1.2.2函数的表示法(一)
1.2.2函数的表示法课件人教新课标
的三种表示法表示函数 y f (x)
。
例2．（书P20）下表是某校高一（1）班三名 同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级 平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 张城 赵磊
班级 平均分
98 90 68 88.2
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
优点：不需要计算就可以直接看出与自变 量的值相对应的函数值.
⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相 应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通 过图象来研究函数的某些性质.
二．例题讲授：
例1（书P19）.某种笔记本的单价是5元，买 x
四、作业
P24 A组7、8、9 B组3、4 补充：作出分段函数
y 2x 1 x 2 (3 x 3)
的图像并求值域。
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
练习：
x 2(x 1)
1．在函数
f
(x)
x
2
(1
x
2)
中，若 f (x) 3
2x(x 2)
则x的值为 。
3x2 2 (x 0)
1.2.2 函数的表示法(一)
一、讲授新课：
函数的表示方法 ⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表 达式，简称解析式.
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关 系；二是可以通过解析式求出任意一个自变 量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数 主要是用解析法表示的函数.
人教版高中数学必修一1.2.2函数的表示法 (1)ppt课件
例5、下列映射是不是A到B的一一映射？
A
B
A
B
f
1
3
f
1
3
2
5
3
7
5 2
7
3
9
4
9
4
1
(1)
(2)
解：（1） 是
（2） 不是。由于B中元素1在集合A中没有原像
例6、 下列对应是不是A到B的映射？ 1 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} ，f:乘2加1 2 A=N+，B={0,1} ，f: x 除以2得的余数 3 A=R+，B=R，f:求平方根 4 A={x|0≤ x<1}，B={y|y≥1} f:取倒数
5 , 1 5 < x 2 0 , 2 1
图公交车票价.gsp
05
10
15
20
我们把上述两例中的函数叫做分段函数: 即分区间定义的函数. 分段函数的图象要分段作出!
注意: （1）有时表示函数的式子可以不止一个，对于分几个 表示的函数，不是几个函数，而是一个函数,我们把它 分段函数.
（2） 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 线、离散的点等等。
注意：解析法表示函数是中学研究函数的主要表示方法;用 法表示函数时,必须注明函数的定义域.
2.图像法：用函数图像表示两个变量之间的对应关系。
如:心电图，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变 化的曲线，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.
例如： 我国人口出生率变化曲线：
图像法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
(1)对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数 (x,y)和它对应；
1.2.2-函数的表示法(要用)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
人教高中数学必修1课件：1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法精讲优练课型
1.2. 2函数的表示法第1课时函数的表示法【即时小测】1 •思考下列问题: ⑴所有的函数都能用列表法来表示吗?提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y二2x+l f xe R.因为自变量X w R不能一一列出，所以不能用列表法来表示•(2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?提示:函数的走义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候L般要写出函数的定义域.2・已知函数f(x)由下表给出:则f(f(2))= ____________【解析】由表格可知十⑵二4所以f(f⑵)=f⑴二0・答案：03・CU咨 f (x —l)"(x —l)2』=f(X)3晝聖【sm ffiXIlHbpMIXHt+l、s u w (t T t 2・0H (x T x 2・嘯4.