2015年高考陕西卷(文科数学)
2015陕西高考数学试题及答案word版
2015陕西高考数学试题及答案word版2015年陕西省高考数学试题（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合A={x|x^2+x-2=0}，B={x|x^2-3x+2=0}，则A∩B=A. {1}B. {2}C. {1,2}D. {-1,2}2. 若复数z满足z^2+z+1=0，则z的实部为A. -1B. 0C. 1D. 23. 若函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，则f'(x)=A. 3x^2-3B. 3x^2-2C. 3x^2+3D. 3x^2+24. 若直线l：y=kx+b与圆C：x^2+y^2=1相交于点A和点B，且|AB|=√2，则k的取值范围是A. (-∞,-1]∪[1,+∞)B. (-1,1)C. [-1,1]D. (-∞,-1)∪(1,+∞)5. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=3，S6=9，则S9=A. 15B. 12C. 9D. 66. 若a，b，c是等比数列{bn}的连续三项，则A. ac=b^2B. a^2=bcC. ab=c^2D. a^2=c^27. 若函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,+∞)上单调递增，则实数m的取值范围是A. m≥-4B. m≤4C. m≥4D. m≤-48. 若双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√2x，则A. a=bB. a=√2bC. b=√2aD. b=2a9. 若从4名男生和3名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生，则不同的选法种数为A. 35B. 42C. 45D. 4810. 若从52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率为1/4，则A. 有13张红桃B. 有26张红桃C. 有39张红桃D. 有52张红桃11. 若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[1,2]上存在零点，则A. f(1)f(2)<0B. f(1)f(2)>0C. f(1)f(2)=0D. f(1)=f(2)12. 若抛物线C：y^2=2px(p>0)的焦点为F，点P在抛物线上，且|PF|=2p，则点P的坐标为A. (p,2p)B. (p,-p)C. (2p,2p)D. (2p,-p)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2015年陕西省高考数学试卷(文科)教师版
2015 年陕西省高考数学试卷（文科）一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求（每题 5 分，共 60分）1．（5 分）（2015?陕西）设会合M={ x| x2=x} ， N={ x| lgx≤ 0} ，则M∪N=（）A．[ 0，1]B．（0，1]C．[ 0，1）D．（﹣∞， 1]【剖析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，而后利用并集运算得答案．【解答】解：由 M={ x| x2=x} ={ 0， 1} ，N={ x| lgx≤0} =（ 0， 1] ，得 M∪N={ 0，1} ∪（0，1] =[ 0，1] ．应选： A．2．（ 5 分）（2015?陕西）某中学初中部共有110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比比以下图，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．167【剖析】利用百分比，可得该校女教师的人数．【解答】解：初中部女教师的人数为110× 70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，应选： C．3．（5 分）（2015?陕西）已知抛物线y2 =2px（ p＞ 0）的准线经过点（﹣ 1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣ 1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【剖析】利用抛物线 y2（＞）的准线经过点（﹣1，1），求得，即可=2px p0=1求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线 y2=2px（ p＞ 0）的准线经过点（﹣ 1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1， 0）．应选： B．，4．（5 分）（2015?陕西）设 f（ x） =，则f（f（﹣2））=（），＜A．﹣ 1B．C．D．【剖析】利用分段函数的性质求解．，【解答】解：∵，，＜∴f（﹣ 2） =2﹣2= ，f（f（﹣ 2）） =f（）=1﹣= ．应选： C．5．（5 分）（2015?陕西）一个几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【剖析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为 1，高为 2，故该几何体的表面积S=2× π+（2+π）× 2=3π+4，应选： D．6．（5 分）（2015?陕西）“ sin α =cos是α”“cos2 α =0的（”）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件22【剖析】由 cos2α=cosα﹣sinα，即可判断出．22【解答】解：由 cos2α=cosα﹣sin α，∴“sin α=cos是α”“cos2α=0的”充足不用要条件．应选： A．7．（5 分）（2015?陕西）依据如图框图，当输入x 为 6 时，输出的 y=（）A．1B．2C．5D．10【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获取的x 的值，当x=﹣ 3 时不满足条件 x≥0，计算并输出 y 的值为 10．【解答】解：模拟履行程序框图，可得x=6x=3知足条件 x≥ 0， x=0知足条件 x≥ 0， x=﹣3不知足条件 x≥0，y=10输出 y 的值为 10．应选： D．8．（5 分）（2015?陕西）对随意愿量、，以下关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=|| 2D．（）?（） =2﹣2【剖析】由向量数目积的运算和性质逐一选项考证可得．【解答】解：选项 A 恒成立，∵|| =||||| cos＜，＞|，又 | cos＜，＞ | ≤1，∴ || ≤ ||||恒成立；选项B 不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|| ≥||| ﹣||| ；选项C 恒成立，由向量数目积的运算可得（）2=||2；选项D 恒成立，由向量数目积的运算可得（） ?（）=2﹣2．应选： B．9．（5 分）（2015?陕西）设 f（ x） =x﹣sinx，则 f （x）（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【剖析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单一性，从而得出结论．【解答】解：因为 f （x）=x﹣sinx 的定义域为 R，且知足 f（﹣ x）=﹣x+sinx=﹣f （x），可得 f （x）为奇函数．再依据 f ′（ x）=1﹣cosx≥ 0，可得 f（x）为增函数，应选： B．10．（ 5 分）（2015?陕西）设f（ x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（）， q=f（），r=（f （a） +f （b）），则以下关系式中正确的选项是）（A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞ q【剖析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（ lna+lnb），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）= lnab= （ lna+lnb ），q=f（）=ln（）≥ ln（）=p，r= （f（a）+f（b））= （lna+lnb），∴ p=r＜ q，应选： B．11．（ 5 分）（ 2015?陕西）某公司生产甲、乙两种产品均需用A、B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品所需原料及每日原料的可用限额如表所示．假如生产一吨甲、乙产品可获取收益分别为 3 万元、 4 万元，则该公司每日可获取最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A．12 万元B．16 万元C．17 万元D．18 万元【剖析】设每日生产甲乙两种产品分别为x，y 吨，收益为 z 元，而后依据题目条件成立拘束条件，获取目标函数，画出拘束条件所表示的地区，而后利用平移法求出 z 的最大值．【解答】解：设每日生产甲乙两种产品分别为x， y 吨，收益为 z 元，则，，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面地区（暗影部分）即可行域．由 z=3x+4y 得 y=﹣ x+ ，平移直线 y=﹣ x+ 由图象可知当直线y=﹣ x+ 经过点 B 时，直线 y=﹣ x+ 的截距最大，此时 z 最大，解方程组，解得，即 B 的坐标为 x=2， y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每日生产甲乙两种产品分别为2，3 吨，可以产生最大的收益，最大的收益是18万元，应选： D．12．（ 5 分）（2015?陕西）设复数 z=（x﹣ 1） +yi（ x，y∈R），若 | z| ≤ 1，则 y≥x 的概率为（）A．+． +．﹣．