2015届高考数学大一轮复习 课时训练69 数学归纳法 理 苏教版

课时跟踪检测(六十九) 数学归纳法
1．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1
(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________. 2．凸n 多边形有f (n )条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线的条数f (n ＋1)与f (n )的关系为________．
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2
＝n 4＋ n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上的项为________．
4．(2014·皖南三校一模)设平面上n 个圆周最多把平面分成f (n )片(平面区域)，则f (2)＝________，f (n )＝________.(n ≥1，n ∈N *)
5．(2014·扬州调研)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 3是⎝⎛⎭
⎫1＋12x m 展开式的前三项的系数．
(1)求⎝⎛⎭
⎫1＋12x m 展开式的中间项； (2)当n ≥2时，试比较1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2与13
的大小．
6.(创新题)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n
(n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．
(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上．
7．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系；
(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．
答 案
1．解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2
， ∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2
. 答案：13n ＋13n ＋1＋13n ＋2
2．解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n －2个顶点连结成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n －1条．
答案：f (n ＋1)＝f (n )＋n －1
3．解析：当n ＝k 时左端为1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋k 2，
则当n ＝k ＋1时，左端为
1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，
故增加的项为(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.
答案：(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2
4．解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f (n )片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，有n 条公共弦，其端点把第n ＋1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f (n ＋1)＝f (n )＋2n (n ≥1)，所以f (n )－f (1)＝n (n －1)，而f (1)＝2，从而f (n )＝n 2－n ＋2.
答案：4 n 2－n ＋2
5．解：(1)⎝⎛⎭⎫1＋12x m ＝1＋C 1m ⎝⎛⎭⎫12x ＋C 2m ·⎝⎛⎭⎫12x 2＋….
依题意a 1＝1，a 2＝12m ，a 3＝m (m －1)8
， 由2a 2＝a 1＋a 3可得m ＝1(舍去)或m ＝8.
∴⎝⎛⎭
⎫1＋12x m 展开式的中间项是第五项， 为T 5＝C 48⎝⎛⎭⎫12x 4＝358x 4.
(2)由(1)知，a n ＝3n －2，
当n ＝2时，1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 2＋1a 3＋1a 4＝14＋17＋110＝69140>13
； 当n ＝3时，
1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2＝1a 3＋1a 4＋1a 5＋…＋1a 9
＝17＋110＋113＋116＋119＋122＋125
＝17＋⎝⎛⎭⎫110＋113＋116＋⎝⎛⎭
⎫119＋122＋125 >18＋⎝⎛⎭⎫116＋116＋116＋⎝⎛⎭
⎫132＋132＋132 ＝18＋316＋332>18＋316＋116>13
. 猜测：当n ≥2时，
1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13
. 以下用数学归纳法加以证明：
①n ＝3时，结论成立，
②设当n ＝k 时，
1a k ＋1a k ＋1＋1a k ＋2＋…＋1a k 2>13
， 则n ＝k ＋1时，
1
a (k ＋1)＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2
＝⎝⎛⎭⎫1a k ＋1a (k ＋1)＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a k 2＋ ⎝⎛⎭⎫1a k 2＋1＋1a k 2＋2
＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋ ⎝⎛⎭⎫1a k 2＋1＋1a k 2＋2
＋…＋1a (k ＋1)2－1a k >13＋ (2k ＋1)3(k ＋1)2－2－13k －2
＝13＋(2k ＋1)(3k －2)－[3(k ＋1)2－2][3(k ＋1)2－2](3k －2)
＝13＋3k 2－7k －3[3(k ＋1)2－2](3k －2)
. 由k ≥3可知3k 2－7k －3>0，
即1
a (k ＋1)＋1a (k ＋1)＋1＋1a (k ＋1)＋2＋…＋1a (k ＋1)2>13. 综合①②可得，
当n ≥2时，
1a n ＋1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n 2>13
. 6．解：(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，
b 2＝－11－4×1＝13
，a 2＝1×13＝13，
∴P 2⎝⎛⎭⎫13，13.
∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113
－1， 即2x ＋y ＝1.
(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．
则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k
＝1， ∴当n ＝k ＋1时，2a k ＋1＋b k ＋1＝1也成立．
由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．
7．解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，
所以f (1)＝g (1)；
当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118
， 所以f (2)<g (2)；
当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216
， 所以f (3)<g (3)．
(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．
②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立．
即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2， 那么，当n ＝k ＋1时，
f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3
， 因为12(k ＋1)2－⎣
⎡⎦⎤12k 2－1(k ＋1)3 ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2
<0， 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2
＝g (k ＋1)． 由①、②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．。