2017直线的方程学案4.doc
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
学案40 直线方程(文理)
直线的方程一、学习目标：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系.能判定两条直线的位置关系.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标,掌握点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离.二、知识梳理：1、数轴上的基本公式点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则AB=_________,d(A,B)=_________ .2、平面直角坐标系中的基本公式A (),,11y xB (),,22y x 则,d(A,B)=._____________. M(x,y)为AB 的终点，则x=______,y=_____.3、直线的斜率与倾斜角已知A (),,11y x B (),,22y x (),21x x ≠则K=________，当21x x =时，K 不存在.另外当倾斜角为α时，)90(tan 0≠=ααk 倾斜角范围：[)π,0 4、直线方程的几种形式.名称 几何条件 方程 局限性点斜式两点式斜截式截距式一般式5、求直线方程的一般方法①直接法； ②待定系数法。
6、两直线的位置关系:直线0:1111=++C y B x A l ;0:2222=++C y B x A l ①21//l l ⇔___________； ②21l l ⊥⇔__________；③1l 与2l 相交⇔________________； ④1l 与2l 重合⇔_______________。
7、点()00,y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离公式______________________。
两平行直线0:11=++C By Ax l 和0:22=++C By Ax l 间的距离_____________。
8、对称问题:①中心对称____________________；②轴对称_______________________。
三、基础训练：1、数轴上A,B 两点的坐标分别为21,x x ,则下列式子中不一定正确的是 ( )A.|AB|=|21x x -|B.|BA|=12x x -C.AB=12x x -D.BA=21x x -2、点P(2,-1)关于点(3,4)的对称点是 ( )A.(1,5)B.(4,9)C.(5,3)D.(9,4)3、直线02=++m y x 和直线02=++n y x 的位置关系是 ( )A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.不能确定,与n m ,的取值有关.4、点P(y x ,)在直线04=++y x 上,O 是原点,则|OP|的最小值是 ( ) A.10 B.22 C.6 D.2四、合作探究展示：例1、⑴已知直线:013=++y ax 与直线0)2(=+-+a y a x 平行,求a 的取值； ⑵已知直线:02=+-a y ax 与直线0)12(=++-a ay x a 互相垂直,求a 的取值。
直线的参数方程 学案
三 直线的参数方程[学习目标]1.掌握直线的参数方程.2.能够利用直线的参数方程解决有关问题. [知识链接]1.若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ 提示 参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数).2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？提示 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上；②当t ＜0时，M 0M →的方向向下；③当t ＝0时，点M 与点M 0重合. [预习导引] 直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点 M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.要点一 直线参数方程的标准形式例1已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32ty ＝2＋12t ，(t 为参数).(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t 并说明t 的几何意义.解 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0＝(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方). 规律方法 1.一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)唯一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数).跟踪演练1 直线l 经过点M 0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________.解析由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，代入直线方程x－y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t ＝－6(3＋1).根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1).答案 6(3＋1)要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长例2已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，求|AB |及|AM |·|BM |.解l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数).令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数). 其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ＞0，可设t ′1，t ′2是方程的两根，由根与系数关系得t ′1＋t ′2＝32，t ′1t ′2＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t ′1|，|MB |＝|t ′2|，∴|MA |·|MB |＝|t ′1·t ′2|＝1， |AB |＝|t ′1－t ′2|＝14.规律方法 1.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t 的几何意义.2.根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标).跟踪演练2 在极坐标系中，已知圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程；(2)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长.解 (1)由已知得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1， 即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1， 解得|AB |＝ 3.