2016-2017年江苏省宿迁市高二上学期期末数学试卷与解析
2016-2017学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是．2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为．4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于．5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为．6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：mx﹣2y﹣1=0和直线l2：x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于．8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC．其中正确的结论序号是．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=．10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为．11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为．12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A（﹣3，0），B（1，2）．（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l 的方程．16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）AD⊥CD；（2）EF∥平面ADD1A1．17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f （v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB 的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．19．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t ＜2）上一点．（1）已知t=．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．第二卷（附加题.每题10分。
2016-2017学年江苏省苏州市高二(上)期末数学试卷
2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是．2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为．3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为．4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于．5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为．6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：mx﹣2y﹣1=0和直线l2：x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于．8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC．其中正确的结论序号是．9．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=．10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为．11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为．12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为．13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A（﹣3，0），B（1，2）．（1）求圆M的方程；（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l 的方程．16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：（1）AD⊥CD；（2）EF∥平面ADD1A1．17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f （v）；（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．18．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB 的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：A，P，Q三点共线．19．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=1，P为直线l：x=t（1＜t ＜2）上一点．（1）已知t=．①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．第二卷（附加题.每题10分。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是．13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．【解答】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n﹣4=﹣3；故答案为：﹣3．6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：48．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．9．（5分）观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律，（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；…照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），故答案为：n（n+1）10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2﹣4a≥0，解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，故f（x）=（x2+x﹣1）e x，f′（x）=（x2+3x）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，故f（x）极小值故答案为：﹣1．12．（5分）有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是②④．【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；故答案为：②④13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[]14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．【解答】解：∵函数f（x）=，∴函数f′（x）=，当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故，=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），即8x﹣y﹣48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），即x+y﹣15=0．…（14分）16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k﹣3）a k+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k+1﹣+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=﹣1或﹣7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【解答】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），由消去y，得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2﹣lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；努力的你，未来可期！g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax﹣lnx≥﹣ln，即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，F′（x）=a（1+）﹣，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）﹣≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。
数学---江苏省宿迁市2016-2017学年高一(上)期末试卷(解析版)
