结构力学6
结构力学6 结构位移计算
例 要求利用刚体体系的虚功原理来计算RB？
L/3 P
A
△P △B
B
△B △P
虚位移
RB
P P RB B 0 B P RB B 0 RB P 3 3
四、变形体体系的虚功原理 变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和 等于各微段两侧截面上的内力在其变形上 所作的虚功总和，即外力虚功等于变形虚 功。
ω2 ω2
图 图
ω 11 ω
图 图
解：
I
I
2I I
2I
I
1 3 1 240 4 320, y1 4 3; 3 4
2 4 6 24, y 2
240 480 360； 2
ω
1
ω
3
1 2 8 3 480 4 960，y3 4＝ 。 2 3 3 1 y1 2 y2 3 y3 Ax EI 2 EI EI 8
h
h
l/2
顶点 l/2
形心
L
二次抛物线A=2hl/3 顶点
抛物线 顶点如何 确定？ h h
A=hl/2 a b
5l/8
3l/8
二次抛物线A=2hl/3 顶点 h 3l/4 l/4 二次抛物线A=hl/3
(a+l)/3
(b+l)/3
l
A=hl/2
三、几种常见简单图形的图乘 1、两个梯形图乘：
1 MM P dx EI 1 M (M Pa M Pb )dx EI
1
P1
2
B
△21
（4）虚功的两种状态
虚设力状态 虚设位移状△12
结构力学第六章 力法
四、n次超静定结构的力法典型方程
i1X1 i2 X 2 in X n iP 0(i 1、2、、n)
符号意义同前。 求解内力(作内力图)的公式：
M M1X1 M2X2 Mn Xn M P
FQ FQ1X1 FQ2 X2 FQn Xn FQP
FN FN1 X1 FN 2 X 2 FNn X n FNP 作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。
通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之 以多余力X，而得到静定结构。
规则： 1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束； 2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束； 3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去 掉三个约束； 4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。
10
例： a)
X1
X2
37
2、列 力法方程
1211XX11
12 X 2 22 X 2
1P 2P
0 0
（B 0） （C 0）
讨论方程和系数的物理意义。
q
A
D
Δ1P B
C
A
X1=1
δ11 δ21
D
B
C
A
δ12
X2=1 δ22
D
B C
38
位移方程(力法方程)
ΔφB=0 ——B左右截面相对转角等于零。 ΔφC=0 —— C左右截面相对转角等于零。
d)
原结构
X2
X1
X1
X2
n=2
13
e)
原结构
X1 X1 n=1
f)
原结构
n=3
X1
X3
X2
特别注意：不要把原结
构拆成几何可变体系。此
结构力学第六版李廉锟
结构力学第六版李廉锟结构力学是研究物体在外部力作用下变形和破坏的学科。
它是工程学中重要的基础课程，广泛应用于建筑、桥梁、航空航天、船舶等领域。
李廉锟教授的《结构力学第六版》是一本经典的教材，被广大工程师和学生所喜爱和引用。
这本教材的第六版是在前几版的基础上进行修订和扩充的。
它包括了结构力学的基本原理和方法，并引入了最新的理论和实践应用。
这本教材的主要特点包括：1. 系统化的内容：教材按照结构力学的基本原理和方法进行组织，形成了一个系统的学习框架。
学生可以从基础知识逐步深入，掌握结构力学的核心概念和分析技术。
2. 剖析典型案例：教材通过典型案例的讲解，帮助学生理解和应用结构力学的理论。
这些案例涵盖了不同类型的结构问题，包括静力学、弹性力学、塑性力学等，展示了结构力学在实际工程中的广泛应用。
3. 引入新理论和技术：教材针对结构力学领域的新理论和技术进行了介绍，如有限元分析、结构动力学、结构优化等。
这些新理论和技术对于解决复杂结构问题和提高工程设计的效率具有重要意义。
4. 注重实践应用：教材注重将理论与实践相结合，强调学生对于结构力学知识的实际应用。
通过大量的例题和习题，学生可以巩固所学知识，提高分析和解决实际问题的能力。
这本教材的适用对象包括结构工程专业的本科生和研究生，以及从事结构设计和分析工作的工程师。
它可以作为教学参考书和实践指南，帮助学生和工程师深入理解和运用结构力学的原理和方法。
除了教材的内容和特点，李廉锟教授本人也是结构力学领域的知名专家。
他在结构力学领域的研究和教学经验丰富，多年来培养了大量的优秀结构工程师和学者。
他的教学风格和讲解能力深受学生们的欢迎和赞赏。
综上所述，《结构力学第六版李廉锟》是一本经典的教材，它系统地介绍了结构力学的基本原理和方法，并引入了最新的理论和实践应用。
通过学习这本教材，学生和工程师可以获得扎实的结构力学知识，进一步提高工程设计和分析的能力。
无论是作为教材还是参考书，它都具有重要的教学和实践价值，值得广大读者的阅读和研究。
结构力学6位移法和力矩分配法
△
4、5、6 三个固定端都是不动的点，结点 1
2△
3△
1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其
长度不变，故三个结点均有相同的水平位 移△ 。Biblioteka FP456
(a)
事将实结上构，的图刚(a结)所点示(包结括构固的定独支立座线)都位变移成数