﹣B C D【剖析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数 z=（x﹣1）+yi（ x，y∈R），若| z| ≤1，它的几何意义是以（ 1，0）为圆心， 1 为半径的圆以及内部部分． y≥ x 的图形是图形中暗影部分，如图：复数 z=（x﹣1）+yi（ x，y∈R），若| z| ≤1，则 y≥x 的概率：=．应选： C．二 .填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分）13．（5 分）（2015?陕西）中位数为 1010 的一组数组成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为5．【剖析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得 a=5故答案为： 514．（ 5 分）（ 2015?陕西）如图，某港口一天 6 时到 18 时的沟渠变化曲线近似满足函数 y=3sin（φ）+k ．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最x+大值为8．【剖析】由图象察看可得： y min=﹣ 3+k=2，从而可求 k 的值，从而可求y max=3+k=3+5=8．【解答】解：∵由题意可得： y min=﹣3+k=2，∴可解得： k=5，∴y max=3+k=3+5=8，故答案为： 8．15．（ 5 分）（2015?陕西）函数 y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【剖析】求出极值点，再联合导数的几何意义即可求出切线的方程．x x【解答】解：依题解：依题意得y′=e+xe ，令y′=0，可得x=﹣1，∴ y=﹣．所以函数 y=xe x在其极点的切方程y=．故答案： y=．16．（ 5 分）（2015?西）察以下等式：1=1+= +1++= + +⋯据此律，第n 个等式可+⋯+=+⋯+．【剖析】由已知可得：第 n 个等式含有 2n ，此中奇数．其等式右后n 的之和．即可得出．【解答】解：由已知可得：第n 个等式含有 2n ，此中奇数．其等式右后n 的之和．∴第 n 个等式：+⋯+=+⋯+，偶数，偶数．三 .解答：解答写出文字明、明程或演算步（共 5 小，共 70 分）17．（ 12 分）（ 2015?西）△ ABC的内角 A，B，C 所的分a， b，c．向量 =（a， b）与 =（cosA， sinB）平行．（Ⅰ）求 A；（Ⅱ）若 a=，b=2，求△ ABC的面．【剖析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通正弦定理求解A；（Ⅱ）利用 A，以及 a=，b=2，通余弦定理求出c，而后求解△ ABC的面．【解答】解：（Ⅰ）因向量=（ a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以 asinB=0，由正弦定理可知： sinAsinB sinBcosA=0，因 sinB ≠0，所以 tanA=，可得A=；（Ⅱ） a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得 c=3，△ ABC的面积为：=．18．（ 12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD 中， AD∥ BC，∠ BAD=，AB=BC=AD=a，E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE的交点．将△ ABE沿 BE折起到如图 2 中△ A1BE的地点，获取四棱锥 A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明： CD⊥平面 A；1OC（Ⅱ）当平面 A1BE⊥平面 BCDE时，四棱锥 A1﹣BCDE的体积为36，求 a 的值．【剖析】（I）运用 E 是 AD 的中点，判断得出 BE⊥ AC，BE⊥面 A，考虑∥1OC CD DE，即可判断 CD⊥面 A1OC．（ II）运用好折叠以前，以后的图形得出A1O 是四棱锥 A1﹣BCDE的高，平行四2的值．边形 BCDE的面积 S=BC?AB=a，运用体积公式求解即可得出 a【解答】解：（ I）在图 1 中，因为 AB=BC=，E 是AD的中点，=a∠BAD= ，所以 BE⊥AC，即在图 2 中， BE⊥A1O，BE⊥OC，从而 BE⊥面 A1OC，由 CD∥ BE，所以 CD⊥面 A1OC，（ II）即 A1O 是四棱锥 A1﹣ BCDE的高，依据图 1 得出 A1O= AB=a，2∴平行四边形 BCDE的面积 S=BC?AB=a，V==a=a3，由 V= a3=36 ，得出 a=6．19．（ 12 分）（2015?陕西）随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气状况进行统计，结果以下：（Ⅰ）在 4 月份任取一天，预计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从 4 月份的一个晴日开始举行连续2 天的运动会，预计运动会时期不下雨的概率．日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨【剖析】（Ⅰ）在 4 月份任取一天，不下雨的天数是26，即可预计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）求得 4 月份中，前一天为晴日的互邻日期对有16 个，此中后一天不下雨的有 14 个，可得晴日的第二天不下雨的概率，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）在 4 月份任取一天，不下雨的天数是26，以频次预计概率，预计西安市在该天不下雨的概率为；（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴日的互邻日期对有16 个，此中后一天不下雨的有14 个，所以晴日的第二天不下雨的概率为，从而预计运动会时期不下雨的概率为．20．（ 12 分）（ 2015?陕西）如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点 A（ 0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）经过点（ 1，1），且斜率为 k 的直线与椭圆E交于不一样的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2．【剖析】（Ⅰ）运用离心率公式和a， b， c 的关系，解方程可得 a，从而获取椭圆方程；（Ⅱ）由题意设直线 PQ 的方程为 y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可获取结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，联合 a2=b2+c2，解得 a=，所以+y2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ 的方程为 y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，可得（ 1+2k2） x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，设 P（x1，y1），Q（x2， y2）， x1 x2≠0，则 x1+x2=， x1 2，x =且△ =16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞ 0，解得 k＞0 或 k＜﹣ 2．则有直线 AP， AQ 的斜率之和为 k AP+k AQ+==+（﹣）（ +）=2k+（2﹣ k） ?=2k+ 2 k=2k+（2﹣k）?=2k﹣2（k﹣ 1）=2．即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2．21．（ 12 分）（ 2015?西） f n（ x）=x+x2+⋯+x n1，x≥ 0， n∈ N，n≥2．（Ⅰ）求 f n′（2）；（Ⅱ）明： f n（x）在（ 0，）内有且有一个零点（a n），且 0＜a n＜（）n．【剖析】（Ⅰ）将已知函数求，取x=2，获取 f n′（ 2）；（Ⅱ）只需明f n（x）在（ 0，）内有增，获取有一个零点，而后f n （a n）形获取所求．【解答】解：（Ⅰ）由已知， f ′n（x）=1+2x+3x2+⋯+nx n﹣1，所以，①2f ′n（2）=2+2×22+3× 23+⋯+n2n，②，23n﹣1n?2n（）n1，① ②得 f ′（2）=1+2+2+2 +⋯+2= 1 n=2n所以．（Ⅱ）因 f（0）= 1＜0，f n（）=1=1 2×≥12×＞0，所以 f n（x）在（ 0，）内起码存在一个零点，又 f ′n（x）=1+2x+3x2+⋯+nx n﹣1＞0，所以 f n（x）在（ 0，）内增，所以 f n（x）在（ 0，）内有且有一个零点a n，因为 f n（ x）=，所以 0=f n（ a n）=，所以＞，故＜＜，所以 0＜＜．三.在 22、23、24 三中任一作答，假如多做，按所做的第一分[修 4-1：几何明]22．（ 10 分）（ 2015?西）如， AB 切⊙ O 于点 B，直 AO 交⊙ O 于 D，E 两点， BC⊥DE，垂足 C．（Ⅰ）证明：∠ CBD=∠ DBA；（Ⅱ）若 AD=3DC， BC=，求⊙ O的直径．【剖析】（Ⅰ）依据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）联合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵ DE是⊙ O 的直径，则∠ BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠ CBD+∠EDB=90°，即∠ CBD=∠ BED，∵AB切⊙ O 于点 B，∴∠ DBA=∠BED，即∠ CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 均分∠ CBA，则=3，∵BC= ，∴ AB=3，AC=，则 AD=3，由切割线定理得AB2=AD?AE，即 AE=，故 DE=AE﹣ AD=3，即可⊙ O 的直径为 3．[ 选修4-4：坐标系与参数方程 ]23．（ 2015?