要点三 直线参数方程的综合应用例3 已知直线l 过定点P (3，2)且与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值为最小时的直线l 的方程.解 设直线的倾斜角为α，则它的方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).由A ，B 是坐标轴上的点知y A ＝0，x B ＝0，∴0＝2＋t sin α，即|P A |＝|t |＝2sin α，0＝3＋t cos α，即|PB |＝|t |＝－3cos α，故|P A |·|PB |＝2sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3cos α＝－12sin 2α. ∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，即α＝135°时， |P A |·|PB |有最小值.∴直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝2＋22t(t 为参数)，化为普通方程为x ＋y －5＝0.规律方法 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.跟踪演练3在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解 (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝2 5 ρsin θ. ∴x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.(2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋5， 与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ， 得x 2－3x ＋2＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2＋5或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5). 又点P 的坐标为(3，5)， 故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，(*)由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0. 故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根. ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4. ∴t 1＞0，t 2＞0.又直线l 过点P (3，5)， ∴由t 的几何意义， 得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1.经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量，可为正、为负，也可为零.2.在直线参数方程中，如果直线上的点M 1、M 2所对应的参数值分别为t 1和t 2，则线段M 1M 2的中点所对应的参数值为t 中＝12·(t 1＋t 2).1.直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 50°，y ＝3－t sin 40°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A.40°B.50°C.－45°D.135°解析 根据tan α＝－sin 40°cos 50°＝－1，因此倾斜角为135°.答案 D2.若⎩⎨⎧x ＝x 0－3λ，y ＝y 0＋4λ(λ为参数)与⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)表示同一条直线，则λ与t 的关系是( ) A.λ＝5t B.λ＝－5t C.t ＝5λD.t ＝－5λ 解析 由x －x 0，得－3λ＝t cos α，由y －y 0，得4λ＝t sin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t 2，得t ＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t ＝－5λ，所以t ＝5λ. 答案 C3.已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，且点A (1，2)，则|AB |＝________.解析 将⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t 代入2x －4y ＝5，得t ＝12，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.又A (1，2)，所以|AB |＝52. 答案524.求直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t (t 为参数)与直线l 2：x ＋y －2＝0的交点到定点(4，3)的距离.解∵l 1的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋313·2t ＝4＋313t ′，y ＝3＋213·2t ＝3＋213t ′(t ′为参数).把l 1的参数方程的标准形式代入x ＋y －2＝0中， 得4＋313t ′＋3＋213t ′－2＝0. 解得t ′＝－13，∴|t ′|＝13.由|t ′|的几何意义为交点到点(4，3)的距离， ∴所求的距离为|t ′|＝13.一、基础达标1.直线⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A.(1，－2)B.(－1，2)C.(－2，1)D.(2，－1)解析 直线表示过点(1，－2)的直线. 答案 A2.下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋t(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t(t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝1－2t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)解析 题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C. 答案 C3.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( ) A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆D.圆、直线解析 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆.由⎩⎨⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线. 答案 D4.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( ) A.(3，－3) B.(－3，3) C.(3，－3)D.(3，－3)解析 将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6，因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3， 故AB 中点M 的坐标为(3，－3). 答案 D5.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________. 