广东省广州高一下学期期中考试数学试卷
广东省广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷注意事项：1、本试卷分第1卷（选择题）和第2卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、座位号、学校、班级等考生信息填在答题卡上．2、回答第1卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3、回答第2卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第1卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知i 是虚数单位，复数，则的虚部为（）A. 1B. 2C. iD. 2. 已知条件，条件，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知角的终边过点(4，－3)，则＝( )A.B. C.D. 4. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是A.B. 1C.D.5. 若，，，则大小关系是（ ）的2i z =+i z ⋅2i:240p x ->2:560q x x -+<θcos()πθ-3535-4545-ABC ∆12AN AC P = ，BN 14AP mAB AC =+m 1412321.20.9a =0.91.2b = 1.2log 0.9c =,,a b cA. B. C. D. 6. 已知单位向量满足，则与的夹角为A.B.C.D.7. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为（ ）A.小时 B.小时 C.小时 D.小时8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 三边互不相等的三角形D.10. 的内角A ，B ，C 的对边分别为，则（ ）A. B. .a b c>>c b a >>b a c >>c a b>>,a b3a b +=a b 6π4π3π2π12783423()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩()22()f m f m ->m (2,1)-(,1)(2,)-∞-⋃+∞(,2)(1,)-∞-+∞ (1,2)-ABC V 1B O C O ''''==A O ''=ABC V ABC V π,,,2,3a b c a b A ===3c =sin B =C. D.外接圆的面积为11. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数图象向右平移个单位可得函数图象D. 若方程在上有两个不等实数根，，则．第2卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知，，则______．13. 已知中，，，，则__________．14. 圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为2cm ，下底面半径为3cm ，圆台母线长为4cm ，则该圆锥的侧面积为_______cm 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在中，角所对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面积.16. 已知：向量．的的sin C =ABC V 7π3()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>π2ϕ<()f x π()f x 5π12x =-()f x π62sin y x =()()R f x m m =∈ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x 2x ()121cos 2x x +=π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭3sin 5α=sin 2α=ABC V 5a =8b =60C = BC CA ⋅=ABC V ,,A B C a b c 222a c b ac +=-B a =3b =ABC V (3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=（1）求；（2）求夹角的余弦值；（3）若，求实数值．17. 已知函数.（1）求的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明.18. 如图，在正四棱柱中，，是的中点.（1）求证：平面；（2）若正四棱柱的外接球的表面积是，求三棱锥的体积.19. 的内角，，的对边分别是，，，已知．（1）求；（2）若是锐角三角形，，求周长的取值范围．的a b c +-,a b()a kb c +∥k 1()2x f x x +=+[(1)]f f ()f x (2,)-+∞1111ABCD A B C D -12AA AD =M 1DD 1//BD MAC 24π1D MAC -ABC V A B C a b c sin cos c B b A =+B ABC V 3b =ABC V广州市禺山高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案第1卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多选题，本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB第2卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】##【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（Ⅰ）【16题答案】【答案】（1（2（3）【17题答案】【答案】（1）（2）函数在区间上单调递增，证明略.【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】【答案】（1）（2）2425-0.96-20-36π120B ︒=59k =-58()f x (2,)-+∞433B π=(3,9⎤+⎦。
广东省广州高一下学期期中数学试题(解析版)
第二学期期中质量检测高一数学说明：本试卷分客观题和主观题两部分，客观题共60分，主观题共90分，全卷150分.客观题需用2B 铅笔填涂到答题卡上，主观题用黑色字迹签字笔或钢笔作答.考试时间120分钟.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1. 设复数（其中为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）()i 12i z =+i z A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案. z 【详解】解：，()i i 12i 2z =+=-+所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. z ()2,1-故选：B .2. 设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的 αβm m α⊂m βA αβA A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.3. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ）ABCD M AB AC DM O OM =A.B.1163OM AB AD =-1233OM AB AD =-C.D.1122OM AB AD =- 1143OM AB AD =- 【答案】A 【解析】【分析】设，则，再根据三点共线可AO xAC =()2AO x AC x AB AD x AM x AD ==+=+ ,,O D M 求得，再根据平面向量的线性运算结合图形即可得出答案. x 【详解】解：设，AO xAC =则，()2AO x AC x AB AD x AM x AD ==+=+ 因为三点共线，,,O D M 所以，解得， 21x x +=13x =则1133AO xAC AB AD ==+ 所以.1111133263OM OA AM AB AD AB AB AD =+=--+=-故选：A.4. 在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为1111ABCD A B C D -,E F ,AB AD 1B C EF （ ） A. B.C.D.30 45 60 90 【答案】C 【解析】【分析】由题易得,连接,即可得出为等边三角形,从而得出所求角的大小为60°. 11//EF B D 1CD 11B CD A 【详解】如下图所示,连接111,,BD B D D C ,11//,//EF DB DB D B 11//EF D B ∴则异面直线与所成角为1B C EF 11D B C ∠,即为等边三角形1111D B B C D C == 11B CD A .1160D B C ︒∴∠=故选:C.5. 已知，且三点共线，则（ ） ()()(),0,0,1,3,1A m B C -,,A B C m =A.B.C. D. 322332-23-【答案】A 【解析】【分析】利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.【详解】由，得,()()(),0,0,1,3,1A m B C -()(),1,3,2AB m BC =-=-因为三点共线，所以，即，解得. ,,A B C //AB BC()()2130m -⨯--⨯=32m =所以. 32m =故选：A.6. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向ABC A O 2,||||AO AB AC AO AB =+=BABC量为（ ）A.B.14BCBCC.D. 14BC -BC 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由向量加法的性质可得为的中点，又由，分析可得为正三O BC ||||AO AB =ABO A角形，则有，结合投影向量的计算公式计算可得答案．1||||2BA BC =【详解】根据题意，若，则为的中点，故边为圆的直径， 2AO AB AC =+O BC BC O 又由，则为正三角形，则有， ||||AO AB =ABO A 1||||2BA BC = 则向量在向量上的投影向量, BA BC ||cos 60||BC BA BC ⨯14BC = 故选：A ．7. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为（ ）A. B.C.D.(8π+(10π+【答案】D 【解析】【分析】根据题意及圆柱、球的对称，可求得圆柱底面圆半径，根据圆柱表面积的求法，即可得答案.，设圆柱底面圆半径为r ，根据圆柱和球的对称性可得，r ==所以圆柱的表面积.2222(10S πππ=⨯+=+故选：D8. 如图，在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c （），分别以边AB ，AC ，BC Rt ABC △a b c >>所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其体积分别为，，，则（ ）1V 2V 3VA. B. 123aV bV cV ==213aV bV cV ==C. D.321aV bV cV ==132aV bV cV ==【答案】A 【解析】【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的体积，即可得答案．【详解】解：当绕边旋转时，其体积； a 22211(33bc b c V a a a ππ=⨯⨯⨯=当绕边旋转时，体积；b 2221133V c b bc ππ=⨯⨯=当绕边旋转时，体积．c 2231133V b c b c ππ=⨯⨯=∴． 123aV bV cV ==故选：A ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9. 对于任意向量，，，下列命题正确的是（ ）a b cA. 若，，则B. 若，则//a b r r//b c //a ca b b c ⋅=⋅r r r r a c =C. 若，，则D. 若 ，则a b =b c = ac = a b a b -=+ 0a b ⋅= 【答案】CD 【解析】 【分析】A. 由判断；B. 由，转化为判断；C.根据相等向量的概念判断；D. 由0b = a b b c ⋅=⋅r r r r()0b a c ⋅-= 转化为运算判断.a b a b -=+ 22a b a b -=+ 【详解】A. 当时，满足，，但不一定共线，故错误；0b = //a b r r //b c,a c B. 因为，所以，所以，故错误；a b b c ⋅=⋅r r r r()0b a c ⋅-= ()b ac ⊥- C. 因为，，所以，故正确；a b =b c = a c =D. 因为 ，所以，即，故正确；a b a b -=+ 22a b a b -=+ 0a b ⋅= 故选：CD10. 设l ，m 是空间中不同的直线，，，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） αβγA. 若，，，则 //l m m α⊂l α⊄//l αB .若，，，则 l ⊂αm β⊂//αβ//l m C. 若，，，，则l ⊂αm α⊂l //β//m β//αβD. 