【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-3 第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系]
【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：6-4 第4课时 基本不等式]
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A 组 基础演练1．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2B ．a ＜ab ＜a ＋b2＜b C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b2D.ab ＜a ＜a ＋b2＜b解析：∵0＜a ＜b ，∴a ＜a ＋b2＜b ，A 、C 错误； ab －a ＝a (b －a )＞0，即ab ＞a ，D 错误，故选B. 答案：B2．(2014·青岛模拟)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A.14 B ．4 C.12D ．2解析：由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a ＞0，b ＞0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立． 答案：C3．(2014·泰安模拟)设0＜x ＜2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为( )A ．2 B.22C. 3D. 2解析：∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号． ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值是 2.答案：D4．(2014·曲靖模拟)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．解析：由题意得点A 的坐标为(－2，－1)， ∴2m ＋n ＝1，∴1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (2m ＋n )＝4＋n m ＋4mn ≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当m ＝14，n ＝12时取等号， 故1m ＋2n 的最小值为8. 答案：85．当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号． 答案：16．(2014·四平模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．解析：依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6， 即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎨⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4. 答案：47．(2014·太原二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)＞g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞8．(1)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值； (2)已知a ＞b ＞0，求a 2＋16b (a －b )的最小值．解：(1)由x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＋6＝xy ，得 xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0.又∵xy ＞0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18.(2)∵a ＞b ＞0，∴b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a24， 当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立．∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16.9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·ca b ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ； ca b ＋ab c ≥2ca b ·ab c ＝2a .以上三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . B 组 能力突破1．(2014·东营模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0y ≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为6，则4a ＋6b 的最小值为( )A.256B.253C.506D.503解析：点(x ，y )所满足的可行域如图中阴影部分所示．根据目标函数所表示的直线的斜率是负值可知目标函数只在点A 处取得最大值，故实数a ，b 满足4a ＋6b ＝6，即2a ＋3b ＝3，从而4a ＋6b ＝ 13(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋6b ＝ 13⎝ ⎛⎭⎪⎫26＋12b a ＋12a b ≥13(26＋24)＝503，当且仅当a ＝b 时取等号．从而4a ＋6b 的最小值为50 3.答案：D2．如果0＜a＜b＜1，P＝log 12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，那么P，Q，M的大小顺序是() A．P＞Q＞M B．Q＞P＞MC．Q＞M＞P D．M＞Q＞P解析：因为P＝log 12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝12log12(a＋b)，所以只需比较a＋b2，ab，a＋b的大小，显然a＋b2＞ab.又因为a＋b2＜a＋b(因为a＋b＞(a＋b)24，也就是a＋b4＜1)，所以a＋b＞a＋b2＞ab，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q＞P＞M. 答案：B3．(2013·天津)设a＋b＝2，b＞0，则当a＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1.当且仅当b4|a|＝|a|b且a＜0，即b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．答案：－24．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)， 设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝[9x (x ＋1)＋900]x＋1 800×6＝900x ＋9x ＋10 809 ≥2900x ·9x ＋10 809＝10 989， 当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时取等号．即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉． 设该厂利用此优惠条件后，每隔x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800×0.90 ＝900x＋9x ＋9 729(x ≥35)． 令f (x )＝x ＋100x (x ≥35)，x 2＞x 1＞35， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 2－x 1)(100－x 1x 2)x 1x 2.∵x 2＞x 1≥35，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0,100－x 1x 2＜0， 故f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)， 即f (x )＝x ＋100x ，当x ≥35时为增函数． 则当x ＝35时，f (x )有最小值， 此时y 2＜10 989.因此该厂应接受此优惠条件．。
【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-2 第2课时 空间几何体的表面积和体积
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积 圆柱 S 侧＝2πrh 体积 V＝Sh＝πr2h 1 1 2 V＝3Sh＝3πr h 1 2 2 2 ＝ πr l －r 3
圆锥
S 侧＝πrl
1 V＝ (S 上＋S 下＋ 3 圆台 S 侧＝π(r1＋r2)l S上S下)h 1 2 2 ＝3π(r1＋r2＋r1r2)h 直棱柱 正棱锥 S 侧＝Ch′ 1 S 侧＝2Ch′ (h′为斜高) V＝Sh 1 V＝ Sh 3
∴2πr＝πl ∴l＝2r
表面积为πr2＋πr·l＝3πr2＝3π. r＝1. 答案：2
1．几何体的侧面积和全面积 几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积 与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结 合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面 展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧 面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧 面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆
S 四边形 ABB1A1＝2×10＝20， S 四边形 DCC1D1＝(3＋2＋3)×10＝80， 1 S 四边形 ABCD＝S 四边形 A1B1C1D1＝ ×(2＋8)×4＝20， 2 S 四边形 AA1D1D＝S 四边形 BB1C1C＝10×5＝50， ∴表面积＝20＋80＋2×20＋2×50＝240.
