(整理)高等数学习题答案4

四、导数的应用1. 验证函数()ln sin f x x = 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.解：()lnsin f x x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛65,6ππ上可导，且 2ln 656-=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f ，显然满足罗尔定理的三个条件. ()x x x f sin cos '=，若令()0'=ξf ，则有2πξ=. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ[]2(1)()1,1,1x f x =--e解：()1)1(1-==-e f f ，且连续、可导，满足罗尔定理中的三个条件. ()22'x xe x f =，若令()0'=ξf ，则有0=ξ.[](2)(),0,21f x x =-解：函数在1=x 点的导数不存在，故不满足罗尔定理的条件.[]sin ,0π(3)()0,π1,0x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解：函数在0=x 点不连续，故不满足罗尔定理的条件.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解：0)2()1(==f f ，根据罗尔定理知：存在)2,1(1∈ξ，使得0)('1=ξf ;同理0)3()2(==f f ，根据罗尔定理知：存在)3,2(2∈ξ，使得0)('2=ξf ; 又由于)('x f 是二次方程，最多只有两个不相等的实根， 故0)('=x f 的两个实根分别为)2,1(1∈ξ，)3,2(2∈ξ.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性. 解：割线的斜率301)0()1(=--=f f k ，23)('2+=x x f ，若令()3'=ξf ，则有33=ξ. 5. 已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0)()(==b f a f ,试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈证明：构造函数)()(x f e x F x=，显然)(x F 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且0)()(==b F a F ，根据罗尔定理：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξF ， 进而得到()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈. 6. 若方程10110n n n a x a x a x --+++=有一个正根0x ,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根.解：令x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ，方程10110n n n a x a x a x --+++=有正根0x ，即0)(0=x f ，同时0)0(=f ，得到)0()(0f x f =，根据罗尔定理，存在),0(0x ∈ξ，使得0)('=ξf ， 即12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根.7. 设()()()f a f c f b ==,且a c b <<,()f x ''在[],a b 上存在，证明在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=解：)()(c f a f =，根据罗尔定理：存在),(1c a ∈ξ，使得0)('1=ξf ;)()(c f b f =，根据罗尔定理：存在),(2b c ∈ξ，使得0)('2=ξf ;由)("x f 在],[b a 上存在，得到)('x f 在],[b a 上连续且可导，又0)(')('21==ξξf f ，根据罗尔定理知：存在),(21ξξξ∈，使得0)("=ξf . 8. 利用洛必达法则求下列极限. (1) sin3limtan5x xx π→53-= (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---21=(3) lim m m n n x a x a x a →--nm a nm -=(4)0lim sin ln x x x +→ 0= (5) 0e 1lim()e 1x x x x →--23=(6) 1lim(1sin )xx x →+e =(7) 2lim (arctan )πx x x →+∞π2-=e(8)2120lim e x x x → +∞→(9) lim )x x →+∞31=(10) 1101lim (1)e xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦21-=e921lim1x x mx nx →++-=5,求常数m ,n解：由5212lim 1lim121=+=+=-++→→m mx x n mx x x x ，得到3=m ; 由01lim 21=++=++→n m n mx x x ，得到4-=n .10．设f (x )具有二阶连续导数，且f (0)=0,试证g (x )= (),0'(0),0f x x x f x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩解：当0≠x 时，2)()(')('x x f x x f x g -=，显然)('x g 连续; 当0=x 时，)0("212)0(')('lim )0(')(lim )0('00f x f x f x f x x f g x x 导数定义洛必达法则=-=-=→→;)0("212)("lim 2)(')(')("lim )()('lim )('lim 00200f x f x x f x f x x f xx f x x f x g x x x x ==-+=-=→→→→ )('x g 在0=x 点的函数值和极限值相等，故在0=x 点也连续;综上得到)(x g 可导，且导函数连续.11．求下面函数的单调区间与极值(1)32()26187f x x x x =---解：单调增区间为)1,(--∞，),3(+∞; 单调减区间为)3,1(-;(2)()ln f x x x=-解：单调增区间为),1(+∞; 单调减区间为)1,0(;12. 