若，，，则 //αβl αγ= m βγ= //l m 【答案】AD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理，可判定A 正确；根据两平行平面内的直线平行或异面，可判定B 不正确；根据面面平行的判定定理，可判定C 不正确；根据根据面面平行的性质，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，.若，，，根据线面平行的判定定理，可得， //l m m α⊂l α⊄//l α所以A 正确； 对于B 中，若，，，则直线与平行或异面，所以B 不正确；l ⊂αm β⊂//αβl m 对于C 中，若，，，，只有当与相交时，才能得到，所以C 不正l ⊂αm α⊂l //β//m βl m //αβ确；对于D 中，若，，，根据面面平行的性质，可得， //αβl αγ= m βγ= //l m 所以D 正确. 故选：AD.11. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） ABC A ()()()::9:10:11a b a c b c +++=A. B. 是钝角三角形sin :sin :sin 4:5:6A B C =ABC AC. 的最大内角是最小内角的倍D. 若，则ABC A 26c =ABC A 【答案】ACD 【解析】【分析】先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A ，D 的正误, 结合余弦定理可得B ，C 的正误. a b c 【详解】由题意,设,9,10,11a b x a c x b c x +=+=+=解得; 4,5,6a x b x c x ===所以, sin :sin :sin 4:5:6A B C =所以A 正确; 由以上可知最大,C ()()()2224561cos 02458x x x C x x+-==>⨯⨯所以为锐角, C 所以B 错误; 由以上可知最小,A ,()()()2225643cos 2564x x x A x x+-==⨯⨯, 291cos22cos 121168A A =-=⨯-=即,cos cos2C A =因为为锐角,为锐角,所以 C 2A 2C A =所以C 正确;因为，所以, 1cos 8C =sin C ==设外接圆的半径为,则由正弦定理可得ABC A r 2sin c r C ==所以 r =所以D 正确. 故选: ACD .12. 如图，四棱锥的底面为菱形，，底面，P 是S ABCD -3,60AB SD DAB ==∠=︒SD ⊥ABCD 上任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） SCA. 若平面，则B. B 到平面 //SA PBD //SA PO SACC. 当P 为中点时，过P 、A 、B 的截面为直角梯形 D . 当P 为中点时，有最小值SC SC DP PB +【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据线面平行的性质定理证明判断；对于B ：利用等体积法求D 到平面的距离；SAC 对于C ：根据三角形中位线先证∥，则过P 、A 、B 的截面为，再利用长度结合勾股定PM AB ABPM 理证；对于D ：借助于侧面展开图分析判断．PM PB ⊥【详解】∵平面，平面，平面平面 //SA PBD SA ⊂SAC PBD SAC PO =∴，A 正确；//SA PO设B 到平面的距离为，则有SAC h SA SC AC ===∵，即，则B 正确； B SAC S ABC V V --=11113333232h ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯h =当P 为中点时，如图1，取的中点，连接 SC SD M ,,PM AM MB 则∥， PM CD PM 12CD =∵∥，则∥AB CD PM AB∴过P 、A 、B 的截面为，则 ABPM 33,2PB BM PM ===∴，则，即为直角梯形，C 正确；222BM PM PB =+PM PB ⊥ABPM借助于侧面展开图，如图2，连接交于点，此时为最小值 DB SC P DP PB +若P 为中点时，∵，则 SC SD CD =DP SC ⊥∴，这与题意相矛盾，D 错误； BC SB =故选：ABC ．【点睛】三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知复数，其中为虚数单位，则___________． 2022i i z =-+i z =【解析】【分析】根据的多次方的周期性，可知，进而根据复数的模的公式求解即可.i ()505202242i i i 1=⋅=-【详解】因为，，， 2i 1=-3i i =-41i =所以，()505202242i i i 1=⋅=-所以，则，1i z =+z ==14. 已知向量、满足，，、的夹角为，则______.a b 3a = 4b = a b60︒a b -=【解析】【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：向量、满足，，、的夹角为，a b 3a = 4b = a b60︒则.a b -===15. 已知平行四边形中，、、的坐标分别为、、，则点的坐标为ABCD A B C ()2,1-()1,3-()3,4D ______. 【答案】()2,2【解析】【分析】本题可根据得出结果.AB DC =【详解】设，则，，(),D x y ()1,2AB = ()3,4DC x y =--因为四边形是平行四边形，所以，ABCD AB DC =则，解得，， 3142x y -=⎧⎨-=⎩2x =2y =()2,2D 故答案为：.()2,216. 已知正方体表面积为S ，体积为V ，从该正方体中切割出一个四面体，1111ABCD A B C D -11C A BD -其表面积，体积为，则________，________. 1S 1V 1S S =1VV=【答案】 ①.②.13【解析】【分析】根据正方体的特征，利用锥体的表面积和体积计算公式即可求解.【详解】设正方体的棱长为，由正方体的性质可知，四面体每个面均是1111ABCD A B C D -a 11C A BD -的正三角形，所以， 2214)S ==因为，所以， 26S a =1S S ==111111111A ABD C A B B C BCD D A C D V V V V V V ----=----31111111132323232a a a a a a a a a a a a a =-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯， 313a =则， 3131133a V V a ==；. 13四、解答题（本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余各题均为12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知复数（其中且，为应数单位），且为纯虚数.11i z a =+a R ∈a<0i 21z （1）求实数a 的值；（2）若，求复数的模. 1221iz z =++2z 2z 【答案】（1）1a =-（2【解析】【分析】（1）先求得，再根据是纯虚数建立方程即可求出； 22112i z a a =-+21z （2）根据复数除法运算法则求出，即可求出.2z 2z 【小问1详解】由已知得：，且是纯虚数 22112i z a a =-+21z ，∵，∴. 21020a a ⎧-=∴⎨≠⎩a<01a =-【小问2详解】由（1）得：，∴ 11i z =-()()()2121i 1i 2222i 1i 1i 1i 1i z z --=+=+=+=-+++-∴22i z =-=18. 在平而直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为和，，xOy i j 2OA i j =+ .24O i B j =- （1）求向量与夹角的余弦值；OA OB （2）若点P 是线段的中点，且向量与垂直，求实数k 的值.AB OP OA kOB + 【答案】（1） 35-（2） 114【解析】【分析】（1）用坐标表示向量，然后由数量积的定义求得夹角余弦值；（2）由向量与的数量积为0可求得．OP OA kOB +k 【小问1详解】 由已知得，，()1,2OA = ()2,4OB =-u u u r 所以：，，，12246OA OB ⋅=⨯-⨯=-u u r u u u r OA ==OB ==u u u r 所以所求余弦值为． 35OA OB OA OB⋅==-u u r u u u r u u r u u u r 【小问2详解】因为，，而向量与向量有垂直， ()12,24OA kOB k k +=+-u u r u u u r 3,12OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r OP OA kOB + 所以，所以．所以 ()0OA kOB OP +⋅= ()()3122402k k +--=114k =19. 如图，一个高为8的三棱柱形容器中盛有水，若侧面水平放置时，水面恰好过，11AA B B ,AC BC ，的中点E ，F ，G ，H .11B C 11AC（1）直接写出直线FG 与直线、直线FG 与平面的位置关系（不要求证明）；1A H 11ABB A （2）有人说有水的部分呈棱台形，你认为这种说法是否正确？并说明理由.（3）已知某三棱锥的底面与该三棱柱底面全等，若将这些水全部倒入此三棱锥形的容器中，则水ABC A 恰好装满此三棱锥，求此三棱锥的高.【答案】（1）直线FG 与直线异面；直线FG 与平面平行；1A H 11ABB A （2）不正确，理由见详解；（3）18【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，异面直线的定义进行判断即可；（2）根据棱台的定义进行判断即可；（3）根据棱锥和棱柱的体积公式进行求解即可.【小问1详解】因为水面恰好过AC ，BC ，，的中点E ，F ，G ，H ，11B C 11AC 所以 111111//,//,,,22HG A B EF AB HG A B EF AB ==又且11//,A B AB 11,A B AB =因此且，所以四边形是平行四边形，//HG EF ，HG EF =EFGH 则平面平面，因为平面，所以平面，//EFGH 11ABB A FG ⊂EFGH //FG EFGH 由四边形是平行四边形可得，，而，EFGH //FG EH 1A H EH H = 所以直线FG 与直线不可能平行，1A H 而面平面，所以直线FG 与直线不可能是相交直线，EFGH 111A B C HG =1A H 所以直线FG 与直线是异面直线；直线FG 与平面平行.1A H 11ABB A 【小问2详解】不正确；因为棱台各侧棱交于一点，易知无交点， 1AEA H A 所以该几何体不是棱台；【小问3详解】设此三棱锥的高为，底面面积为S ，h 容器中水的形状为棱柱，体积为 3864S S ⨯=所以有，解得，即三棱锥的高为18.163S h S ⋅⋅=18h =20. 在中，.ABC A 22sin sin sin sin sin ()A B C C B -=-（1）求A ；（2）若点D 在BC 边上，，求的面积. BD CD ==AD =ABC A 【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求出A ；（2）判断出D 在BC 中点， 结合向量，利用向量的模长公式得到一个关于边长的方()12AD AB AC =+ 程，再结合余弦定理的方程，即可求出，从而求出面积.bc 【小问1详解】由正弦定理得：22sin sin sin sin sin ()A B C C B -=-，，22()a b c c b -=-222a b c bc =+-结合余弦定理得：，1cos 2A =且在三角形中，，.0πA <<π3A ∴=【小问2详解】所以,D 是BC 的中点，BD CD ==a =，()12AD AB AC ∴=+=即，，()2172AB AC ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦ 22π2cos 283c b bc ++=且,22212a b c bc =+-=两式相减得：,216,8bc bc ==所以，1πsin 23ABC S bc A ==21. 如图，在四棱锥中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，，，P ABCD -6AB =6ABC π∠=，点E 、F 分别为棱PD 、AB 的中点． 5PA =（1）证明：AE //平面PCF ；（2）求三棱锥的体积．E PCF -【答案】（1）证明见解析（2） 152【解析】【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得面.//AE PCF （2）通过等体积变换的方法求得三棱锥的体积.E PCF -【小问1详解】取的中点G ，连接，，PC EG FG 因为、F 、G 分别为、、的中点，故，且，且E PD AB PC //EG CD 12EG CD =//AF CD ，故且，所以四边形为平行四边形， 12AF CD =//EG AF EG AF =AEGF ，又面，面，面．AE //FG ∴AE ⊂/ PCF FG ⊂PCF AE //∴PCF【小问2详解】由（1）可知，面，且F 为的中点，AE //∴PCF AB 底面为菱形，，， ABCD 6AB =π6ABC ∠=13E PCF A PCF P ACF ACF V V V S PA ---===⋅⋅△. 1111566sin 532262π⎛⎫=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎪⎝⎭22. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与B A C 5nmile小岛相距为.