双轴对称截面工字钢的截面尺寸优化设计(B5)

双轴对称截面工字型梁的截面尺寸优化设计
研究报告
一、设计问题背景
工字钢是一种比较常见的工程结构钢材，在各种工程领域都得到广泛的应用。

目前大多数工字钢都已实现截面尺寸型号的标准化，但在实际工程应用中，标准型号的型材并不能保证最优化的使用，即在保证满足使用性能的条件下，尽可能的节约钢铁材料的使用，避免不必要的浪费。

所以这里提出针对实际工程应用，对工字钢截面尺寸进行优化设计，目标是以最节省的材料的方案来满足使用要求。

下面对一种实际的工程问题做出介绍。

如图1所示，已知载荷P=80KN ，l=2000mm,设计强度215f MPa =,屈服强度235y f M Pa =，抗剪强度125v f M Pa =，无截面削弱。

试设计该双轴对称工字型粱的截面。

图1 双轴对称截面及其受力示意图
对工字梁进行受力分析，弯矩图如下：
图2 工字梁弯矩图
通过弯矩图可以得知，最大弯矩发生在工字梁的中间位置，大小为
7
410x
M
N m m =⨯
针对实际工程应用情况，提出如下一些使用性能要求： （1）强度要求 max x
x nx
M
f W σγ=
≤
max 4
v X VS f I x τ=
≤
1f β
（2）刚度要求 max 400
x
l y I ∆=
≤
（3）局部稳定
12x x ≤
34
x x ≤（4）工程要求 44x m m ≥
1,23,0x x x >
式中
x M ——绕x 轴的最大弯矩； nx W ——对x 轴的净截面抵抗矩；
x γ——截面塑性变形发展系数，此处取1.05；
V ——截面最大剪力； S ——截面最大静矩；
x I ——横截面对x 轴的毛截面惯性矩；
a σ、a τ——a 点处正应力和剪应力；
1β——强度设计值增大系数，此处取1.1；
v f f 、——钢材的抗弯曲强度设计值和抗剪强度设计值； y f ——钢材的屈服强度； ∆——常数，此处取3
48PI
E
∆=
二、设计问题优化模型
在满足以上使用要求的前提下，本次优化设计的主要目的是使材料的使用达到最省，由于工字梁长度已经确定，所以务必使截面面积达到最小。

建立优化模型如下： （1）设计变量：
截面的尺寸 1234[,,,]
T
x x x x x =
（2）目标函数：
截面面积 1234
m in ()2f x x x x x =+
（3）约束条件：
124
3141452364
()0()0
()0
()/4000()0
2()0
x
x nx
X x
M
g x f W VS g x fV I x g x f g x l I x x g x x x g x x γβ=-+
≤=-+
≤=-+≤∆=-+
≤-=-+≤=-≤
三、设计问题优化算法选取
钢结构截面优化问题大都属于多变量非线性约束最优化问题，对于以上数学模型，可以使用MATLAB7.0优化工具箱中的fmincon函数，该函数使用的是SQP算法（序列二次规划Sequential Quadratic Programming）,二次规划的基本原理是将原问题转化为一系列二次规划子问题。