陕西）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（ t 为参数），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，⊙ C 的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）写出⊙ C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标．2，把【剖析】（ I ）由⊙ C 的极坐标方程为 ρ=2 sin θ．化为 ρ=2代入即可得出；．（II ）设 P，，又C ，．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】 解：（I ）由⊙ C 的极坐标方程为 ρ=2 sin θ．2 22 ，∴ρ，化为 x +y==2配方为 =3．（ II ）设 P ，，又 C ，．∴| PC| ==≥2 ，所以当 t=0 时， | PC| 获得最小值 2．此时 P （3，0）．[ 选修 4-5：不等式选讲 ]24．（ 2015?陕西）已知对于 x 的不等式 | x+a| ＜b 的解集为 { x| 2＜x ＜4}（Ⅰ）务实数 a ，b 的值；（Ⅱ）求+ 的最大值．【剖析】（Ⅰ）由不等式的解集可得 ab 的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式 =+ = + ，由柯西不等式可得最大值．【解答】 解：（Ⅰ）对于 x 的不等式 | x+a| ＜b 可化为﹣ b ﹣a ＜x ＜b ﹣a ， 又∵原不等式的解集为 { x| 2＜x ＜4} ，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+ =+=+ ≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等，∴所求最大值为4。
2015年陕西省高考数学试卷(文科)教师版
2015年陕西省高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93B．123C．137D．167【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．3．（5分）（2015•陕西）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．4．（5分）（2015•陕西）设f（x）=，，＜，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1B．C．D．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，，＜，∴f（﹣2）=2﹣2=，f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．故选：C．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+4【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，故选：D．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．7．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A．1B．2C．5D．10【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=6x=3满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣3不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：D．8．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f （x），可得f（x）为奇函数．再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，故选：B．10．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B．11．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．12．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x 的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．故选：C．二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．【解答】解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：514．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为8．【分析】由图象观察可得：y min=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求y max=3+k=3+5=8．【解答】解：∵由题意可得：y min=﹣3+k=2，∴可解得：k=5，∴y max=3+k=3+5=8，故答案为：8．15．（5分）（2015•陕西）函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，令y′=0，可得x=﹣1，∴y=﹣．因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．故答案为：y=﹣．16．（5分）（2015•陕西）观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为+…+=+…+．【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．∴第n个等式为：+…+=+…+．三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．【解答】解：（I）在图1中，因为AB=BC==a，E是AD的中点，∠BAD=，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O=AB=a，∴平行四边形BCDE的面积S=BC•AB=a2，V==a=a3，由V=a3=36，得出a=6．19．（12分）（2015•陕西）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．【分析】（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，从而估计运动会期间不下雨的概率为．20．（12分）（2015•陕西）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，结合a2=b2+c2，解得a=，所以+y2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，可得（1+2k2）x2﹣4k（k﹣1）x+2k（k﹣2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0，则x1+x2=，x1x2=，且△=16k2（k﹣1）2﹣8k（k﹣2）（1+2k2）＞0，解得k＞0或k＜﹣2．则有直线AP，AQ的斜率之和为k AP+k AQ=+=+=2k+（2﹣k）（+）=2k+（2﹣k）•=2k+（2﹣k）•=2k﹣2（k﹣1）=2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．21．（12分）（2015•陕西）设f n（x）=x+x2+…+x n﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）求f n′（2）；（Ⅱ）证明：f n（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为a n），且0＜a n﹣＜（）n．【分析】（Ⅰ）将已知函数求导，取x=2，得到f n′（2）；（Ⅱ）只要证明f n（x）在（0，）内有单调递增，得到仅有一个零点，然后f n （a n）变形得到所求．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f′n（x）=1+2x+3x2+…+nx n﹣1，所以，①则2f′n（2）=2+2×22+3×23+…+n2n，②，①﹣②得﹣f′n（2）=1+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n==（1﹣n）2n﹣1，所以．（Ⅱ）因为f（0）=﹣1＜0，f n（）=﹣1=1﹣2×≥1﹣2×＞0，所以f n（x）在（0，）内至少存在一个零点，又f′n（x）=1+2x+3x2+…+nx n﹣1＞0，所以f n（x）在（0，）内单调递增，所以f n（x）在（0，）内有且仅有一个零点a n，由于f n（x）=，所以0=f n（a n）=，所以＞，故＜＜，所以0＜＜．三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2015•陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，，又C，．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，，又C，．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．[选修4-5：不等式选讲]24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．【分析】（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等，∴所求最大值为4。
【高考试题】2015年陕西省高考数学试卷(文科)