为钝角，且. D BAD ∠3sin 5A =（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；A D （2）记为，为，求的值.BDC ∠αCBD ∠βsin(2)αβ+【答案】（1）2，18平方（2 nmile n mile 【解析】【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；cos A ABD △（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以BCD △sin αcos α及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果. sin()αβ+cos()αβ+【详解】（1）因为，且角为钝角，所以. 3sin 5A =A 4cos 5A ==-在中，由余弦定理得，，ABD △2222cos AD AB AD AB A BD +-⋅⋅=所以，即，2224525()5AD AD +-⋅⋅-=28200AD AD +-=解得或（舍），2AD =10AD =-所以小岛与小岛之间的距离为.A D 2nmile ∵，，，四点共圆，∴角与角互补，A B C D A C ∴，， 3sin 5C =()4cos cos 180cos 5C A A =︒-=-=在中，由余弦定理得：，BDC A 2222cos CD CB CD CB C BD +-⋅⋅=∴， (22245255CD CD +-⋅⋅=∴.28200CD CD --=解得（舍）或.2CD =-10CD =∴ ABC BCD ABCD S S S =+△△四边形11sin sin 22AB AD A CB CD C =⋅⋅+⋅⋅. 131352510315182525=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.n mile（2）在中，由正弦定理，，即， BCD △sin sin BC BD C α=5sin α=解得 sin α=又因为，DB BC >所以，且为锐角，所以为锐角，C α<C α所以，又因为，cos α=3sin()sin(180)sin 5C C αβ+=-== ， 4cos()cos(180)cos 5C C αβ+=-=-=-所以sin(2)sin[()]sin cos()cos sin()αβααβααβααβ+=++=+++=。
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高一下学期期中数学质量检测试题试题说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分，考试时间为120分钟．第一部分 选择题（共58分）一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分．1．i 是虚数单位，若复数，则z 的共轭复数（ ）．6i 2i 1i z +=+z =A ．B ．C ．D ．13i 22-13i 22+13i 22-+31i 22-2．已知向量，向量在向量上的投影向量（ ）()()1,1,2,0a b =-= a b c = A ．B ．()2,0-()2,0C ．D ．()1,0-()1,03．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．92π72π52π32π4．年月日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵201892489士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在年，德国数学家黎曼向科1859学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字的素数个数大约可x 以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论，估计以内的素数个数为（ ）（素()πln xx x ≈10000数即质数，，计算结果取整数）lg e 0.43≈A ．B ．C ．D ．1079107543425005．在中，角对边为，且，则的形状为（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 22cos 2Ac b c ⋅=+ABC A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6．已知圆锥的底面圆周在球O 的表面上，顶点为球心O ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．32π37．已知平行四边形中，，，．若点满足，点ABCD 8AB = 4AD = π3A ∠=M 15AM MB = 为中点，则（ ）N AB ()DM DA DN ⋅+=A ．B ．C ．D ．61224308．是定义在R 上的偶函数，对，都有，且当时，()f x R x ∀∈(2)(2)f x f x -=+[2,0]x ∈-.若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ）aA ．B ．C ．D ．(1,2)(2,)+∞二、多项选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）A ．，则()(),R,i 234i 2ix y x y y ∈++=-+5x y +=B ．3i 1i+>+C ．若，则复数z 对应的点位于第四象限2(1)i 2z =+D ．已知复数z 满足，则z 在复平面内对应的点的轨迹为圆|2i |3z -=10．下列说法中正确的有（ ）A ．设正六棱锥的底面边长为1B ．用斜二测法作△ABC 的水平放置直观图得到边长为a 的正三角形，则△ABC 2C ．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分D ．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．11．给出以下命题正确命题的选项为（ ）A ．要得到的图象，只需将图象沿轴方向向左平移个单位cos 2y x =sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12πB ．函数的最大值为2sin cos 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．定义运算，则且，设，,:,a a b a b b a b ≤⎧⊗⊗=⎨>⎩()sin f x x =()cos ()g x x x =∈R ()()()F x f x g x =⊗则的值域为()F x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．函数，当等时恒有解，则的范围是2()4sin4cos 1f x x x a =-++-2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0f x =a [4,5]-第二部分 非选择题（共92分）三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分．12．四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，，,,A B C 13i +2i -，则点D 对应的复数为．3i -+13．已知向量满足，则.21,ee 12121e e e e ==-=122e e +=14．如图，直角三角形的三个顶点分别在等边三角形的边、、上，且PQR ABC AB BC CA ，，，则长度的最大值为PQ =2QR =2PQR π∠=AB 四、解答题：本题包括5小题，共77分．15．在锐角中，的对边分别为ABC ,,A B C ,,a b c 2sin c A =(1)确定角的大小；C (2)若，求边.c =6ab =,a b16．已知向量是同一平面内的三个向量，其中．,,a b c(1,1)a =-r(1)若，且，求向量的坐标；c =//c a c (2)若是单位向量，且，求与的夹角.b (2)a a b ⊥- a bθ17．已知.()()sin 0f x x ωω=>(1)函数的最小正周期是，求，并求此时的解集；()y f x =4πω1()2f x =(2)已知，，求函数，的值域.1ω=2π()()()()2g x f x x f x =+--()y g x =π[0,4x ∈18．如图，四边形为梯形，ABCD，，．//AB CD 2AB CD ==tan A =1cos 3ADB ∠=(1)求的值；cos BDC ∠(2)求的长．BC 19．已知函数，．2()lg()1f x a x =+-a R ∈(1)若函数是奇函数，求实数的值；()f x a (2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；()y f x =lg 2xy =(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取[)1,2x ∈(2)x y f =lg(42)xy =-a 值范围．【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得.【详解】依题意，，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-所以.13i22z =-故选：A 2．C【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量，()()1,1,2,0a b =-=所以向量在向量上的投影向量，ab ()21,0a bc b b⋅=⋅=- 故选：C 3．D【分析】由旋转体的概念得旋转是一个大圆锥去掉一个小圆锥，由圆锥体积公式可得．【详解】依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，OA ＝AB ·cos 30°＝∴旋转体的体积为π2·(OC －OB )＝.1332π故选：D.4．B 【分析】计算的值，即可得解.()10000π【详解】因为，()1000010000100002500lg 25000.431075ln100004ln10πe ===≈⨯=所以，估计以内的素数个数为.100001075故选：B.【分析】先根据二倍角公式化简，根据余弦定理化简得到即可得到答案.2cos 2A222c a b =+【详解】因为，22cos 2Ac b c⋅=+所以，即，1cos 22Ac b c +⋅=+cos c c A b c +=+所以，cos c A b =在中，由余弦定理：，ABC 222cos 2b c a A bc +-=代入得，，即，2222c b b c a bc +-⋅=22222b c a b +-=所以.222c a b =+所以直角三角形.ABC 故选：B 6．B【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长即得球的半径，再利用球的体积公式计算得解.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，r l 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得，得．π2πl r =2l r =由圆锥的高为3，解得3=3=l =因此球的半径.O R l ==34π3R =故选：B 7．C【分析】将向量、、用基底表示，结合平面向量数量积的运算性质可DM DA DN {},AB AD求得的值.()DM DA DN ⋅+ 【详解】如下图所示：因为，则，又因为点为的中点，则，15AM MB = 16AM AB = N AB 12AN AB=，16DM AM AD AB AD=-=- ，1222DA DN AD AN AD AN AD AB AD+=-+-=-=- 所以，()2211152262126DM DA DN AB AD AB AD AB AB AD AD⎛⎫⎛⎫⋅+=-⋅-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .222215π151cos 2884242412631262AB AB AD AD =-⋅+=⨯-⨯⨯⨯+⨯= 故选：C.8．C【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函()f x 数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.()f x []2,6-【详解】由，可得：.(2)(2)f x f x -=+()()4f x f x -=+又因为是定义在R 上的偶函数，()f x 则，且函数图象关于轴对称.()()f x f x -=()f x y 所以，即的周期为4.()()4f x f x +=()f x 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[2,0]x ∈-()f x ()f x 上的图象.[]2,6-令()log (2)(1)a g x x a =+>若在区间内关于x 的方程至少有2个不同的实数根，至多有(2,6]-()log (2)0(1)a f x x a -+=>3个不同的实数根，则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不()f x ()log (2)(1)a g x x a =+>(2,6]-同的交点.所以，即.()()()()2266g f g f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩()()log 223log 623a a ⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩2a ≤<故答案为：C【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；()f x ()f x ()g x 将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.9．