江苏省宿迁市2016-2017学年高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合A={﹣1，0}，B={0，2}，则A∪B=．2．函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为．3．幂函数f（x）的图象过点，则f（4）=．4．函数f（x）=的定义域是．5．已知方程3x+x=5的根在区间[k，k+1）（k∈Z），则k的值为．6．在平面直角坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量，已知=+2，=3+4，=2t+（t+5），若与共线，则实数t的值为．7．函数f（x）=cos2x，x∈[，]的值域是．8．函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象，如图所示，则f（2016）的值为．9．计算238()125﹣lg﹣lg的结果为．10．已知=2，则sin2α﹣sinαcosα的值为．11．函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为．12．若函数f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．13．如图，在△ABC中，D，E是BC上的两个三等分点，若•=2，•=4，则BC 的长度为．14．定义在R上的偶函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）恰好有8个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知集合A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，m∈R．（1）当m=2时，求A∩∁R B；（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．16．（14分）已知角θ的终边经过点P（3，﹣4）．（1）求sinθ，cosθ和tanθ的值；（2）求的值．17．（14分）已知向量，满足||=，=（4，2）．（1）若∥，求的坐标；（2）若﹣与5+2垂直，求与的夹角θ的大小．18．（16分）某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧、所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．（1）若θ=，r1=3，r2=6，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？19．（16分）已知函数f（x）=1﹣为定义在R上的奇函数．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若f（ln m）+f（2ln n）≤1﹣3ln m，求实数m的取值范围．20．（16分）已知二次函数f（x）对任意的x都有f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4，且f（0）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=f（x）+m，（m∈R）．①若存在实数a，b（a＜b），使得g（x）在区间[a，b]上为单调函数，且g（x）取值范围也为[a，b]，求m的取值范围；②若函数g（x）的零点都是函数h（x）=f（f（x））+m的零点，求h（x）的所有零点．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． {﹣1，0，2}【解析】集合A ={﹣1，0}，B ={0，2}，则A ∪B ={﹣1，0，2} 故答案为：{﹣1，0，2} 2． π 【解析】∵函数中，振幅A =1，初相φ=，且ω=2∴函数的最小正周期为T ==π故答案为：π 3． 2【解析】设f （x ）=x a，因为幂函数图象过，则有=3a ，∴a =，即f （x ）=12x，∴f （4）=124=2．故答案为：2． 4． （﹣∞，0） 【解析】要使函数f （x ）=有意义，只需1﹣2x＞0，即2x＜1， 解得x ＜0．则定义域为（﹣∞，0）． 故答案为：（﹣∞，0）． 5． 1【解析】令f （x ）=3x+x ﹣5， 由y =3x和y =x ﹣5均为增函数，故f （x ）=3x+x ﹣5在R 上为增函数，故f （x ）=3x+x ﹣5至多有一个零点， ∵f （1）=3+1﹣5＜0 f （2）=9+2﹣5＞0∴f（x）=3x+x﹣5在区间[1，2]有一个零点，即方程方程3x+x=5的解所在区间为[1，2]，故k=1，故答案为：16．4【解析】∵=+2，=3+4，=2t+（t+5），∴=（2，2），=（2t﹣1，t+3），∵与共线，∴，解得t=4．故答案为：4．7．【解析】∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴f（x）=cos2x∈．故答案为：8．【解析】由图象知A=3，=3﹣（﹣1）=4，即函数的周期T=8=，即ω=，由五点对应法得3ω+φ=3×+φ=π，即φ=，则f（x）=3sin（x+），则f（2016）=3sin（×2016+）=3sin（504π+）=3sin（）=3×=，故答案为：9．【解析】238()125﹣lg﹣lg=（）﹣2﹣lg==．故答案为：．10．【解析】∵==2，解得：tanα=3，∴sin2α﹣sinαcosα====．故答案为：．11．【解析】∵函数f（x）=cos（x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：y=cos（φ+）由于其图象关于y轴对称，∴φ+=kπ，k∈Z，∴φ=﹣2kπ，k∈Z，由φ＞0，可得：当k=0时，φ的最小正值是．故答案为：12．【解析】当函数f（x）=是R上的单调增函数，可得：，解得a∈．当函数f（x）=是R上的单调减函数，可得：，解得a∈∅．故答案为：．13．3【解析】∵•=2，且•====，得，∴．∴=13﹣4=9．∴．故答案为：3．14．【解析】①画出：x∈[1，2]时，f（x）=﹣2x+2，f（x）的图象，由于函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，可得其在区间[0，1]上的图象．由于函数f（x）是偶函数，且关于点（1，0）对称，则f（﹣x）=f（x），f（x）+f（2﹣x）=0，可得f（x+4）=f（x），因此其周期T=4．当a＞1时，画出函数y=log a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此log a（|8|+1）=2，解得a=3．②当1＞a＞0时，画出函数y=log a（|x|+1），由于此函数是偶函数，因此只要画出右边的图象即可得出．由于右边的图象与函数f（x）的图象只有4个交点，因此满足：log a（6+1）＞﹣2，log a（10+1）＜﹣2，解得：＜a＜．故所求的实数a的取值范围是．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解（1）当m=2时，B=[m，m+6]=[2，8]，…（1分）∁R B=（﹣∞，2）∪（8，+∞）；…又A=[﹣1，3]，所以A∩∁R B=[﹣1，2）；…（7分）（2）因为A∪B=B，所以A⊆B，…（9分）由A=[﹣1，3]，B=[m，m+6]，得，…（12分）解得﹣3≤m≤﹣1，即m的取值范围是[﹣3，﹣1]．…（14分）16．解：（1）因为角θ的终边经过点P（3，﹣4），所以x=3，y=﹣4，所以，…（1分）所以，，…．…（7分）（2）因为cos（3π﹣θ）=﹣cosθ，…（8分），…（9分），…（10分）tan（π+θ）=tanθ，…（11分）所以…（12分）=．…（14分）17．解（1）设=（x，y），则x2+y2=5…（2分）因为∥，所以4y﹣2x=0…由，可得或所以的坐标为：（2，1）或（﹣2，﹣1）；…（6分）（2）因为﹣与5+2垂直，所以（﹣）（5+2）=0…（8分）化简得：52﹣3•﹣22=0又因为，，所以•=﹣5…（10分）cosθ=…（12分）又因为θ∈[0，π]，所以．…（14分）18．解（1）设花坛的面积为S平方米.…（2分）==…答：花坛的面积为；…（2）的长为r1θ米，的长为r2θ米，线段AD的长为（r2﹣r1）米由题意知60•2（r2﹣r1）+90（r1θ+r2θ）=1200即4（r2﹣r1）+3（r2θ+r1θ）=40*…（7分）…（9分）由*式知，…（11分）记r2﹣r1=x，则0＜x＜10所以=…（13分）当x=5时，S取得最大值，即r2﹣r1=5时，花坛的面积最大．…（15分）答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）19．解（1）（法一）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以在R上恒成立．…（2分）所以（a﹣2b）（2x+2﹣x）+2ab﹣2b2﹣2=0恒成立．所以，解得或…由定义域为R舍去，所以．…（法二）函数的定义域为R，且f（x）是奇函数，当x=0时，得，得a=b+1，…（1分）当x=1时，f（1）+f（﹣1）=0，得，解得：，…此时为奇函数；…所以．…（2）函数f（x）为R上的单调增函数．…（6分）证明：设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，则=…（8分）因为x1＜x2，又g（x）=2x为R上的单调增函数，所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）为R上的单调增函数．…（10分）（3）因为f（ln m）+f（2ln m﹣1）≤1﹣3ln m，即f（ln m）+ln m≤﹣f（2ln m﹣1）+1﹣2ln m而函数f（x）为R上的奇函数，所以f（ln m）+ln m≤f（1﹣2ln m）+1﹣2ln m．…（12分）令h（x）=f（x）+x，下面证明h（x）在R上的单调性：（只要说出h（x）的单调性不扣分）设x1，x2是R上的任意两个值，且x1＜x2，因为x1﹣x2＜0，由（2）知f（x1）﹣f（x2）＜0，所以h（x1）﹣h（x2）=f（x1）+x1﹣（f（x2）+x2）=f（x1）﹣f（x2）+（x1﹣x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），所以h（x）为R上的单调增函数．因为f（ln m）+lnm≤f（1﹣2ln m）+1﹣2ln m，所以h（ln m）≤h（1﹣2ln m）所以ln m≤1﹣2ln m，…（14分）解得，所以实数m的范围是．…（16分）20．解（1）设二次函数f（x）的解析式为f（x）=ax2+bx+c，则f（x+2）﹣f（x）=a（x+2）2+b（x+2）+c﹣（ax2+bx+c）=4ax+4a+2b…（2分）由f（x+2）﹣f（x）=﹣4x+4得（4a+4）x+4a+2b﹣4=0恒成立，又f（0）=0所以，所以，所以f（x）=﹣x2+4x…（2）g（x）=﹣x2+4x+m，对称轴x=2，g（x）在区间[a，b]上单调，所以b≤2或a≥2①1°当b≤2时，g（x）在区间[a，b]上单调增，所以，即a，b为g（x）=x的两个根，所以只要g（x）=x有小于等于2两个不相等的实根即可，所以x2﹣3x﹣m=0要满足，得…（6分）2°当a≥2时，g（x）在区间[a，b]上单调减，所以，即两式相减得（b﹣a）（a+b﹣5）=0，因为b＞a，所以a+b﹣5=0，所以m=a2﹣5a+5，，得…（9分）综上，m的取值范围为…（10分）②（法一）设x0为g（x）的零点，则，即，即﹣m2﹣4m+m=0，得m=0或m=﹣3…（12分）1°当m=0时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）=﹣x（x﹣4）（x2﹣4x+4）所以h（x）所有零点为0，2，4…（14分）2°当m=﹣3时，h（x）=﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）﹣3=﹣（﹣x2+4x﹣3）（﹣x2+4x﹣1）（因为必有因式﹣x2+4x﹣3，所以容易分解因式）由﹣x2+4x﹣3=0和﹣x2+4x﹣1=0得，所以h（x）所有零点为…（16分）（法二）函数g（x）的零点都是函数h（x）的零点，所以﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m中必有因式﹣x2+4x+m，所以可设：﹣（﹣x2+4x）2+4（﹣x2+4x）+m=﹣（﹣x2+4x+m）（﹣x2+sx+t）展开对应系数相等得或（下同法一）．。
