甘肃省兰州一中11-12学年高一上学期期末考试数学试题
甘肃兰州一中2011—2012学年度上学期期末考试
高一数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将每题正确选项的序号填在答题卡的相应位置． 1．点(tan2011°，cos2011°)位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20cm ，则扇形的面积为
A ．40πcm
2
B ．40cm
2
C ．80πcm
2
D ．80cm 2
3．设向量a =(1，sin θ)，b =(3sin θ，1)，且a ∥b ，则cos2θ等于
A ．
13
B ．
23
C ．-13
D ．-23
4．已知0<α<π，3sin2α=sin α，则cos(α-π)等于
A ．
13
B ．-13
C ．
16
D ．-
16
5．若向量a =(1，2)，b =(-3，4)，则(a ·b )(a +b )等于
A ．20
B ．54
C ．(-10，30)
D ．(-8，24)
6．函数f (x )=cos(
12
6
x π
-
)的图象相邻的两条对称轴间的距离是 A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．
2
π
7．下列坐标所表示的点不是．．
函数y =tan(26
x π
-
)的图象的对称中心的是
A ．(
3
π
，0) B ．(
23
π，0) C ．(43
π，0) D ．(-53
π，0)
8．若向量a 、b 满足a +b =(2，-1)，a =(1，2)，则向量a 与b 的夹角等于 A ．45° B ．60° C ．120°
D ．135°
9．已知α∈(2
π，π)，tan(α+4
π
)=17，则sin α+cos α的值为
A ．-
15
B ．
75
C ．-
75
D ．
3
4
10．如图所示为函数f (x )=2cos(ωx +ϕ)(ω>0，0≤ϕ≤π)的部分图象，其中|AB
|=5，f (0)=1，那么ω和ϕ
的值分别为
A ．ω=6
π，ϕ =3π
B ．ω=
3
π
，ϕ =
6
π
C ．ω=3
π
，ϕ =
3
π
D ．ω=6，ϕ =6
π
11．设a =
2
2(sin17°+cos17°)，b =2cos 213°-1，c =
2
，则
A ．c <a <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．b <a <c
的最高点，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠OPB =
A ．10
B ．8
C ．
87
D ．
47
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分；答案填在答题卡的相应位置上．
13．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为
45
，则cos α=_________．
14．两个非零向量a ，b 互相垂直，给出下列各式：
①a ·b =0；②a +b =a -b ；③|a +b |=|a -b |； ④|a |2+|b |2=(a +b )2；⑤(a +b )·(a -b )=0．
以上结论正确的是______________(写出所有正确结论的编号)． 15．将函数f (x )=sin(ωx +ϕ)(ω>0)的图象向左平移2
π
个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的最
小值是_________．
16．某城市一年中12个月的平均气温与月份x 的关系可近似地用三角函数y =a
+A cos[
6
π
(x -6)](x =1，
2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为_____℃．
三、解答题：4小题，共48分；写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)
求(cos 2
20°-12
)·tan10°)的值．
18．(本小题满分10分)
已知函数y =A sin(ωx +ϕ)(A >0，ω>0，0<ϕ<π)最大值是2，最小正周期是
2
π
，直线x =0是其图象
A
α
x
y O
19．(本小题满分14分)
给定两个长度为1的平面向量O A 和OB
，它们的夹角为
120°．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧 AB 上变动．若
O C xO A yO B =+
，其中x ，y ∈R ，试求x +y 的最大值．
20．(本小题满分14分)
已知函数f (x )=2sin 2
(4
π
+x )-x ．
(1)求f (x )的值域；
(2)求f (x )的周期及单调递减区间．
参考答案
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13 ．3
5-． 14．①③④． 15．4． 16．20.5．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．解：原式=12
(2cos 2
20°-1)·
cos1010cos10︒+︒
︒
…………3分
=cos 40sin 40cos10︒︒
︒ …………6分
=sin 802cos 10︒︒ …………9分
=
12
． …………10分
18．解：（A =2，T =
22
π
π
ω
=
，ω=4，∴y =2sin(4x +ϕ)． ……………6分
∴2sin(0+ϕ)=±2，即sin ϕ=±1，∵0<ϕ<π，∴ϕ=2
π
， …………8分
∴y =2sin(4x +
2
π
)．[或2cos4x ] ……………10分
19．解：设C (cos θ，sin θ)，0≤θ≤
23
π， ……………3分
A (1，0)，
B (-
12
，
2
)， ……………5分
由O C xO A yO B =+ 得，x -12y =cos θ，2
y =sin θ， ……………9分
∴
32
y θ，∴x +y =cos θ+θ=2sin(θ+
6
π
)， ……………12分
∴x +y 的最大值是2． ……………14分
20．解：(1)f (x )=1-cos2(4
π+x x =1+sin2x x =1+2sin(2x -3
π
)．…5分
∴f (x )的值域为[-1，3]． ……………7分 (2)f (x )的周期T =π．……………9分
由32222
3
2
k x k πππππ+≤-≤+得51112
12
k x k ππ
ππ+≤≤+，………12分
所以f (x )单调增区间是511[,]12
12
k k ππππ+
+
(k ∈Z )． ……………14分。
甘肃省兰州市高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