AD【分析】根据复数相等的充要条件即可求解A ，根据复数的性质即可求解B ，根据复数的几何意义即可求解CD.【详解】A ：由题意，(i)2(2)i (34i)2i 3(24)i x y x y y y ++=++=-+=+-所以，解得，，所以,故A 正确，2324x y y +=⎧⎨=-⎩1x =4y =5x y +=B ：因为两个复数不能比较大小，所以B 不正确；C ：因为，所以复数z 对应的点位于第二象限，因此C 2(12i)14i 434i z =+=+-=-+()3,4-不正确；D ：因为，所以z 在复平面内对应的点的轨迹为圆心为，半径为3的圆，因此|2i |3z -=()0,2D 正确，故选：AD10．ACD【解析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可.对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可.对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可.对D,利用反证法证明即可.【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S 底面积＝6•1×1×sin60°；12⨯=则棱锥的高h 2,==所以该棱锥的体积为VS 底面积h 2正确；13=13==对于B,水平放置直观图是边长为a 的正三角形,直观图的面积为S ′a 2×sin60°,则原12=⨯2=△ABC 的面积为S ＝′＝a 22,所以B 错误；=对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C 正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D 正确；综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题.11．ABD【分析】对于A ，由三角函数的平移变化即可判断A ；对于B ，用正、余弦的和差角公式及辅助角公式化简为，即可判断B ；对于C ，取时，即可判断C ；对于2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x π=D ，将化简，然后用二次函数求最值，即可判断D.()f x 【详解】对于A ，将图象沿轴方向向左平移个单位，则sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x 12π，所以A 正确；sin 2sin 2cos21232y x x xπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于B ，，当时，sin cos sin 2sin 363y x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 13x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以B 正确.max 2y =对于C ，，即，当时，(),()()()()()(),()()f x f x g x F x f x g x g x f x g x ≤⎧=⊗=⎨>⎩sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xF x x x x ≤⎧=⎨>⎩x π=，，所以C 错误.sin 0,cos 1ππ==-()()cos 1F x F ππ===-对于D ，()22()4sin 4cos 1=41cos 4cos 1f x x x a x x a=-++---++-，令，22=4cos 4cos 3,,43x x a x x ππ⎡⎤+--∈∈-⎢⎥⎣⎦12cos 1,t x ⎡⎤-⎢⎥=∈⎣⎦，所以在上单调递增，()221443442f t t t a t a⎛⎫=+--=+-- ⎪⎝⎭()f t 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，()min 142f t f a⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()()max 15f t f a ==-当时恒有解，则2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()0f x =404505a a a a --≤≥-⎧⎧⇔⎨⎨-≥≤⎩⎩所以的范围是，所以D 正确.a [4,5]-故选：ABD.12．##45i -+54i -【分析】利用复数的几何意义，结合平面向量相等的性质即可得解.【详解】依题意，因为三点对应的复数分别是，，，,,A B C 13i +2i -3i -+所以，()()()1,3,2,1,3,1A B C --因为是平行四边形，所以，设，ABCD AB DC =(),D x y 则，故，解得，()()1,43,1x y -=---3114x y --=⎧⎨-=-⎩45x y =-⎧⎨=⎩所以，则点D 对应的复数为.()4,5D -45i -+故答案为: .45i -+13【分析】由向量的数量积的运算公式，运算求得，结合，1212e e ⋅= 222121212244e e e e e e +=++⋅即可求解.【详解】由向量满足，21,e e12121e e e e ==-=可得，解得，22121212122122221e e e e e e e e e e ==-=+-=-⋅⋅= 1212e e ⋅= 又由，所以.2221212122441427e e e e ee +=++⋅=++=1e + .14【分析】选取角度作为变量，运用正弦定理将线段表示为角度的函数，进而运用三角函数的知识求解最值可得出结果.【详解】正三角形ABC 中，，设 ，则根据题意有：,60AB BC B C =∠=∠=︒QRC θ∠=， 180120RQC C QRC θ∠=︒-∠-∠=︒-9030BQP RQC θ∠=︒-∠=-︒中，BPQ 180150BPQ B BQP θ∠=︒-∠-∠=︒-中，根据正弦定理得：BQP ·sin sin sin sin BQ PQ PQ BPQ BQ BPQ B B∠=∴==∠∠∠中，根据正弦定理得：RQC ·sin 2sin sin sin sin sin 60CQ RQ RQ QRC CQ QRC C C θ∠=∴==∠∠∠︒2sin sin 60AB BC BQ QC θ∴==+=︒化简计算得：（()AB θϕ=+tan ϕ=当时，有最大值 ()sin 1θϕ+=AB .15．(1)π3C =(2)或23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案.sin sin a A c C =(2)由余弦定理可得，再由可求答案.2213a b +=6ab =【详解】（1及正弦定理得2sinc A =sin sin a A c C ==因为，故sin 0A >sin C =又锐角，所以.ABC π3C =（2）由余弦定理，22π2cos 73a b ab +-=，得6ab =2213a b +=解得:或.23a b =⎧⎨=⎩32a b =⎧⎨=⎩16．(1)或(3,3)c =- (3,3)c =- (2)π4【分析】（1）设，由，列出方程组，求得的值，即可求解；(,)c x y = c = //c a ,x y （2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解.(2)a a b⊥- 1a b ⋅= cos θ=【详解】（1）解：设，因为，且，(,)c x y = c = //c a 可得，解得或，22018y x x y +=⎧⎨+=⎩3,3x y =-=3,3x y ==-所以或.(3,3)c =- (3,3)c =- （2）解：因为，且，，(1,1)a =-r b 1b = 又因为，可得，所以，(2)a a b ⊥- 2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=1a b⋅= 则cos a b a b θ⋅=== 因为，所以.[]0,πθ∈π4θ=17．(1)，或；12ω=π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈(2).1[,0]2-【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出，再求出方程的解集即得.ω（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数性质求出值域即可.()g x 【详解】（1）依题意，，解得，则，由，得，2π4πω=12ω=1()sin 2f x x =1()2f x =1sin 22x =解得或，即或π2π26x k =+5π2π,Z 26x k k =+∈π4π3x k =+5π4π,Z 3x k k =+∈所以的解集为或.1()2f x =π{|4π3x x k =+5π4π,Z}3x k k =+∈（2）依题意，，()sin f x x =2π11()sin )sin()cos 2cos 222g x x x x x x x =--=-，111πcos 22sin(2)2226x x x =-=-+当时，，则有，，π[0,]4x ∈ππ2π2[,]663x +∈1πsin(2)126x ≤+≤11πsin(20226x -≤-+≤所以函数，的值域为.()y g x =π[0,]4x ∈1[,0]2-18．(2)BC =【分析】（1）计算出，利用两角和的余弦公式可求得sin ,cos ,sin A A ADB ∠的值；cos cos BDC ABD ∠=∠（2）在中，利用正弦定理可求出BD 的长，再在中利用余弦定理可求得BC ABD △BCD △的长.【详解】（1）因为，解得，sin tan cos A A A ==22sin cos 1A A +=sin A cos A =而，所以，1cos 3ADB ∠=sin ADB ∠==所以cos cos()cos()ABD A ADB A ADB π∠=-∠-∠=-∠+∠(cos cos sin sin )A ADB A ADB =-∠-∠13=因为，所以，所以．//AB CD BDC ABD ∠=∠cos cos BDC ABD ∠=∠=（2）在中，由正弦定理得，ABD △sin sin BD AB A ADB =∠因为．AB =sin sin AB A BD ADB ⋅==∠在中，由余弦定理得CBD △2222cos BC BD CD BD CD BDC=+∠-⋅⋅，2718233=+-⨯=所以BC =19．(1) .1a =(2) 函数与函数的图象有2个公共点；说明见解析.()y f x =lg 2x y =(3).(3)-+∞【详解】分析：（1）由题意可得，解出；()()0f x f x +-=1a =（2）要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数，1lg lg21x x x +=-22101x x --=-D 令，利用零点存在定理判断即可；()2211x F x x =---（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，令，则，上式整理得24221x x a +>--[)1,2x ∈2x t =[)2,4t ∈在恒成立，分类讨论即可.()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈详解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，()f x x ()()0f x f x +-=即，22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 22111a a x x ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.1x ≠1x ≠-上面等式左右两边同时乘以得()()11x x -+，化简得()()212121a x a x x ⎡⎤⎡⎤-+⋅+-=-⎣⎦⎣⎦，.()()2221430a x a a ---+=上式对定义域内任意恒成立，所以必有，x 2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩解得.1a =（2）由（1）知，所以，即，1a =()2lg 11f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭()1lg 1x f x x +=-由得或，101x x +>-1x <-1x > 所以函数定义域. ()f x ()(),11,D =-∞-⋃+∞由题意，要求方程解的个数，即求方程1lg lg21x x x +=-在定义域上的解的个数.22101x x --=-D 令，显然在区间和均单调递增，()2211x F x x =---()F x (),1-∞-()1,+∞又，()22112210343F --=--=-<-323212105252F -⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭- 且，.32322150122F ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭()22221101F =--=> 所以函数在区间和上各有一个零点，()F x 32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭即方程在定义域上有2个解，22101x x --=-D 所以函数与函数的图象有2个公共点.