江苏省宿迁市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题
宿迁市2016~2017学年度第二学期期末考试高二数学试卷（考试时间120分钟，试卷满分160分)参考公式：343V R =π球;1()n i i i E X x p ==∑，其中0,1,2,,i p i n =≥，11ni i p ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知复数z 满足2i z =-（i 是虚数单位），则||z 的值为 ▲ ． 2．已知点A 的极坐标为(2,)6π，则点A 的直角坐标为 ▲ ．3．若直线l 的参数方程为4,12x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则直线l 在y 轴上的截距是 ▲ ．4．已知向量()()2,3,2,4,,3x =-=-a b ，若⊥a b ，则实数x 的值是 ▲ ． 5．甲、乙、丙三人独立地翻译一密码，若每人译出此密码的概率均为34，则该密码被译 出的概率为 ▲ ． 6．设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，则实数a 的值为 ▲ ． 7．若3名学生报名参加数学、物理、化学、计算机四科兴趣小组，每人选报一科，则 不同的报名方法有 ▲ 种．8．设423401234(31)x a a x a x a x a x -=++++，则01234a a a a a ++++的值为 ▲ ． 9．在极坐标系下，点P 是曲线1C ：4cos ρθ=-上的动点，点Q 是直线2:sin 3C ρθ=上的动点，则线段PQ 长的最小值是 ▲ ． 10．已知6(x 展开式中的常数项为60，则正实数a 的值为 ▲ ．11．在四面体OABC 中，已知点,M N 分别在棱,OA BC 上，且11,32OM OA BN BC ==，MN xOA yOB zOC =++，则x y z ++的值为 ▲ ．12．两位同学参加一项比赛，通过综合分析，两人获得一等奖的概率分别为1,(01)3p p <<，O ABC（第11题）NM且他们是否获得一等奖相互独立．若这两位同学中恰有一位获得一等奖的概率为712， 则p 的值为 ▲ ． 13．已知函数1()1x f x x -=+，数列}{n a 满足112a =，对于任意*N ∈n 都满足2()n n a f a +=， 且0n a >．若108a a =，则20162017+a a 的值为 ▲ ．14．祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理可以求旋转体的体积．如：设半圆方程为()2220,0x y r y r +=>≥，半圆与x 轴正半轴交于点A ，作直线x r =，y r =交于点P ，连接OP （O 为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y 轴旋转所得半球的体积与△OAP 绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等．类比这个方法，可得半椭圆22221y x a b +=(0,0)a b y >>≥绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知复数1i ()z a a =-∈R ，212i z =-，其中i 是虚数单位，且21z z 为纯虚数． （1）求复数1z ；（2）若复数21(2)z b ++(b ∈R )在复平面内对应的点在第四象限,求b 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知矩阵M 的逆矩阵110201-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦M ． （1）求矩阵M ；（2）已知曲线22:1C x y +=，在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线1C ，求曲线1C的方程．17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BA DA ⊥，BC AD ∥ 且1,3PA AB BC AD ====，点E 为PD 的中点． （1）求CE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角C PD A --的余弦值．18．（本小题满分16分）某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动．抽奖方案是：顾客从一个装有2个红球，3个黑球，5个白球的袋子里一次取出3只球，且规定抽到一个红球得3分，抽到一个黑球得2分，抽到一个白球得1分，按照抽奖得分总和设置不同的奖项．记某位顾客抽奖一次得分总和为X ． （1）求该顾客获得最高分的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．PABCDE(第17题)19．（本小题满分16分）已知函数12()(1)(1)(1)(1)i n f x a x a x a x a x =++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+，其中1i n ≤≤，*,i n ∈N ． （1）若1,10i a n ==，求()f x 展开式中含3x 项的系数； （2）若,8i a i n ==；求()f x 展开式中含2x 项的系数；（3）当i 为奇数时，1i a =，当i 为偶数时，1i a =-，n 为正偶数．求证：当x =22()(1)nf x x ++为正整数．20．（本小题满分16分）如图，由若干个数组成的n 行三角形数阵，第一行有1个数，第二行有2个数，依此类推，第i 行有i 个数．除最后一行外，各行中每个数都等于它下方两个数之和，如：324243a a a =+．记第i 行的第j 个数为a ij （1j i n ≤≤≤，*,,i j n ∈N ）． （1）若n =4，当最后一行从左向右组成首项为1，公差为2的等差数列时，求a 11； （2）若第n 行从左向右组成首项为1，公比为2的等比数列，求a 11（用含有n 的式子表示）；（3）是否存在等差数列{x n }，使得222224213242113n n n n n n x C x C x C x C x C C --+++++⋅⋅⋅++=？若存在，则求出该等差数列的通项公式；若不存在，则说明理由．数学参考答案及评分细则一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 12．； 3．7； 4．23-； 5．6364； 6．2； 7．64或34； 8．16； 9．1； 1011．23； 12．34 ；1312； 14．223ab π.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(1)12i (i)(12i)(2)(21)i12i (12i)(12i)5z a a a a z --+++-===--+，……………………3分 因为21z z 为纯虚数，所以20,5210,a a +⎧=⎪⎨⎪-≠⎩所以2a =-. ……………………7分(2)221(2)(i)z b+b +=-212i b b =--， ……………………9分a43 a 44 a33 a 41 a 42 a 31 a 32 a 21 a 22 a 11 第1行第2行第4行 第3行 … … 第n 行 a n1 a n2 a n(n-1) a nna n3 … （第20题）由已知21020b b ⎧->⎨-<⎩，，……………………11分解得1b >，所以b 的取值范围为(1,)+∞. ……………………14分16．（1）设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ， 则110020101a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即102012a b c d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，……………………2分故120021a b c d ⎧=⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得2,0,0,1a b c d ====， ………………………………4分所以矩阵2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M . …………………………………6分（2）设(),P x y 是曲线C 上任一点，在矩阵M 对应的变换下，在曲线1C 上的对应的点为()'','P x y ，则'20201'x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………10分 即'2,',x x y y =⎧⎨=⎩∴1'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………12分 代入曲线C 得22''14x y +=， 所以曲线1C 的方程为2214x y += . ………………………14分17.