高一数学说明 : 本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 , 满分 100 分 , 考试时间 100 分钟 .答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题, 共 40分)一、选择题 ( 本大题共10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中, 只有一项是切合题目要求的, 请将答案写在答题卡上.)1 ．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x y 5B ． x y 5C ． x y 5或 x 4 y 0D ． x y 5或 x 4 y02 ．已知m, n表示两条不一样直线，表示平面．以下说法正确的选项是()A ．若 m // , n // ,则 m // nB ．若 m, n,则 m nC ．若 m, m n, 则 n //D ．若 m // , m n, 则 n3．如图，矩形O ' A' B ' C '是水平搁置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，此中 O ' A'6cm,C ' D '2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角，则异面直线AB和CD 所成的角是( )A．30 B．45 C ．60 D．90DCO B A5．若圆锥的高等于其内切球半径长的 3 倍，则圆锥侧面积与球表面积的比值为()A ．1B ．3C ．1D ．4 2 2 3 36．已知三棱锥P ABC 的四个极点 P, A, B, C 都在半径为R的同一个球面上, 若 PA,PB, PC两两互相垂直,且PA1, PB 2,PC 3 ,则R等于()A ．14B ． 14C ．13D ． 3227．如图，已知两点A( 4,0), B(0,4) ，从点 P( 2,0) 射出的光芒经直线 AB 反射后射到直线 OB 上，再经直线 OB 反射后射 到 P 点，则光芒所经过的行程PM MN MNP 等于( )NA ．2 10B ． 6C ．3 3D ．2 58．定义在 R 上的奇函数 f (x) 知足：当 x 0时， f ( x) 2017 xlog 2017 x ，则在 R 上，函数 f ( x) 零点的个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．5 2B ．4 2C ． 4D ． 610．已知点 A( 1,0), B(1,0), C ( 0,1),直线 y kx b(k 0) 将 ABC 切割为面积相等的两部分 , 则 b 的取值范围是 ()A ． (0,1)B ．[1 , 1)C ．[12 , 1] D ．[12,1)3 22 32 2第Ⅱ卷 ( 非选择题 )二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 , 请将答案写在答题卡上.)11．如图，长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB 3, BC 4 ，CC 1 5 , 则沿着长方体表面从 A 到 C 1 的最短路线长为 ________ ．12．若幂函数 f ( x) x ( 为常数 ) 的图象恒过定点 A ,直线 kx y 2k 1 3 0 恒过定点 B, 则直线AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100 万元，每生产1件该产品还需要增添投资1 万元，年产量为x( x N ) 件．当 x 20 时，年销售总收入为(33 x x 2 ) 万元；当 x 20 时，年销售总收入为 260 万元．则该工厂的年产量为________件时，所得年收益最大 . ( 年收益 =年销售总收入－年总投资) ．14．已知函数 f ( x) 2 x a (x 1)若 f ( x) 0 恰有2个实数根，4(x a)( x 2a) (x 1).则实数 a 的取值范围是_______________.三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共44 分． )15． ( 本小题 8 分 ) 如图，在三棱柱ABC A1 B1C1中，侧棱垂直于底面，AB AC ，E,F , H分别是A1C1,BC, AC的中点. E(1)A 1 C 1 求证：平面 C 1 HF // 平面 ABE .B 1(2) 求证：平面 AEF 平面 B1 BCC1HA CFB16． ( 本小题 8 分)(1) 已知直线l1: ax 2 y 6 0 和直线 l 2 : x (a 1) y a 2 1 0 .当 l1 // l 2时，求a的值.(2) 已知点P(2, 1)，求过P点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离. 17． ( 本小题 8 分 ) 如图，长方体ABCD A1 B1C1D1中，D1D DC 4，ADD1 C1 2 ，E为D1C的中点．B1A1 EDC(1) 求三棱锥 D 1 ADE 的体积 .(2)AC 边上能否存在一点 M ,使得 D 1 A // 平面 MDE ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明原因．18． ( 本小题 10 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD , ABAD, ACCD ，ABC 60 ， PA AB BC ， E 是 PC 的中点．(1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小 .(2) 求二面角 A PD C 的正弦值．19. ( 本小题 10 分 ) 设二次函数 f (x) x 2 axa ．(1)若方程 f ( x) x 0 的两实根x 1和 x 2 知足0 1 x 21 ．x务实数 a 的取值范围 .(2)求函数 g( x) af (x) a 2 (x1) 2x 在区间 [ 0,1] 上的最小值．兰州一中 2016-2017-1 学期期末考试高一数学答题卡第Ⅰ卷 ( 选择题 )一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 .)题号 12 345678910答案第Ⅱ卷 ( 非选择题 )二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 .)11.________________12.______________________13.________________ 14.______________________EA1三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 44 分． ) C 1 15． ( 本小题 8 分) B 1HA CFB16． ( 本小题 8 分)17． ( 本小题 8 分)D1 C1B1A1 ED18．(本小题 10 分)19.(本小题10分)兰州一中 2016-2017-1 学期期末考试高一数学答案一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 .)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBDCBAACDD二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 .)11.7412.15013. 1614.[1,1) [2,)2提示: 8.别漏了 (0,0)9. 结构正方体模型 ( 如左以下图 ) 该多面体为三棱锥ADBCA BCDCMABNO10.k0 时 ,b12; k 0 时, 如右上图 ,b k b2N ( ,0), y M1kk 令S MNB1 (1 b ) k b 1,得 kb 2b11 022k k 1 22b14. 当时 ,方程f ( x)0 无实根 ;a 0当 0a1时 ,要使 f (x) 0 恰有 2 个实数根，须 2a1 a11 ,2当 a 1时 , 要使 f ( x) 0 恰有 2 个实数根，须 21a0 a 2综上 ,所求为 [ 1,1) [ 2,)2三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 44 分 .)15 (8 )如图，在三棱柱 ABC 1 1 1中，侧棱垂直于底面， AB AC ， E,F,H． 本小题 分 A B C分别是 A 1C 1 , BC , AC 的中点 .(1) 求证：平面 C 1 HF // 平面 ABE .EA 1C 1B 1(2) 求证：平面 AEF 平面 B1 BCC1证明 : (1) F , H 分别是 BC, AC 的中点，HF//AB.又E, H 分别是 A1C1, AC 的中点，EC1 // AH又EC1 AH 四边形 EC1 HA 为平行四边形.C1H // AE ，又C1H HF H,AE AB A，因此平面 C 1 HF // 平面 ABE .