图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，
利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特 别是在求三角形的高和三棱锥的高．
3．有关球的组合体的两种位置：内切和外接 如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方
体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶
点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球 与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题．
【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件7-8 第8课时 立体几何中的向量方法(Ⅱ)
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
【解】 法一：(1)因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD.又 AD⊥ CD，所以 CD⊥平面 PAD，从而 CD⊥PD. 因为 PD＝ 22＋2 22＝2 3， CD＝2， 1 所以三角形 PCD 的面积为 ×2×2 3＝2 3. 2
(2)如图(1)， 取 PB 中点 F， 连接 EF、 AF， 则 EF∥BC， 从而∠AEF(或 其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角． 在△AEF 中， 由 EF＝ 2， π AF＝ 2，AE＝2 知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF＝4. π 因此，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是4.
补． 2．求点到平面距离的方法：(1)垂面法：借助面面垂直的性质来 作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；(2)等体积 法，转化为求三棱锥的高；(3)等价转移法；(4)法向量法．
题型一
求异面直线锥 P－ABCD中，底面ABCD
是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD ＝2， PA＝2.求： (1)三角形PCD的面积；
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60° . 答案：D
(3)求二面角的大小 1° 如图①，AB、CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直 → → 线，则二面角的大小 θ＝〈AB，CD〉 ．
2°如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α， β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－
cos〈n1，n2〉．
对点演练 (1)(教材改编)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，
n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 A．45° C．45° 或 135° B．135° D．90° ( )
【高考领航】2015高考数学(理)一轮课时演练：7-7 第7课时 立体几何中的向量方法(Ⅰ)]
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A 组 基础演练1．平面α的一个法向量为n ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为m ＝(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合解析：∵m ·n ＝2－2＝0，∴m ⊥n ，∴平面α⊥平面β. 答案：C2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：∵α∥β，∴两平面的法向量平行， ∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4. 答案：C3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33解析：AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，经验证只有选项D 中的向量同时垂直于向量AB →和AC →，即为平面ABC 的一个单位法向量． 答案：D4．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对解析：以D 点为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ，依题意，可得，D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM . 答案：C5．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)， b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________. 解析：∵a ·b ＝x －2＋6＝0，∴x ＝－4. 答案：－46．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、 B (8，－1,4)确定的平面上，则a ＝________.解析：P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)． 根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x 、y ∈R )， 则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎨⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.答案：167．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C的位置关系是________．解析：∵正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a3， ∴MB →＝23A 1B →，CN →＝23CA →，∴MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋13B 1C 1→.又∵CD →是平面B 1BCC 1的法向量， ∴MN →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0，∴MN →⊥CD →.又∵MN ⊄平面B 1BCC 1， ∴MN ∥平面B 1BCC 1. 答案：平行8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)．(1)∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形． ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0， 即y ＝233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0， ∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴AE →·CD →＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE →⊥CD →，即AE ⊥CD . (2)法一：∵P (0,0,1)， ∴PD →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，233，－1. 又AE →·PD →＝34×233＋12×(－1)＝0， ∴PD →⊥AE →，即PD ⊥AE . ∵AB →＝(1,0,0)，∴PD →·AB →＝0， ∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ， ∴PD ⊥平面ABE . 法二：AB →＝(1,0,0)， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n . ∵PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .9．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.求证：(1)EF ∥平面P AB ； (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明：(1)以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，PB →＝(1,0，－1)，PD →＝(0,2，－1)，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)，AB →＝(1,0,0)． ∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →，即EF ∥AB ，又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ，∴EF ∥平面P AB . (2)∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，∴DC ⊥平面P AD .