解：（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,A B C D 则()()0,3,1,1,0,0PD AB =-=，设(),,E x y z ，则(),,1PE x y z =-， 由12PE PD =得310,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，……4分 所以111,,22CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6CE =， 又因为1AB =，1AB CE ⋅=-，………………………6分所以cos ,3AB CE AB CE AB CE⋅==-， 故CE 与AB ………………………8分 (2) ()1,2,0CD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =,由00n PD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3020y z x y -=⎧⎨-+=⎩，令1y =得2,3x z ==，所以()2,1,3n =, ………………………10分 由条件知AB ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的一个法向量为()1,0,0AB =， 则1,14,2AB n AB n ==⋅=， ………………………12分 所以14cos ,AB n AB n AB n⋅==所以二面角C PD A --的余弦值为7. ………………………14分18解：（1）该顾客抽奖一次，当抽到2个红球1个黑球时，得分总和最高为8分，…2分得分为8分的概率为2123310(8)C C P X C ==3112040==， ……………4分 （2）由题意知,袋子中共有10个球,(3)P X ==3531010120C C =，(4)P X ==123531030120C C C =， (5)P X ==1221253533101035120C C C C C C +=， (6)P X ==1113235333101031120C C C C C C +=， (7)P X ==2112252333101011120C C C C C C +=， 2123310(8)C C P X C ==3120= ……………13分 （X=3，4，8时算对一种得1分，X=5,6,7时算对一种得2分） 所以X 的数学期望10303531113()345678120120120120120120E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=612515.112010==.………15分答：（1）该顾客获得高分的概率是14；（2）X 的数学期望为5.1. …16分 19解：(1) 若1,10i a n ==，10()(1)f x x =+展开式的第r+1项为110r rr T C x +=，∴3x 系数为3101098120321C ⨯⨯==⨯⨯； ……………………4分(2)若,8i a i n ==，则()(1)(12)(13)...(18)f x x x x x =++++，方法1：在8个括号中任选两个，展开式中2x 项的系数为所有任选的两个括号中x项的系数之积的和，即1213141823242878⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯++⨯++⨯=1(2+3+…+8)+2(3+4+…+8)+3(4+5+…+8)+ …+7×83566901041059056546=++++++=.…10分方法2：展开式中2x 项的系数为：1213141823242878⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯++⨯++⨯22222(1238)(1238)5462++++-++++==.(3)由题意()(1)(1)(1)(1)(1)f x x x x x x =+-+⋅⋅⋅+-22(1)(1)n n x x =+-22(1)n x =-，……12分设()F x =22()(1)n f x x ++，即()F x 2222(1)(1)n n x x =-++，当x =()F x =22(12)(12)n n +01220122222222222222(((2)(2)(2)(2)nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C =+⋅+++-++⋅+++0220242222222[]2(22)n n n n n C C C C C +=++=++， …………………15分024222,,,n n n C C C 为正整数，∴()F x =22(1(1nn ++为正整数，即22()(1)n f x x ++为正整数. ………………16分20解：(1)方法1：当n =4时，414243441,3,5,7a a a a ====,则3132334,8,12a a a ===，212212,20a a ==，所以1132a =； ……………3分方法2：当n=4时，11212231323341424344233a a a a a a a a a a =+=++=+++=133357+⨯+⨯+=32.(2)11212231323341424344233a a a a a a a a a a =+=++=+++=01234451452453454455C a C a C a C a C a ++++=…=01211112131n n n n n n n n nn C a C a C a C a -----++++ ……………6分=0122111111222n n n n n n C C C C ------+⋅+⋅++⋅ =11(12)3n n --+= . ……………9分(3)假设存在等差数列{x n }.令n =1,得241241,1x C C x =∴=； 令n =2,得224221352,2x C x C C x +=∴=；猜想1111n d ,x (n )n ==+-⋅=. ……………11分证明如下：即证22222423413(1)(2)2n n n nC n C n C C C C +++-+-+++= （方法一）：（用数学归纳法证明）①当n=1时，左边=22C =1,右边=44C =1.左边=右边. ……………11分 ②假设当n=k 时，等式成立，即22222423413(1)(2)2k k k kC k C k C C C C +++-+-+++=，那么当n=k+1时，2222223412(1)(1)2k k k C kC k C C C +++++-+++，=22222222223412312(1)(2)2()k k k k kC k C k C C C C C C C ++++-+-++++++++………13分=432434322334k k k k k k C C C C C C ++++++++=+=，即当n=k +1时，等式也成立， 综合①②等式成立. 所以存在等差数列{x n }， 即x n =n 使得222224213242113n n n n n n x C x C x C x C x C C --+++++++=. ……………16分(方法二)：左边=22222222341(1)(1)(2)2n n C n C n C n C C C ++-+-+-+++ =23222223341(1)(1)(2)2n n C n C n C n C C C ++-+-+-+++=232222441(1)(2)2n n C n C n C C C ++-+-+++=23322224441(2)(2)2n n C C n C n C C C +++-+-+++=233222451(2)2n n C C n C C C +++-+++=…=23332452n C C C C +++++ ……………13分- 11 - =43334452n C C C C +++++=433552n C C C ++++ =433662n C C C ++++=43n C +=右边. 所以存在等差数列{x n }，即x n =n 使得222224213242113n n n n n n x C x C x C x C x C C --+++++++=.……16分。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)1.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.(5分) 命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|≠|b|，则a≠b”。
2.(5分) 双曲线的离心率大于1.3.(5分) 已知复数z=1的渐近线方程是y=x。
4.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，点(4,3)到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是-5.5.(5分) 曲线y=x^4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是4.6.(5分) 已知实数x，y满足条件x+y=1，则z=2x+y的最大值是2.7.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y^2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是9.8.(5分) 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x^2+y^2=r^2（r>0）与圆M：(x-3)^2+(y+4)^2=4相交，则r的取值范围是1<r<3.9.(5分) 观察下列等式：sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。
+sin^(-2)=n(n+1)/2照此规律。
sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+sin^(-2)+。
=110.(5分) 若“∃x∈R，x^2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是a≤0.11.(5分) 已知函数f(x)=(x^2+x+m)ex（其中m∈R，e为自然对数的底数）。
若在x=-3处函数f(x)有极大值，则函数f(x)的极小值是f(-2)。
12.(5分) 有下列命题：①“m>0”是“方程x^2+my^2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y-1=0与直线l2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f(x)=x^3+mx单调递增”是“m>0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p 且q是真命题”的必要不充分条件。