求解子问题，得到本次迭代的搜索方向，沿着搜索方向寻优，最终逼近问题的最优点，因此这种方法又称序列二次规划法。

另外，算法是利用拟牛顿法（变尺度法）来近似构造海赛矩阵，以建立二次规划子问题，故又可称约束尺度法，这种方法被认为是目前最先进的非线性规划计算方法。

四、优化计算实现过程
本次优化设计主要运用MATLAB优化工具箱来进行优化求解，其操作步骤为：
（1）编写目标函数M文件
function f=gzl(x)
f=2*x(1)*x(2)+x(3)*x(4)
图3 目标函数M文件图示
（2）编写约束条件M文件
function [c,ceq]=gzl_con(x)
Mx=40000000; （最大弯矩）
V=40000; （截面最大剪力）delta=64724919.0; （∆常数）
f=215; （抗弯强度设计值）fv=125; （抗剪强度设计值）lo=2000; （工字梁跨度）
fy=235 （钢的屈服强度）S=x(1)*(x(2)+x(3)/2)^2/2-2*(x(1)/2-x(4)/2)*x(3)/2*x(3)/4;（截面最大静矩）Inx=x(4)*x(3)^3/12+2*(x(1)*x(2)^3/12+x(1)*x(2)*(x(2)/2+x(3)/2)^2);（截面对X惯性矩）Ix=Inx;
Wnx=2*Inx/(x(3)+2*x(2));（对X净截面抵抗矩）Sa=x(1)*x(2)/2*(x(2)+x(3)); （截面最大静矩）sigma_a=Mx*(x(3)/2)/Inx;（
a
σ，a点处正应力）
tao_a=V*Sa/(Ix*x(4)); （
a
τ，a点处剪应力）
gamax=1.05; （
x
γ，截面塑性发展系数）
beta1=1.1; （
1
β强度设计值增大系数）if(x(1)-x(4))/2/x(2)>13*sqrt(235.0/fy)
gamax=1.0;
end
gg(1)=Mx/(gamax*Wnx);
gg(2)=V*S/(Ix*x(4));
gg(3)=sqrt(sigma_a^2+3*tao_a^2);
gg(4)=delta/Ix;
gg(5)=(x(1)-x(4))/2/x(2);
gg(6)=x(3)/x(4);
c(1)=-f+gg(1); （约束方程
1()
g x）
c(2)=-fv+gg(2); （约束方程
2()
g x）
c(3)=-beta1*f+gg(3); （约束方程
3()
g x）
c(4)=-lo/400+gg(4); （约束方程
4()
g x）
c(5)=-15*sqrt(235.0/fy)+gg(5); （约束方程
5()
g x）
c(6)=-80*sqrt(235.0/fy)+gg(6); （约束方程
6()
g x）ceq=[]; （无等式约束）
图4 约束条件M文件图示
（3）优化结果
命令窗口输入：
x0=[10,4,10,4]; （初始点）
lb=[10,4,10,4]; （下界）
ub=[]; （上界）
options=optimset('display','final','tolcon',1e-4,'tolfun',1e-4,'tolx',1e-4,'maxfunevals',1000);求解命令：
[x,fval]=fmincon(@gzl,x0,[],[],[],[],lb,ub,@gzl_con,options)
优化结果输出如下：
图5 优化输出结果
最终优化的截面尺寸为：
123486.37744.0000320.00004.0000x m m x m m x m m x m m
====
最优的截面面积为：
32min () 1.971010f x m m =⨯
五、结果分析
为了考察各不等式约束方程成立情况，在命令窗口输入： [c,ceq]=gzl_con(x) 输出结果：
图6 约束条件成立情况图示
结果分析：
（1） 约束不等式方程1()0g x ≤取等号，即最大正应力达到极限状态，这显然是截面优化的必然产物，同时也说明了优化结果的正确性。

（2） 约束方程6()0g x ≤也取等号，这是否偶然，经过仔细分析知道，对于受弯构件，无论是从强度还是刚度考虑，I/A 越大，效果越好，即回转半径i 越大越好，因此可以断定该约束方程必定取等号，而优化结果也正好体现这一点。

（3） 6个约束方程值均小于或等于0，说明几个约束条件均起到约束作用，证明所得到的结果是合理的。

最后，通过对计算机优化结果进行尺寸圆整处理，可得到该工程问题的最终优化结果如下：
12342
m in 90432042000x m m x m m x m m x m m A m m
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参考文献
1 江爱川.结构优化设计.北京：清华大学出版社，1996
2 李涛，贺勇军，等.MATLAB工具箱应用指南﹒应用数学篇.北京：电子工业出版社，2000
3 罗邦富，魏明钟，等.钢结构设计手册.北京：中国建筑工业出版社，1999
4 孙靖民，梁迎春.机械优化设计.北京：机械工业出版社。