∵DC ⊂平面PDC ，∴平面P AD ⊥平面PDC .B 组 能力突破1．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是()A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直解析：建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，NO →＝(－1,0，－2)，AM →＝(－2,0,1)，NO →·AM →＝0，则直线NO 、AM 的位置关系是异面垂直．答案：C2．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥P —ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.112解析：以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间直角坐标系，设BP →＝λBD 1→，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP →·CP→|AP →||CP →|可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.答案：B3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：14．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC .(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：如图，以O 为坐标原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， (1)则AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)． 由此可得AP →·BC →＝0， 所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在点M 满足题意，由(1)知，A 坐标为(0，－3,0)，AP →＝(0,3,4)， 设AM →＝tAP →，AM →＝(0,3t,4t )，(0＜t ＜1)， 则M 点坐标为(0,3t －3,4t )，∴BM →＝(－4,3t －5,4t )，令BM →·AP →＝0，得9t －15＋16t ＝0，∴t ＝35，此时BM ⊥AP ，又由(1)知BC ⊥AP ，且BM ∩BC ＝B ，∴AP ⊥平面BMC ，又AP ⊂平面AMC ，∴平面BMC ⊥平面AMC ，此时AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，|AM →|＝3，故存在线段AP 上的点M ，使平面AMC ⊥平面BMC ，且AM 的长为3.。
2015届高考数学(理)一轮讲义：一轮复习综合验收题精讲(二) 精品讲义
一轮复习综合验收题精讲(二)主讲教师：王春辉 北京数学特级教师选择题注：本讲课程内容较多，故有些题目不在课堂中讲解，没讲到的题目请同学们课下自己练习并对照详解进行自测. 题一：计算120x dx =⎰（ ）． (A)2(B) 1(C)13(D)14题二：圆1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的极坐标方程是（ ）． (A)cos ρθ= (B) 2cos ρθ= (C)sin ρθ= (D) 2sin ρθ=题三：若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）． (A)3- (B) 13- (C) 3 (D)13题四：下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出 //AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）．(A) ①、③ (B) ①、④ (C) ②、③ (D) ②、④题五：已知向量a 1),=b (0,1),=-c (,k =．若a 2-b 与c 共线，则k =（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4题六：在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）．（A ）甲地：总体均值为3，中位数为4 （B ）乙地：总体均值为1，总体方差大于0（C ）丙地：中位数为2，众数为3 （D ）丁地：总体均值为2，总体方差为3题七：ABC ∆中，3||=→AB ，1||=→BC ， =→B AC cos ||A BC cos ||→，则=⋅→→BC AB （ ）．(A)23-或1- (B) 32或1 (C) 23-或2- (D)23或2题八：在ABC ∆中，3,2==AC AB ，D 是边BC 的中点，则=⋅→→BC AD ( )． (A) 5 (B) 25 (C) 23(D) 4题九：函数)(x f )(log 3ax x a -=)1,0(≠>a a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）．(A))1,41[ (B))1,43[ (C)),49(+∞ (D))49,1(题十：设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,3)C t +，(,3)D t ()t ∈R ．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（ ）． （A ）}9,8,6{（B ）}9,8,7{（C ）}8,7,6{（D ）}9,8,7{填空题题一：设不等式组2220x y a x y -⎧⎪⎨⎪+-≥⎩≤≤≤≤0(0)a >确定的平面区域为U ．在区域U 内任取一个点(,)M s t ，已知s t +的最大值为4，则此点到坐标原点的距离不大于2的概率是 .题二：直线1:2)l y x =-关于直线:l y kx =对称的直线2l 与x 轴平行，则k = ．题三：中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日）的对角线走．例如马从方格中心点O 走一步，会有8种走法．则从图中点A 走到点B ，最少需______步，按最少的步数走，共有______种走法．题四：把函数:(1,2,,)k f k i k n →=称为1,2,,n 这n 个整数的一个“置换”，记作：⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i i i n ,,,,2,121，其中},,2,1{n ={n i i i ,,,21 }．置换f 与g 的积（记作g f ）仍为置换，且)]([)(k g f k g f = ，n k ,,2,1 =． （1）1,2,,n 这n 个整数的不同“置换”共 个；（2）求置换的积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= ．解答题题一：(理)在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小；（2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.题二：(文)已知：点P 到定点)0,1(-M 、)0,1(N 的距离之比为2．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．题三：某村子有1000人，因附近工厂有毒物质泄漏，现要对每个人的血液进行化验。
【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件2-1 第1课时 函数及其表示
(一)考纲点击
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 (如图 象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单的应用．
(二)命题趋势
1 ． 以 考查函数的三要素和表示法为主，同时函数的图象、
分段函数也是考查的热点． 2 ．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内 容很重要， 特别是函数的表达式，对以后研究函数的性 质、应用有很重要的作用．
2 2 13 解析：f(3)＝3，f(f(3))＝f(3)＝ 9 . 答案：D
1．两个函数的定义域和对应关系相同时，它们就是同一 (相
等)函数，否则，它们就不相同．
2 ．函数解析式的求法主要有：待定系数法、配凑法、换元 法、构造方程组法．
3．求分段函数应注意的问题：
在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域 的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值 域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并 集． 4 ．在求函数的定义域时，一定要注意：①分式的分母不能 为 0 ；②偶次根式的被开方数大于或等于 0 ；③ 0 的 0 次方
x
1 f(x)的定义域为2，2.