已知函数y=f (x)的图象如图所示,则其定义域是3~~03^【解析】因为函数y二f(x)图象上所有点的横坐标的取值范围是[23]，所以其定义域为[么3]・答案:[23]5.已知f (n) =2f (n+1), f (1) =2,则f (3)= 【解析】f(n) = 2f(n + l),f(l) = 2, 所以俭)= 2f(2)=4f⑶，故f⑶二( 答案：2 2【知识探究】知识点函数的三种表示方法观察如图所示内容，回答下列问题：（函数的表示方法）——（图象法）问题1 ：应用三种方法表示函数时应注意什么问题?问题2:函数的三种表示方法各有什么优缺点?【总结提升】1 •对函数三种表示法的说明列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示•在应用三种方法表示函数时要注意：⑴解析法:必须注明函数的定义域(2)列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.⑶图象法:是否连线.2.函数三种表示方法优缺点比较"能形象、直观地表示壓函数的变化情况点 小、 只能近似求出自变量所对应的函数值，而 R 有时误差较大 K ____________ /【题型探究】类型一待定系数法求函数解析式【典例】1.已知f(X)是一次函数，且f (f (x)) =4x+3,则函数f(X)的解析式为_____________ ■2.已知二次函数y=f (x)的最大值为13,且f(3)=f(-l)=5,求f (x)的解析式.【解题探究】1•典例1中一次函数解析式的形式是什么? 提示:一次函数解析式的形式为f(x)二ax+b (a工0) •2.典例2中二次函数的一般形式是什么?提示:二次函数的一般形式是f(x)二ax?+bx+c (a H 0) •【s s】l ・ffi f (x T ax +b (a H O )・ m=f (fH +b T爾糊f s H 2X +一烘f (X)H —w x —w2•方法一:利用二次函数的一般式求解.设f(x)=ax2+bx+c(a^0).由条件知，点⑶5),(也5),("3)在f(x)的图象上9a+3b+c = 5, fa = -2所以a — b+c = 5,所以f的斤邂时x+lg = ii方法二:利用二次函数的顶点式求解.由f(3)=f(・l),可知:对称轴为x“，又最大值为D故可设f(x)二a(x・l)2+13.将f⑶=5代入得a=2・所以f(x) = -2(x-l)2+13jpf(x) = -2x2+4x+ll.【方法技巧】待定系数法求函数解析式(1)适用范围：已知所要求的解析式f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数.(2)待定系数法求函数解析式的步骤:①设出所求函数含有待定系数的解析式;③解方程或方程组,得到待定系数的值；④将所求待定系数的值代回所设解析式.【变式训练】已知二次函数f (X )的图象过点A(0, -5), B (5, 0),其对称 轴为x=2,求其解析式.【解析】因为抛物线的对称轴为x=2, 所以设二次函数的解析式为f(x)=a(x-2)2+k(a^O).把(0,-5),(5,0)分别代入上式得丽劇嗨斛*9・ 龈敲MX 』"，类型二换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【典例】求满足下列条件的函数f(x)的解析式.(1)函数f(X)满足f ( +l)=x+2 .(2)函数f (x)满足2f 占)+f (x) =x《HO).1X【解题探究】1.典例⑴中的5 +1)中的低+1与x+2低能否建立联系?提示:典例⑴中的X+2 =( +1)2-1.2 •典例(2)中x和有越关爲1提示:互为倒数关黍・(1£)「益(3欝“人1:埠只Ig lx V ^.J (T :+r (T +)J M £ V0+x只因：(+s2e H +s g(一丄jpex) J XH (X )J E5£ rH」u z +z(I £H e 4M £"(IeHxliio 存g芥企 叟+W IK ®l 4W 运(I⑵由题意知f(x) + 2f( i=x f令X二(tHO) fx t则i=t f则f(卅2f(t)二a即班？+2f(x)・(于是得剧关于f(肯f(x)的方程自—i ■x X Xf(x) + 2f』) =xf(-) + 2f(x) = I 2 x1解得f(x)拄-°)・XXX【延伸探究】1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f(+l)=x+2 “f(2x-l)p2+x+l”，则f(x)的解析式是什么？【解析】设2x-l=t f则X二t+1所以f(t)二亍Q nX/、t+1 ° t+1 7即f(x)二一r+一+i 二一+t+—.2 2 4 41 97一x~+x -一・4 42.(变换条件)典例(1)中若将条件“f (低+ l)=x+2低”变为“f(l+ 1 )=i+x21 ”，则f(x)的解析式是什么？