(2) AB AC, F为BC中点, AF BC B1 B 平面 ABC , AF 平面 ABC ,B1 B AF B1B BC B, AF 平面 B1 BCC1又AF 平面 AEF , 平面 AEF 平面 B1 BCC116． ( 本小题8 分) (1) 已知直线 l 1 : ax 2 y 6 0 和直线 l 2 : x (a 1) y a2 1 0 .当 l1 // l 2时，求a的值.(2) 已知点P(2, 1) ，求过 P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．解: (1) 由 A1B2 A2 B1 0 ，得a(a 1) 1 2 0 ，由 B1C2 B2 C1 0 ，得2( a2 1) 6( a 1) 0 ， a 1(2) 过 P 点且与原点距离最大的直线, 是过P点且与OP垂直的直线，由 l OP 得 k l k OP 1 ．因此 k l 2 ．由直线方程的点斜式得y 1 2( x 2) ，即 2x y 5 0 ，所以直线 2x y 5 0是过P点且与原点距离最大的直线，最大距离为5d 5 ．D1 C1517． (本小题 8 分 ) 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，A1 B1ED1 D DC 4，AD 2 ， E为 D 1C 的中点．DC(1) 求三棱锥D1 ADE 的体积． A B(2)AC 边上能否存在一点M,使得 D1 A // 平面 MDE ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明原因．解 : (1) V D1 ADE VA DED 1长方体中, AD 平面 D1CD ，AD 是三棱锥 A D1DE 的高．E为D1C 的中点，且 D1D DC 4，S D 1DE4又 AD2，因此V D 1 ADE V A DED 18．3(2) 取 AC 中点 M ，连结 EM , DM ，由于 E 为 D 1C 的中点， M 是 AC 的中点，EM //D 1A .又 EM 平面 MDE ， D 1A 平面 MDE ， D 1A // 平面 MDE ．AM5 ．即在 AC 边上存在一点 M ，使得 D 1A // 平面 MDE ，此时 M 是 AC 的中点AM 5 ．18． (本小题 10 分 )如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD , AB AD , ACCD ，ABC 60 ，PAABBC ，E 是PC 的中点．(1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小．(2)求二面角 APD C 的正弦值．解 : (1) 在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD ，AB 平面 ABCD ，PAAB ． 又 ABAD ， PA ADA ，AB平面 PAD .故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ，进而 APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角 .在 Rt PAB 中， ABPA ，故 APB 45 ．因此 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 ．(2) 在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ， PACD ．由条件 AC CD ，PAACA ， CD平面 PAC ． 又 AE平面 PAC ， CD AE ．由 PA ABBC ，ABC 60 ，可得 AC PA ．∵ E 是 PC 的中点，PCAE ．又CD PC C ， AE平面 PCD ．过点 E 作EM PD ，垂足为 M ，连结 AM ，如下图．AE 平面 PCD ， AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ， AMPD ．AME 是二面角 A PD C 的平面角．由已知CAD30 , 设 CD1,则PAAC3 ,AD2, PC6, PD7 .Rt PAC 中 , AE1PC6 .22在 Rt ADP 中，AM PD , 在 Rt AEM 中， sin AME14．419． ( 本小题 10 分 ) 设二次函数 f (x)(1)若方程 f ( x) x 0 的两实根(2)求函数 g(x) af ( x) a2 ( x解 : (1) 令m( x) f ( x) x x 21 0 a0 1依题意， 2 得 0m(1) 0m(0) 0AM PD AP AD,2 21得AM .7AE 14A PD C 的正弦值为AM．因此二面角4x 2 ax a ．x1和 x2知足 0 x1 x2 1．务实数a的取值范围;1)2x 在区间 [0,1] 上的最小值．(a 1) x a ．a 3 2 2 ,故实数a的取值范围为( 0,3 2 2) .(2) g( x) ax 2 2x①当 a 0 时， g( x) 2x 在 [0,1] 上递减，g (x) min g(1) 2 ．②当 a 0 时，函数g( x) a(x 1) 21图象的张口方向向上，且对称轴为x10 ．a a a若11即 a 1，函数 g (x) 在 [ 0,1] 上递减，在 [1,1] 上递加．g(x)min g (1) 1 .a a a a a若11即 0 1 ，函数在上递减．( ) (1) 2a g (x) [0,1]g xmin g a ．a③当 a 0 时，函数g( x) a(x 1 ) 2 1 的图象的张口方向向下，且对称轴x 1 0 ，a a ag( x) 在 [0,1] 上递减, g(x)min g(1) a 2综上所述，g(x)min a12 ( a 1)(a 1) a。
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甘肃省兰州一中高一上学期期末考试（数学）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上) 1．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )2. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有( )A ．4条B . 6条C . 8条D . 10条 3．直线10x +-=的倾斜角是( )A ．30ｏB ．1C ．135ｏD ．150ｏ4．直线3x +4y -13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ）A ． 相离B ． 相交C ． 相切D ． 无法判定 5. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( )A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④6．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )A ．4 BCD7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. 2BCD. 18．如下图，正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中, 直线D 'A 与DB 所成的角为( )A ．30ｏB ．45ｏC ．60ｏD ．90ｏ9. 如上图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( )A ．12B . 8CD 10. 若直线l 与直线y =1和x -y -7=0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (，则直线l 的斜率等于( )A ．32B ．-32C ．23D ．-23第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共将答案写在答题卡上）11．过点（1，3）且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 .12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．