. 函数在上为减函数，则实数的取值范围A. B. C.D.参考答案：C略4. （05年全国卷Ⅲ）设，且，则（）A B C D参考答案：答案：C5. 设x,y满足约束条件,则下列不等式恒成立的是A. B. C. D.参考答案：C6. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则角C=（）A．B．C．D．参考答案：D由正弦定理可得，可得，，由，可得，，由为三角形内角，可得，由正弦定理可得由，可得，故选D.7. 命题：“若（a , b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（）A．若a≠b≠0（a , b∈R），则≠0 B.若a=b≠0（a , b∈R），则≠0C．若a≠0且b≠0（a,b∈R），则≠0 D.若a≠0或b≠0（a,b∈R），则≠0参考答案：D略8. 如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 ( )A. B. C. D.参考答案：C略9. 半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O 旋转时， ?的取值范围是（）A．[1﹣，1+] B．[﹣1，﹣1+] C．[﹣，] D．[﹣， +]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，运用向量的坐标和向量的数量积的坐标表示，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求范围．【解答】解：以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，可得A（﹣1，﹣1），设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E（﹣cosθ，﹣sinθ），F（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+）），0≤θ＜2π，则?=（1﹣cosθ，1﹣sinθ）?（﹣cos（θ+），﹣sin（θ+））=cosθcos（θ+）+sinθsin（θ+）﹣（cos（θ+）+sin（θ+））=cos﹣sin（θ+）=﹣sin（θ+），当sin（θ+）=1，即θ=时，取得最小值﹣；当sin（θ+）=﹣1，即θ=时，取得最大值+．即有?的取值范围是[﹣， +]．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的范围，考查坐标法的运用，同时考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于中档题．10. 曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先求出曲线的交点，S阴影=S扇形0AC﹣S三角形OBA+S曲多边形OBA，分别求出其面积，问题得以解决．【解答】解：曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部所示由，解得x=1，y=1，即A（1，1），B（1，0），因为S曲多边形OBA=dx=|=，S三角形OBA=×1×1=，S扇形0AC=π×2=，∴S阴影=S扇形0AC﹣S三角形OBA+S曲多边形OBA=﹣+=+，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列的通项，其前n项和为，则为_______。
河南省郑州市2020届高三数学第三次质量检测试题 文(含解析)
河南省郑州市2020届高三数学第三次质量检测试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}13A x N x =∈-<<，{}0B x x π=<<，则A B ⋂=（ ） A. {}03x x <<B. {}0,1,2C. {}1,2D.{}0x x π<<【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A 中的所有元素，然后求解两个集合的交集. 【详解】{}0,1,2A =,所以{}1,2A B =I ，故选C.【点睛】本题主要考查集合的表示和集合的交集运算，求解交集时，明确集合的公共元素是求解的关键.2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()12z i i -=+，则在复平面内z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先利用复数的除法，求出复数z ，再求共轭复数，然后判定所在象限. 【详解】因为()12z i i -=+，所以2(2)(1)131(1)(1)2i i i i z i i i ++++===--+，1322z i =-由于130,022>-<，所以复平面内z 对应的点在第四象限，故选D. 【点睛】本题主要考查复数的运算，共轭复数等，侧重考查数学运算的核心素养.3.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期，某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A.35B.710C.45D.910【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m P n ==．故选D ．【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.4.已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点(，则双曲线的离心率为（ ）D. 3【答案】C 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标可得,a b 的关系式，然后可得离心率.【详解】因为双曲线的焦点在y 轴上，所以渐近线的方程为ay x b=±，因为经过点(，所以b =，222b a =；由于222b c a =-，所以223c a =，即离心率e =【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线求解离心率时，关键是寻求,,a b c 之间的关系式.5.同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数可以是（ ） A. 4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.6.在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =u u u v u u u v ，点M 为AC 中点，则MD u u u u v=（ ）A. 2136AB AC -u u ur u u u rB. 1136AB AC -u u ur u u u rC. 2133AB AC -u u ur u u u rD.2136AB AC +u u uv u u u v 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，结合平面向量的线性运算，用基底,AB AC u u u r u u u r表示MD u u u u v. 【详解】作出图形如下，1212()2323MD MC CD AC CB AC AB AC =+=+=+-u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 2136AB AC =-u u uv u u u v ,故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量注意向量方向和模长之间的关系.7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.8.在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ） A. 2 B. 2C. 12x xD. 4【答案】A 【解析】 【分析】作出截面图，结合圆柱的表面积等于圆锥的侧面积建立等式，从而可得. 【详解】如图，截面图如下设圆柱底面半径为r ，高为h ，圆锥的底面半径为R ，则母线为2l R =,则R h rR R-=,即h R r =-.