微机原理第四章课后习题答案

第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答
4.4 试确定当p 与q 为何值时下列系统不能控，为何值时不能观测。

u p x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011212121 []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=21 1x x q y
解 系统的能控性矩阵为
[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--==p p p Ab b
U C 1
12 其行列式为
[]12det 2-+=p p Ab b
根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即[]0det ≠Ab b ，
可知4-≠p 或3≠p 。

系统能观测性矩阵为
1112O c q
U cA q q ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
其行列式为
2det 121c q q cA ⎡⎤
=--⎢⎥⎣⎦
根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即det 0c cA ⎡⎤
≠⎢⎥⎣⎦
，可知31≠
q 或4
1
-≠q 。

□ 4.5试证明如下系统
u c b a x x x x x x
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213211861201640120 不论a ,b ,c 取何值都不能控。

证
系统的特征方程为
20
10416
0012
6
18
I A λλλλ--=
--=-- 解得特征值
18321===λλλ
分别将其带入特征方程得
00
612024
12=---=-A I λ 我们知道
10612024012rank =⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---
基础解的个数213=-=，所以存在着两个线性无关的向量12,P P ，可将
A 化为: 18
00
1180
018
1=='-AP P A 因为在约当块中有相同的根，由能控判据2可知无论a ,b ,c 为何值，系统均不能控。

□
4.7已知两个系统1S 和2S 的状态方程和输出方程分别为
1S ：
111104310u x x ⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= []1112x y = 2S ：
2222u x x +-= 22x y =
若两个系统按如图P4.2所示的方法串联，设串联后的系统为S 。

1) 求图示串联系统S 的状态方程和输出方程。

2) 分析系统1S ，2S 和串联后系统S 的可控性、可观测性。

图P4.2 串联系统结构图
解
1) 因为1u u =，12y u =，2y y =，因此
u x x x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 431012111211 []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=12111 12x x y
[]212111222 122x x x y x x
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=+-= 22x y =
串联组合系统的状态方程为
u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0102120430102121121211 输出方程为
[]⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=21211 100x x x y
2) 串联后系统的能控性矩阵
[
]
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---==41013414102b A Ab b
U C
可见，
0det =C U ，32rank <=C U
因此，系统不能控。

串联后系统的能观性矩阵
2001212744O c U cA cA ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
可见，01det ≠-=O U ，3rank =O U 因此，系统能观测。

□
4.15 系统的状态方程：
u c b a x x x x x x
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321000001λλλ []⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=321 x x x f e
d
y 试讨论下列问题：
1) 能否通过选择a ,b ,c 使系统状态完全可控？ 2) 能否通过选择d ,e ,f 使系统状态完全可观？ 解
1) 可控性矩阵
[
]
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++==c c c b b b b a b a a b A Ab b
U C 22222λλλλλλλ
显然，第三行乘以
c
b
即为第二行，故第二行与第三行成比例，因而不论怎样选择a ,b ,c ，系统状态均不完全可控。

2) 可观性矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=f e d d
f e d d f e
d
cA cA c U O 22222λλλλλλλ 第一列等于第三列乘以
f
d
，故不论怎样选择d ,e ,f ，系统均不完全可观。

□
4.19 已知控制系统如图P4.4所示。

图P4.4 系统结构图
1) 写出以1x ，2x 为状态变量的系统状态方程与输出方程。

2) 试判断系统的能控性和能观性。

若不满足系统的能控性和能观性条件，问当1K 与2K 取何值时，系统能控或能观。

3) 求系统的极点。

解
1) 由图P4.4可知，12()()sX s X s =，2()()sX s U s =，则有
21x x = u x
=2 2211x K x K y +=
将状态方程和输出方程写成矩阵形式，有
u x x x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000103221 [][]2121
x x K K y =
2) 系统能控能观性判断。

能控性矩阵
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==0110Ab b
U C ，2rank =C U
无论1K 与2K 取何值，系统均能控。

能观性矩阵
1
210
O K K c U K cA ⎡⎤
⎡⎤==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
此时无法判断系统的能观性。

要使系统能观，O U 应满秩，即0det 2
1≠=K U O ，01≠K 。

3) 系统的特征方程为
()001det 2
==-=-s s
s A sI
则，系统的极点为021==s s 。

□。