13 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余各棱长都为2，则二面角A -BD -C 的大小为 .14．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c =0上，则m +c = . 15．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④在一个平面内过该平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另 一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 .三、解答题(共50分) 16.（本小题8分）如图，四棱锥ABCD 中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证： （1）PA ∥平面BDE ；（2）平面PAC 平面BDE.17.（本小题10分）已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2.（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程.18．（本小题10分）（1）求经过直线l1：x + y– 1 = 0与直线l2：2x– 3y + 8 = 0的交点M，且与直线2x + y + 5 = 0平行的直线l的方程;（2）已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线l上，求∣PA∣2+∣PB∣2取得最小值时点P的坐标.19. （本小题12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，E是A1C1与B1D1的交点.（1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，并写出作法；（2）若以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长；（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值.（本小题10分）已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)11．2x-y+ 1=0 12． 3：1：2 13．60°14. 3 15．②④三、解答题(共50分)16.（本小题8分）证明：(1)连结OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．………………………4分(2) ∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC PO=O，∴BD⊥平面PAC．而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．……………8分17.（本小题10分）解: (1) 方法一：设P(x , y ),∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，∴∣OP∣=1 ……………………2分∴点P的轨迹方程为x2+y2=1. ……………………5分方法二：设P(x , y )，∵P为AB的中点，∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分又∵∣AB∣=2∴(2x)2+(2y)2=2 ………………………4分化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1. ……………5分(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,由条件易得 x =1符合条件; ………………7分②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y -2=k (x -1) 即kx -y +2-k =01=得k =34,∴切线方程为y -2=34 (x -1)即 3x -4y +5=0综上，过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x =1 或3x -4y +5=0 ……………………10分18.（本小题10分）解：(1) 102380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧=-=21y x所以交点为（－1，2）……………3分 ∵所求直线与直线2x + y + 5 = 0平行， ∴2-=k∴直线方程为02=+y x ……………………5分 (2) 设P (t ,-2t ) 则2222222(1)(21)(2)(22)10610PA PB t t t t t t +=-+--+-+--=++当310t =-时，22PB PA +取得最小值，∴33(,)105P -…………………………10分19.（本小题12分）解：(1)在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ， （或过点B 作A 1C 1的平行线）则此平行线即为所求作的交线l . …………4分(2) B ( 2 , 2 , 0 ) ， E ( 1 , 1 , 1 ) …………6分BE…………………………8分(3)连接BE ，∵C 1E ⊥B 1D 1, C 1E ⊥BB 1 ∴C 1E ⊥面BDD 1B 1 ，∴∠C 1BE 为BC 1与面BDD 1B 1所成的角, …………10分 又∵C 1E， BE∴ tan ∠C 1BE=1C E BE==…………………12分本小题10分）解：（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0则有--1024-201030DE EF D E F ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎩ …………………2分解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………4分 ∴圆C 的方程为：x 2+y 2-6x +4y +4=0 …………5分 （2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在l 上． 所以l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-， 所以12a =． …………7分把直线ax -y +1=0 即y =ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=． 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞．…………………9分由于1(, 0)2∉-∞，P的直线l垂直平分弦AB．………10分故不存在实数a，使得过点(2, 0)。
甘肃省兰州一中2011届高三上学期期末考试(数学理)