()y f x =lg2x y =（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）11x y x +=-2x y =()(),11,D =-∞-⋃+∞（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，[)1,2x ∈()2x y f =()lg 42x y =-必须使在上恒成立，24221x x a +>--[)1,2x ∈令，则，上式整理得在恒成立.2x t =[)2,4t ∈()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈方法一：令，.()()256g t t a t a =+-+-[)2,4t ∈① 当，即时，在上单调递增，522a -≤1a ≥()g t [)2,4所以，恒成立；()()()min 2425610g t g a a a ⎡⎤==+-+-=≥>⎣⎦② 当，即时，在上单调递减，542a -≥3a ≤-()g t [)2,4只需，解得与矛盾.()4320g a =+≥23a ≥-3a ≤-③ 当，即时，5242a -<<31a -<<在上单调递减，在上单调递增，()g t 52,2a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,42a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以由，解得()2min 561024a a a g t g --+-⎛⎫⎡⎤==> ⎪⎣⎦⎝⎭33a -<<+又，所以31a -<<31a -<<综合①②③得的取值范围是. a ()3-+∞方法二：因为在恒成立. 即，()2560t a t a +-+->[)2,4t ∈()2156t a t t ->-+-又，所以得在恒成立113t ≤-<2561t t a t -+->-[)2,4t ∈令，则，且，1u t =-[)1,3u ∈1t u =+所以， ()()22151656231u u t t u t u u -+++--+-⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭由基本不等式可知时，等号成立.）2u u +≥=[)1,3u =即，min 2u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以,2max max 562331t t u t u ⎡⎤⎡⎤-+-⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦所以的取值范围是.a ()3-+∞点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
广东省广州大学附属中学等三校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题答案
2023-2024学年下学期期中三校联考高一数学参考答案一、单选题1、B2、C3、C4、D5、A6、D7、A8、B二、多选题9、AD 10、BCD 11、ABD三、填空题12、()0,1− 13、325 14、22−四、解答题（注：利用公式A 12AOB A B B S x y x y =− 计算也可以）.11DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线. ………………2分理由如下：由于11////C A AC DE ，故11C D 、、、A E 四点共面，且平面11BCC B 平面11AC ED 1C E =，平面11ABB A 平面11AC ED 1A D =，平面ABC 平面11AC ED DE =，则DE 、DA 1、EC 1为截面与各木块表面的交线.………………4分（2）由于点O 为重心，DE //AC ，所以23DE AC =，又因为2AC =3A 1C 1，故11DE A C = 故几何体111A B C DEB −为棱柱，设棱台的高为h ，111C B A ∆的面积为S ，故111A B C DEB V S h −=⋅，………………7分由L K 、为1111B A C B 、的中点得11//KL C A ，又由于在正三棱台111C B A ABC −中DE //AC ，所以DE //KL ，L K E D 、、、四点共面.又因为2AC =3A 1C 1，点O 为重心，K C 2123313111111==⋅==C B C B BC CE ， 故四边形1CEMC 为平行四边形，故1//K CC E ，所以11//K A ACC E 平面，又11//A ACC DE 平面，所以11//A ACC DEKL 平面平面，所以当点KL M ∈时KL DE OM 平面⊆，于是11A C //AC OM 平面.………………14分（2）2()2cos 21sin 14sin sin F x x x x x λλ=−−=−−由于()0F x =时，sin 0x ≠，故由()0F x =可得14sin sin x xλ=−， 设sin x t =，1()4h t t t=−，()h t 在[)1,0−和(]0,1上递减，()()13,13h h −==− 因为[]sin 1,1t x =∈−， ………………8分 ①若3λ=，由14sin 3sin x x −=得sin 1x =−或1sin 4x =，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则13491232022=+×=n ………………10分②若3λ=−，由14sin 3sin x x −=−得sin 1x =或1sin 4x =−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有3个零点，且在(0,)π内恰有1个零点，，此时()F x 在(0,)n π内的零点个数为k 3或()N k k ∈+13个，不符题意； ……………12分③若33λ−<<，则()F x 在(0,2)π内有且仅有4个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内 恰有2024个零点，则1012242024=×=n ， ……………14分 ④3λ>或3λ<−，则()F x 在(0,2)π内有且仅有2个零点，则要满足()x f 在()()*0,πN n n ∈内恰有2024个零点，则2024222024=×=n ． ……………16分 综上：当()3,3λ∈−时，1012n =；当3λ=时，1349n =；当()(),33,λ∈−∞−+∞ 时，2024n =. ……………17分。
广东省广州市高一下学期数学期中考试试卷
广东省广州市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2020高一下·泸县月考) 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A .B .C .D .4. （2分） O是锐角三角形ABC的外心，由O向边BC，CA，AB引垂线，垂足分别是D，E，F，给出下列命题：①；②；③：：=cosA：cosB：cosC;④，使得。
以上命题正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4；5. （2分） .已知函数，则等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·太原期中) 若，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·成都期中) 的值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·太原期中) 已知函数的图像关于直线对称，则可能取值是（）.A .B .C .D .9. （2分） (2020高一下·太原期中) 在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若=λ +μ （x，μ∈R），则λ+μ=（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高一下·太原期中) 要得到函数的图象, 只需将函数的图象（）A . 所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.B . 所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.C . 所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.D . 所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变), 再将所得的图像向左平移个单位.11. （2分） (2020高一下·太原期中) 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高一下·太原期中) 设函数的图象为C，下面结论中正确的是（）A . 函数f（x）的最小正周期是2πB . 图象C关于点（，0）对称C . 图象C可由函数g（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到D . 函数f（x）在区间上是增函数二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·延安期中) 若3∈{1，m+2}，则m=________．14. （1分）(2020·绍兴模拟) 函数的最小正周期为________；值域为________.15. （1分） (2016高一下·张家港期中) 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且边a=4，c=3，则△ABC 的面积等于________．16. （1分） (2020高一下·太原期中) 函数在上单调递减，则正实数的取值范围是________．三、解答题 (共4题；共35分)17. （5分） (2020高一上·武汉期末) 已知函数 .（1）用五点法画出该函数在区间的简图；（2）结合所画图象，指出函数在上的单调区间.18. （10分）(2017·济宁模拟) 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若向量 =（a+c，sinB）， =（b﹣c，sinA﹣sinC），且∥ ．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cosAcos2ωx（ω＞0），已知其图象的相邻两条对称轴间的距离为，现将y=f（x）的图象上各点向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=g （x）的图象，求g（x）在[0，π]上的值域．19. （10分）已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（）的值（Ⅱ）若f（m）=2，试求f（﹣m）的值．20. （10分） (2017高二下·高淳期末) 锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA﹣tanB=（1+tanAtanB）．（Ⅰ）若c2=a2+b2﹣ab，求角A、B、C的大小；（Ⅱ）已知向量 =（sinA，cosA）， =（cosB，sinB），求|3 ﹣2 |的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共35分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、。
广东省广州高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题 1．是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为( )i 12aii+-a A ． B ．C ．D ．22-12-12【答案】A【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后令实部为0，虚部不为0建立关于的方程组解出即可. a 【详解】 1(1)(2)2(2)(2)ai ai i i i i +++=--+ 2(251)a a i -++=2(21)55a a i -+=+复数为纯虚数 12aii+-，解得， 20210a a -=⎧∴⎨+≠⎩2a =故选：A .【点睛】本题主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知向量．若，则（ ）(3,1),(1,1),a b c a kb ===+ a c∥k =A ． B ．0C ．1D ．21-【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量平行的坐标表示即可求出．【详解】因为，而，所以，解得()()()3,1,3,1c a kb k k k k =+=+=++ a c∥()()31130k k ⨯+-⨯+=．0k =故选：B ．3．如图，△ABC 是水平放置的△ABC 的斜二测直观图，其中，则以下说法正确2O C O A O B ''''''==的是（ ）A ．△ABC 是钝角三角形B ．△ABC 是等边三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【分析】画出原图，利用原图与直观图之间的转化比例求解. 【详解】解：将其还原成原图，如图，设，则可得，， 2A C ''=21OB O B ''==2AC A C ''==从而AB BC =所以，即， 222AB BC AC +=AB BC ⊥故是等腰直角三角形. ABC A 故选：C.4．已知在中，，，且，则的面积为（ ） ABC A 30B =︒AB =2AC =AC BC ≠ABC AA B ．3 C ．D ．【答案】C【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】因为，，30B =︒AB =2AC =所以有 22222cos 4122AC BA BC BA BC B BC BC =+-⋅⋅⇒=+-⨯解得，或，而已知，所以， 4BC =2BC =AC BC ≠4BC =因此的面积为ABC A 111sin 4222BA BC B ⋅⋅⋅=⨯⨯=故选：C二、多选题5．