2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是______ ．【答案】若|a|≠|b|，则a≠b【解析】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．2.双曲线=1的渐近线方程是______ ．【答案】y=±2x【解析】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．3.已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是______ ．【答案】2【解析】解：==，∵复数为纯虚数，∴，解得a=2．故答案为：2．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据已知条件列出方程组，求解即可得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.在平面直角坐标系x O y中，点（4，3）到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是______ ．【答案】±5【解析】解：由题意，=1，∴a=±5．故答案为±5．直接利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求出实数a的值．本题考查求实数a的值，正确运用点到直线的距离公式是关键．5.曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是______ ．【答案】-3【解析】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）则有：⇒，化简求：m=1，b=n-4；又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；则：b=n-4=-3；故答案为：-3．设直线与曲线的切点为P（m，n），点P分别满足直线方程与曲线方程，同时y'（m）=4即可求出b值本题主要考察了点满足曲线，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属中等题．6.已知实数x，y满足条件，则z=2x+y的最大值是______ ．【答案】9【解析】解：实数x，y满足条件，作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，则当直线y=-2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由可得A（3，3）．此时z=9，故答案为：9．作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．7.在平面直角坐标系x O y中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是______ ．【答案】4【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，∴x=4，故答案为：4由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=5，则P到准线的距离也为5，即x+1=5，将p的值代入，进而求出x．活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．8.在平面直角坐标系x O y中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x-3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是______ ．【答案】3＜r＜7【解析】解：由题意，圆心距为5，∴|r-2|＜5＜r+2，∴3＜r＜7．故答案为3＜r＜7．由题意，圆心距为5，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x-3）2+（y+4）2=4相交，可得|r-2|＜5＜r+2，即可求出r的取值范围．本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．9.观察下列等式：（sin）-2+（sin）-2=×1×2；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+sin（）-2=×2×3；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×3×4；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×4×5；…照此规律，（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2= ______ ．【答案】n（n+1）【解析】解：观察下列等式：（sin）-2+（sin）-2=×1×2；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+sin（）-2=×2×3；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×3×4；（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+sin（）-2=×4×5；…照此规律（sin）-2+（sin）-2+（sin）-2+…+（sin）-2=×n（n+1），故答案为：n（n+1）由题意可以直接得到答案．本题考查了归纳推理的问题，关键是找到相对应的规律，属于基础题．10.若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，0]∪[4，+∞）【解析】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2-4a≥0，解得：a∈（-∞，0]∪[4，+∞），故答案为：（-∞，0]∪[4，+∞）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则△=a2-4a≥0，解得实数a的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了方程根的存在性与个数判断，特称命题，难度基础．11.已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=-3处函数f（x）有极大值，则函数f（x）的极小值是______ ．【答案】-1【解析】解：f（x）=（x2+x+m）e x，f （x）=（x2+3x+m+1）e x，若f（x）在x=-3处函数f（x）有极大值，则f （-3）=0，解得：m=-1，故f（x）=（x2+x-1）e x，f （x）=（x2+3x）e x，令f （x）＞0，解得：x＞0，令f （x）＜0，解得：x＜-3，故f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）极小值=f（0）=-1，故答案为：-1．求出函数f（x）的导数，根据f （-3）=0，求出m的值，从而求出函数f（x）的单调区间，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．12.有下列命题：①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；②“a=1”是“直线l1：ax+y-1=0与直线l2：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；③“函数f（x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．其中所有真命题的序号是______ ．【答案】②④【解析】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；对于③，若函数f（x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题，故正确；故答案为：②④①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆；②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行；③，若函数f（x）=x3+mx单调递增⇒m≥0；④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q一定是真命题；本题考查了命题的真假，属于基础题．13.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（-2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E离心率的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b＞0）由公共点，∴b≤≤a⇒⇒．故答案为：[，]设P（x，y），由PM=PF⇒x2+y2=2c2．只需x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b＞0）由公共点，即b≤≤a，可求离心率的取值范围．本题考查了椭圆的离心率，关键是要结合图形，属于中档题．14.已知t＞0，函数f（x）=，，＞，若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是______ ．【答案】（3，4）【解析】解：∵函数f（x）=，，＞，∴函数f （x）=，，＞，当x＜，或x＜t时，f （x）＞0，函数为增函数，当＜x＜t时，f （x）＜0，函数为减函数，故当x=时，函数f（x）取极大值，函数f（x）有两个零点0和t，若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，由y|x=t==，故＜＜＜＜，=（t-3）（2t+3）2＞0得：t＞3，故不等式的解集为：t∈（3，4），故答案为：（3，4）若函数g（x）=f（f（x）-1）恰有6个不同的零点，则方程f（x）-1=0和f（x）-1=t 各有三个解，即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的零点个数的判定定理，分段函数的应用，难度中档．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.在平面直角坐标系x O y中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C （2，-4）．（1）求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求BC边上的高所在直线的方程．【答案】解：（1）由B（10，4），C（2，-4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）所以AD的斜率为k==8，…（5分）所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y-0=8（x-6），即8x-y-48=0．…（7分）（2）由B（10，4），C（2，-4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）所以BC边上的高所在直线的斜率为-1，…（12分）所以BC边上的高所在直线的方程为y-8=-1（x-7），即x+y-15=0．