圆柱表面积为222222()2r rh r r R r rR πππππ+=+-=； 圆锥的侧面积为22Rl R ππ=，因为圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，所以222rR R ππ=，即2R r =，故选A.【点睛】本题主要考查旋转体的表面积的计算，熟记公式是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，n N *∈.则数列{}na b 的前10项和为（ ） A.()101312- B.()101918- C.()9127126- D.()10127126- 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件判定{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，分别求出通项公式，然后求和. 【详解】因为113n n n nb a a b ++-==，所以{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列且公差，公比均为3，所以13(1)32n a n n =+-=-，11133n n n b --=⨯=，所以331327n n n a b --==，易知{}n a b 是以1为首项，27为公比的等比数列，所以前10项和为10101(127)1(271)12726-=--，故选D.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式及等比数列求和，侧重考查数学运算的核心素养.10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为I ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.6423π- B.6423π- C.6483π- D.6443π-【答案】A 【解析】 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为4， 高为4的四棱锥中挖掉18个半径为22的球， 故该几何体的体积为()321144422383π⨯⨯-⨯⨯ 64823π-=，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.11.函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在使()f x 在上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()()log x a f x a t =+，（0a >且1a ≠）是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是（ ）A. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B.C. ()0,∞+D.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出函数()()log xa f x a t =+的值域，可得t 的范围.【详解】当1a >时，,log xa y a y x ==均为增函数，所以()f x 为增函数；当01a <<时，,log x a y a y x ==均为减函数，所以()f x 为增函数；所以当[,]x m n ∈时，()[log (),log ()]m na a f x a t a t ∈++，根据题意可得log (),log ()22m n a a m na t a t =+=+， 所以,m n 是方程222()0xxa a t -+=的两个不等的实数根，所以有140t ∆=->，结合t 为正实数，即有104t <<，故选B. 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，信息提供型题目，注意对题意的准确理解上.侧重考查数学建模的核心素养.12.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（ ） A. 2878a =B. 212a =C. 298b =D. 21b =【答案】C 【解析】 【分析】结合椭圆和双曲线有公共的焦点可得2210a b -=，再利用1C 恰好将线段AB 三等分，可求得22,a b .【详解】因为椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，所以2210a b -=；双曲线的一条渐近线为3y x =，设渐近线与椭圆的交点为C,D,如图，设(,3)C m m ，代入椭圆可得222291m m a b+=①因为1C 恰好将线段AB 三等分，所以3a OC =，即有22299a m m +=②联立①②可得22119010a b+=，结合2210a b -=可得298b =，故选C. 【点睛】本题主要考查圆、椭圆和双曲线的综合，寻求题目中的等量关系是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.）13.若实数x ，y 满足条件10,10,330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则32z x y =-的最大值为__________．【答案】5. 【解析】 【分析】作出可行域和目标函数图象，找到最值点，代入目标函数，求出最大值. 【详解】作出可行域及0:320l x y -=如图，平移直线0l 可知在点A 处目标函数32z x y =-取到最大值，联立10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩可得(3,2)A ,代入可得max 5z =.【点睛】本题主要考查线性规划，求解线性规划问题时，准确作出可行域是求解关键，侧重考查直观想象的核心素养.14.在三棱锥D ABC -中，2AB AC AD ===2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为__________． 【答案】6π. 【解析】 【分析】根据所给数据可得垂直关系，结合模型可求外接球的表面积. 【详解】因为2AB AC AD ===，2BC BD CD ===；所以,,AD AC AD AB AB AC ⊥⊥⊥,所以三棱锥D ABC -的外接球就是以,,AD AC AB 分别为长宽高的长方体的外接球，故其对角线就是外接球的直径， 设外接球的半径为r ，则22226r AD AB AC =++=,即62r =，故外接球的面积为22644()62r πππ==. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，借助长方体这个模型可以简化求解过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.15.在数列{}n a 中，满足11a =，24,2n a na =()()1111n n n a n a -+=-++（2n ≥且n N *∈），则__________．【答案】254. 【解析】 【分析】根据已知条件可得{}n na 为等差数列，借助等差数列的通项公式可得.【详解】因为()()11211n n n na n a n a -+=-++，所以{}n na 为等差数列，公差2127d a a =-=，首项为1，所以其通项公式为17(1)76n na n n =+-=-，所以8502584a ==. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据递推关系式得出等差数列是求解关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.16.已知函数()21ln 2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若在区间()1,+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是__________．【答案】11[,]22-.【解析】 【分析】先把图象位置关系转化为不等关系，即212()ln 02ax a x x --->，然后利用导数求解最值可得.【详解】设21()2()ln 2g x ax a x x =---，由题意可知，()0g x >在区间()1,+∞上恒成立；1(1)[(12)1]()2(21)x a x g x a a x x x--+=---'=，当120a -≥时，()1,x ∈+∞，()0g x '>，所以()g x 为增函数，所以有1(1)202g a a =-+≥，即1122a ≥≥-； 当120a -<时，总存在()0,x x ∈+∞，使得()0g x '<，即()g x 为减函数，不合题意； 综上可得11[,]22a ∈-.