设，，为三个平面，l ，m ，n 为三条直线，则下列说法不正确的是（ ） αβγA ．若，，则m α⊂l m ∥l α∥B ．若l 上有两点到的距离相等，则αl α∥C ．，，两两相交于三条直线l ，m ，n ，若，则 αβγl m ∥n m ∥D ．若，，，，则m α⊂n α⊂m β∥n β∥αβ∥【答案】ABD【分析】根据线线、线面、面面平行的判断定理及性质定理，逐一分析各选项即可求解. 【详解】解：对A ：若，，则或，故选项A 错误；m α⊂l m ∥l α∥l α⊂对B ：若l 上有两点到的距离相等，则或或与相交，故选项B 错误；αl α∥l α⊂l α对C ：，，两两相交于三条直线l ，m ，n ，若，由线面平行的判断定理及性质定理可αβγl m ∥得，故选项C 正确；n m ∥对D ：若，，，，则或与相交，故选项D 错误. m α⊂n α⊂m β∥n β∥αβ∥αβ故选：ABD.三、单选题6．已知向量，将函数的图像沿轴向左平移个单()(1,cos2,sin2a x b x == ()f x a b =⋅x (0)ϕϕ>位后，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（ ） y ϕA ．B ．C ．D ．6ππ125π12π3【答案】B【分析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得，向左平移个单位，得π()2sin(23f x x =+ϕ到，从而有，，再结合，即可得解． π2sin(22)3y x ϕ=++ππ2π32k ϕ+=+Z k ∈0ϕ>【详解】解：， π()sin 222sin(2)3f x a b x x x =⋅==+将函数的图像向左平移个单位，得到， ()f x ϕππ2sin[2()]2sin(2233y x x ϕϕ=++=++因为该函数关于轴对称，所以，，解得，， y ππ2π32k ϕ+=+Z k ∈ππ122k ϕ=+Z k ∈又因为，所以的最小值为． 0ϕ>ϕπ12故选：B ．7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在A D 西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求600m B 此山的高度（ ）CD =A ．B ．C ．100D ．300【答案】A【分析】求出，由正弦定理求出，进而利用三角函数求出高度753045ACB ∠=-= BC =.CD 【详解】如图由题意得：，，30,75BAC HBC ∠=∠= 600AB =在中，，BCD △60CBD ∠= 在中，， ABC A 753045ACB ∠=-= 由正弦定理得：，即， sin sin AB BCACB BAC =∠∠600sin 45sin 30BC =解得：BC =由于CD ⊥平面ABC ，平面ABC ，所以CD ⊥BC ， BC ⊂则m ）. tan 60CD BC =︒==故选：A8．如图，在等腰中，已知，，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且ABC A 2AB AC ==120A ∠= ，，其中，，且，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则AE AB λ= AF AC μ=λR μ∈21λμ+=的最小值是（ ）MNA B C D 【答案】B【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得11(),()22AM AC AB AN AB AC μλ=+=+，又，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求MN AN AM =- 21λμ+=2MN μMN 的最小值.【详解】在等腰中，已知则，因为ABC A o2,120,AB AC A ==∠=u u u r u u u r cos 2AB AC AB AC A ⋅==-u u u r u u u r u u u r u u u r 分别是边的点，所以，而,E F ,AB AC 111()(),()222AM AF AE AC AB AN AB AC μλ=+=+=+，左右两边平方得1[(1)(1)]2MN AN AM AB AC λμ=-=-+-222221[(1)2(1)(1)(1)]4MN AB AB AC AC λλμμ=-+--⋅+- ， 22221[4(1)4(1)(1)4(1)]14λλμμλμλμλμ=----+-=+---+又因为，21λμ+=所以，222237417()77MN μμμ=-+=-+u u u r 所以当时，的最小值为， 27μ=2MN 37即的最小值为MN 故选：B.四、多选题9．则下列命题中正确的是（ ）A ．若复数z 满足，则1R z ∈z R ∈B ．若z 为复数，则必成立 22z z =C ．若复数，则 1i1i-=+z 181z =-D ．若复数，，则1z 2z 1212||z z z z ⋅=⋅【答案】ACD【分析】由复数的运算性质对选项逐一判断【详解】对于A ，若，设，即，则，，故A 1R z ∈i(,)z a b a b R =+∈221ii a b R a b a b -=∈++0b =z R ∈正确，对于B ，若，则，故B 错误， i z =22z z ≠对于C ，若，，，故C 正确， 1ii 1iz -==-+41z =181z =-对于D ，设，则， 12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12()()i zz ac bd ad bc =-++D 正确．故选：ACD10．已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）()0,1a =()2b = A ． B ．36a b += ()()30a b a b +⋅-=-C ．向量在上的投影向量为D ．向量与的夹角为a b + a3a a b + a 3π【答案】BCD【分析】根据向量的模的坐标公式即可判断A ；根据根据数量积的坐标运算即可判断B ；根据，向量在上的投影向量为，即可判断C ； a b + a()a b a a a a+⋅⋅ 根据向量夹角的计算公式即可判断D.【详解】解：对于A ，，则，故A 错；()a b +=6a b +==对于B ，，则，故B 正确；()1a b -=-- ()()27330a b a b +⋅-=--=-对于C ，向量在上的投影向量为，故C 正确； a b + a()3a b a a a a a+⋅⋅= 对于D,，()31cos ,62a b a a b a a ba+⋅+===+又，0,a b a π≤+≤所以向量与的夹角为，故D 正确.a b + a 3π故选：BCD.11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在中，， ABC ∆A B >sin sin A B ∴>B ．在锐角中，不等式恒成立ABC ∆sin cos A B >C ．在中，若，则必是等腰直角三角形 ABC ∆cos cos a A b B =ABC ∆D ．在中，若，，则必是等边三角形 ABC ∆060B =2b ac =ABC ∆【答案】ABD【解析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正A ABC ∆sin sin A B a b A B >⇔>⇔>误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出B ABC ∆022A B ππ>>->sin sin()cos 2A B B π>-=正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到C ABC ∆cos cos a A b B =sin 2sin 2A B =或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：22A B =222A B π=-D ABC ∆，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.2222cos b a c ac B =+-a c =60B =︒ABC ∆【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确； A A B >a b >sin sin A B >对于，在锐角中，，， B ABC ∆A (0,)2B π∈，，2A B π+>∴022A B ππ>>->，因此不等式恒成立，正确；sin sin()cos 2A B B π∴>-=sin cos A B >对于，在中，由，利用正弦定理可得：，C ABC ∆cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，，A (0,)B π∈或， 22A B ∴=222A B π=-或，A B ∴=2A B π+=是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.ABC ∆∴C 对于，由于，，由余弦定理可得：， D 060B =2b ac =222b ac a c ac ==+-可得，解得，可得，故正确. 2()0a c -=a c =60A C B ===︒故选：.ABD 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.12．在棱长为2的正方体中，点E ，F 分别为棱BC 与的中点，则下列选项正1111ABCD A B C D -11D C 确的有（ ）A ．平面1//A B 1AEC B ．与所成的角为30° EF 1BC C ．平面EF ⊥1B ACD ．平面截正方体的截面面积为 1AEC 1111ABCD A B C D -【答案】ABD【分析】设点M 为棱的中点，得到四边形为平行四边形，利用线面平行的判定定理，11A D 1AEC M 证得平面，可判定A 正确；再得到四边形为菱形，求得截面的面积，可判定D 1//A B 1AEC 1AEC M 正确；设的中点为N ，证得，得到为与所成的角，利用余弦定理求得1CC 1//EN BC NEF ∠EF 1BC ，可判定B 正确；假设平面正确，得到，结合，证得cos NEF ∠EF ⊥1B AC 1EF B C ⊥11FC B C ⊥平面，得到，进而判定C 错误．1B C ⊥1EFC 11B C EC ⊥【详解】如图1所示，设点M 为棱的中点，则平行且相等，所以四边形为11A D 1MC AE ，1AEC M 平行四边形，又，平面，平面，所以平面，故A 正确； 1//A B ME 1⊄A B 1AEC ME ⊂1AEC 1//A B 1AEC 由上可知，四边形为平面截正方体的截面， 1AEC M 1AEC 1111ABCD A B C D -易得，故四边形为菱形，11AE EC C M MA ====1AEC M又其对角线，D 正确；EM =1AC =12⨯=设的中点为，连接，因为分别为与的中点，所以， 1CC N ,EN FN ,E N BC 1CC 1//EN BC故为与所成的角，又NEF ∠EF 1BC EN FN ==EF =由余弦定理可得，222cos 2EN EF NF NEF EN EF +-∠==⋅所以与所成的角为，故B 正确；EF 1BC 30︒如图2所示，假设平面正确，则，EF ⊥1B AC 1EF B C ⊥又，，所以平面，得． 11FC B C ⊥1EF FC F ⋂=1B C ⊥1EFC 11B C EC ⊥在正方形中，，显然不成立，所以假设错误，11B C CB 11B C EC ⊥即平面错误，故C 错误． EF ⊥1B AC 故选：ABD ．五、填空题13．设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为________.i 12z =+i 2z 【答案】 ()34-，【分析】根据复数的乘法运算求得，再根据复数的几何意义即可得出答案. 2z 【详解】∵，∴，i 12z =+22(12i)144i 34i z =+=-+=-+∴复数对应的点为. 2z ()34-，故答案为：.()3,4-14．如图，在正方体中，M ，N 分别为AC ，的中点，则异面直线MN 与1111ABCD A B C D -1A B 1DD 所成的角为______．【答案】45°/4π【分析】连接BD ，可得与所成角即与所成角即可得1A D MN 1DD 1A D 1DD 【详解】如图，连接BD ，，由M ，N 分别为BD ，的中点知，易知与1A D 1A B 1MN A D ∥MN 1DD 所成角即与所成角，即为45°．1A D 1DD 11A DD ∠故答案为：45°15．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则a b c c a bλμ=___________.【答案】4【详解】如图建立直角坐标系，则=(-1,1)， =(6,2)， = (-1,-3)，由=λ＋μ，得a b c c a b，即解得，. ()()()1,31,16,2λμ--=-+61,{23,λμλμ-+=-+=-12,2λμ=-=-4λμ=【考点定位】本小题考查了平面向量的线性运算、坐标运算和平面向量基本定理.16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，点O 为其外接圆的圆心，5c =已知，则当角C 取到最大值时△ABC 的面积为___________. 12BO AC ⋅=【答案】【分析】取AC 的中点D ，得到OD ⊥AC ，利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不7a =等式得到的最小值，从而得到角C 取到最大值时，再使用三角形面积公式进行求解cos C b =出结果.