【解析】平(1 + * X1+?]因為寻岂占诫溜胡析幽)+hf(x)=x24c+ 1 , XG(-OO f 1) U (1 , +8).X【方法技巧】换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路⑴已知f (g (x)) =h (x),求f (x),常用的有两种方法：①换元法，即令t=g (x),解出禺代Ah(x)中,得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意:换元后新元的范围②配凑法，即从f (g(X))的解析式中配凑出即用g(x)来表示h (x),然后将解析式中的g (x)用x代替即可.(2)方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.【补偿训练】已知f(x-l)=xMx-5,则f(x)的解析式是()【解析】选A.方法一:设t 二则x=t+l,因为f(x-l)=x2+4x ・5, 所以 f(t) = (t+l)2+4(t+l)-5=t 2+6t ff (x)的解析式是f (x)=x 2+6x.方法二:因为 f (x-1)=x 2+4x- 5=(x-1)2+6 (x-1),所以 f(x)=x 2+6x. 所以f (X )的解析式是f (X )二x2+6x.A. f (x) =x 2+6xC. f (x) =x 2+2x-3 B. f (x) =x 2+8x+7 D. f (x) =x 2+6x-10类型三函数的图象及其应用【典例】作出下列函数的图象:(1)y=2x+l, x G [0, 2]・(2)y=x2-2x, x E [0, 3) •(3)y=.【解题探究】典例中可以使用什么方法来画函数图象? 提示:典例中函数的图象可通过描点法来画.1X【解析】⑴当x=0时"二1;当x=2时"二5・所画图象如图(1)所示.⑵因为0<x<3f所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0«xv3 之间的一部分，如图(2)所示.⑶函数图象如图⑶所示・图(1)----------- i―I——>0 2 X图⑵图⑶【方法技巧】描点法作函数图象的步骤及关注点(1)步骤：①列表:取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示;②描点:在平面直角坐标系中描出表中相应的点;③连线:用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象・(2)关注点:①画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等•要分清这些关键点是实心点还是空心点.【变式训练】作出函数尸x2-2x-2, xG [0, 3]的图象并求其值域.【解析】因为y=（x-l）2-3f所以函数y二x^2x・2的对称轴为x=4顶点为（1厂3）涵数过点（0厂2）®）,具图象如图所示.由图象知函数的值域为[乜1]・• -1 - •【补偿训练】画出函数图象:y=x2-2, xWZ且|x| W2・【解析】因为y=x2・2,xwZ且|x|s2,所以x二・2厂:L,0丄2;对应y的值为2・—2厂12图象如图:\y■-2 -1 0 1 2*■2r • -1 - •易错案例换元法求函数解析式【典例】已知f (x 2+2) =x 4+4x 2,则f (x)的解析式为_严识$【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错哪里吗?)专牛十44，d'化力十？ mt"提示:错误的根本原因是忽略了函数f(x)的走义域上面的解法看上去似乎是无懈可击撚而从具结论间f(x)二x?・4来看，并未注明f(x)的走义域，那么按一般理解，就应认为直走义域是全体实数.但是f(x)=x2・4 的定义域不是全体实数.【自我矫正】因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2・4, 令t=x2+2(tn2),则f (t)=t2-4(t>2)f所以f(x)=x2・4(xn2).答案:f(x)=x2-4(x>2)【防范措施】关注换元法求函数解析式时对定义域的要求任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成•所以, 当函数f (g (x)) 一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定•因此，我们由f (g (x))求f (x)时,求得的f (x)的定义域就理应与f (g (x))中的f的“管辖范一致才妥. 围”课时撮井作此/点击进入Word版可编辑套题。
必修一1.2.2函数的表示法1[PPT课件]人教版高中数学
![必修一1.2.2函数的表示法1[PPT课件]人教版高中数学](https://img.taocdn.com/s3/m/9c26b22ccc17552706220807.png)
三种表示方法的特点
解析法 ①函数关系清楚、精确；
②容易从自变量的值求出其对应的函数值； ③便于研究函数的性质.