【高考试题】2015年陕西省高考数学试卷（文科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．1673．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．C．D．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+46．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A．1 B．2 C．5 D．108．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣29．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为．15．（5分）函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．16．（5分）观察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…据此规律，第n个等式可为．三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．21．（12分）设f n（x）=x+x2+…+x n﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）求f n′（2）；（Ⅱ）证明：f n（x）在（0，）内有且仅有一个零点（记为a n），且0＜a n﹣＜（）n．三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．。
普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,含解析).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A考点：集合间的运算.2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．167（高中部）（初中部）男男女女60%70%【答案】C 【解析】试题分析：由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+= 故答案选C 考点：概率与统计.3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.4. 设1,0()2,0xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C考点：1.分段函数；2.函数求值.5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积. 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 【答案】A考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性.7. 根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．10【答案】D 【解析】试题分析：该程序框图运行如下：6330x =-=>，330x =-=，0330x =-=-<，2(3)110y =-+=，故答案选D .考点：程序框图的识别.8. 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.9. 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】 试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数.故答案选B 考点：函数的性质.10. 设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C 【解析】试题分析：1()ln ln 2p f ab ab ab===；()ln 22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab=+=因为2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2a bf f ab +>所以q p r >=，故答案选C考点：函数单调性的应用.11. 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D当直线340x y z+-=过点(2,3)A时，z取得最大值324318z=⨯+⨯=故答案选D考点：线性规划.12. 设复数(1)z x yi=-+(,)x y R∈，若||1z≤，则y x≥的概率（）A．3142π+B．112π+C．1142π-D．112π-【答案】C 【解析】试题分析：2222(1)||(1)1(1)1 z x yi z x y x y=-+⇒=-+≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A,(1,0)B，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-若||1z ≤，则y x ≥的概率211142142πππ-=-⨯ 故答案选C考点：1.复数的模长；2.几何概型.填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5考点：等差数列的性质.14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.【答案】8 【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =， 当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.15、函数xy xe =在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1y e =-考点：导数的几何意义. 16、观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++ …………据此规律，第n 个等式可为______________________.【答案】111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 【解析】试题分析：观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n ++⋅⋅⋅+++. 故答案为111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 考点：归纳推理.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(,3)m a b =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ； (II)若7,2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I)3A π=；(II) 332.试题解析：(I)因为//m n ，所以sin 3cos 0a B b A -= 由正弦定理，得sin sin 3sin cos 0A B B A -=， 又sin 0B ≠，从而tan 3A =，由于0A π<<所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而7,2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为133sin 22bc A =. 解法二：由正弦定理，得72sin sin3Bπ=从而21sin 7B =又由a b >知A B >，所以27cos 7B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+321sin coscos sin3314B B ππ=+=，所以ABC ∆面积为133sin 22ab C =. 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE-.(I)证明：CD ⊥平面1AOC ；(II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE-的体积为362，求a 的值.【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) 6a =.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE = ，又由(I)知，1A O BE⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O是四棱锥1A BCDE-的高，易求得平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A B C D E -的为311236V S A O a =⨯⨯=，由323626a =，得6a =.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE =又由(I)知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ， 即1A O 是四棱锥1A BCDE-的高，由图1可知，12222AO AB a ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE-的为23111223326V S AO a a a =⨯⨯=⨯⨯=， 由323626a =，得6a =.考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空集几何体的体积.19.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.【答案】(I) 1315；(II)78.【解析】试题分析：(I)在容量为30的样本中，从表格中得，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是2613 3015=.(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为147168=，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.试题解析：(I)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是13 15.(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为7 8，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7 8.考点：概率与统计.20．如图，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>经过点(0,1)A-，且离心率为22.