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数图象之间的位置关系，通常是转化为不等关系，求解最值，侧重考查数学建模的核心素养.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=.点D 的线段BC 上，且12BD CD =，AD =. （Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆面积.【答案】（Ⅰ）6.（Ⅱ）3.【解析】 【分析】（Ⅰ）在ABC ∆，,ACD ABD ∆∆中分别使用余弦定理可求AB 的长； （Ⅱ）先求ABC ∆的面积，利用ABD ∆与ABC ∆面积之间的关系可求 【详解】（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得2221483a c c =+-⋅① 又在ACD ∆中，222264416cos 2a AD CD AC ADC AD CD +-+-∠==⋅在ABD ∆中，2222264cos 2a c AD BD AB ADB BD AD +-+-∠==⋅又ADB ADC π∠+∠=cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠= ,即222403a c -+=②联立①②得，6c = , 即6AB =.（Ⅱ）1cos sin 33CAB CAB ∠=∴∠=Q1sin 2ABC S b c CAB V =⨯⨯⨯∠=133ABD ABC S S ∆∆==. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理求解三角形的边长及三角形面积，侧重考查数学运算的核心素养.18.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形.（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=u u u v u u u v，三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，求λ的值. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）12. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先证明AO BD ⊥,AO FO ⊥,利用//EF AO 得到EF ⊥平面BDF ,从而得证结论； （Ⅱ）利用三棱锥B AHC -的体积等于四棱锥D AOFE -体积的一半，建立等量关系，从而求得λ的值.【详解】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AO BD ⊥． ∵FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， ∴AO FO ⊥．又四边形OAEF 为平行四边形， ∴//EF AO ，∴EF BD ⊥，EF FO ⊥，∵BD FO O ⋂=，∴EF ⊥平面BDF ． ∵EF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ⊥平面BDF ．（Ⅱ）∵2AB FO BD ===，四边形ABCD菱形，∴ABD ∆为等边三角形，且3AO =1DO BO ==．∵,,BD AC BD FO AC FO O ⊥⊥⋂=,∴BD ⊥平面OAEF ， ∴四棱锥D AOFE -的体积为1123(32)133D AOFE AOFE V S DO -=⋅⋅=⨯⨯⨯=． ∵FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=u u u v u u u v， 所以点H 到平面ABCD 的距离(1)2(1)h FO λλ=-=-．所以11123(1)322sin1202(1)33233B AHC H ABC ABC V V S h λλ︒---⎛⎫==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯-==⎪⎝⎭，解得12λ=. 【点睛】本题主要考查空间中面面垂直关系的证明及几何体的体积问题，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.19.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量()1,2,,10i y i =L 的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，y a bx =+和dy c x =⋅（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）； （Ⅱ）对数据作出如下处理：令ln i u x =，ln i y υ=，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828e =L ），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυL ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆnniii i i i nniii i u u u nu u u unuυυυυβ====---==--∑∑∑∑，ˆˆˆu αυβ=- 【答案】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型y c x α=⋅更适合； （Ⅱ）13y e x =⋅；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型； （Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线的方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值. 【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型dy c x =⋅更适合．（Ⅱ）对dy c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即ln v c du =+ 由表中数据得： 1.5u v ==，∴()()()1122221130.510 1.5 1.5146.510 1.53ˆn niii i i i nni ii i u u v v u v nuvdu u unu ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑，∴1ln 1.5 1.51,3ˆc v duc e =-=-⨯=∴=，∴年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =⋅. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，13()27z x x x =-， ∴23()91z x x -='-， 令23()910z x x--'==，得27x =，且当(0,27)x ∈时，()0z x '>,()z x 单调递增； 当(27,)x ∈+∞时，()0z x '<,()z x 单调递减．所以当27x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为(27)54z =千万元. 答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.20.已知抛物线()220y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点()2,M m -在抛物线上，且52MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k . （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标. 