解析 直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3，0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 答案 36.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________.解析 曲线C 1和C 2的直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝5(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①，x －y ＝1②联立①②解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2，1). 答案 (2，1)7.化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t ，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义.解 由⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故斜率k ＝3＝tan α，由于0≤α<π，即α＝π3. 因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝（x ＋3）2＋（y －1）22. 故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3，1)的向量M 0M →的模的一半.二、能力提升8.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________.解析 由⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s消去参数s ，得x ＝2y ＋1. 由⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a ，∴a ＝4.答案 49.若直线⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 将⎩⎨⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直.∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k .依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1， ∴k ＝－6.答案 －610.椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离的最大值是( )A.11B.74C.5 5D.9解析 由平面几何知识，椭圆x 225＋y 216＝1上的点到圆x 2＋(y －6)2＝1上的点的距离最大值＝椭圆上的动点到圆心的最大距离＋圆的半径.如图，设圆x 2＋(y －6)2＝1圆心为O ′，P (5cos θ，4sin θ)是椭圆上的点，则|PO ′|＝（5cos θ）2＋（4sin θ－6）2＝25cos 2θ＋16sin 2θ－48sin θ＋36＝－9sin 2θ－48sin θ＋61＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋832＋125≤－9⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋832＋125＝10 (当sin θ＝－1时取等号).则所求距离最大值为11.答案 A11.在直角坐标系中，参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)的直线l 被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C 所截，求截得的弦长.解参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t (t 为参数)表示的直线l 是过点A (2，0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C 为圆x 2＋y 2－2x ＝0.此圆的圆心为(1，0)，半径为1，且圆C 也过点A (2，0)；设直线l 与圆C 的另一个交点为B ，在Rt △OAB 中，|AB |＝2cos 30°＝ 3.12.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 ＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.三、探究与创新13.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围.解 (1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1).(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32，52].。
直线的点斜式方程学案
学习指导 即时感悟
y P P0
x
பைடு நூலகம்
k , x0 , y0 之间的关系。
直线的点斜式方程 探究 2、 （1）过点 P ，斜率是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满足方 0 ( x0 , y0 ) 程（1）吗？ （2）坐标满足方程（1）的点都在经过 P0 ( x0 , y0 ) ，斜率为 k 的直线 l 上吗？
例 1、直线 l 经过点 P0 (2,3) ，且倾斜角 45 ，求直线 l 的点斜式方程， 并画出直线 l 。
二、直线的斜截式方程 探究 5、 已知直线 l 的斜率为 k ， 且与 y 轴的交点为 (0, b) ， 求直线 l 的方程。
直线的斜截式方程 探究 6、观察方程 y kx b ，它的形式具有什么特点？
探究 7、直线 y kx b 在 x 轴上的截距是什么？
探究 8、你如何从直线方程的角度认识一次函数 y kx b ？一次函数中 k 和 b 的 几 何 意 义 是 什 么 ？ 你 能 说 出 一 次 函 数 y 2 x 1,
y 3x,
y x 3 图象的特点吗？
3、 已知过点 A(2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 y 2 x 1 平行， 则 m 的值 为（ ） A、 0 B、 8 C、 2 D、 10
4、以 A(1，3)，B(-5，1)为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） A、3x-y-8=0 B、3x+y+4=0 C、3x-y+6=0 D、3x+y+2=0
数学学案 直线的点斜式方程
直线的点斜式方程
学习内容 【学习目标】 （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。 【学习重点】 直线的点斜式方程和斜截式方程 【学习难点】 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用 【回顾·预习】 1、直线的倾斜角和斜率 2、两直线平行和垂直满足的条件 3、在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？ 【精讲点拨】 一、直线的点斜式方程 探究 1、直线 l 经过点 P ，且斜率为 k 。设 0 ( x0 , y0 ) 点 P( x, y) 是直线 l 上的任意一点，请建立 x, y 与
2013-2014学年高一下学期数学活动单学案：(24)课 题 直线的方程(3)