兰州一中2010—2011学年度高三第一学期期末考试数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120 分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设全集U 是实数集,R 22{|4},{|1},1M x x N x x =>=≥-则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <2．下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当(0,]2x π∈时，4()sin sin f x x x=+的最小值是43．已知正项数列{}n a 为等比数列，且4a 是22a 与33a 的等差中项，若22a =，则该数列的前5项的和为 （ ）A ．3312B ．31C ．314D ．以上都不正确4．“a =3”是“直线ax －2y －1=0”与“直线6x －4y +c =0平行”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件D ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=a 平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－86．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A ．16322=-y xB ．132322=-y xC ．1964822=-y x D ．1241222=-y x 7．设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图像关于直线23x π=对称，且它的最小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图像经过点1(0,)2B ．()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C ．()f x 的图像的一个对称中心是5(,0)12πD ．()f x 的最大值为A8．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且AOC ∠=30°，设(),OC mOA nOB m n R =+∈,则mn等于 （ ）A ．13B ．3C ．3D 9．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G为棱A 1B 1上的一点，且A 1G=λ（0≤λ≤1）则点G 到平面D 1EF 的距离为（ ）AB ．2C．3D．510．设函数y=f （x ）存在反函数y =1()f x -,且函数()y x f x =-的图象过点（1,2），则函数1()y f x x -=-的图象一定过点（ ）A ．（-1,2）B ．（2,0）C ．（1,2）D ．（2,1）11．已知,,l m n 是三条不重合的直线，,,αγβ是三个不重合的平面，下列四个命题正确的个数为（ ）①若m α⊥, m ∥,βαβ⊥则②若直线m ，n 与平面α所成的角相等，则m ∥n ；③存在异面直线m ，n ，使得m ∥α，m //β，n ∥β，则α//β;④若,,,l m n αββγγα===l ∥γ,则m ∥n ．A ．1B ．2C ．3D ．412．已知a >0且a ≠1，若函数f （x ） = log a （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．11[,)(1,)64+∞ C ．11[,)(1,)84+∞ D ．11[,)64第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13．1+i + i 2 + i 3+……+ i 2011= ．14．已知(A ，O 为原点，点(),P x y的坐标满足0200y x y --+⎨⎪⎪⎩≤≥≥，则OA OP OA ⋅的最大值是 ．15．若直线20kx y --=||1x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是______________．16．若球O 的球面上共有三点A 、B 、C ，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的1,6经过A 、B 、C这三点的小圆周长为，则球O 的体积为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==．（1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值； （2）记n m x f ⋅=)(，在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f （A ）的取值范围．18．（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）证明：MN ∥平面11ACC A ； （3）求二面角M AN B --的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知圆C ：224x y +=．（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量BB 1CC 1A 1MNOQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程．20．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a =-+∈R ． （1）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（2）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围 21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的通项公式;（3）若2(32)n n n c a n =+,n T 为{}n c 的前n 项和，求证：n T 23<．22．（本小题满分12分）椭圆G:22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，M 是椭圆上的一点,且满足12F M F M ⋅=0． （1）求离心率e 的取值范围；（1）当离心率e 取得最小值时，点N （0，3）到椭圆上的点的最远距离为①求此时椭圆G 的方程；②设斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问：A 、B 两点能否关于过点(0,P 、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范 围；若不能，请说明理由．参考答案第Ⅰ卷（选择题 共60分）1．C 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A 7．C 8．B 9．D 10．A 11．B 12．A 13．0 1415． 442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦16． 288π 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 解：（1）23sin cos cos 444x x x m n ⋅=⋅+ 1sin()262x π=++∵1m n ⋅= ∴1sin()262x π+=211cos()12sin ()23262x x ππ+=-+= 21cos()cos()332x x ππ-=-+=- ．．．．．．．．．．．．5分 （2）∵（2a-c ）cosB=bcosC由正弦定理得（2s inA-sinC ）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin （B+C ） ∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠， ∴1cos ,23B B π== ∴203A π<<∴1,sin()(,1)6262262A A ππππ<+<+∈ ．．．．．．．．10分18．（本小题满分12分） 解法一： （Ⅰ）证明：因为1CC ⊥平面ABC ，所以AC 是1AC 在平面ABC 内的射影，… 2 分 由条件可知AB ⊥AC ，所以1AB AC ⊥． ………………… 4 分 （Ⅱ）证明：设 AC 的中点为D ， 连接DN ，1A D ．因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，DABB 1CC 1A 1MN所以DN //=12AB ． 又1A M =1211A B ，11A B //=AB ， 所以1A M //=DN ． 