【答案】（Ⅰ）22y x =-； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据52MF =及抛物线定义可求p ，从而得到方程； （Ⅱ）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合122k k +=-可得,k b 关系，从而得到定点坐标.【详解】（Ⅰ）由抛物线的定义可以5(2)22p MF =--=，1p ∴=,抛物线的方程为22y x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时,A B 重合，舍去. 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设()()1122,,,A x y B x y ，将直线l 与抛物线联立得：2222(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+++=⎨=-⎩ 212122222,kb b x x x x k k--+==① 又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即()()()()()()1221122222222kx b x kx b x x x +-+++-+=-++，()()()()12121212121222248248kx x k x x b x x x x b x x x x ++++-++-=--+-， ()1212(2+2)(2+2)40k x x k b x x b ++++=，将①代入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-;当22b k =+时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求,k b 之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.21.设函数()xf x ae x =-，()lng x b x =.（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在()()1,1h 处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值. 【答案】（Ⅰ）2,1a b e==； （Ⅱ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求()h x 的导数，结合导数的几何意义，可求,a b ；（Ⅱ）分离参数，构造新函数，利用导数求解新函数的最值，可得k 的最大值. 【详解】（Ⅰ）()()()ln xh x f x g x ae b x x =+=+-，()1x bh x ae x +'=-，由题意可知(1)112,1(1)12h ae a b h ae b e =-=⎧∴===='⎨+-⎩. （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x ++'->等价于11x x k x e +<+- 设1()1xx F x x e +=+- ，()()22()1x x xe e x F x e--=-' ，令()2xR x e x =--,()1xR x e =-';当0x >时，()0R x '>恒成立.∴()R x 在(0,)+∞上单调递增 ， 又(1)0,(2)0R R ,∴()R x 在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020xe x --=， ∴()F x 单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(,)x +∞， ∴()F x 在(0,)+∞的最小值为()0000011(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈- ()0max ,2k F x k ∴<∴=.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和利用导数求解函数的最值问题，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.22.在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为2,1x ty t=--⎧⎨=+⎩（t为参数），曲线1:C y=以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρα⎛⎫=-⎪⎝⎭.（Ⅰ）若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在1C上，求BA BP⋅u u u v u u u v的取值范围；（Ⅱ）若直线l与2C交于M，N两点，点Q的直角坐标为()2,1-，求QM QN-的值. 【答案】（Ⅰ）1]；.【解析】【分析】（Ⅰ）利用参数方程表示出目标式BA BP⋅u u u v u u u v，结合三角函数知识求解；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线2C，结合参数的几何意义可求.【详解】（Ⅰ）由题意可知：直线l的普通方程为10,(1,0),(0,1)x y A B++=∴--.1C的方程可化为221(0)x y y+=≥，设点P的坐标为(cos,sin),0θθθπ≤≤，cos sin111]4BA BPπθθθ⎛⎫∴⋅=-++=-+∈⎪⎝⎭u u u v u u u v.（Ⅱ）曲线2C的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y++-=.直线l的标准参数方程为2212x my m⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（m为参数），代入2C得：270m-=设,M N两点对应的参数分别为12,m m121270m m m m+==-< ,故12,m m异号12QM QN m m∴-=+=‖‖【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标之间的转化及参数方程的应用，利用参数的几何意义能简化计算过程，达到事半功倍的效果.23.已知函数()12f x x a x =+++. （Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值. 【答案】（Ⅰ）[3,0]-； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把1a =代入，利用分类讨论的方法去掉绝对值求解；（Ⅱ）利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后根据函数单调性求解最值情况.【详解】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤- 当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-.（Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-=综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ；当1a >时， min ()(2)1f x f =-=；【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，零点分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养.。
【精准解析】河南省郑州市2020届高三第三次质量预测数学(文)试题