重 点: 直线的一般式能表示所有的直线 难 点: 直线的一般式能表示所有的直线的理解 过 程:活动 一、问题情境活动二、建构数学1、直线的一般式方程: Ax+By+C=0 (A 、B 不同时为0)2、直线．．的一般式方程与二元一次方程．．之间的对应关系3、直线方程的五种形式的相互转化活动三、数学应用例1、求直线l : 3x+5y －15=0的斜率以及它在x 轴、y 轴上的截距, 并作图。
练习: 由下列条件, 写出直线方程, 并化成一般式: (1)斜率是－21, 经过点A(8 , －2)； (2)经过点B(4 , 2) , 平行于x 轴； (3)经过点C(－21, 0), 平行于y 轴.例2、设直线l 的方程为x+my －2m+6=0 , 根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 在x 轴上的截距是－3 ; (2)直线l 的斜率是1;(3)探究: 对于m ∈R 直线l 是否恒过定点, 如果是，求出定点坐标;如不过，说明理由。
例3、已知两点A(1 , 2) , B(3 , 0) 和直线l:kx－y－2＝0，如果直线l与线段AB相交, 求直线l 的斜率k的取值范围。
变式:直线l：kx－y－2k－2＝0活动四．回顾与反思高一数学作业（24）1、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距是b ，则a=____，b=____。
2、已知直线经过点A(6 , 4) , 斜率为－34, 此直线方程的点斜式为___________________ , 截距式为_______________________, 一般式为_______________________________。
3、经过点A(－2 , 7), B(1 , 1)的直线方程的一般式_________________________________ , 斜率k=___________，在y 轴上的截距b =_____________ 。
高一数学同步训练之17直线的方程学案
直线和方程知识梳理1.倾斜角、斜率2.直线方程5种表示形式3.直线平行和垂直的判定4.距离5.对称问题例题1.已知过两点A （-m.6）,B(1,3m)的直线的斜率是23，求m 的值 2.点A （2，-3），B （4，-3），C （5，2k ）在同一条直线上，求K 值 3.已知两点A （-3,4），B （3，-2），过点P （2，-1）的直线L 与直线AB 有公共点，求直线L 的斜率K 的取值范围4.方程（a-1）x-y+2a+1=0 (a ∈R)所表示的直线恒过定_________5.已知直线L ：5ax-5y-a+3=0 (1)求证：不论a 为何值时，直线L 总经过第一象限（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围6.求经过点A (－5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程________________7.一条直线经过A （1,2），且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是4，求这条直线的方程8.求经过两条直线2x-3y-3=0 和x+y+2=0的交点且与直线3x+2y-1=0平行的直线方程9.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0和x+y+1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x+3y-5=0,求其他三边方程10.一条光线从点P （6,4）射出，与x 轴相交于点Q （2,0），经过x 轴反射，求入射光线和反射光线的直线方程11.已知点M （3,5），在直线L ：x-2y+2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使三角形MPQ 边长最小。
12.已知点A （a,6）到直线3x-4y=2的距离d 为下列各值时，求a 的值（1）d=4 (2)d>413.在直线x-y+4=0上找一点P ，使它到点M （-2，-4），N （4,6）的距离相等14.求与直线L ： 5x-12y+6=0 平行且到L 的距离为2的直线方程15.已知两点A(1，1 )、B(2，3 )和直线l ：3x －y = 0，在直线l 上求一点P ，使| PA |2 + | PB|2最小，并求出最小值。
直线的点斜式方程学案
3.2.1 直线的点斜式方程学案预习案（限时20分钟）学习目标：1、掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程2、结合具体例子理解直线的方程的概念3、会根据点斜式方程判断两直线的位置关系学习重点：会根据点斜式方程判断两直线的位置关系学习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：直线的点斜式方程（1）过定点()00,y x P ，斜率为k 的直线的点斜式方程___________________（2）说明：过定点()00,y x P ，倾斜角是090的直线方程没有点斜式，其方程为____________ ❖ 任务二：直线的斜截式方程（1）斜率为k ，且与y 轴的交点为()b ，0的直线方程的斜截式为_________________（2）一条直线与y 轴交点()b ，0的纵坐标叫做直线在y 轴上的______ ___，倾斜角是090的直线方程没有斜截式.经典例题考点一：求直线的点斜式方程：例1：求满足下列条件的直线方程：（1）过点()3,4P ，斜率3-=k （2） 过点()4,3-P ，且与x 轴平行（3）过点()2,5-P ，且与y 轴平行 （4）过点()()4,5,3,2--Q P 两点（5）过点()3,2P ，倾斜角为045 考点二： 求直线的斜截式方程例2：（1）写出斜率为1-，在y 轴上的截距为2-的直线方程的斜截式；（2）过点()4-6，A ，斜率为34-的直线方程的斜截式； （3）已知直线方程为12+-=x y ，求直线的斜率，在y 轴上的截距，与y 轴交点的坐标.巩固练习1. 写出下列直线方程的点斜式方程：（1）经过点()13-，A ，斜率是2； （2）经过点()2,2-B ，倾斜角是030（2）经过点()3,0C ，倾斜角是00； （4）经过点()2,4--D ，倾斜角是01202. 填空题（1）已知直线的点斜式方程是12-=-x y ，那么此直线的斜率是_______，倾斜角是____（2）已知直线的点斜式方程是()132+=+x y ，那么此直线的斜率是___，倾斜角是____3. 写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是23，在y 轴上的截距是2-； （2）斜率是2-，在y 轴上的截距是44. 判断下列各对直线是否平行或垂直：（1）221:,321:21-=+=x y l x y l ； （2）x y l x y l 53:,35:21-==考点三：两条直线平行与垂直问题5.（1）当a 为何值时，直线a x y l 2:1+-= 与直线()22:22+-=x a y l 平行？（3）当a 为何值时，直线()312:3+-=x a y l 与直线34:4-=x y l 垂直？考点四：直线方程的应用6.是否存在过点()45--，的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形面积为57.直线l 过点()1,2M ，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点B A 、，点O 是坐标原点（1）当ABO ∆的面积最小时，求直线l 的方程；（2）当MB MA •最小时，求直线l 的方程.。
人教版 必修2第三章直线的方程同步学案设计(无答案)
辅导教案学生姓名性别年级高二学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版必修2第三章直线的方程同步教案2教学目标知识目标：掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