所以四边形1A DNM 是平行四边形． 所以1A D ∥MN ． …………………6 分因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ， 所以MN ∥平面11ACC A ． …………… 8 分 （Ⅲ）如图，设AB 的中点为H ，连接MH ， 所以MH ∥1BB ． 因为1BB ⊥底面ABC ，所以MH ⊥底面ABC ．在平面ABC 内，过点H 做HG ⊥AN ，垂足为G ． 连接MG ，则MG ⊥AN ．所以∠MGH 是二面角M AN B --的平面角． ………………… 10 分因为MH =1BB =2，由AGH ∆∽BAC ∆，得HG=． 所以MG． 所以cos MGH ∠=HG MG=21． 二面角M AN B--的余弦值是21． ………………… 12 分 解法二：依条件可知AB ，AC ，1AA 两两垂直．如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -． 根据条件容易求出如下各点坐标：DABB 1CC 1A 1MNHG(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，1(0,0,2)A ，1(0,2,2)B ，1(1,0,2)C -，(0,1,2)M ，1(,1,0)2N -．（Ⅰ）证明：因为(0,2,0)AB =，1(1,0,2)AC =-，所以1AB AC ⋅=0(1)20020⨯-+⨯+⨯=． ………………… 2 分 所以1AB AC ⊥．即1AB AC ⊥． ………………… 4 分 （Ⅱ）证明：因为1(,0,2)2MN =--，(0,2,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量， 且MN AB ⋅=10022002-⨯+⨯-⨯=，所以MN AB ⊥． ………6 分 又MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ． ………………… 8 分 （Ⅲ）设(,,)x y z =n 是平面AMN 的法向量， 因为(0,1,2)AM =，1(,1,0)2AN =-， 由=0,=0,AM AN ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n n 得020,10.2y z x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩解得平面AMN 的一个法向量(4,2,1)=-n ．由已知，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=-m ． ………………… 10 分设二面角M AN B --的大小为θ， 则cos ||||θ⋅=n m n m=21．二面角M AN B --． ………………… 12 分 19．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意……… 2分20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞………1分∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- ………………………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去．…………………3分当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ………………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+==……………7分①当0a =时，1()0,()f x f x x '=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意………9分 ②当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a ≥此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．…………………9分当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a ≥-此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩ 得12a ≤- ………………………11分综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U ………………………12分法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x '=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……………7分②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数， 只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x >∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210a a a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤- ………………………11分综上，实数a 的取值范围是 1(,][1,)2-∞-+∞U ………………………12分 21．（本小题满分12分）解：（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有 12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+，．．．① 则当2n ≥时，有142n n S a -=+．．．．．② ②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=- 又12n n n b a a +=-，12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =，公比为２的等比数列．……．4分 （II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅，113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2nn a 是首项为12，公差为34的等差数列． ∴1331(1)22444nn a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=-⋅ ……．8分 （Ⅲ） 4(31)(32)n c n n =-+ 所以n T =111111141124(...)()32558313132313n n n ⋅-+-++-=-<-++ ………12分 22．（本小题满分12分）．．．．4分．．．．．．．．8分．．．．12分。
甘肃省兰州市第一中学2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
A.快、新、乐B.乐、新、快
C.新、乐、快D.乐、快、新
【答案】A
【解析】
【分析】
根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论．
设点 坐标为 ，则 ，
即 ，
由于点 在圆 上，则 ，所以， ，
整理得 对任意的 恒成立，
，解得 或 （舍去），
所以，存在点 ，对于圆 上任意一点 ，都使得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查动点的轨迹方程，涉及两点间距离公式的应用，同时也要注意到点在圆上这一条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
19.如图所示，矩形 中， ⊥平面 ， ， 为 上的点，且 ⊥平面 .