2020年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{1,2,4,8},{|log ,},A y y x x B A =∈==则A B =（ ）A. {1，2}B. {1,2,4}C. {2,4,8}D.{1,2,4,8}【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，将1,2,4,8x =分别代入函数2log y x =中，求出的值组成的集合就是集合B ，然后再求集合A 和集合B 的公共元素可得结果.【详解】解：因为2{1,2,4,8},{|log ,},A y y x x B A =∈== 所以22221,2,4,{log log log log }{0,1,,382}B ==， 所以A B ={1，2}故选：A【点睛】此题考查了对数的运算，集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()212,i z i -=+则复数z 的虚部是（ ） A. i B. -iC. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据复数z 满足()212,i z i -=+得到122iz i+=-，再利用复数的乘除法求解. 【详解】因为复数z 满足()212,i z i -=+ 所以()()()()1221252225i i i iz i i i i +++====--+， 所以复数z 的虚部是1.【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.函数()22xy x x R =-∈的部分图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性排除,B D ，由特殊点排除A ，从而可得结果.【详解】因为()()2222?xxf x x x f x --=--=-=（），所以()y f x =是偶函数，图象关于y 轴对称， 可排除选项,B D ；取0x =，则1y =-，可排除A ，故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.4.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 3sin cos a B c b A =-，则角B 等于（ ） A.6πB.4π C.3π D.12π【解析】 【分析】根据正弦定理边化角,再利用三角形中()sin sin C A B =+以及三角恒等变换求解即可.【详解】由正弦定理有sin sin sin cos A B C B A=-,又()()sin sin sin C A B A B π=--=+,故()sin sin sin cos sin cos A B A B B A A B=+-=,因为sin 0A ≠,故cos B B =,即tan 3B =,又()0,B π∈,故6B π=.故选：A【点睛】本题主要考查了解三角形中正弦定理边角互化以及三角恒等变换化简的方法.属于基础题.5.两个非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=，则向量b 与a b -夹角为（ ） A. 56π B.6π C.23π D.3π 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件计算得到0a b ⋅=，3b a =，再利用夹角公式计算得到答案.【详解】()()22||||=0a b a b a ba b a b +=-∴+-∴⋅=()2222||2||243a b a a ba b a b a b a +=∴+=++⋅=∴=()25cos 2cos cos 6b a b b b a b b a θθθθπ⋅-=-=⋅-=⋅∴== 故选：A【点睛】本题考查了向量的夹角，意在考查学生的计算能力，也可以建立直角坐标系求解. 6.下列说法正确的是（ ）A. 命题p 、q 都是假命题，则命题“p q ⌝∧”为真命题B. 将函数sin 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin 4y x =C. R ϕ∀∈，函数()sin 2y x ϕ=+都不是奇函数D. 函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合命题的真假可判断A 选项的正误；利用三角函数图象变换可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用正弦函数的对称性可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若命题p 、q 都是假命题，则命题“p q ⌝∧”为假命题，A 选项错误； 对于B 选项，将函数sin 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到sin y x =，B 选项错误；对于C 选项，取2ϕπ=，则()()sin 2sin 22sin 2y x x x ϕπ=+=+=为奇函数，C 选项错误； 对于D 选项，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，55sin 2sin 1121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线512x π=对称，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及复合命题、全称命题真假，同时也考查三角函数图象变换以及正弦型函数对称性的判断，考查推理能力，属于中等题.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）6π B. 86π C. 3 D. 646π【答案】B【解析】 【分析】根据三视图得到三棱锥是从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取而来，其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知，该几何体从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取的三棱锥P ABC -，如图所示：所以其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长：222242226R ++=，所以6R =所以该三棱锥的外接球的体积为34863V R ππ==， 故选：B【点睛】本题主要考查长方体和三棱锥的三视图以及外接球的体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.8.已知直线(),0y kx m k =+<与抛物线2:8C y x =及其准线分别交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若2,FA AB =则m 等于（ ） 3 B. 3 C. 22 D. 26【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线:l y kx m =+过抛物线的焦点,得2m k =-,过A 做AM ⊥准线2x =- ,垂足为M ,由MAB ∠与直线l 倾斜角相等,根据抛物线的定义即可求得tan MAB ∠,即可求得k 的值,进而得m .【详解】抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,因为2,FA AB =所以直线:l y kx m =+过抛物线的焦点,所以02k m =+,即2m k =-,过A 做AM ⊥准线2x =- ,垂足为M ,由抛物线的定义,AM AF =,由MAB ∠与直线l 倾斜角相等且2,FA AB =则1cos 2AM MAB AB ∠== ,则tan 1MAB ∠==因为k 0<∴直线l 的斜率k =即m =故选：B ．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义和同角三角函数的关系,属于中档题．9.若函数()()2,0132,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>⎪=⎨-+-≤⎪⎩在()∞∞-,+上是单调函数，则a 的取值范围是（ ） A. [)1,+∞ B. (]1,3C. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]1,2 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数可知函数()y f x =在区间()0,∞+上为增函数，由此可知该函数在区间(],0-∞上也为增函数，且有0322a e a -≤+，进而可得出关于a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】()()2,0132,0x e x a x f x a x a x ⎧-+>⎪=⎨---≤⎪⎩，当0x >时，()10xf e x ='->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为增函数，由于该函数在()∞∞-,+上是单调函数，则该函数在()∞∞-,+上为增函数，所以010322a a e a ->⎧⎨-≤+⎩，解得13a . 