能力目标：具备较强的运算求解能力及应用意识。
情感态度价值观：享受数学学习教学重点与难点灵活运用直线的五种方程解题教学过程（一）直线的点斜式方程知识梳理1．直线的点斜式方程(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程_______________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或__________.[注意] 一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．2．直线的斜截式方程(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的______．倾斜角是______的直线没有斜截式方程．[注] 值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．[拓展]1.直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别剖析：直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，(x0，y0)是直线上的一个定点，k是直线的斜率；直线的斜截式方程y＝kx＋b中，(x，y)是直线上任意一点的坐标，k是直线的斜率，b 是直线在y轴上的截距，即过点(0，b)．联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x，y)的横坐标x和纵坐标y之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k和直线上一定点的坐标(x0，y0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k和该直线在y轴上的截距b来表示的，同一条直线的斜截动式方程是唯一的．例题精讲【题型1、直线的点斜式方程】【例1】(1)一条直线经过点P1(－2,3)，斜率为2，则这条直线的方程为________．(2)经过点(2,1)且垂直于y轴的直线方程为________．(3)求经过点(2,5)，且倾斜角为45°的直线方程．【方法总结】求直线的点斜式方程的步骤：①确定定点坐标；②求出直线的斜率；③代入公式，写出方程．特别提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等都为x0，故直线方程为x＝x0.【题型2、直线的斜截式方程】【例2】写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.【方法总结】对直线的斜截式方程的透析：(1)斜截式是点斜式的一个特例，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示；(2)斜截式方程与一次函数的关系当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距，一次函数表示直线，但是有些直线的方程不一定能写成一次函数的形式．特别提醒：应用斜截式方程时，应注意斜率是否存在，当斜率不存在时，不能表示成斜截式方程．【题型3、利用平行与垂直的条件求参数的值】【例3】(1)当a为何值是，直线l1：y＝(a＋3)x－2a与直线l2：y＝(a2－a)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l2：y＝(2a－1)＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【方法总结】两条直线平行和垂直的判定已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2，所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2.(2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别提醒：若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．【巩固训练】1.你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？ (1)经过点A (－2,5)，斜率是3；(2)经过点B (2，－3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行；(4)经过点D (1,1)，与x 轴垂直．2.写出满足下列条件的直线的方程．(1)斜率为5，在y 轴上截距为－1，________； (2)倾斜角30°，在y 轴上截距为3，________.3.(1)已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________. (2)经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程为________．4.已知直线l 1：y ＝x ＋12a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．±2（二）直线的两点式方程知识梳理1．直线的两点式方程(1)定义：如图所示，直线l 经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则方程y －y 1y 2－y 1＝__________叫做直线l 的两点式方程，简称两点式． (2)说明：与坐标轴________的直线没有两点式方程．[破疑点] 直线的两点式方程应用的前提条件是：x 1≠x 2，y 1≠y 2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线方程为x ＝x 1； 当y 1＝y 2时，直线方程为y ＝y 1.2．直线的截距式方程(1)定义：如图所示，直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)，P 2(0，b )(其中a ≠0，b ≠0)，则方程为___________叫做直线l 的截距式方程，简称截距式．(2)说明：一条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距．与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式．[破疑点] (1)截距式是两点式的特例，当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时，由两点式可得直线方程的形式为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，即为截距式．用截距式可以很方便地画出直线． (2)直线方程的截距式在结构上的特点：直线方程的截距式为x a ＋y b＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距， 如：x 3－y 4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程．[拓展]求直线方程时方程形式的选择技巧一般地，已知一点的坐标，求过该点的直线方程时，通常选用点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；已知直线的斜率，通常选用点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定一个定点的坐标或在y 轴上的截距；已知直线在两坐标轴上的截距时，通常选用截距式方程；已知直线上两点时，通常选用两点式方程．不论选用哪种形式的方程，都要注意各自的限制条件，以免漏掉一些特殊情况下的直线． 3．中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ x 1＋x 22，y ＝ y 1＋y22.