【详解】设AC 的中点为D ，因为点O 为其外接圆的圆心，所以OA =OB =OC ，连接OD ，由三线合一得：OD ⊥AC ，则即()()()2211121222BO AC BD DO AC BD AC BC BA BC BA BC BA ⋅=⋅⋅+==+-⋅=-= ，所以，由知，角C 为锐角，故22111222a c -=7a =c a <，因为，所以由基本不等式得：22224925124cos 21414abc b C b ab b b +-+-⎛⎫===+ ⎪⎝⎭0b >，即C 取到最124cos 14C b b ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭24b b =b =大值，，△ABC 的面积为5sin 7C =115sin 7227ABC S ab C ==⨯⨯=A故答案为：六、解答题17．已知向量，，. )a = ()cos ,sin b x x = ()0,πx ∈(1)若，求的值；a b ⊥ x(2)若，且的值. ()f x a b =⋅ ()f α=πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) 23π(2) 59-【分析】（1）根据题意得到即可得到答案.tan x =()0,πx ∈（2）首先根据题意得到，再根据πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可. π2ππsin 2sin 2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】（1）因为所以，所以a b ⊥ sin 0a b x x ⋅=+= tan x =由于，所以. ()0,πx ∈2π3x =（2）由 ()sin 2sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭所以. ()π2sin 3f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭而 22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. π2ππ2π5sin 2sin 2cos 263239ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18．在中，角对应的边分别是，且．ABC A ,,A B C ,,a b c sin cos a B A =(1)求角的大小；A(2)若，的面积，求的周长．4b =ABC A S =ABC A 【答案】(1) 2π3(2)6+【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可求解；（2）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得: ABC A 2sin sin sin a b c R A B C===代入式子，2sin ,2sin a R A b R B ==sin cos a B A =化简得，，sin sin cos A B B A =，sin 0B ≠，即sin A A ∴=tan A =因为，所以. (0,π)A ∈2π3A =（2） 112sin 4sin 223S bc A c π==⨯==2c ∴=由余弦定理得， 2222212cos 42242()282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯-=a ∴=426a b c ∴++=++=+的周长为ABC ∴A 6+19．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线ABC A 2AB = AC= 45BAC ∠=︒BC AC AM，相交于点.BN P(1)求；AM (2)求的余弦值.MPN ∠【答案】(1)=5AM (2) MPN ∠ 【分析】(1)由条件可得，两边平方结合数量积的性质可求，(2) 与()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r AM MPN ∠的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小. ,AM BN 【详解】（1）又已知为的中点，M BC 所以， ()()111222AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ 所以， ()2221+24AM AB AC AB AC =+⋅ 所以， ()2221+2cos ,4AM AB AC AB AC AB AC =+⋅又，， 2AB =AC = 45BAC ∠=︒所以， 21472+22=254AM ⎛=+⨯⨯ ⎝ 所以，=5AM （2）因为为的中点，所以， N AC 12BN AN AB AC AB =-=- 又， ()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r 所以, ()221111122222AM BN AB AC AC AB AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以， 22111111=72124=13222222AM BN AC AC AB AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-⨯-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=所以cos AM，又与的夹角相等，MPN ∠,AM BN 所以，cos MPN ∠所以MPN ∠20．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E ，F 分别的中点，且P ABCD -PA ⊥ABCD ,AB PD ．PA AD =(1)求证：平面；//AF PEC (2)求证：．AF PC ⊥【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得线面平行；（2）结合线面垂直的判定定理来证得平面，进而可证明线线垂直.AF ⊥PCD 【详解】（1）设是的中点，由于是的中点，G PC F PD 所以, 1//,2GF CD GF CD =由于是的中点，四边形是矩形,E AB ABCD 所以. 1//,2AE CD AE CD =所以,//,GF AE GF AE =所以四边形是平行四边形,AFGE 所以,AF //EG 因为平面,平面,AF ⊄PEC EG ⊂PEC 所以平面.//AF PEC （2）由于平面，PA ⊥ABCD平面，所以,CD ⊂ABCD PA CD ⊥因为,,平面，CD AD ⊥PA AD A ⋂=,PA AD ⊂PAD 所以平面,CD ⊥PAD 因为平面,所以,AF ⊂PAD CD AF ⊥因为是的中点,所以,,PA AD F =PD AF PD ⊥因为,平面,PD CD D ⋂=,PD CD ⊂PCD 以平面,AF ⊥PCD 又因为平面,所以.PC ⊂PCD AF PC ⊥21．如图，在梯形中，，，，． ABCD //AB CD 2AB =5CD =23ABC π∠=(1)若的面积；AC =ABCD (2)若，求．AC BD ⊥tan ABD ∠【答案】(1)(2) tan ABD ∠=【分析】(1)中，利用含的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得面ABC A ABC ∠ABC A 积，再利用面积关系求的面积得解；ADC △(2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦ABD ∠ABC A BDC A 定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得.tan ABD ∠【详解】(1)设，在中，由余弦定理得： BC x =ABC A 2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，即，而x>0，解得， 22228222cos 3x x π=+-⋅⋅⋅22240x x +-=4x =所以，则的面积， 4BC =ABC A 11sin 2422ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅=△梯形中，，与等高，且， ABCD //AB CD ABC A ADC △52AB CD =所以的面积 ADC △52ABC ADC S S ==△△则梯形的面积；ABCD ABC ADC S S S =+=△△(2)在梯形中，设，而，ABCD ABD α∠=AC BD ⊥则，，，， BDC α∠=2BAC πα∠=-23DBC a π∠=-6BCA πα∠=-在中，由正弦定理得：， ABC A sin sin AB BC BCA BAC =∠∠2sin()sin()62BC ππαα=--在中，由正弦定理得：， BDC A sin sin CD BC DBC BDC =∠∠52sin sin()3BC παα=-两式相除得：， 22sin()sin sin 3cos 5sin()sin()62παααππααα-==--整理得，227sincos 0αααα--=即27tan 0αα--=解得或 tan α=tan α=因为，则． (,)62ππα∈tan α=tan ABD ∠=【点睛】(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；(2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.22．已知O 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随()sin cos f x a x b x =+()OM a b = ，()f x向量，同时称函数为向量的伴随函数.()f x OM (1)设函数，试求的伴随向量； ()3π)sin(π)2g x x x=---()g x OM (2)记向量的伴随函数为，求当且时的值； (ON = ()f x ()85f x =ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，cos x (3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移()g x 个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P ，2π3()h x ()23A -，()26B ，()y h x =使得.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.AP BP ⊥【答案】(1) ()OM =(3)存在点，使得.()0,2P AP BP ⊥【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据()cos g x x x =+()g x 向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P 点坐标，利用向量垂直()f x cos x ()h x 关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且仅当时，和同时等于，此时. 0x =2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2254x -254()0,2P【详解】（1），故； ()3π)sin(π)cos 2g x x x x x =---=+()OM =（2）由题意得：，故，由于，()π8sin 2sin 35f x x x x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以，所以，所以ππ23x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭0，π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ππππππcos cos cos cos sin sin 333333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭314525⨯+=（3），所以，假设存在点，使()πcos 2cos 3g x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()12cos 2h x x =1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭得，则AP BP ⊥ 即2211112,2cos 32,2cos 644cos 18cos 1802222AP BP x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅--=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为，所以，所以2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭122cos 22x -≤≤131952cos 2222x -≤-≤-，又因为，所以当且仅当时，和225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭2252544x -≤0x =2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2254x -同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得. 254()0,2P ()y h x =()0,2P AP BP ⊥。
广东省广州中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题