【解析】
|x| 对于 (1) ，由于函数 f(x) ＝ 的定义域为 {x|x ∈ R ，且 x
1，x≥0， g(x)＝ －1，x＜0
x≠0}，而函数
的定义域是 R，所以二者不是
同一函数；对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域的值，则直线 x＝ 1 与 y＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值， 由函数定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，即 y ＝f(x)的图象与直线 x＝1 最多有一个交点；
【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件x4-4-2 第2课时 参数方程
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整 体上消去参数．
2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范 围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和
g(t)的值域，即x和y的取值范围．
3 ．将普通方程化为参数方程，必须结合参数的几何意义把 坐标用参数表示．
(参数 θ
∈[0,2π))，则圆心 C 到直线 l 的距离是________
解析：直线 l 的普通方程为 x－y＋1＝0，圆 C 的方程为(x－1)2＋ y2＝1，其圆心坐标为(1,0)， |1－0＋1| ∴圆心 C(1,0)到直线 l 的距离为 d＝ ＝ 2. 2 答案： 2
3．椭圆的参数方程
x＝acos φ， x2 y2 (1)椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的参数方程是 其中 φ y＝bsin φ，
是参数．
x＝bcos φ， x2 y2 (2)椭圆b2＋a2＝1(a＞b＞0)的参数方程为 其中 φ y＝asin φ，
是参数．
对点演练
x＝5cos θ， ( 教材习题改编 )曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数 )的左焦点的坐标是
________． x 5＝cos θ， 解析：曲线方程化为 y＝sin θ， 3 (－4,0)． 答案：(－4,0) x2 y2 ∴ ＋ ＝1，其左焦点坐标为 25 9
1 1 ＝ ＋ cos 2θ＝cos2θ， 2 2 1 yp＝2sin 2θ＝sin θcos θ(θ 为参数)． 【答案】 (1)m＞10 或 m＜0
2 x＝cos θ (2) y＝sin θcos
θ
(θ 为参数)
【归纳提升】 1.消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件6-2 第2课时 一元二次不等式及其解法
4．简单的分式不等式的解法 fx (1) ＞0⇔f(x)· g(x)＞0； gx fx ≤0⇔f(x)· g(x)≤0 且 g(x)≠0. gx
fx＞0， fx＜0， fx fx≤0， fx (2) ＞0⇔ 或 ≤0⇔ gx gx＞0， gx＜0， gx gx＞0， fx≥0， 或 gx＜0.
，则
ab 等于 ( )
A．－28 C．28
B．－26 D．26
1 b －2＋4＝－a 解析：由已知得 －2×1＝－2 4 a ∴a＝4，b＝7，∴ab＝28. 答案：C
，
(2)已知不等式 x2－2x＋k2－1＞0 对一切实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围为________． 解析：由题意，知 Δ＝4－4×1×(k2－1)＜0， 即 k2＞2，∴k＞ 2或 k＜－ 2. 答案：(－∞，－ 2)∪( 2，＋∞)
题型一 一元二次不等式的解法 已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．
(1)求a，b的值；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
【解】 (1)因为不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x＞b}， 所以 x1＝1 与 x2＝b 是方程 ax2－3x＋2＝0 的两个实数根， b＞1 且 a＞0.由根与系数的关系， 3 1＋b＝a， 得 1×b＝2. a
x－2 1 1 解析：由 ＜1 得 1－ ＞0，即 ＞0，解得 x＜1，或 x x－1 x－1 x－1 ＞2. 答案：C
2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关
系如下表：
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
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A组基础演练1．(2013·安徽)在下列命题中，不是．．公理的是() A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：B、C、D都是公理，只有A不是．答案：A2．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒α⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．答案：D3．(2013·江西)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：如图，∵CE⊂平面ABPQ，CE∥平面A1B1P1Q1，∴CE与正方体的其余四个面所在平面均相交；m＝4；∵EF∥平面BPP1B1，且EF∥平面AQQ1A1，∴EF与正方体的其余四个面所在平面均相交，n＝4，故m＋n＝8，选A.答案：A4．(2014·山西临汾一模)如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，则PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C ．45°D ．30°解析：将其还原成正方体ABCD －PQRS ，显然PB ∥SC ，△ACS 为正三角形，∴∠ACS ＝60°.答案：B5．(2014·石家庄质检)平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．