(I)求椭圆E的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.【答案】(I) 2212x y +=； (II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题意知2,12c b a ==，由222a b c =+，解得2a =，继而得椭圆的方程为2212x y +=；(II) 设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，化简得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，由已知∆>， 从而直线AP与AQ的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+化简得12122(2)AP AQ x x k k k k x x ++=+-()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.试题解析：(I)由题意知2,12c b a ==，综合222a b c =+，解得2a =，所以，椭圆的方程为2212x y +=.(II)由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=， 由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-. 考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题. 21. 设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥(I)求(2)n f '；(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nna ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭. 【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ；(II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++，此式等价于数列1{2}n n -⋅的前n 项和，由错位相减法求得(2)(1)21n n f n '=-+；(II)因为(0)10f =-<，2222()12120333n n f ⎛⎫⎛⎫=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()n f x 在2(0,)3内至少存在一个零点，又1()120n n f x x nx-'=+++>，所以()n f x 在2(0,)3内单调递增，因此，()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ，由于1()11n n x f x x -=--，所以10()11n n n n n a f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+> 故1223n a <<，继而得111112120222333n nn nn a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++ ①由22(2)12222nn f n'=⨯+⨯++ ②①-②得21(2)12222n nn f n -'-=++++-2122(1)2112n n n n -=-⋅=---，所以(2)(1)21n n f n '=-+(II)因为(0)10f =-<222133222()112120233313nn n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以()n f x 在2(0,)3内至少存在一个零点， 又1()120n n f x x nx -'=+++>所以()n f x 在2(0,)3内单调递增， 因此，()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ，由于1()11nn x f x x -=--，所以10()11nn n n n a f a a -==--由此可得1111222n n n a a +=+>故1223n a <<所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠ (II)若3,2AD DC BC ==，求O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得D B A B E D ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠；(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD ==，又2BC =，从而32AB =，由222AB BC AC =+，解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅，解得6AE =，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠ (II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD ==，又2BC =，从而32AB =，所以224AC AB BC =-=所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD ==，故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.考点：1.几何证明；2.切割线定理.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=.(I)写出C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标. 【答案】(I) ()2233x y +-=； (II) (3,0).【解析】试题分析：(I)由23sin ρθ=，得223sin ρρθ=，从而有2223x y y +=，所以()2233x y +-=(II)设133,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,3)C ，则22213331222PC t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当0t =时，PC取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由23sin ρθ=，得223sin ρρθ=， 从而有2223x y y += 所以()2233x y +-=(II)设133,22P t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又(0,3)C ，则22213331222PC t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当0t =时，PC取得最小值，此时P 点的坐标为(3,0).考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.24. 选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b+<的解集为{|24}x x <<(I)求实数,a b 的值；(II)求12at bt ++的最大值.【答案】(I) 3,1a b =-=；(II)4. 【解析】试题分析：(I)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3,1a b =-=；(II)柯西不等式得31234t tt t -++=-+2222[(3)1t t ≤+-+24t t =-+=，当且仅当413t t-=即1t =时等号成立，故()min3124t t-++=.试题解析：(I)由x a b+<，得b a x b a --<<-则24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b =-= (II)31234t t t t -++=-+2222[(3)1][(4)()t t ≤+-+ 244t t =-+=当且仅当413t t-=即1t =时等号成立， 故()min3124t t-++=考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.。
2015年高考文数真题试卷(陕西卷)
第1页，总13页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2015年高考文数真题试卷（陕西卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)1. (2015·陕西）设集合M={x|x 2=x}，N={x|lgx≤0}，则M N （ ）A . [0,1]B . (0,1]C . [0,1)D . (-,1]2. (2015·陕西）设f(x)=，f(f(-2))=则（ ）A . -1B .C .D .3. (2015·陕西）根据右边框图，当输入x为6时，输出的y=（ ）答案第2页，总13页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A . 1B . 2C . 5D . 104. (2015·陕西）“sin =cos ”是“cos2=0”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件5. (2015·陕西）设f(x)=lnx, 0<a<b ，若p=f()，q=f()，r=(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）A . q=r<pB . q=r>pC . p=r<qD . p=r>q6. (2015·陕西）已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线经过点（-1,1），则抛物线焦点坐标为（ ） A . （-1,0） B . （1,0） C . （0，-1） D . （0，1）7. (2015·陕西）设f(x)=x -sinx ，则f(x)（ ）A . 既是奇函数又是减函数B . 既是奇函数又是增函数C . 是有零点的减函数D . 是没有零点的奇函数8. (2015·陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(陕西卷) (2)