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．例题精讲【题型1、直线的两点式方程】【例1】已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中，(1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程．【方法总结】对直线的两点式方程的理解： (1)方程也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2，两者形式有异但实质相同； (2)当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为零(y 1＝y 2)时，不能用两点式表示；(3)如果将直线两点式转化为：(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，此时只要直线上两点不重合，都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线)．特别提醒：用直线的两点式表示方程时，一定要先确定直线的斜率存在且不为零，否则就需对直线的斜率进行探讨．【题型2、直线的截距式方程】【例2】直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l 的方程【方法总结】(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)对直线的截距式方程的理解：①截距式方程x a ＋yb＝1应用的前提是a ≠0且b ≠0，即直线过原点或与坐标垂直时不能用截距式方程； ②截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为“1”；③截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，在求直线方程时合理地选择形式，会加快解题速度．【题型3、与截距有关的三角形面积问题】【例3】直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．【方法总结】利用截距求面积：(1)截距式方程是两点式的一种特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点)，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长时较方便．(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距的大小，因此，需要进行分类讨论．【巩固训练】1.求经过下列两点的直线方程：(1)A (2,5)，B (4,3)；(2)A (2,5)，B (5,5)；(3)A (2,5)，B (2,7)．2.已知直线过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．3.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，若直线过定点A (－3,4)，求直线l 的方程．4.求过点A (3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线是________．（三）直线方程的一般式知识梳理1．直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程________________(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义：①当B ≠0时，则－A B ＝k (斜率)，－C B＝b (y 轴上的截距)；②当B ＝0，A ≠0时，则－C A＝a (x 轴上的截距)，此时不存在斜率．(4)二元一次方程与直线的关系：二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．[破疑点] AB >0时，k <0，倾斜角α为钝角；AB <0时，k >0，倾斜角α为锐角； A ＝0时，k ＝0，倾斜角α＝0°； B ＝0时，k 不存在，倾斜角α＝90°. 2．直线方程的一般式与其他形式的互化一般式化斜截式的步骤： ①移项：By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B. 一般式化截距式的步骤：①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ； ②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③再化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.3．直线方程五种形式的比较名称 方程常数的几何意义适用条件点 斜 式一般 情况 y －y 0＝k (x－x 0)(x 0，y 0)是直线上的一个定点，k 是斜率直线不垂直于x轴斜截式y ＝kx ＋bk 是斜率，b 是直线在y 轴上的截距直线不垂直于x 轴名称 方程 常数的几何意义 适用条件两点式一般 情况 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线上的两个定点直线不垂直于x 轴和y 轴截 距 式 x a ＋yb ＝1 a ，b 分别是直线在x 轴，y 轴上的两个非零截距直线不垂直于x 轴和y 轴，且不过原点一般 式 Ax ＋By ＋C ＝0 A ，B 不同时为0 A ，B ，C 为系数任何情况 特殊直线x ＝a (y 轴：x ＝0)垂直于x 轴 斜率不存在且过点(a,0) y ＝b (x 轴：y ＝0) 垂直于y 轴且过点(0，b ) 斜率k ＝0例题精讲【题型1、直线的一般式方程】【例1】设直线l 的方程为2x ＋(k －3)y －2k ＋6＝0(k ≠3)，根据下列条件分别确定k 的值：(1)直线l 的斜率为－1；(2)直线l 的在轴、y 轴上的截距之和等于0.【方法总结】直线的一般式转化为其他形式的步骤(1)一般式化为斜截式的步骤．①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －C B .(2)一般式化为截距式的步骤．①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By －C＝1； ③化为截距式：x －C A ＋y －C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是惟一的，而两点式和点斜式不惟一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．【题型2、平行与垂直的应用】【例2】(1)①过点A (2,2)且与直线3x ＋4y －20＝0平行的直线方程为________．②过点A (2,2)且与直线3x ＋4y －20＝0垂直的直线方程为________．(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1∥l 2？l 1⊥l 2?【方法总结】 1.利用一般式解决平行与垂直问题策略已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)．(2)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程．(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋C 1＝0，再由直线所过的点确定C 1；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 2＝0，再由直线所过的点确定C 2.【巩固训练】1.