试证方程x x =sin 只有一个根.解：构造函数x x x f -=sin )(，显然)(x f 连续.0212>+-=⎪⎭⎫⎝⎛-ππf ，0212<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππf因此022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f ，根据零点定理：存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππξ，使得0)(=ξf . 又01cos )('≤-=x x f ，)('x f 只在一些孤立点上的值为0，因此)(x f 严格单调递减，只能存在唯一的一个根.13. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明()f x x在[0,)+∞内也单调增加.解：令xx f x F )()(=，则 22)]0()([)(')()(')('xf x f x x f x x f x x f x F --=-= x f x f xx f x x f )(')(')(')('2ξξ-=-=柯西中值定理， 其中()x ,0∈ξ 由于函数)('x f 在],0[+∞单调递增，故0)('>x F ，即)(x F 单调增加. 14.证明下列不等式(1) 1+12x x ＞0； 解：构造函数x xx f +-+=121)(0,012121)('>>+-=x xx f ，即函数)(x f 单调增加，且0)0(=f ，则 0,0)(>>x x f 时恒成立，即证.(2) x -22x ＜ln (1+x )＜x , x ＞解：构造函数)1ln()(x x x f +-=构造函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=2)1ln()(2x x x x g15. 试问a 为何值时，1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解：x x a x f 3cos cos )('+=，令03'=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则2=a ; 033"<-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，该点是极大点. 16.讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点： (1)23y x x =- 解：062"=-=x y ，31=x 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈31,x 时，0">y ，函数下凸;当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,31x 时，0"<y ，函数上凸;拐点为⎪⎭⎫⎝⎛272,31.(2) 2ln(1)y x =+ 解： (3) =e xy x解：17.利用函数的凸性证明下列不等式：(1) e e 2x y+＞2e x y+， x ≠y解：构造函数x e x f =)(，0)(">=xe xf ，得到函数)(x f 下凸;根据下凸的定义有：2)()(2y f x f y x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+， 即22yx y x e e e+<+.(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln 2x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y解：构造函数x x x f ln )(=18． 当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3x +b 2x 的拐点． 解：23-=a ，29=b复习题四一、填空1．设2)(x x f =，则在x x x ∆+,之间满足拉格朗日中值定理结论的=ξ2xx ∆+. 2．设函数)(x g 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使=-)()(a g b g e e))((')(a b g e g -ξξ 成立．3．)0,0()(≥>=-x n e x x f xn的单增区间是),0(n ，单减区间是),(+∞n . 4．若点)34,1(为曲线b x ax y +-=23为拐点，则 a =31，=b 32． 5．曲线11+-=x x y 的水平渐近线为1=y ，铅垂渐近线为1-=x ． 二、选择1．函数)(x f y =具有下列特征：,0)0(',1)0(==f f 当0≠x 时，0)('>x f⎩⎨⎧>><<=0,00,0)(''x x x f ，则其图形为 B（A ）（B ）（C ）（D ）2．设)(x f 在],[b a 上连续，)()(b f a f =，且)(x f 不恒为常数，则在),(b a 内 A（A ）必有最大值或最小值 （B ）既有极大值又有极小值（C ）既有最大值又有最小值 （D ）至少存在一点ξ，使0)('=ξf三．求极限.)1ln()21(lim 2210x x e xx ++-→解：洛必达法则得到极限为1.四．证明：当20π<<x 时，有x x x 3sin 2tan >+成立．解：x x x x f 3sin 2tan )(-+=，3cos 2sec )('2-+=x x x f20,0cos cos 1sin 2sin 2tan sec 2)("332π<<>-=-=x xx x x x x x f ，故有)('x f 单调递增，0)0('=f ，得到0)('>x f ，函数)(x f 单调递增且0)0(=f ，得到0)(>x f ，即证. 五. 设,],,[)(b d c a b a C x f <<<∈且证明],,[b a ∈∃ξ 使).()()()(d f c f f βαξβα+=+解：设函数)(x f 在],[b a 上的最小值和最大值分别为)(min x f 和)(max x f ，不妨设)()(d f c f ≤，则有)(max )()()(min x f d f c f x f ≤≤≤，)(m in )()()()()(x f c f c f c f d f c f ≥=+++≥+++βαββααβαββαα)(m ax )()()()()(x f d f d f d f d f c f ≤=+++≤+++βαββααβαββαα根据介值定理，],[b a ∈∃ξ，使得)()()(d f c f f βαββααξ+++=.。