因此，实数a 的取值范围是(]1,3. 故选：B.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了导数的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10.将函数()cos(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位长度可得函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于原点对称，则||ϕ的最小值为（ ）A . 6π B.3π C.23π D.56π 【答案】A 【解析】 【分析】求出平移后函数解析式，由图象关于原点对称，即函数为奇函数，结合诱导公式可得ϕ，从而得出结论．【详解】平移后解析式为()cos[2()]cos(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+，其图象关于原点对称，则,32k k Z ππϕπ-=+∈，56k πϕπ=+，k Z ∈，易知ϕ最小时6πϕ=-．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的奇偶性，掌握诱导公式是解题关键．平移变换时要注意平移单位是对自变量x 而言．11.设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，ln ()()x x f x f x '⋅<-，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,0)(1,)D. (,1)(0,1)-∞-【答案】D 【解析】 【分析】由题得(ln ())0,xf x '<构造函数()ln ()g x xf x =（x ＞0），求出函数的单调性，分析出函数f(x)的取值情况，再解不等式2(1)()0x f x ->得解. 【详解】由题得11ln ()(),ln ()()0x f x f x x f x f x x x⋅<-∴+'⋅<'， 所以(ln ())0,xf x '< 设()ln ()g x xf x =（x ＞0）所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递减. 因为g(1)=ln1f(1)=0,所以在（0,1）上g(x)＞0，因为此时lnx ＜0，所以f(x)＜0， 因为在（1，+∞）上g(x)＜0，因为此时lnx ＞0，所以f(x)＜0. 所以函数f(x)在（0,1）和（1，+∞）上，f(x)＜0. 因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)在区间（-1,0）和（-∞，-1）上，f(x)＞0.所以2(1)()0x f x ->等价于221010,101()0()0x x x x f x f x ⎧⎧->-<∴<-<<⎨⎨><⎩⎩或或. 故选D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性的应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F 过F 2的直线与双曲线左、右两支分别交于点A ，B ，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. y =B. y =C. y =±D.,y =±【答案】B 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义得到22BF a =，114AB AF BF a ===，进而得到226AF AB BF a =+=，再利用余弦定理得到227c a =，再求渐近线方程即可.【详解】如图，1ABF ∆为等边三角形，60A ︒∴∠=，∴设11AB AF BF ==，则21212=a AF AF AB BF AF -=+-2BF =，又由122BF BF a -=，得114BF a AB AF ===，226AF AB BF a =+=， 在12AF F ∆中，利用余弦定理，2221212122cos AF AF A AF AF F F ⋅⋅⋅=+-，则有 222246cos6016364a a a a c ︒⋅⋅⋅=+-，化简得227c a =，则222222271c a b b a a a+===+，得 226b a=，所以，双曲线E 的渐近线方程为6y x = 故答案选：B【点睛】本题主要考查双曲线渐近线的求法，根据题意找到,,a b c 的关系式为解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知x ，y 满足约束条件40,201x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，则3z x y =+的最大值为__________【答案】8 【解析】 分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出z 的最大值.【详解】作出不等式组40201x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，因3+z x y=，所以3y x z=-+，显然直线过40x y-+=与1x=的交点时，z最大，401x yx-+=⎧⎨=⎩，解得15xy=⎧⎨=⎩，此时3358z x y=+=+=，所以，3z x y=+的最大值为8.故答案为：8.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n=___________【答案】11【解析】 【分析】根据平均数公式分别计算得到,m n 的值，再求和.【详解】甲组的平均数11718202220205mx +++++==，解得：3m =乙组的平均数21019202122205n x +++++==，解得：8n =， 所以11+=m n . 故答案为：11【点睛】本题考查根据茎叶图中数据的平均数补全茎叶图，属于基础题型，本题重点考查平均数公式.15.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为,,,a b c sin 2,32sin sin 2b CC a b A C ππ<<=--,2,a =则sin B =则b =______．【解析】 【分析】结合正弦定理化简sin 2sin sin 2b C a b A C =--可知sin sin 2B C =,进而根据32C ππ<<可知2B C π+=,进而得到A C =,再结合余弦定理求解b 即可.【详解】因为sin 2sin sin 2b Ca b A C=--,故sin sin 2sin 2a b A C b C --=,故sin sin 2a A b C =,由正弦定理得sin sin sin sin 2A AB C=,故sin sin 2B C =. 又因为2323C C ππππ<<⇒<<,故()sin sin 2B C π-= ,所以2B C A C π-==+,即C A =.故2c a ==.故222222cos 222226b a c ac B =+-=+-⨯⨯=.故b =.【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意边角互化,并根据所给条件确定合适的正余弦定理.属于中档题.16.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知13a =对任意的正整数n 满足()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+则19a =______．【答案】3.17- 【解析】 【分析】根据数列通项与前n 项和的关系可得()()1cos 211213n n n n a a π+--=--,再累加求和即可. 【详解】由()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+得()()11cos 2213n n n n n a a n a a π++--=-.又因为13a =,故0n a ≠.故()()1cos 211213n n n n a a π+--=--. 故()21cos 113a a π--=-,3211cos 033a a -=-⨯…，191811cos16353a a π-=-⨯. 累加可得1911113573529 (6333333)a a -⨯-=-+-+-==-. 