…（14分）【解析】（1）求出BC中点D的坐标，AD的斜率，即可求BC边上的中线所在直线的方程；（2）求出BC边上的高所在直线的斜率为，即可求BC边上的高所在直线的方程．本题考查直线方程，考查学生的计算能力，正确求出直线的斜率是关键．16.已知数列{a n}满足a1=1，（a n-3）a n+1-a n+4=0（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】解：（1）令n=1，-2a2+3=0，a2=，令n=2，-a3-+4=0，a3=，令n=3，-a4-+4=0，a4=．（2）猜想a n=（n∈N*）．证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，则（a k-3）a k+1-a k+4=0，即（-3）a k+1-+4=0，所以a k+1=，即a k+1==，所以当n=k+1时，结论a n=成立．综上，对任意的n∈N*，a n=成立．【解析】（1）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（2）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式，属于中档题．17.在平面直角坐标系x O y中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-1=0相切于点P（2，-1）．（1）求圆M的方程；（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】解：（1）过点（2，-1）且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-3=0，…（2分）由解得，所以圆心M的坐标为（1，-2），…（4分）所以圆M的半径为r=，…（6分）所以圆M的方程为（x-1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，由d==，…（11分）整理得k2+8k+7=0，解得k=-1或-7，…（13分）所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）【解析】（1）求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．【答案】（本题满分16分）解：（1）作AH⊥CF于H，则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）则六边形的面积为f（θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f （θ）=2[-sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]=2（2cos2θ+cosθ-1）=2（2cosθ-1）（cosθ+1）．…（10分）令f （θ）=0，因为θ∈（0，），所以cosθ=，即θ=，…（12分）当θ∈（0，）时，f （θ）＞0，所以f（θ）在（0，）上单调递增；当θ∈（，）时，f （θ）＜0，所以f（θ）在（，）上单调递减，…（14分）所以当θ=时，f（θ）取最大值f（）=2（cos+1）sin=．…（15分）答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）【解析】（1）作AH⊥CF于H，则六边形的面积为f（θ）=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．（2）求导，分析函数的单调性，进而可得θ=时，f（θ）取最大值．本题考查的知识点是三角函数的实际应用，利用导数研究函数的最大值，难度中档．19.在平面直角坐标系x O y中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（-a，0），B（a，0），点M（-1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；（2）若BC⊥CD，求k的值；（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．【答案】解：（1）因为3=，所以3（-1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）又因为=，所以c=，所以b2=a2-c2=1，所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，则=（-1-x0，-y0），=（2-x0，-y0）．因为BC⊥CD，所以（-1-x0）（2-x0）+y02=0．①…（6分）又因为+y02=1，②联立①②，解得x0=-，y0=，…（8分）所以k==2．…（10分）（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（-2＜x0＜2且x0≠-1），由消去y，得x2+8y02x+4y02-4（x0+1）2=0．…（12分）又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）所以===3，所以为定值．…（16分）【解析】（1）由3=，得a即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，由BC⊥CD，得（-1-x0）（2-x0）+y02=0．解得x0=-，y0=，即可．（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（-2＜x0＜2且x0≠-1），由消去y，得x2+8y02x+4y02-4（x0+1）2=0，得D（，），可求本题考查了直线椭圆的位置关系，对计算能力的要求较高，设而不求、方程的思想贯穿整个解题过程，属于中档题．20.已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R）．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）f（x）=x-lnx（x＞0）的导数为f （x）=1-=，当x＞1时，f （x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f （x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，即为=2-lnx，即有a=，设g（x）=，x∈[1，3]，则g （x）=（1-lnx）（1+），当1＜x＜e时，g （x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g （x）＜0，g（x）递减．则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；g（1）=2，g（3）=3（2-ln3）+＞2，则a的取值范围是[2，e+]；（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，即为ax-lnx≥-ln，即有a（x-）≥2lnx，x≥1，高中数学试卷第11页，共12页令F（x）=a（x-）-2lnx，x≥1，F （x）=a（1+）-，当x=1时，原不等式显然成立；当x＞1时，由题意可得F （x）≥0在（1，+∞）恒成立，即有a（1+）-≥0，即a≥，由=＜=1，则a≥1．综上可得a的取值范围是[1，+∞）．【解析】（1）求得f（x）的导数，求得单调区间，可得f（x）的极小值，也为最小值；（2）由题意可得a=，设g（x）=，x∈[1，3]，求出导数和单调区间，极值和最值，即可得到所求a的范围；（3）由题意可得ax-lnx≥-ln，即有a（x-）≥2lnx，x≥1，令F（x）=a（x-）-2lnx，x≥1，求出导数，讨论x=1，x＞1时，F（x）递增，运用分离参数和基本不等式，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查构造函数法和分类讨论思想方法的运用，考查运算能力，属于难题．高中数学试卷第12页，共12页。
2017-2018学年江苏省宿迁市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年江苏省宿迁市高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题1．（5分）设集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，2，4}，则A∪B的结果为．2．（5分）命题∃x∈N，使得x2≤2x的否定是．3．（5分）设复数z满足z（1﹣i）＝4（i为虚数单位），则z的模的值为．4．（5分）“x﹣1≤3”是“x≤4或x≥6”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分又不必要”）．5．（5分）已知幂函数f（x）的图象过点（4，），则函数f（16）的值为．6．（5分）函数y＝+lg（x+3）的定义域为．7．（5分）已知函数，若，则实数a的值为．8．（5分）过曲线C：f（x）＝lnx+x2上点（1，f（1））处的切线方程为．9．（5分）已知定义在R上的偶函数满足f（x）＝x3+4x（x≥0），若f（1﹣2m）≥f（m），则实数m的取值范围是．10．（5分）计算的结果为．11．（5分）已知函数y＝a x+b（a＞1）的图象经过（2，1），则的最小值为．12．（5分）如图，它满足第n行首尾两数均为n，A（i，j）表示第i（i≥2）行第j个数，则A（100，2）的结果是．13．（5分）如图，已知过原点O的直线与函数y＝log8x的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x图象交于C，D两点，若BC∥x轴，则四边形ABCD 的面积为．14．（5分）已知函数f（x）＝ex|lnx|（其中e是自然对数的底数）．若关于x的方程f2（x）+2mf（x）+m+1＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题14分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z＝+i（i为虚数单位）．（1）若z∈R，求z；（2）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求a的取值范围．16．（14分）已知c＞0且c≠1，设命题p：函数y＝c x在R上单调递减，命题q：对任意实数x，不等式恒成立．（1）写出命题q的否定，并求非q为真时，实数c的取值范围；（2）如果命题“p∨q“为真命题，“p∧q“为假命题，求实数c的取值范围．