解析法是中学研究函数的主要表达方法.
图象法 能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今
后利用数形结合思想解题的基础.
列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函
数的对应值，当自变量的值的个数较少时使 用. 列表法在实际生产和生活中有广泛的应用.
2.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:能直观地表示出函数的变化情况。
3.列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 试用列表法表示角的正弦、余弦.
角度 00 300 450 600 900
正弦 0
1 2
2 2
3 2
1
角度 00 300 450 600 900
余弦 1
3 2
2 2
5．画出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝x2－2x(－1≤x<2)．
解析： (1)当 x＝0 时，y＝1； 当 x＝2 时，y＝5. 所画图象如图 1 所示．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1， 当 x＝－1 时，y＝3. 当 x＝0 时，y＝0. 当 x＝1 时，y＝－1. 当 x＝2 时，y＝0.所画图象如图 2 所示．
是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成
绩在稳步提高.
例 4.作出下列函数的图象： (1)y＝1＋x(x∈Z)； (2)y＝x2－2x(x∈[0,3))； (3)y＝1x.
[思路点拨] (1)函数的定义域是整数集，因此函数 的图象是一些点；(2)只需画出二次函数在区间 [0,3)上的图象即可；(3)根据函数解析式，函数是 反比例函数．
《》【函数】——【02】【函数的表示法——1】
答案：2x－23
5．(1)已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)； (2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)． 解：(1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1. (2)法一(配凑法) 因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1， 所以f(x)＝x2＋2x＋1. 法二(换元法) 令t＝x－1，则x＝t＋1，可得f(t)＝(t＋1)2 ＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
令x，t＝求－1 1，
则 t≠1.把 x＝t－1 1代入 f(1＋x x)＝1＋x2x2＋1x，得
f(t)＝1＋t－1t－11122＋t－11 1＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
[解] (1)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又 f[f(x)]＝4x＋8， ∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即aa2b＝＋4b，＝8
a＝2， ，解之得b＝83，
或ab＝＝－－28，.
∴f(x)＝2x＋83或 f(x)＝－2x－8.
3．已知的式子中含有 f(x)，f(1x)或 f(x)，f(－x)形式的函数， 求 f(x)的解析式．
解决此类问题的方法为“方程组法”，即用－x 替换 x，或 用1x替换 x，组成方程组进行求解．
例：①已知 af(x)＋f(－x)＝bx，其中 a≠±1， 求 f(x)； ②已知 f(x)－2f(1x)＝3x＋2，求 f(x)．
练2.已知函数f ( x)是一次函数，且满足 f ( f ( x)) 4x 3,求f ( x).
例：已知 f(x)＝2x2＋1，求 f( x＋1)的解析式．
1.2.2 函数的表示法 第一课时 课件(人教A版必修1)
图象法
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课堂讲练互动
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典例剖析
题型一 函数的表示法
【例 1】 已知完成某项任务的时间 t 与参加完成 b 此项任务的人数 x 之间适合关系式 t＝ax＋ ，当 x＝ x 2 时，t＝100；当 x＝14 时，t＝28，且参加此项任务 的人数不能超过 20 人．
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1 1 解析：令 ＝t，则 x＝ ，且 t≠0， x t 1 t ∴f(t)＝ ＝ (t＋1≠0)， 1 t＋1 1＋ t x ∴f(x)＝ (x≠0 且 x≠－1)． x＋1
x 答案： (x≠0 且 x≠－1) x＋1
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4．如图，函数 f(x)的图象是曲 线 OAB，其中点 O，A，B 的坐标 1 分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则 f f3 的值等于________．
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课堂讲练互动
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正解：∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4， 令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)， ∴f(x)＝x2－4(x≥2)． 纠错心得：采用换元法求函数的解析式时，一 定要注意换元后的自变量的取值范围．如本题中令t ＝x2＋2后，则t≥2.