铰目结，点与(图成(为b)铰所结示体铰系结)体,则系使的其线成位为移几数何目不 变是添相加同的的最。少因链此杆，数实，用即上为为原了结能构简的捷独地立确
线定位出移结数构目的(独见立图线b)位。移数目，可以
7
(b)
返回
ZZ1 1
Z 1Z 1
FF11
CC
DD
CC
DD
FF22
BB
BB ZZ2 2
EE Z2Z2
EE
AA
FF
AA
FF
结构有四个刚结点——四个结点角位移。
需增加两根链杆， 2个独立的线位移。
位移法的基本未知量的数目为6个。
需注意：对于曲杆及需考虑轴向变形的杆件， 变形后两端之间的距离不能看作是不变的。
D l
l
1
FC
B
B
F
C
B B
l/ 2 l/2
A
l/ 2 l/ 2
三次超静定图示刚架
力 法：三个未知约束力。 位移法：一个未知位移（θB）。
l
力法与位移法必须满足的条件：
1.力的平衡; 2. 位移的协调; 3. 力与位移的物理关系。
位移法的基本假定：
（1）对于受弯杆件，只考虑弯曲变形，忽略轴向变形和剪切变形的影响。
例如 ( 见图a) 基本未知量三个。
2
3
5
研究生入学专业课结构力学-6
研究生入学专业课结构力学-6(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：10.00)1.图(a)所示结构中杆1的轴力(以拉为正)为______。
（分数：1.00）A.-FP √B.-FP/2C.0D.FP/2解析：[解析] 先求支座反力，再按与几何分柝相反的顺序选取截面，见图(b)，取Ⅰ-Ⅰ截面右侧部分作受力分析，对结点C列力矩平衡方程，求出F NAB =F P，再取结点B作受力分析，易得F N1 =-F P。
2.如图所示结构中杆AB的轴力为______。
（分数：1.00）A.0B.-0.894FPC.-0.5FP √D.-FP解析：3.如图所示结构中，______结构不属于拱结构。
A.B.C.（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] B图结构在竖向荷载下不产生水平推力。
4.三铰拱在向下的竖向均布荷载作用下的合理轴线为______。
（分数：1.00）A.二次抛物线√B.悬链线C.双曲线D.余弦曲线解析：5.三铰拱在匀质、顶面水平的填土荷载作用下的合理拱轴为______。
（分数：1.00）A.二次抛物线B.双曲线C.悬链线√D..圆解析：6.三铰拱在法向均布荷载作用下的合理拱轴为______。
（分数：1.00）A.二次抛物线B.悬链线C.双曲线D.圆弧√解析：7.具有合理拱轴线的三铰拱，距离支座l/4的截面上由结构自重(恒载)引起的内力有______。
（分数：1.00）A.剪力和弯矩B.轴力、剪力和弯矩√C.轴力和剪力D.轴力和弯矩解析：[解析] 合理轴线只对应一种荷载，通常是结构上主要的荷载，而并非结构自重。
在一种荷载下对应的合理轴线，当荷载改变时将不再是合理轴线，弯矩、剪力也就不再等于零。
8.如图所示圆弧三铰拱在静水压力q作用下截面K的内力为______。
（分数：1.00）A.MK不等于0，FQK=0，FNK不等于0B.MK=0，FQK不等于0，FNK不等于0C.MK不等于0，FQK不等于0，FNK不等于0D.MK=0，FQK=0，FNK=-qr(压) √解析：[解析] 圆弧为三铰拱在环向静水压力下的合理轴线。
结构力学课后答案-第6章--力法
习题6-1试确定图示结构的超静定次数。
(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)所有结点均为全铰结点2次超静定6次超静定4次超静定3次超静定II去掉复铰，可减去2（4-1）=6个约束，沿I-I截面断开，减去三个约束，故为9次超静定沿图示各截面断开，为21次超静定I II 刚片I与大地组成静定结构，刚片II只需通过一根链杆和一个铰与I连接即可，故为4次超静定(h)6-2试回答：结构的超静定次数与力法基本结构的选择是否有关？力法方程有何物理意义？6-3试用力法计算图示超静定梁，并绘出M 、F Q 图。
(a)解：上图=l1M pM 01111=∆+p X δ其中：EIl l l l l l l EI l l l l EI 8114232332623232333211311=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯=δEIl F l lF l lF EI l pp p p817332322263231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯=∆0817*******=-EI l F X EI l p p F X 211=p M X M M +=11l F p 61l F p 61F PA2l 3l 3B2EIEIC题目有错误，为可变体系。
+pF p lF 32X 1=1M 图p Q X Q Q +=11p F 21⊕p F 21(b)解：基本结构为：l1M 3l l2M l F p 21pM l F p 31⎪⎩⎪⎨⎧=∆++=∆++0022221211212111p p X X X X δδδδp M X M X M M ++=2211pQ X Q X Q Q ++=22116-4试用力法计算图示结构，并绘其内力图。
(a)l2l 2l2lABCD EI =常数F Pl 2E FQ 图F PX 1X 2F P解：基本结构为：1M pM 01111=∆+p X δpM X M M +=11(b)解：基本结构为：EI=常数qACEDB4a 2a4a4a20kN/m3m6m6mAEI 1.75EIB CD 20kN/mX 1166810810计算1M ，由对称性知，可考虑半结构。