2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西文科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分). 1.(2015陕西,文1)设集合M={x|x 2=x },N={x|lg x ≤0},则M ∪N=( )A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:∵M={0,1},N={x|0<x ≤1},∴M ∪N={x|0≤x ≤1},即为[0,1].2.(2015陕西,文2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为( )A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由性别比例图知,该校女教师的人数为110×70%+150×(1-60%)=77+60=137.3.(2015陕西,文3)已知抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案:B解析:由题意知,该抛物线的准线方程为x=-1,则其焦点坐标为(1,0). 4.(2015陕西,文4)设f (x )={1-√x,x ≥0,2x , x <0,则f (f (-2))=( )A.-1B.14C.12D.32答案:C解析:f (f (-2))=f (14)=1-√14=12.5.(2015陕西,文5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图知,该几何体为半圆柱,故其表面积为S 侧+S 上底+S 下底=(π+2)×2+π=3π+4.6.(2015陕西,文6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α),∴cos 2α=0⇔cos α=-sin α或cos α=sin α,故选A.7.(2015陕西,文7)根据右边框图,当输入x为6时,输出的y=()A.1B.2C.5D.10答案:D解析:由程序框图可得流程如下:x=6→x=3→x=0→x=-3→y=(-3)2+1=10.8.(2015陕西,文8)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误.9.(2015陕西,文9)设f(x)=x-sin x,则f(x)()A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数答案:B解析:∵当x=0时,f(x)=0,∴f(x)存在零点.∵f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sin x)=-f(x),且f'(x)=1-cos x≥0,∴f(x)既是奇函数又是增函数.10.(2015陕西,文10)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(√ab),q=f(a+b2),r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案:C解析:∵f(x)=ln x,∴p=f(√ab)=ln√ab=12(ln a+ln b)=r.又∵0<a<b,∴a+b2>√ab.又∵y=ln x 为递增函数,∴lna+b2>ln √ab ,即q>r ,综上p=r<q.11.(2015陕西,文11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲、乙两产品分别为x 吨、y 吨,由题意知,x ,y 需满足约束条件{3x +2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0,每天可获得利润z=3x+4y.由约束条件画出可行域,如图所示,l 0:y=-34x ,平移l 0得点C ,使z 取得最大值.由{3x +2y =12,x +2y =8,得C (2,3),故z max =6+12=18(万元). 12.(2015陕西,文12)设复数z=(x-1)+y i(x ,y ∈R),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12πB.12+1πC.14-12πD.12-1π答案:C解析:∵|z|=√(x -1)2+y 2≤1,∴(x-1)2+y 2≤1,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1为半径的圆面,如图所示,而y ≥x 所表示的区域如图中阴影部分,故P=π4-12π=14-12π. 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,文13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由等差数列的性质,得a 1+a n2=1 010,故a 1=2 020-a n =5.14.(2015陕西,文14)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin (π6x +φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .答案:8解析:由题中图象知,y min =2=-3+k ,∴k=5.∴函数解析式为y=3sin (π6x +φ)+5,故y max =8.15.(2015陕西,文15)函数y=x e x 在其极值点处的切线方程为 . 答案:y=-1e解析:令y'=(x+1)e x =0,得x=-1,则切点为(-1,-1e).∵函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=-1e .16.(2015陕西,文16)观察下列等式1-12=121-12+13-14=13+141-12+13-14+15-16=14+15+16……据此规律,第n 个等式可为 . 答案:1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+ (12)解析:经观察知,第n 个等式的左侧是数列{(-1)n -1·1n }的前2n 项和,而右侧是数列{1n}的第n+1项到第2n 项的和,故为1-12+13-14+…+12n -1-12n =1n+1+1n+2+…+12n. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,文17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.向量m=(a ,√3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.解:(1)因为m ∥n ,所以a sin B-√3b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B-√3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A=√3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a=√7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3√32. 解法二:由正弦定理,得√7sin π3=2sinB,从而sin B=√217.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2√77. 故sin C=sin(A+B )=sin (B +π3)=sin B cos π3+cos B sin π3=3√2114. 所以△ABC 的面积为12ab sin C=3√32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,文18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1-BCDE.图①图②(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36√2,求a的值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,∠BAD=π2,所以BE⊥AC.即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE, 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图①知,A1O=√22AB=√22a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13×S×A1O=13×a2×√22a=√26a3,由√26a3=36√2,得a=6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,文19)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.解:(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为78.20.(本小题满分12分)(2015陕西,文20)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)经过点A (0,-1),且离心率为√22.(1)求椭圆E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ,Q (均异于点A ),证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解:(1)由题设知c a =√22,b=1,结合a 2=b 2+c 2,解得a=√2. 所以椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)由题设知,直线PQ 的方程为y=k (x-1)+1(k ≠2),代入x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2-4k (k-1)x+2k (k-2)=0. 由已知Δ>0.