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
试题分析：解:(1)∵ 平面 ， ∥ ，
∴ 平面 ，∴ ，
又∵ 平面 ，∴ ，
又∵ ，∴ 平面 .
(2)由题意可得， 是 的中点，连接 ，
∵ 平面 ，∴1）求弦 的垂直平分线方程；
（2）求弦 的长.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将圆 方程化为标准式，可得出圆心坐标，由垂径定理可知，线段 的垂直平分线为过圆心且与直线 垂直的直线，由此可得出线段 的垂直平分线方程；
（2）计算出圆心到直线 的距离 ，然后利用勾股定理可计算出弦 的长.
∴ 是 的中点，
甘肃省兰州第一中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(PDF版,含解析)
兰州一中2023-2024-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间 120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知集合(){}N |30P x x x =∈−≥，{}2,4Q =，则()N P Q ⋃=（ ） A ．{}1,4B ．{}0,2,4C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,42．坐标平面内点P 的坐标为()sin 5,cos5，则点P 位于第（ ）象限. A ．一B ．二C ．三D ．四3．若()2222mmy m m x +=−−是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则m 的值为（ ）A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(4,5)D ．(5,6)A ．()3cos f x x =B ．()3sin f x x =C ．()3cos 3f x x =+D ．()sin f x x =二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若log 0a b <，则函数()x f x a b =+的大致图象是（ ）A ．B ．．．下列说法错误．．的是（ ．若α终边上一点的坐标为)，则3cos 5α= ．若角α为锐角，则2第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)(0,1)上()3xf x=，则四、解答题：本题共6分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤2兰州一中2023-2024-1高一期末考试试题(答案)高一数学命题：石磊 审题：达志虎 周莉说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项符合题目要求. 所以{}N1,2P =()N P Q ⋃=【详解】3π25<<0，则点P 位于第二象限，【详解】因为(y =，0y x ==二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.⎤⎥⎦17,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.四、解答题：本题共6令sin u θ=，则[]1,1u ∈−，记()221h u u u λ=−+，[]1,1u ∈−，故只要()min 0h u ≥，①当1λ≤−时，()()min 1220h u h λ=−=+≥，解得1λ≥−，∴1λ=−，②当11λ−<<时，()()2min 10h u h λλ==−≥，解得11λ−≤≤，∴11λ−<<，③当1λ≥时，()()min 1220h u h λ==−≥，解得1λ≤，∴1λ=．综合①②③得，11λ−≤≤．。
甘肃省兰州一中2012届高三年级期末考试试题(数学理)
兰州一中2011—2012学年度高三期末考试数学试题（理）注意：该试卷总分150分，考试时间120分钟，交卷时只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．在复平面内，复数1ii+＋（1＋3i ）2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知25,2(),1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩则下列结论正确的是 （ ）A ．()f x 在2x =处连续B ．(2)1f =-C ．2lim ()1x f x →= D ．2lim ()1x f x →=-3．下列命题中错误的是 （ ）A ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βD ．如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l αβ=，那么直线⊥l 平面γ4．已知}{n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为}{n a 的前n 项和，*N n ∈，则10S 的值为（ ）A ．110-B ．90-C ．90D ．1105．若实数a ，b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6． 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B．a b +≥C．11a b +> D ．2b aa b+≥ 7．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为,1)，则z O M O =⋅的最大值为（ ）A ．3B ．4C．D．8．sin(2)3y x π=+的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(,0)12π-中心对称（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移12π个单位D ．向右平移6π个单位9．若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是（ ）10． 有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25D ．1511．已知圆O ：221x y +=，点P 是椭圆C ：2214x y +=上一点，过点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，则OMN ∆的面积的最小值是（ ）A ．12 B ．1 C ．14D12．已知球的直径SC = 4，A ，B是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=︒，则棱锥S -ABC的体积为（ ）A． B． CD ．19二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．已知||||2a b ==，(2)()2a b a b +-=-，则a 与b 的夹角为 ． 14．已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 ．16．函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数．例如，函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数．