解析：若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面． 答案：1或46．(理科)(2014·南昌一模)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1的中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为________．解析：如图，连接AD1，ED 1，则直线AE 与BC 1所成的角的大小即为∠D 1AE 的大小．设正方体的棱长为2，则AE ＝3，AD 1＝22，D 1E ＝ 5.根据余弦定理可得cos ∠D 1AE ＝9＋8－52×3×22＝22，所以∠D 1AE ＝π4.答案：π46．(文科)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线BD 1与A 1D 所成的角等于________解析：连AD1，则A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AD1∩AB＝A，∴A1D⊥平面D1AB.又∵BD1⊂平面D1AB，∴A1D⊥BD1，∴BD1与A1D所成的角为π2.答案：π27. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 答案：③④8．四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝2∶3，DH ∶HA ＝2∶3. (1)证明：点G 、E 、F 、H 四点共面； (2)证明：EF 、GH 、BD 交于一点．证明：(1)连接GE 、HF ， ∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点， ∴GE ∥AC .又∵DF ∶FC ＝2∶3， DH ∶HA ＝2∶3， ∴HF ∥AC . ∴GE ∥HF .故G 、E 、F 、H 四点共面． (2)由(1)可知GE ＝12AC ，而FH ＝25AC ， ∴GE ≠FH ，∴四边形GEFH 是梯形，GE 与FH 是底边，EF 与GH 是两腰， ∴EF 与GH 不能平行， ∴EF 与GH 相交，设交点为O . 则O ∈平面ABD ，O ∈平面BCD ， 而平面ABD ∩平面BCD ＝BD . ∴EF 、GH 、BD 交于一点．9．(理科)(2014·唐山一模)空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小． 解：取AC 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG 綊12AB ，GF 綊12CD ， 由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.9．(文科)如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，求EF 与CD 所成的角．解：取CB 的中点G ，连接EG ，FG ，∴EG ∥AB ，FG ∥CD .∴EF 与CD 所成角即为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG ，在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2， ∴ sin ∠EFG ＝12.∴∠EFG ＝π6. ∴EF 与CD 所成的角为π6.B 组 能力突破1．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中如图所示，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有三对． 答案：C2．将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到四面体ABCD (如图2)，则在四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直解析：在图1中的等腰直角三角形ABC 中，斜边上的中线AD 就是斜边上的高，则AD ⊥BC ，翻折后如图2，AD 与BC 变成异面直线，而原线段BC 变成两条线段BD ，CD ，这两条线段与AD 垂直，即AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BC . 答案：C3．(理科)(2013·安徽)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13 ④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62解析：如图(1)，当CQ ＝12时，平面APQ 与平面ADD 1A 1的交线AD 1必平行于PQ ，且D 1Q ＝AP ＝52，∴S 为等腰梯形， ∴②正确；同理，当0＜CQ ＜12时，S 为四边形， ∴①正确；如图(2)，当CQ ＝34时， 将正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1补成底面不变，高为1.5的长方体ABCD －A 2B 2C 2D 2.Q 为CC 2的中点，连结AD 2交A 1D 1于点E ，易知PQ ∥AD 2，作ER ∥AP ，交C 1D 1于R ，连结RQ ，则五边形APQRE 为截面S .延长RQ ，交DC 的延长线于F ，同时与AP 的延长线也交于F ，由P 为BC 的中点，PC ∥AD ，知CE ＝12DF ＝1， 由题意知△RC 1Q ∽△FCQ ， ∴RC 1CF ＝C 1QCQ， ∴C 1R ＝13，∴③正确；由图(2)知当34＜CQ ＜1时，S 为五边形，∴④错误；当CQ ＝1时，点Q 与点C 1重合，截面S 为边长为52的菱形，对角线AQ ＝3，另一条对角线为2，∴S ＝62，⑤正确．答案：①②③⑤3．(文科)已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________．解析：①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能．答案：①②④4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．证明：连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又Array H∈B1D，B1D平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线．。