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5,3)；(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(3)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(4)在x 轴，y 轴上的截距分别是－3，－1.2.当a 为何值时，直线ax ＋3y ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋13)y －1＝0垂直？【课后作业1】1．过点P (－2,0)，斜率为3的直线的方程是( )A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝3(x －2)D ．y ＝3(x ＋2)2．经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是( )A ．y ＋2＝3(x －3)B ．y －2＝33(x ＋3) C ．y －2＝3(x ＋3) D ．y ＋2＝33(x －3) 3．下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是( )A ．x ＝3B ．y ＝－5C ．2y ＝xD ．x ＝4y －14．过点(2,1)，平行于y 轴的直线方程为________．平行于x 的轴的直线方程为________．5．已知两直线y ＝ax ＋1和y －3＝(2＋a )(x －π)互相垂直，则a ＝________.6．直线l 经过点P (3,4)，它的倾斜角是直线y ＝3x ＋3的倾斜角的2倍，求直线l 的点斜式方程．【课后作业2】1．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示2．过A (1,1)、B (0，－1)两点的直线方程是( ) A ．y ＋11＋1＝x 1 B ．y －1－1＝x －1－1 C ．y －10－1＝x －1－1－1D ．y ＝x 3．在x 轴、y 轴上的截距分别是2、－3的直线方程为( )A ．x 2＋y 3＝1B ．x 2－y 3＝1C ．y 3－x 2＝1D ．x 2＋y 3＝0 4．如图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋y b＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <05．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距和为0的直线方程为________．6．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【课后作业3】1．直线3x －2y －4＝0的截距式方程为( )A ．4x 3－y 2＝1B ．x 13－y 12＝1C ．3x 4－y －2＝1D ．y 43＋y －2＝1 2．若ac <0，bc <0，则直线ax ＋by ＋c ＝0的图形只能是( )3．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和第二、四象限，则( )A．C＝0，B>0 B．C＝0，B>0，A>0 C．C＝0，AB<0 D．C＝0，AB>0 4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 5.直线2x－4y－8＝0的斜率k＝________，在y轴上的截距b＝________.6．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线，(1)求实数m的范围．(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．。
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直线的方程（2） 学案
班级 学号 姓名
学习目标
1. 掌握直线方程的两点式、截距式，了解直线方程的两点式、截距
式之间的联系与区别；
2. 能根据条件熟练地求出满足已知条件的直线方程；
3. 明确直线方程的两点式、截距式适用的条件．
课堂学习
一、重点难点
重点：直线方程的两点式、截距式；
难点：直线方程的两点式和截距式适用的条件．
二、知识建构
1.求出符合下列条件的直线方程：
（1）直线经过点(1,2)，1
(1,)2
-； （2）直线经过点(1,2)，(1,2)-；
（3）直线经过点(0,2)，(1,0)； （4）直线经过点(1,2)，(1,2)--．
2.问题：我们知道已知直线的斜率及其上的一个点，或已知直线的斜率及其在y 轴上的截距能求出直线方程；如果已知直线经过两个点，或已知直线的在x 轴上的截距和在y 轴上的截距如何求直线方程？ 已知直线l 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠，求直线l 的方程．
小结：⑴经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线方程的两点式
为 ；
适用范围
是 ．
⑵已知直线l 与x 轴的相交于点(,0),a 则称a 直线在 ，与y 轴相交于(0,),b 则称b 为直线l 在 ，当0,0,a b ≠≠则直线l 的方程
1x y a b
+=叫做直线的 方程
三、典型例题 例1．分别写出经过下列两点的直线方程
（1）)2,1(),3,1(- （2）)0,2(),3,0(-
例2．已知直线l 与x 轴 的交点(,0)a ，与y 轴 的交点(0,)b ，其中0,0a b ≠≠，求直线l 的方程．
例3．三角形的顶点是(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形三边所在直线方程．
例4．求经过点(4,3)-且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
变式1：上题中改为求绝对值相等的直线方程，结果如何？
变式2：求过点(4,3)M -,并且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距2倍的直线的方程;
变式3：求过点(4,3)M -,且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求此直线的方程.
课后复习
1.在x 轴，y 轴上的截距分别为2,3-的直线方程的截距式为 .
2.将两点式3
23212---=--x y 转化为截距式为 ． 3.过点()4,3-且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程有 个．
4.直线230x y a --=在坐标轴上的截距之和为 .
5.如果直线043=+-k y x 在两坐标轴上的截距之和为2，那么实数k 的值
为 ．
6.过点()0,2P -，()3,0Q 的直线的截距式方程为 ．
7.直线)
3(03212---=---x y 的倾斜角为 ． （以下各题选做在作业本上）
8.已知两点)12,8(),2,3(B A
（1）求出直线AB 方程；
（2）若点),2(a C -在直线AB 上，求实数a 的值．
9.已知菱形的两条对角线长分别为8和6,以菱形的中心为坐标原点,较长对角线所在的直线为x 轴,建立直角坐标系,求出菱形各边所在的直线方程．
10.直线l 经过点()3,1-,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,求直线l 的方程．
11.求过点)1,3
(-
P，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l方程．
12.已知直线l过点(2,1)
P，且与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B．
当ABO
∆面积为9
2
个平方单位时，求直线l的方程．。