【创新设计】高中数学（人教版必修一）配套练习：1.2.2函数的表示法第1课时（含答案解析）
1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x (x>0)D ．y ＝100x(x>0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f(1x )＝x1－x ，则当x≠0时，f(x)等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 4．已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝1－x 2x 2，则f(12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4D ．306．在函数y ＝|x|(x ∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________．8．已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x )＋x ，则f(x)的解析式为____________．9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，则f(x)的解析式为__________________． 三、解答题三、解答题10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．的解析式．11．画出函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f(x 1)与f(x 2)的大小；的大小； (3)求函数f(x)的值域．的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C．y＝[x＋410]10] D．y＝[x＋513．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．的解析式．1．如何作函数的图象．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理知识梳理(1)数学表达式数学表达式 (2)图象图象 (3)表格表格 作业设计作业设计1．C [由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x(x>0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．] 3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x， 则有f(t)＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f(12)＝1－(14)2(14)2＝15.]6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是顶点坐标是(0，12)；当t>0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x (x≠0) 解析解析 ∵f(x)＝2f(1x )＋x ，①，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析解析 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴îïíïìa 2＝4ab ＋b ＝8，解得îïíïìa ＝2b ＝83或îïíïìa ＝－2b ＝－8. 10．解．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知îïíïìf(0)＝c ，f(4)＝16a ＋4b ＋c ，f(0)＝f(4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点，点， 所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y… －5343－5…连线，描点，得函数图象如图：连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f(x 1)<f(x 2)．(3)根据图象，根据图象，可以看出函数的图象是以可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，为顶点，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，因此，因此，因此，函数的函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一方法一 特殊取值法，特殊取值法，若若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10]＋1，所以选B.]13．解．解 因为对任意实数x ，y ，有，有 f(x －y)＝f(x)－y(2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f(0)＝f(x)－x(2x －x ＋1)， 即f(0)＝f(x)－x(x ＋1)．又f(0)＝1， ∴f(x)＝x(x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
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f ( x) x 2x ,画出函数 f ( x)
2
0 x
的图象,并求出函数 f ( x) 的解析式.
例3.(07湖北)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒
法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气
中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释 放完毕后，y与t的函数关系式为 y 1
16 t a（a为常数）， Nhomakorabea图所示，
根据图中提供的信息，回答下列问题： (Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y（毫克
与时间t（小时）之间的函数关系式为_____________ .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25
毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至
少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
就是用图象表示两个两个变量之间 （2）图象法： 的对应关系。 就是列出表格来表示两个变量之间 （3）列表法： 的对应关系。
函数的三种表示法的优点：
1、解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变 量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自 变量的值所对应的函数值。
2、图象法的优点是直观形象地表示自变量的变化， 相应的函数值变化的趋势，有利我们通过图象研究 函数的某些性质。 3、列表法的优点是不需要计算就可以直接看出 与自变量的值相对应的函数值。
例1.(1)已知f ( x) 2 x 3, 求f ( x 1)
(2)已知f ( x 1) 2 x 5, 求f ( x)
(3)已知f ( x 1) 2 x +5，求f ( x)
（4）已知f(x)是二次函数,且f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)
例2. 已知函数 f ( x) 是定义在R上的偶函数,
x( x 4), 1.已知函数f ( x) x( x 4), 则f [ f (1)] ________
x0 x0
2.已知y f ( x)是一次函数，且有 f [ f ( x)] 9 x 8，求f ( x)
小结：
（1）理解函数的三种表示方法； （2）在具体的实际问题中能够选用恰当 的表示法来 表示函数； （3）注意分段函数的表示方法及其图象 的画法。
1.（07北京）已知函数 f x , g x 分别由下表给出： x 1 f(x) 1 2 3 3 1 x g(x) . 1 3 2 2 3 1
则 f g 1 的值 2.（07安徽）图中的 图象所表示的函数的 解析式为__________
1.函数的三种常用表示方法:
就是用数学表达式表示两个变量之间 （1）解析法： 的对应关系。