故191117633a =-+=-,故193.17a -= 故答案为：3.17-【点睛】本题主要考查了数列通项与前n 项和的关系,同时也考查了累加求和以及余弦函数的周期性.属于中档题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分 17.已知数列{}n a 是首项14114256a a ==，的等比数列，设()*423log .n n b a n =∈--N （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（Ⅰ）32n b n =-；（Ⅱ）31n nS n =+． 【解析】 【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意求出q 的值，利用等比数列的通项公式可求得n a ，再利用对数的运算性质可求得数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项公式，然后利用裂项求和法可求得n S .【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则341164a q a ==，可得14q =，1114nn n a a q -⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，423log 32n n b a n ∴=--=-；（Ⅱ）由（Ⅰ），得()()111111323133231n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 因此，11111111113447323133131n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关?（2）现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动，①求男、女学生各选取多少人；②若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）①男生选6人，女生选2人；②15 28.【解析】【分析】（1）利用22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++计算结果，通过比较即可判断能否有97.5%的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；（2）①根据分层抽样方法可得，选取的8人中，男生和女生人数；②通过列举，可得出8人中选取两人共有28种情况，而选到2男的共15种情况，利用古典概型概率的求法即可求出结果.【详解】（1）因为22150(30604020)5.357 5.024100508070K⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5％的把握认为参与马拉松赛事与性别有关．（2）①根据分层抽样方法得，男生3864⨯=人，女生2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人．②设抽取的6名男生分别为,,,,,A B C D E F，2名女生为,a b；从中抽取两人，分别记为(),A B ，(,),(,),(,),(,)A C A D A E A F ,(,),(,)A a A b ,(),B C ，(,),(,),(,)B D B E B F ,(,),(,)B a B b ,(,),(,),(,),(,),(,)C D C E C F C a C b ,(,),(,)D E D F ,(,),(,)D a D b ,(,),(,),(,)E F E a E b ,(,),(,),(,)F a F b a b 共28种情况，其中抽取到2名男生的共15种情况， 所以，恰好选到2名男生的概率1528p =． 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，分层抽样的应用以及古典概型概率的求法，属中档题.19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ︒∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，22PB =， 2.AB AC PA ===（1）求证：BD ⊥平面PAC（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若——12P AC PAC D M V V =，求三棱锥P AMB -的体积． 【答案】（1）见解析；（23 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可以证出PA AB ⊥，利用平面与平面垂直的性质可以证出PA ⊥面ABCD ，再通过直线与平面垂直的性质可证PA BD ⊥，通过平面几何知识可证得BD AC ⊥，最后利用直线与平面垂直的判定可证明BD ⊥面PAC ；（2）利用等体积法，将P AMB V -转化成M PAB V -，然后再转化成求三棱锥D APB -的体积，即可得出答案.【详解】（1）证明：由题意222PA AB PB +=，所以90BAP ︒∠=，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 则PA ⊥面ABCD ．BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥，又因120BCD ∠=，ABCD 为平行四边形，则60ABC ∠=，又AB AC =，则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥． 又PAAC A =，则BD ⊥面PAC ．（2）由12M PAC P ACD V V --=，则M 为PB 中点，由2AB AC ==，120BCD ︒∠=，得BD =因此12P AMB M PAB D PAB V V V ---==11122233P ABD V -==⨯= 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的证明，利用等体积法转化求三棱锥体积，属中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，圆2123:C x y +=，圆2C ：224x y +=，椭圆C与圆C 1、圆C 2均相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆C 1相切同时与椭圆C 交于A 、B 两点，求|AB |的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2． 【解析】 【分析】（1）由椭圆C 与圆C 1、圆C 2均相切，可得出椭圆的,a b 与圆C 1、圆C 2半径的关系，进而求出椭圆C 的方程；（2）假设直线l 方程，由直线方程与椭圆C 方程联立，计算出弦长|AB |，根据直线与圆相切需满足的条件进一步求出|AB |的最大值.【详解】（1）由题易知1C 的半径1r =2C 圆的半径22r =．又椭圆与12C C 、同时相切，则212a rb r ==⎧⎪⎨==⎪⎩则椭圆C 的方程：22143x y +=．（2）①当l 斜率为0时，l 与椭圆C 相切，不符合题意． ②当l 斜率不为0时，设l ：x my n =+， 原点到l的距离1d r ===2233n m =+.由22,1,43x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()2223463120m y mny n +++-=，设()()1122,A x y B x y ，，，由韦达定理得： 122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，AB ==可得1AB ==，令t =1t ≥，()g t =3t +1t 在)1+⎡∞⎣，上单调递增， 则1t =，即0m =时，max AB =．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，属较难题. 21.设函数()()2R ln 21,f x x x m x m =+-∈-．（1）当m =6时，求函数()f x 的极值;（2）若关于x 的方程()22f x x =在区间[1，4]上有两个实数解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）极小值3-，极大值9ln 48--；（2）ln 211,12e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭． 