结构力学(第五版)第六章 结构位移计算
相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。
结构力学第六章力法
弯矩图可按悬臂梁画出
M X1 M 1 M P
§6-4 力法计算超静定桁架和组合结构
一 超静定桁架
F Ni l ii EA F N i F N jl ij EA F N i FN P l iP EA
2
桁架各杆只产生轴力,系数
典型方程: 11 X 1 1P 0
9 17 FP , X 2 FP 80 40
叠加原理求弯矩： M X 1 M 1 X 2 M 2 M P
3FPL/40 3FPL/40
FP 9FP/80
23FP/40 FNDC
FQDC 3FPL/80 FQBD
FQCD FNDA
FQBD=-9FP/80
FNBD=-23FP/40
FQDC=3FP/40+FP/2=23FP/40
2 P 3P 0
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 0 X X 0 33 3 32 2
11 X 1 1P 0 X 2 X 3 0
反对称荷载作用下, 沿对称轴截面上正对称内力为0 例: FP FP/2 FP/2 FP/2
1）一般任意荷载作用下
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 33 3 3P 31 1 32 2
11 X 1 1P 0 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X 0 33 3 3P 32 2
M FN
超静定结构的内力分布与梁式杆和二力杆的相对刚度有关。 链杆EA大，M图接近与连续梁，链杆EA小，M图接近与简支梁。 例: 中间支杆的刚度系数为k,求结点B的竖向位移？EI=C
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1 P1=1 2 1 2 P2=1
21
12
据功的互等定理 1· 12=1· 21（－影响系数） 12= 21 即 （6—18） 又如：
A
有 A= fc
↷
A
C
P1=1
B
A
C
B
M=1
fC
30回 返
AB段： MP=
， BC段：
M P=
3. 代入公式（6—7）得
△Ay=
2 qx2 dx qL dx (-x)() ) = + (-L)(2 EI 2 EI
()
14
返回
1. 图乘法: 下面的积分
§6—5 图 乘 法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算
△KP=
当结构符合下述条件时：
y
d=MPdx
2. 虚拟状态的设置
在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设 置相应的虚拟力状态。
例如:
A
实际状态
求△
1 1
B A A A
AH
求
A
A
1
虚拟状态
虚拟状态
求△
1
AB
求
AB
B
1
虚拟状态
虚拟状态
1
广义力与 广义位移
11回 返
§6—4 静定结构在荷载作用下的位移计算 当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故式（6—5）为
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。 变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
P A
△Ay
△Ax
□
△A
A′
2. 位移的分类
线位移： 角位移： 绝对位移
A
(△A)
△Ay △Ax C A △C C′ P △D D′ D B
返回
3
A
相对位移
△CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
QA
MA
MB
QB
MB
qL2 8
20回 返
MA
面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。
当y 所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截
C
1
2
3
y3
1
I1
2
I2
3
I3
y1
y2
y1
y2
y3
△=
(1y1+ 2y2+ 3y3)
△=
21回 返
例 6—2 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。 设EI=常数。
A
MP
面积 M P图 B
（1）杆轴为直线； dx （2）EI=常数； M （和 3） M两个弯矩图中 O B x x A 至少有一个是直线图形。 上述 积分可以得到简化。 设等截面直杆AB段的两个弯矩图中， 为一段直线，MP图为任意 形状， 则上式中的ds可用dx代替。 故有 =xtg,且tg=常数，则 tg tg tg xd xMPdx = xMPdx = 15回 返 EI EI EI
△Kt= △ K=
（6—13）
（6—14）
26回 返
例：6—5 图示刚架施工时温度为20℃，求冬季外侧温度 为－10℃，内侧温度为0℃时A点的竖向位移 △Ay。已知L=4m ， 1 h=0.4m。 =10 t1 －5，各杆均为矩形截面，高度 A L t2 A 1
实
L
虚
化 t2=0℃－20℃=－20℃ 。 t=(t1+t2)/2=－25℃ , △t=t2－t1=10℃ 绘 图， 代入式（6—12），并注意正负号(判断)， 可得
tg xC EI
△KP=
(6－10)
yC EI 16回 返
2. 图乘法的注意事项
（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。