设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),x 1x 2≠0, 则x 1+x 2=4k(k -1)1+2k2,x 1x 2=2k(k -2)1+2k2.从而直线AP ,AQ 的斜率之和k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-k x 2=2k+(2-k )(1x 1+1x 2)=2k+(2-k )x 1+x 2x 1x 2=2k+(2-k )4k(k -1)2k(k -2)=2k-2(k-1)=2.21.(本小题满分12分)(2015陕西,文21)设f n (x )=x+x 2+…+x n -1,x ≥0,n ∈N,n ≥2. (1)求f n '(2);(2)证明:f n (x )在(0,23)内有且仅有一个零点(记为a n ),且0<a n -12<13(23)n . (1)解法一:由题设f n '(x )=1+2x+…+nx n-1.所以f n '(2)=1+2×2+…+(n-1)2n-2+n ·2n-1, ① 则2f n '(2)=2+2×22+…+(n-1)2n-1+n ·2n .②①-②得,-f n '(2)=1+2+22+…+2n-1-n ·2n=1-2n1-2-n ·2n =(1-n )2n -1.所以f n '(2)=(n-1)2n +1. 解法二:当x ≠1时,f n (x )=x -x n+11-x-1, 则f n '(x )=(1-(n+1)x n )(1-x)+(x -x n+1)(1-x)2,可得f n '(2)=-(1-(n+1)2n )+2-2n+1(1-2)2=(n-1)2n +1.(2)证明:因为f (0)=-1<0,f n (23)=23(1-(23)n )1-23-1 =1-2×(23)n ≥1-2×(23)2>0,所以f n (x )在(0,23)内至少存在一个零点.又f n '(x )=1+2x+…+nx x-1>0, 所以f n (x )在(0,23)内单调递增, 因此f n (x )在(0,23)内有且仅有一个零点a n .由于f n(x)=x-x n+11-x-1,所以0=f n(a n)=a n-a n n+11-a n-1.由此可得a n=12+12a n n+1>12,故12<a n<23.所以0<a n-12=12a n n+1<12×(23)n+1=13(23)n.考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB切☉O于点B,直线AO交☉O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA;(2)若AD=3DC,BC=√2,求☉O的直径.(1)证明:因为DE为☉O直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°.从而∠CBD=∠BED.又AB切☉O于点B,得∠DBA=∠BED,所以∠CBD=∠DBA.(2)解:由(1)知BD平分∠CBA,则BABC =ADCD=3,又BC=√2,从而AB=3√2.所以AC=√AB2-BC2=4,所以AD=3.由切割线定理得AB2=AD·AE,即AE=AB2AD=6,故DE=AE-AD=3,即☉O直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,文23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为{x=3+12t,y=√32t(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2√3sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解:(1)由ρ=2√3sin θ,得ρ2=2√3ρsin θ,从而有x2+y2=2√3y,所以x2+(y-√3)2=3.(2)设P(3+12t,√32t),又C(0,√3),则|PC|=√(3+12t)2+(√32t-√3)2=√t2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,文24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求√at+12+√bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 则{-b-a=2,b-a=4,解得a=-3,b=1.(2)√-3t+12+√t=√3√4-t+√t≤√[(√3)2+12][(√4-t)2+(√t)2]=2√4-t+t=4,当且仅当√4-t√3=√t1,即t=1时等号成立.故(√-3t+12+√t)max=4.。
全国高考文科数学试题及答案陕西卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =U （ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．1673. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 4. 设1,0()2,0xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12D ．325. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要7. 根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（ ）A ．1B ．2C ．5D ．108. 对任意向量,a b r r，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b •≤r r r rB ．||||||||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+r r r rD ．22()()a b a b a b +-=-r r r r r r9. 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 10. 设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 11. 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 12. 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ）A ．3142π+B ． 112π+C ．1142π-D ． 112π- 二.填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.15、函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 16、观察下列等式：1－1122=1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为______________________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =u r与(cos ,sin )n A B =r平行.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2a b ==求ABC ∆的面积.18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -. （Ⅰ）证明：CD ⊥平面1AOC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值.19.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.21. 设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥L（Ⅰ）求(2)n f '；（Ⅱ）证明：()n f x 在20,3⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nn a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O e 于点B ，直线AO 交O e 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . （Ⅰ）证明：CBD DBA ∠=∠（Ⅱ）若3,AD DC BC ==O e 的直径. 23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy 吕，直线l的参数方程为132(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C e的极坐标方程为ρθ=.（Ⅰ）写出C e 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.24. 选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式x a b+<的解集为{|24}<<x x （Ⅰ）求实数,a b的值；.参考答案一、选择题：1.A2.C3.B4.C5.D6.A7.D8.B9.B 10.C 11.D 12.C 二、填空题：13.5 14.8 15.1y e=- 16.111111111 (234)212122n n n n n-+-++-=+++-++ 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=，又sin 0B ≠，从而tan A =， 由于0A π<< 所以3A π=（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 22bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=从而sin 7B =又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin3314B B ππ=+=所以ABC ∆面积为1sin 2ab C =18.