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域以及导函数，根据单调性求解出函数的极值； （2）关于x 的方程()22f x x =可化简为ln 1xm x=+，问题转化为直线y m =与函数()ln 1xg x x=+有两个交点，通过研究函数()g x 的图像即可得到答案. 【详解】（1）依题意知()f x 的定义域为()0+∞，， 当6m =时，2()ln 25f x x x x =+-，∴1(41)(1)()45x x f x x x x--=+-='， 令()0f x =，解得1x =或14.则当104x <<或1x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当114x <<，()0f x '<，()f x 单调递减． ∴所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，且极小值为(1)3f =-， 当14x =时，函数()f x 取得极大值，且极大值为19()ln 448f =--．（2）由2()2f x x =，可得ln (1)x m x =-， 又0x >，所以ln 1x m x =-，即ln 1xm x=+． 令()()ln 10xg x x x =+>，则()21ln x g x x-'=， 由()0g x '≥，得1x e ≤≤；由()0g x '≤，得4e x ≤≤， ∴ ()g x 在区间[]1,e 上是增函数，在区间[,4]e 上是减函数． ∴当x e =时函数()g x 有最大值，且最大值为()11g e e=+， 又(1)1g =，ln 2(4)12g =+，∴ 当ln 21112m e+≤<+时，方程在区间[1,4]上有两个实数解． 即实数m 的取值范围为ln 211,12e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求极值，考查方程解的个数问题，属于较难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为C 1:1cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标为(1，0)，曲线22:C ρ=2212.3cos 4sin θθ+ （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点求|PA |+|PB |的取值范围【答案】（Ⅰ）sin cos sin 0x y θθθ--=，22143x y +=； （Ⅱ）[]3,4.【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程和极坐标方程公式化简得到答案.（Ⅱ）将直线参数方程代入椭圆方程得到根与系数关系，再根据12PA PB t t +=-，代入数据根据三角函数有界性得到范围.【详解】（Ⅰ）1cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩，消去t 得到曲线1C 的普通方程为：sin cos sin 0x y θθθ--=， 222123cos 4sin ρθθ=+，()2223cos 412sin θθρ=+，即223412x y +=， 即曲线2C 的普通方程为：22143x y +=.（Ⅱ）将11cos :sin x t C y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入2C ：22143x y +=，化简整理得：()22sin 36cos 90t t θθ++-=，设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、，则()22363631440cos sin θθ∆=++=>恒成立，1212226cos 9,sin 3sin 3t t t t θθθ--+==++，1212212sin 3PA PB t t t t θ∴+=+=-==+ ，[]2sin 0,1θ∈ []3,4PA PB ∴+∈.【点睛】本题考查看了直线的参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用韦达定理求根与系数关系是解题的关键. 23.已知函数()|1||21|f x mx x =++-，m R ∈. （Ⅰ）当3m =时，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）若02m <<且对任意x ∈R ，3()2f x m≥恒成立，求m 的最小值. 【答案】（Ⅰ）44(,)(,)55-∞-⋃+∞；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】（Ⅰ）通过讨论x 的范围，得到各个区间上的x 的范围，取并集即可； （Ⅱ）3()2f x m ≥恒成立等价于3()2min f x m≥恒成立，根据绝对值的意义将函数()f x 表示成分段函数进而求得()min f x ，再解关于m 的不等式即可得解. 【详解】（Ⅰ）当3m =时，()3121f x x x =++-，原不等式()4f x >等价于1354x x ⎧<-⎪⎨⎪->⎩ 或113224x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩ 或1254x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：45x <-或无解或45x >， 所以，()4f x >的解集为44(,)(,)55-∞-⋃+∞； （Ⅱ）02m <<，112m ∴-<，20m +>，20m -<，则1(2),,11()121(2)2,,21(2),2m x x m f x mx x m x x m m x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1(,)m -∞-上单调递减，在11[,]2m -上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增， 所以当12x =时，()f x 取得最小值，1()()122min m f x f ==+， 因为对任意x ∈R ，3()2f x m≥恒成立， 所以3()122min m f x m =+≥， 又因为0m >，所以2230m m +-≥，解得m 1≥（3m ≤-不合题意）．所以m 的最小值为1．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.。
河南省郑州市2020届高三第三次质量预测考试数学试卷含答案
(一)必考题:共 60分
17.(本小题满分 12分)
的内角 A,B,C的对边分别为
(Ⅰ)求 A (Ⅱ)求b＋ac的取值范围 18.(本小题满 12分) 依法纳税是公民应尽的义务,随着经济的发展,个人收入的提高,自 2018年 10月 1 日起,个人所得税起征点和税率进行了调整,调整前后的计算方法如下表，2018年 12月 22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》(以下简称《办 法》),自 2019年 1月 1日起施行,该《办法》指出,个人所得税专项附加扣除,是指 个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租 金、赡养老人等 6项专项附加扣除。简单来说，2018年 10月 1日之前,“应纳税 所得额”=“税前收入”—“险金”—“基本减除费用(统一为 3500元)”—“依法扣除的其 他扣除费用”;自 2019年 1月 1日起,“应纳税所得额”=“税前收人”—“险金”—“基本 减除费用(统一为 5000元)”—“专项附加扣除费用”—“依法扣除的其他扣除费用。 调整前后个人所得税税率表如下:
∴AF⊥平面 BCF.……………5分
又∵AF 平面 ADF，∴平面 ADF 平面 BCF.………………………………6分 （Ⅱ）∵BC∥AD，AD 平面 ADF，∴BC∥平面 ADF.
∵
和
均为等腰直角三角形，且
90°，
∴∠FAB=∠ABE=45°，∴AF∥BE，又 AF 平面 ADF，∴BE∥平面 ADF，
(Ⅰ)当 m=3时,求不等式
的解集:
且对任意 x∈R,
恒成立,求 m 的最小值
一、选择题
DACAB CBDBA CD
二、填空题
13.11；
14.8；
答案