17．（14分）（1）证明：1，，不可能成等差数列；（2）证明：1，，不可能为同一等差数列中的三项．18．（16分）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式，其中4＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售A系列所获得的利润最大．19．（16分）已知函数f（x）＝a（1﹣）（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）存在x∈[1，2]，使得4+mf（x）﹣2x+1≥0成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设函数．（1）求函数g（x）＝f（x）f（﹣x）的最大值．（2）若对任意x∈（0，k），均有，求正实数k的取值范围．（3）是否存在实数m，使得不等式mxf（x）+lnx≤0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．2017-2018学年江苏省宿迁市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：∵集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，2，4}，∴A∪B＝{﹣1，0，2，4}．故答案为：{﹣1，0，2，4}．2．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈N，使得x2＞2x，故答案为：∀x∈N，使得x2＞2x3．【解答】解：∵z（1﹣i）＝4，∴z＝，则|z|＝．故答案为：．4．【解答】解：由x﹣1≤3得x≤4，则“x﹣1≤3”是“x≤4或x≥6”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．5．【解答】解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象过点（4，），∴f（4）＝4a＝，解得a＝﹣，∴f（x）＝，∴函数f（16）＝＝．故答案为：．6．【解答】解：由，解得：﹣3．∴函数y＝+lg（x+3）的定义域为（﹣3，]．故答案为：（﹣3，]．7．【解答】解：∵函数，∴f（）＝5×+1＝3，∵，∴＝9﹣3a＝﹣6，解得a＝5．∴实数a的值为5．故答案为：5．8．【解答】解：∵曲线C：f（x）＝lnx+x2，∴f′（x）＝，∴f′（1）＝3，∵f（1）＝1，∴过曲线C：f（x）＝lnx+x2上点（1，1）处的切线方程为为y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0．故答案为：3x﹣y﹣2＝0．9．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x3+4x为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（1﹣2m）≥f（m）等价为f（|2m﹣1|）≥f（|m|），即|2m﹣1|≥|m|，平方得4m2﹣4m+1≥m2，即3m2﹣4m+1≥0，得（m﹣1）（3m﹣1）≥0，得m≥1或m≤，即实数m的取值范围是m≥1或m≤，故答案为：m≥1或m≤10．【解答】解：＝＝6﹣3+＝．故答案为：．11．【解答】解：∵函数y＝a x+b（a＞1）的图象经过（2，1），∴a2+b＝1，则＝+ +a2﹣1≥3﹣1＝12﹣1＝11，当且仅当＝a2，即a＝2时，取等号，故的最小值为11，故答案为：11．12．【解答】解：由图可知：第n（n≥2）行第n﹣1个数等于故第n（n≥2）行第2个数第二行的第二个数为2第三行的第二个数为4＝2+2第四行的第二个数为7＝3+2+2第五行的第二个数为11＝4+3+2+2第六行的第二个数为16＝5+4+3+2+2…故推断第n行的第二个数为：[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2]+2＝，故第100行的第二个数为＝4951故A（100，2）的结果是4951．故答案为：4951．13．【解答】解：设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x1＞1，x2＞1．则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2．因为A、B在过点O的直线上，所以＝，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）．由于BC平行于x轴知log2x1＝log8x2，即得log2x1＝log2x2，∴x2＝x13．代入x2log8x1＝x1log8x2得x13log8x1＝3x1log8x1．由于x1＞1知log8x1≠0，∴x13＝3x1．考虑x1＞1解得x1＝．于是点A的坐标为（，log8）即A（，log23）∴B（3，log23），C（，log23），D（3，log23）．∴梯形ABCD的面积为S＝（AC+BD）×BC＝（log23+log23）×2＝．故答案为：．14．【解答】解：∵函数f（x）＝ex|lnx|（其中e是自然对数的底数）．∴①当0＜x＜1时，f（x）＝﹣exlnx，f′（x）＝﹣e（lnx+1）当0＜x＜时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0，②当x≥1时，f（x）＝exlnx，f′（x）＝e（lnx+1）f′（x）＞0，故当x＝时，函数f（x）有极大值f（）＝1，当x＝1时，函数f（x）有极小值0，作出函数f（x）对应的图象如图：设t＝f（x），当t＞1，或t＝0时，方程t＝f（x）有1个解，当t＝1时，方程t＝f（x）有2个解，当0＜t＜1时，方程t＝f（x）有3个解，当t＜0时，方程m＝f（x）有0个解，则方程f2（x）+2mf（x）+m+1＝0等价为t2+2mt+m+1＝0，要使关于x的方程f2（x）+2mf（x）+m+1＝0恰好有4个不相等的实数根，则方程t2+2mt+m+1＝0的两根，一个为0或大于1，一个在区间（0，1）上，若方程t2+2mt+m+1＝0的一个根为0，则m＝﹣1，方程可化为：t2﹣2t＝0，不合题意；若方程t2+2mt+m+1＝0的一个根大于1，一个在区间（0，1）上，则，解得：m∈（﹣1，﹣），故答案为：（﹣1，﹣）二、解答题：本大题共6小题，15-17题每小题14分，18-20题每小题14分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】解：（1）z＝+i＝+i＝+i＝+i，若z∈R，则＝0，得a＝，此时z＝；（2）若z在复平面内对应的点位于第一象限，则＞0且＞0，得，即0＜a＜，即a的取值范围是0＜a＜．16．【解答】解：（1）￢q：存在x0∈R，不等式≤0成立；若非q为真，则△＝，即c，又c＞0且c≠1，∴0＜c；（2）命题“p∨q“为真命题，“p∧q“为假命题，则p与q一真一假．若p真，则0＜c＜1，若q真，则△＝，即c＞且c≠1．则p真q假时，0＜c；p假q真时，c＞1．∴实数c的取值范围是（0，]∪（1，+∞）．17．【解答】证明：（1）假设1，，成等差数列，则有1+＝2，即＝3，明显不成立，故1，，不可能成等差数列；（2）假设1，，为同一等差数列中的三项，则有＝1+md，①＝1+nd，②变形可得：（﹣1）n＝（）m，则有＝＝，又由m、n为正整数，则为有理数，而为无理数，则＝明显不成立，故1，，不可能为同一等差数列中的三项．18．【解答】解：（1）由题意可知，当x＝6时，f（x）＝5，即+10＝15，解得a＝10，∴f（x）＝+10（x﹣7）2，（4＜x＜7）（2）商场每日销售A系列所获得的利润为h（x），则h（x）＝（x﹣4）[+10（x﹣7）2]＝10x3﹣10x2+1050x﹣1954，（4＜x＜7），即h′（x）＝30x2﹣360x+1050，令h′（x）＝30x2﹣360x+1050＝0，解得x＝5或x＝7（舍去），∴当4＜x＜5时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当5＜x＜7时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴当x＝5时，函数h（x）在区间（4，7）内取的极大值点，也是最大值点，∴h（x）max＝h（5）＝50，∴当售价格5元/千克时，该商场每日销售A系列所获得的利润最大．19．【解答】解：（1）函数f（x）＝a（1﹣）（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，即a（1﹣）＝0，解得a＝2；（2）f（x）＝2（1﹣），由2x＞0，可得∈（0，1），1﹣∈（﹣1，1），则f（x）∈（﹣2，2），即f（x）的值域为（﹣2，2）；（3）存在x∈[1，2]，使得4+mf（x）﹣2x+1≥0成立，可得m≥在[1，2]成立，设2x﹣1＝t（1≤t≤3），由g（t）＝＝t﹣+1，1≤t≤3，可得g（t）在[1，3]递增，可得g（t）的最小值为g（1）＝0，则m≥0，即m的范围是[0，+∞）．20．【解答】解：（1）g（x）＝f（x）f（﹣x）＝（）（﹣x+）＝﹣（x2+）+2≤﹣2+2＝0，当且仅当即当x＝±1时取“＝”，所以当x＝±1时，g（x）max＝0．（2）f（x）f（k﹣x）＝＝+x（k﹣x）+2，设t＝x（k﹣x），则t∈（0，．则恒成立，记h（t）＝，当1﹣k2≤0时，h（t）在区间（0，]上单调递增．故h（t）≤h（）＝，不成立．当1﹣k2＞0时，h（t）在区间（0，）上单调递减，在区间（）单调递增．从而，≥，所以0＜k≤2．（3）存在实数m，使得不等式mxf（x）+lnx≤0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，即存在实数m，使得不等式mx2﹣m+lnx≤0对于任意x∈（0，+∞）恒成立，记s（x）＝mx2﹣m+lnx，则s′（x）＝2mx+＝当m≥0时，s′（x）＞0，则s（x）在（0，+∞）上为增函数．s（2）＝3m+ln2＞0，此时不成立．当m＜0时，由s′（x）＝＝0得：x＝，当x∈（0，）时，s′（x）＞0，则s（x）在x∈（0，）为增函数，当x∈（，+∞）时，s′（x）＜0，则s（x）在x∈（，+∞）为减函数．所以s（x）max＝﹣﹣m+ln（），当m＝﹣时，s（x）max＝﹣﹣m+ln（）＝0，满足题意当m≠﹣时，令t＝，则s（x）max＝﹣﹣m+ln（）＝﹣++lnt，记φ（t）＝﹣++lnt，则φ′（t）＝﹣＝，当m＜﹣时，0＜t＜1，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）为减函数．φ（）＝＞0，不成立；当﹣＜m＜0时，t＞1，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）为增函数．φ（e）＝+＞0，不成立．综上，m∈时满足题意．。