解：（Ⅰ）在图1中，因为1,2AB BC AD a E ===是AD 的中点，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥即在图2中，1,BE AO BE OC ⊥⊥， 从而BE ⊥平面1A OC ， 又//CD BE ， 所以CD ⊥平面1A OC（Ⅱ）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE I 平面BCDE BE = ，又由（Ⅰ），1AO BE ⊥， 所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O 是四棱锥1A BCDE -的高，由图1知，122A O AB ==，平行四边形BCDE 的面积2S BC AB a =⋅=， 从而四棱锥1A BCDE -的为由36a =，得6a = 19.解：（Ⅰ）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315（Ⅱ）称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等），这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78. 20.解：（Ⅰ）由题意知12cb a==，结合222a b c =+，解得a =，所以，椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠ 则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k--+==++， 从而直线AP 与AQ 的斜率之和()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.21.解：（Ⅰ）解法一：由题设1()12n n f x x nx -'=+++L ，所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++L ① 则 22(2)12222n n f n '=⨯+⨯++L ② ①-②得21(2)12222n n n f n -'-=++++-L2122(1)2112n n n n -=-⋅=---， 所以 (2)(1)21n n f n '=-+ 解法二：当1x ≠时，1()11n n x x f x x+-=--， 则12(1(1))(1)()()(1)n n n n x x x x f x x +-+-+-'=-可得12(1(1)2)22(2)(1)21(12)n n nn n f n +--++-'==-+- （Ⅱ）因为(0)10f =-<222133222()112120233313nn n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以()n f x 在2(0,)3内至少存在一个零点， 又1()120n n f x x nx -'=+++>L 所以()n f x 在2(0,)3内单调递增， 因此，()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ， 由于1()11nn x f x x -=--， 所以10()11n n n n na f a a -==-- 由此可得1111222n n n a a +=+> 故1223n a << 所以111112*********n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22.解：（Ⅰ）因为DE 是O e 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒ 又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 从而CBD BED ∠=∠又AB 切O e 于点B ， 得DBA BED ∠=∠所以CBD DBA ∠=∠（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD 平分CBA ∠， 则3BA AD BC CD==，又BC =，从而AB =所以4AC == 所以3AD =， 由切割线定理得2AB AD AE =⋅ 即26AB AE AD==， 故3DE AE AD =-=， 即O e 的直径为3.23.解： （Ⅰ）由ρθ=， 得2sin ρθ=，从而有22x y +=所以(223x y +-=（Ⅱ）设132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又C ，则PC == 故当0t =时，PC 取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0).24.解： （Ⅰ）由x a b +<，得b a x b a --<<-则24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b =-===1t=时等号成立，故max4 =。
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2015年陕西高考数学试题（文）
整理 王志军 2015/6/17
一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）
A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．[0,1)
D ．(,1]-∞
2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）
A ．93
B ．123
C ．137
D ．167
3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1)
4.
设10
()2,0
x
x f x x ⎧≥⎪=⎨
<⎪⎩，则((2))f f -=（ ）A ．1- B ．14 C ．12 D ．32 5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+
6. “sin cos αα=”是“cos 20α=”的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要
（高中部）
（初中部）
男
男
女
女
60%70%
7. 根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．10
8. 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A. ||||||a b a b ∙≤ B.||||||||a b a b -≤-
C ．22()||a b a b +=+
D ．2
2
()()a b a b a b +-=- 9. 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）
A ．既是奇函数又是减函数
B ．既是奇函数又是增函数
C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数
10. 设()ln ,0f x x a b =<<
，若p f =，()2a b q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q =>
11. 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
12. 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．
3142π+ B ． 112π+ C ．1142π- D ． 112π
- 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (
6
π
x ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.
15、函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 16、观察下列等式：
1－1122
= 1－1111123434
+-=+
1－1111111123456456
+-+-=++
…………
据此规律，第n 个等式可为______________________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）
17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行.
(I)求A ；
(II)若2a b ==求ABC ∆的面积.
18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2
AD BC BAD AB BC π
∠=
=1
2
AD a =
=，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到
四棱锥1A BCDE -.
(I)证明：CD ⊥平面1
AOC ；
(II)当平面1A BE ⊥平面
BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值.
19.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2
.
(I)求椭圆E 的方程；
(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
21. 设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =++
+-∈≥
(I)求(2)n f '；
(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233n
n a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭.
考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑. 22. 选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠
(II)若3,AD DC BC ==O
的直径.
23. 选修4-4：(坐标系与参数方程)在直角坐标版权法xOy 吕，直线l
的参数方程为
132(x t t y ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标
方程为ρθ=.
(I)写出C 的直角坐标方程；
(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.
24. 选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << (I)求实数,a b 的值；
(II)
.。