广东省广州中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．212R p B ．210R p ．在ABCV 中，若60,3A a =°=，则sin ．3B ．32．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，大值时，四边形ABCD 的面积为（ ）点的仰角45,MAN C Ð=°点的仰角30CAB Ð=°以及75MAC Ð=°；从C 点测得60MCA Ð=°，已知山高50m BC =，则山高MN =________m .16．在直角梯形.ABCD 中，,//,22AB AD AD BC AB BC AD ^===，,E F 分别为,BC CD 的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在¼DG 上运动（如图）.若AP AE BF l m =+uuu r uuu r uuu r，其中,R l m Î，则2l m +的最大值是________.四、解答题17．（1）已知正四棱锥的底而边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积．（2）在ABC V 中，90,30,1C A BC Ð=°Ð=°=．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC上，半圆与BC AB 、分别相切于点C 、M ，与AC 交于N ），求图中阴影部分绕直线(1)若M为PA中点，求证：AC∥平面当a b ^r r时，()120a b m m ×=--=r r ，解得1m =-或2m =，必要性不成立.所以“2m =”是“a b^r r ”的充分不必要条件.故选：A.4．A【分析】连接DM ，可以证到BC DM ^，BC PM ^，从而证到BC ^平面DMP ，所以BC DP ^，即可得解．【详解】解：连接DM ,Q 四面体ABCD 是正四面体，M 是BC 的中点,DBC \△、ABC V 是等边三角形，BC DM \^，BC PM ^．DM ÌQ 平面DMP ，PM Ì平面DMP ，DM PM M =I ，BC \^平面DMP ，又DP Ì平面DMP ，BC DP \^，\直线DP 与BC 所成角为90°.【详解】A.如图所示： ，可得结果l//b 或l bÌ，故A错误；B.如图所示：，可得结果//m b，故B正确；C.如图所示：，可得m l^，故C错误；有tan tan CR DMCDR CD q =Ð==在ADM △翻折到PAM △的过程中，若存在某一翻折位置，使得AM PB ^则AM ^平面POB ，而平面POB I22．(1)5π8A =，π8C =(2)3。
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广东省广州市执信高一下学期期中考试数学试卷第一部分选择题(共 40 分)一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若cos 0α>，sin 0α<，则角α的终边在 （ ） A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2. 下列各组向量中，共线的是 （ ） A ．a =（-1，2），b =（4，2） B ．a =（-3，2），b =（6，-4） C ．a =（23，-1），b =（15，10） D ．a =（0，-1），b =（3，1） 3. sin 50sin 70cos50sin 20-的值等于 （ ）A .14 BC .12D4．四边形ABCD 中，若AD AB AC +=，则四边形ABCD 一定是 （ ） A .矩形 B .菱形 C .正方形 D .平行四边形 5. 已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于 （ ）A .71B .7C .71- D .7- 6. 已知钝角三角形的三边长分别是2,3，x,则x 的取值范围是 （ ） A ．15x << Bx << C ．1x << 或5x << D ．1x <<7. 函数cos ln y x x =⋅的部分图像大致是下图中的 （ ）8. 如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°， ABDCOAxxOByyyxDOxyCOD 是BC 边上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅等于 （ ）A ．83- B ．83 C ．23 D ．23-第二部分非选择题 (共 110 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置． 9．函数2cos 1y x =-的最大值是_*_，最小值是_*_.10．扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为__*___ 11．已知点(1,1),(1,5)A B -，若12AC AB =，则点C 的坐标为__*___. 12．直线310x ++=的倾斜角是__*___ 13．把函数sin(2)5y x π=-的图象上的所有点向右平移5π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），而后再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变），所得函数图象的解析式是____*_____14．设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是严格单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为 * 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数3()sin sin(),2f x x x x R π=++∈. (1)求()f x 的最小正周期；(2) 若(,)2x ππ∈-，求()f x 的值域； (3) 若1()=5f α，求sin 2α的值.16. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中， 平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线E F ‖平面PCD ；CBAEFDP（2）平面BEF ⊥平面PAD17．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，求||+m n 的最小值．18．（本小题满分14分）在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰，突然收到一艘商船的求救信号，紧急前往相关海域。
到达相关海域O 处之后发现，在南偏西020、5海里外的海面M 处有一条海盗船，它以每小时20海里的速度向南偏东040的方向逃窜。
某导弹护卫舰立即施放载有突击队员的快艇进行拦截，快艇以每 小时30海里的速度向南偏东0θ的方向全速追击。
请问快艇能否追上海盗船？如能追上，请求出0sin(20)θ+的值；如未能追上，请说明理由。
（假设海上风平浪静，海盗船逃窜的航向不变、 快艇运转正常无故障等）19. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A 、B 两点，且OA OB ⊥,求a 的值. 20．（本题满分12分）已知函数33log )(+-=x x x f m （1）判断)(x f 的奇偶性并证明；（2）若)(x f 的定义域为[βα,](0>>αβ)，判断)(x f 在定义域上的增减性，并加以证明；OMN（3）若10<<m ，使)(x f 的值域为[)1(log ),1(log --αβm m m m ]的定义域区间[βα,](0>>αβ)是否存在？若存在，求出[βα,]，若不存在，请说明理由.2014年度第二学期高一级数学科期中考试答卷成绩：注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。
考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在各题目指定区域内的相应位置上答题，超出指定区域的答案无效。
2、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
CBA EFDPOMN答案一、 选择题DBCD ACBA 二、 填空题9.1，-3 10.4cm 2 11.(0,3) 12.56π 13. 34sin(4)5y x π=- 14.8 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．已知函数3()sin sin(),2f x x x x R π=++∈. (1)求()f x 的最小正周期；(2) 若(,)2x ππ∈-，求()f x 的值域； (3) 若1()=5f α，求sin 2α的值.15解：3()sin sin()sin -cos 2)-)4f x x x x x x x x ππ=++===…………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ212==T …………5分 （2）33(,),,2444x x πππππ∈-∴-<-< …………6分1sin()1,4x π∴-≤-≤…………7分)4x π≤-≤…………8分()f x ∴的值域是[ …………9分(3)因为1()5f α=，即1sin cos 5αα-=, …………10分 两边平方得112sin cos 25αα-⋅= …………12分24sin 225α∴= …………14分CBAEFDP16．如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线E F ‖平面PCD ； （2）平面BEF ⊥平面PAD证明：(1)∵E 、F 分别是AP 、AD 的中点 ∴E F ‖PD …………1分又∵EF ⊄平面PCD ，…………2分PD ⊂平面PCD …………3分∴直线E F ‖平面PCD …………4分 （2）∵AB=AD ，∠BAD=60° ∴△ABD 是正三角形 …………6分 又∵F 是AD 的中点 ∴BF ⊥AD …………7分又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD 为两平面的公共边 ∴BF ⊥平面PAD …………10分 又∵BF ⊂平面BEF …………11分 ∴平面BEF ⊥平面PAD …………12分17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=． （1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，求||+m n 的最小值．17. 解：（1）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，…………2分 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=，…………3分 ∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=，…………5分 ∴1cos 2A =．…………6分∵0πA <<，∴π3A =.…………7分（2）m n +2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2CB BC =-=，…………8分∴2m n +22222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--．…………10分∵π3A =，∴2π3B C +=， ∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666B -<-<．…………11分∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，2m n +取得最小值12．…………13分故m n +min 22=．…………14分18．在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰，突然收到一艘商船的求救信号，紧急前往相关海域。
到达相关海域O 处之后发现，在南偏西020、5海里外的海面 M 处有一条海盗船，它以每小时20海里的速度向南偏东040的 方向逃窜。
某导弹护卫舰立即施放载有突击队员的快艇进行拦 截，快艇以每小时30海里的速度向南偏东0θ的方向全速追击。
请问快艇能否追上海盗船？如能追上，请求出0sin(20)θ+的值； 如未能追上，请说明理由。
（假设海上风平浪静，海盗船逃窜的 航向不变、快艇运转正常无故障等）19. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线265y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上 （1）求圆C 的方程（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A 、B 两点，且OA OB ⊥,求a 的值.OMN20．已知函数33log )(+-=x x x f m（1）判断)(x f 的奇偶性并证明；（2）若)(x f 的定义域为[βα,](0>>αβ)，判断)(x f 在定义域上的增减性，并加以证明； （3）若10<<m ，使)(x f 的值域为[)1(log ),1(log --αβm m m m ]的定义域区间[βα,](0>>αβ)是否存在？若存在，求出[βα,]，若不存在，请说明理由. 解：(1)由303x x ->+得()f x 的定义域为(,3)(3,)-∞-+∞，关于原点对称。
1333()log log log ()()333m m m x x x f x f x x x x ---+--====--+-+()f x ∴为奇函数 ………………………………3分（2）)(x f 的定义域为[βα,](0>>αβ)，则[βα,]⊂),3(+∞。