经济数学第六章不定积分
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
不定积分在经济问题中的应用教学课件
《不定积分在经济问题中的应用教学课件ppt》xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•不定积分简介•不定积分在经济问题中的应用•不定积分在经济问题的实际案例分析•不定积分在经济问题中的未来发展趋势及展望01不定积分简介不定积分的定义不定积分是微分的逆运算，可以理解为求一个函数的原函数或反导数。
定义：若函数f(x)的某一原函数为F(x)，则f(x)的不定积分就是F(x)+C，其中C是任意常数。
记作：∫f(x)dx线性性质∫(kf(x))dx=k∫f(x)dx，k为常数积分区间性质若f(x)在[a,b]上连续，则有∫(f(x))dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
微分性质d/dx∫f(x)dx=f(x)，即求不定积分时，积分符号内的函数正好是原函数的导数。
010203按照函数类型分类幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等。
按照难度和复杂程度分类简单不定积分和复杂不定积分。
02不定积分在经济问题中的应用通过使用不定积分，我们可以解决投资组合问题，优化资产配置。
总结词不定积分在投资组合问题中有着重要的应用。
投资组合问题主要研究如何分配资产以最小化风险，并最大化收益。
不定积分可以用于解决这类问题，通过建立数学模型，计算出最优的资产配置比例。
例如，假设我们有两个资产，每个资产都有不同的预期收益和风险，我们可以通过不定积分来找到最优的投资组合比例，以最大化收益并最小化风险。
详细描述投资组合问题总结词不定积分在消费理论中也有着重要的应用，主要研究消费者的购买行为和消费习惯。
详细描述消费理论主要研究消费者的购买行为和消费习惯。
不定积分在这个领域也有着重要的应用，例如，我们可以使用不定积分来计算消费者的最优消费路径。
假设我们有一个消费者，他有一定数量的资金，他需要在一定时间内消费完这些资金。
我们可以通过不定积分来计算出最优的消费路径，使得消费者可以最大化他的效用。
消费理论总结词不定积分在经济增长问题中也有着重要的应用，主要研究如何实现经济的持续增长。
不定积分在经济问题中的应用教学课件ppt
掌握不定积分可以增强个人在经济领域的竞争力，因为不定 积分在经济问题求解中具有广泛的应用前景，掌握它可以更 好地理解和解决各种经济问题。
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04
不定积分在经济学中的进一步应用
不定积分在供需理论中的应用
供需平衡
不定积分可用于求解供需平衡方程，通过分析需求和供应的变动，为政策制 定者提供依据。
弹性分析
不定积分可以用于计算需求和供应对价格的弹性，帮助政策制定者理解价格 的变动对市场的影响。
不定积分在货币政策中的应用
货币供应
不定积分可以用于计算货币供应函数，解释货币供应如何影响经济活动。
区域经济学
区域经济学研究区域经济发展和 规划的规律，不定积分可以用来 建立和分析区域经济发展的模型 ，解释区域经济现象，预测区域 经济发展趋势。
不定积分在经济问题中的局限性
定积分更精确
定积分比不定积分更精确，可以用来求解具体的经济问 题，而不定积分只能用来建立经济模型，不能直接求解 经济问题的具体答案。
以找到边际利润，这是企业进行利润最大化决策的重要依据。
不定积分在经济学中的未来发展
未来发展方向
随着经济学理论的不断发展，未来不定积分在经济学中的应用将更加广泛。例如 ，随着大数据和人工智能技术的不断发展，未来不定积分在经济学中可以用来建 立更加精确和复杂的模型，从而更好地解释现实经济现象。
未来应用前景
通过不定积分，我们可以求出成本函数的 不定积分，即得到总成本函数。总成本函 数是一个关于产量或规模的函数，通过求 导数，我们可以得到边际成本函数。边际 成本函数可以描述每增加一单位产量所增 加的总成本，从而帮助企业找到最小成本 点。
利用不定积分解决收益最大化问题
经济数学 不定积分的概念与性质
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sixn co xssix n C cx os
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F (x ) f(x )，则对于任意常数 C，
F ( x ) C 都 是 f ( x ) 的 原 函 数 . （2）若F(x) 和 G(x)都是 f (x) 的原函数，
3. 积分曲线,积分曲线族； 4. 平行； 5. 连续；
6.
2
5
x2
C；
7.
2
3
x2
C；
5
3
8. x 3 3 x 2 2x C ； 32
9.
x3
2
5
x2
2
3
x2
x
C；
35 3
10.
2
x
4
3
x2
2
5
x2
C.
35
二、1. x arctan x C ；
3. x sin x C ； 2
5. 4( x 2 7) C ； 74 x
f(x )d x g (x )d x f( x ) g ( x ).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
(2 ) k f(x )d x kf(x)dx.