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第1页（共22页） 2016-2017学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题 ． 2．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为 ． 3．（5分）如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为 ．
4．（5分）如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为 ．
5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的结果S为 ．
6．（5分）某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 人． 第2页（共22页）
7．（5分）设函数，则函数y=f（x）的单调递增区间是 ． 8．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f'（x）表示函数f（x）的导函数，则f（3）+f'（3）的值为 ．
9．（5分）已知AB是圆C：x2+y2﹣4x+2y+a=0的一条弦，M（1，0）是弦AB的中点，若AB=3，则实数a的值是 ．
10．（5分）如图，椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是 ．
11．（5分）若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 12．（5分）若方程有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是 ． 13．（5分）在平面直角坐标xOy中，已知A（1，0），B（4，0），圆（x﹣a）2+y2=1上存在唯一的点P满足，则实数a的取值集合是 ． 第3页（共22页）
14．（5分）设a＞0，函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，若对任意的x2∈[，1]，存在，f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（14分）如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a（3≤a≤8且a∈N）表示． （1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求a的值及乙同学历史成绩的方差； （2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率．
16．（14分）已知p：x2+2x﹣8＜0，q：（x﹣1+m）（x﹣1﹣m）≤0（m＞0）． （1）使p成立的实数x的取值集合记为A，q成立的实数x的取值集合记为B，当m=2时，求A∩B； （2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17．（14分）已知圆O：x2+y2=a2（a＞0），点A（0，4），B（2，2）． （1）若线段AB的中垂线与圆O相切，求实数a的值； （2）过直线AB上的点P引圆O的两条切线，切点为M，N，若∠MPN=60°，则称点P为“好点”．若直线AB上有且只有两个“好点”，求实数a的取值范围． 18．（16分）某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为r，高为h，体积为16π立方米，且h≥2r．已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为3千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为a千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为y千元． （1）求y关于r的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）问r为多少时，该容器建造总费用最小？ 第4页（共22页）
19．（16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，△B2OF2是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A2且垂直于x轴，D为l上异于A2的一动点，直线A1D交椭圆于点C． （1）求椭圆的标准方程； （2）若A1C=2CD，求直线OD的方程； （3）求证：为定值． 20．（16分）已知函数f（x）=ex，g（x）=﹣x2+2x﹣af（x）（a∈R），x1，x2是两个任意实数且x1≠x2． （1）求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程； （2）若函数g（x）在R上是增函数，求a的取值范围；
（3）求证：． 第5页（共22页）
2016-2017学年江苏省宿迁市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．（5分）写出命题“若a2＞b2，则|a|＞|b|”的逆命题 若|a|＞|b|，则a2＞b2 ．
【分析】根据逆命题的定义进行求解即可． 【解答】解：根据逆命题的定义得命题的逆命题为：若|a|＞|b|，则a2＞b2； 故答案为：若|a|＞|b|，则a2＞b2
2．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为 （1，0） ． 【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标． 【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程， p=2∴焦点坐标为：（1，0） 故答案为：（1，0）
3．（5分）如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为 23 ．
【分析】根据算法语句写出分段函数，然后根据自变量选择解析式，计算函数值即可． 【解答】解：根据条件语句可知该语句执行后是计算 第6页（共22页）
y=， 当x=5时， y=52﹣2=23． 故答案为：23．
4．（5分）如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，则阴影部分的面积为 2 ．
【分析】设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知阴影部分面积为矩形面积的，由此能求出该阴影部分的面积． 【解答】解：设阴影部分的面积为x， 由概率的几何概型知，则=， 解得x=2． 故答案为：2．
5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的结果S为 22 ．
【分析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满 第7页（共22页）
足判断框中的条件，直到不满足条件，输出S的值． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S=0，n=1 满足条件n＜11，执行循环体，S=1，n=4 满足条件n＜11，执行循环体，S=5，n=7 满足条件n＜11，执行循环体，S=12，n=10 满足条件n＜11，执行循环体，S=22，n=13 不满足条件n＜11，退出循环，输出S的值为22． 故答案为：22．
6．（5分）某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在[100，150]的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在[120，130）内的学生共有 300 人．
【分析】根据频率和为1，求出成绩在[120，130）内的频率与频数即可． 【解答】解：根据频率和为1，得成绩在[120，130）内的频率为 1﹣（0.010+0.020+0.025+0.015）×10=0.3， 所以成绩在[120，130）内的学生共有 1000×0.3=300． 故答案为：300．
7．（5分）设函数，则函数y=f（x）的单调递增区间是 （1，+∞） ． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可． 第8页（共22页）
【解答】解：∵，（x＞0）， ∴f′（x）=﹣=， 令f′（x）＞0，解得：x＞1， 故函数的递增区间是（1，+∞）， 故答案为：（1，+∞）．
8．（5分）如图，直线l是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f'（x）表示函数f（x）的导函数，则f（3）+f'（3）的值为 ．
【分析】根据导数的几何意义，f'（3）是曲线在（3，3）处的切线斜率为：f'（3）==﹣，又f（3）=3，可得结论．
【解答】解：由题意，f'（3）==﹣，f（3）=3， 所以f（3）+f′（3）=﹣+3=， 故答案为：．
9．（5分）已知AB是圆C：x2+y2﹣4x+2y+a=0的一条弦，M（1，0）是弦AB的中点，若AB=3，则实数a的值是 ．
【分析】利用配方法得到圆的标准方程，求出直线方程、圆心到直线的距离，根据弦AB=3，求出圆的半径，即可得到a的值． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+2y+a=0，即（x﹣2）2+（y+1）2=﹣a+5， 则圆心C（2，﹣1），半径r=， ∵弦AB的中点为M（1，0）． 第9页（共22页）
∴直线CM的斜率k=﹣1， 则直线l的斜率k=1， 则直线l的方程为y﹣0=x﹣1，即x﹣y﹣1=0． 圆心C到直线x﹣y﹣1=0的距离d==，
若弦AB=3， 则2+=5﹣a，
解得a=， 故答案为．
10．（5分）如图，椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2，若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1，则椭圆的离心率是 ．
【分析】利用已知条件，转化为：B1B2=A2B1，然后求解椭圆的离心率即可． 【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为B2，B1，左、右顶点分别为A1，A2， 若线段A2B2的垂直平分线恰好经过B1， 可得B1B2=A2B1， 即：2b=，可得：a2=3b2=3a2﹣3c2，即2a2=3c2，
可得e=． 故答案为：；