3. 常用的几种简单图形的面积和形心
2L/3
L/3
h
h
a
形心
（L+a)/3
L
b
形心
L
(L+b)/3
（3）反力互等定理： 支座1发生单位位移所引起
的支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支 座1的反力。
△1=1
2
据功的互等定理
1
r12· △1= r21· △2
即
r21
1 2 △2=1
r12= r21
（6—19）
r12
座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力 作用点沿其方向的位移。（略） 31回 返
解： 外侧温度变化 t1=－10℃－20℃=－30℃, 内侧温度变
N图
M图
△Ay
27回 返
§6—7 静定结构支座移动时的位移计算
对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位 移计算公式化简为 （6—15） △Kc= 例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m↓ 水平位移△Bx=0.04m→,已知 L=12m，h=8m。求A 。
（6－7）
（6－8）
3. 组合结构
△KP= （ 6 —9 ） 返 13回
q 1 例 6—1 求图示刚架A点 A B B 的 竖 向位移△Ay。E、A、 x x I为常数。 A` 1. 设置虚拟状态 x 解： 实际状态 虚拟状态 x 选取坐标如图。 C
A
则各杆弯矩方程为:
AB段：
L
L
C
x,
BC段：
2. 实际状态中各杆弯矩方程为
△Kt=
现研究实际状态中任一微段ds, K` t1 △Kt 由于温度变化产生的变形。 dut=(t1ds+t2ds)/2= tds (b) t2 ds K 温度变化不会引起剪切变形，即t=0 将式（ b) 、(c) 代入式（ a)，得 式中 △ t= t2－t1
(a)
PK=1 ds
K
∆tds dt=( t ds t ds)/h= 1 式中 2
yb
d
M图
ya=2/3×c+1/3×d yb=1/3×c+2/3×d 此时 ya=2/3×c－1/3×d yb=2/3×d－1/3×c
MP图
c
ya yb
b
d
M图
19回 返
对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均
可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。 叠加后的抛物线 图形（）与原抛物 线图形（）的面积 大小和形心位臵以及 形心处的竖标仍然是 相同的。
△21
第一状态 M1、N1、Q1、P1、△21
△12
第二状态 M2、N2、Q2、P2、△12
证明如下： 据虚功原理有 W12= P1△12
W12=Wi12 ， W21=Wi21
W21= P2△21
故
P1△12= P2△21（6—16）， 或
W12=W21 （6—17）
29回 返
（2）位移互等定理: 第二个单位力所引起的第一
1. 作MP图 2. 作 图 3. 图乘计算
L
L 2
MP图
qL 8
2
qL2 8
y1=
y3=
y 2= +
qL2 8
1
2
3 y3 y2
L 2
△Cy=
M图
y1
返回
24
1
§6—6 静定结构温度变化时的位移计算 当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生 变形和位移。 设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点 的竖向位移△Kt 。此时由式（6—5）可得PMq源自B dSqRB
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
N+dN Q+dQ
Wi=
（6—2)
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
d
dS
位移状态
dS
9
dx 返 回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由于 ds k Ｒ ３ K′ 荷载、温度变化及支座 k P1 移动等因素引起位移如 du、d、dS N、 M、 Q 图示。 Ｒ １ c 2 求任一指定截面K沿 c1 Ｒ ２ 任一指定方向 k—k上 实际状态－位移状态 虚拟状态－力状态 的位移△K 。
变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上 内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即
W外=W内
或写成
W=Wi
（6—1）
式(7—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功
Wi——内力虚功
返8回
内力虚功的计算
给定力状态 给定位移状态
微段dS上内力的变形虚功为
A RA
17回 返
二次抛物线
L/2
L
顶点
二次抛物线 1=2/3(hL) 2=1/3(hL)
顶点
3L/8
5L/8
1
4L/5 L
2
L/5
18回 返
4 .图乘的技巧 当图形的面积和形心位臵不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。
例如：
a
L
则
b
MP图
c a
ya
△KP=
（ a）
为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、 式中： Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知