（ k是 常 数 ， k0 )
例5
求积分
(13x2
2 )dx. 1x2
解
(13x2
2 )dx 1x2
311x2dx2
4. 由F ' ( x) f ( x)可知，在积分曲线族 y F( x) C
( C是任意常数)上横坐标相同的点处作切线，这
第六章不定积分 《高等数学》课件
例求co2s2xdx.
解
cos2
x 2
dx
1c2osxdx
12(dxcoxsdx)
1(xsinx)C 2
例求tan2xd.x
解 tan2xdx(se2xc1)dx
se2x cdx dx ta x x n C
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例 求不定积分
1 d x. x3 x
证明：
[ k f ( x ) d x ] k [ f ( x ) d x ] k f ( x ) [ k f ( x ) d x ] .
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五、积分的应用模型实例
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由于经济函数的边际就是经济函数的导数，所以， 由经济函数的边际通过计算不定积分，即可求出经济函数。 步骤如下：
证明： f(x )d x F (x ) C , ( F (x ) C ) f(x ) 结论性质：2 F (x )d x F (x ) C , d(F x)F (x)C .
注：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.两个运算在一起时，
d 完全抵消， d 抵消后相差一常数。
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(12)
dx co2sx
se2cxdxtaxn C;
(13)
dx sin2 x
cs2cxdxco x tC ;
(1)4sexc taxndxsexcC;
(1)5csxcoxtdxcsxcC.
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四、不定积分的性质
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由不定积分的定义知，若 F ( x ) 为 f ( x ) 在区间 I 的原函数，即
经管类高等数学第六章
（5） f(a rc sin x )1 1 x 2d x f(a rc sin x )d (a rc sin x )
（6）
1
f(a rc ta n x )1 x 2d x f(a rc ta n x )d (a rc ta n x )
（7） f(ex)exd xf(ex)d(ex)
第六章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的基本积分公式 第三节 不定积分的换元积分法 第四节 不定积分的分部积分法
下一页
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数 二、不定积分的概念 三、不定积分的性质
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引 例 1 : 已 知 函 数 f (x) x2, 则 f(x)2x, 若 f(x)2x, 则 f (x) ?
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例6.11
求
a2
1
x 2 dx
(a
0).
解
1 a2 x2dx
1 a2
1
1 x a
2
dx
1 a
1
1 x a
2
d
x a
1arctan x C
a
a
类似地,
1 dxarcsinxC.
a2x2
a
那么 sin3xdx13sinudu
1 cosu C 1cos3xC.
3
3
容易验证 1 cos 3 x 是 sin3x 的一个原函数. 3
由上面的例子可以看到,这种积分的基本思想是先凑微 分的形式,再作变量代换,把要计算的积分化为基本积分公式 中所具有的形式,求出积分后,再还原为积分变量.
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
《不定积分》课件
幂函数的积分
幂函数的不定积分可 以通过幂函数的求导 公式来推导得到。
指数函数的积分
指数函数的积分也是 通过指数函数的求导 公式来得到的。
三角函数的积分
三角函数的不定积分 是一种特殊的求导法 则，通过观察和记忆 可以得到不同三角函 数的积分。
逐步深入
1
分部积分法
分部积分法是用于求解复杂函数积分的
代换积分法
《不定积分》PPT课件
# 不定积分 PPT课件 数学是一门神奇的学科，而不定积分是数学中的重要概念。本课程将带你深 入了解不定积分的基本概念和应用，希望能够为你打开一扇新世界的门。
前言
什么是积分？
积分是求函数面积的一种方法。它们可以帮助我们理解曲线下是求函数原函数的过程。它们允许我们找到导数的反函数。
2
一种方法。它能够将一个复杂的积分问 题变成两个简单的积分问题。
代换积分法是通过变量代换的方式将一
个复杂的积分转化为一个简单的积分。
3
分式积分
分式积分是对有理分式进行积分的方法。 它可以帮助我们求解一些特殊的积分问 题。
总结
不定积分的应用场景
不定积分在物理，经济学和工程学等领域中具有广泛的应用。它们帮助我们解决实际问题。
3 参考文献
学习不定积分的过程中，阅读参考文献可以加深理解和拓宽知识面。
总结不定积分与定积分的区别
虽然不同积分有相似的计算过程，但它们应用的场景和意义有所不同。
意义与应用
不定积分是数学中的重要工具，它们不仅可以帮助我们理解函数，还可以解决各种数学问题。
结语
1 疑问解答
如果你对不定积分还有疑惑或问题，现在是时候提问了！
2 课程反馈
帮助我们改进课程的反馈对我们来说非常重要。请在课程结束后填写反馈表。