下列命题： ①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数；②若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠则)()(21x f x f ≠； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数)(x f 在某区间上具有单调性，则)(x f 一定是该区间上的单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程．17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，a =，tantan 4,22A B C++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c ．18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4， E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （I ）当1CF =时，求证：1EF A C ⊥；（II ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．19．（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0．6,0．5,0．5，假设各盘比赛结果相互独立．（I ）求红队至少两名队员获胜的概率； （II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（本小题满分12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数/1()f x x=，/()()().g x f x f x =+（I ）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （II ）求a 的取值范围，使得1()()g a g x a-<对任意0x >成立．21．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若n a S n n +=2，且11+-=n n n n a a a b ，数列}{n b 的前n 项和为n T ． （I ）求证：}1{-n a 为等比数列； （Ⅱ）求n T ；（III ）设*()(21)ln(21)1,()nnf x x x x n N =-+-+-+∈，求证：().2(1)nn T f x T ≥+22．（本小题满分12分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线)00(1:2222>>=b a by a x E ，-上一点，M 、N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM 、PN 的斜率之积为.51（I ）求双曲线的离心率； （II ）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线E 于B A ，两点，O 为坐标原点，C为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．参考答案一、1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11．A 12．C 二、13．3π14．2- 15．)1(21e e + 16．②③④ 三、17．由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C +=，∴cossin224sin cos 22C CC C +=， ∴14sin cos 22C C =，∴1sin 2C =，又(0,)C π∈，∴566C C ππ==，或． ∴B C =，6B C π==，2()3A B C ππ=-+=．由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得1sin 2sin Bb c a A ====．18．解法一：过E 作EN AC ⊥于N ，连结EF ．（I ）如图1，连结NF 、1AC ，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面1A C ． 又底面ABC侧面1A C =A C ，且EN ⊂底面ABC ，所以EN ⊥侧面1A C ，∴NF 为EF 在侧面1A C 内的射影，在Rt CNE ∆中，cos60CN CE =︒=1，则由114CF CN CC CA ==，得NF //1AC ，又11,AC AC ⊥故1NF A C⊥，由三垂线定理知1.EF A C ⊥（II ）如图2，连结AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连结ME ，由（I ）知EN ⊥侧面1A C ， 根据三垂线定理得EM AF ⊥,所以EMN ∠是二面角C —AF —E 的平面角，即EMN θ∠=． 设,045FAC αα∠=︒<≤︒则，在Rt CNE ∆中，sin 60NE EC =⋅︒=在,sin 3sin ,Rt AMN MN AN a a ∆=⋅=中故tan NE MN θ==又0,0sin 42παα<≤∴<≤sin 2α=即当45α=时，tan θ达到最小值，tan θ==，此时F 与1C 重合．解法二：（I ）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得1(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(0,4,1),A B C A E F于是1(0,4,4),(3,1,1).CA EF =-=-1(0,4,4)(,1)0440,CA EF ⋅=-⋅=-+= 故1.EF A C ⊥（II ）设(04)CF λλ=<≤平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则由（I ）得(0,4,)F λ，(3,3,0),(0,4,),AE AF λ== 于是由,m AE mAF ⊥⊥可得0,30,40.0,m AE y y z m AF λ⎧⋅=+=⎪⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩即 取,,4).m λ=-又由直三棱柱的性质可取侧面1AC 的一个法向量为(1,0,0)n =，于是由θ为锐角可得||cos ||||m n m n θ⋅=⋅θtan θ，由04λ<≤，得114λ≥，即tan θ≥故当4λ=，即点F 与点1C 重合时，tan θ 19．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为()0.6,()0.5,()0.5P D P E P F ==+=，()0.4,()0.5,()0.5P D P E P F ∴==+=． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===⨯⨯=，(1)()()()0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35P P DEF P DEF P DEF ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.5P P D E F ξ===⨯⨯=，由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+==所以ξ的分布列为：因此00.110.3520.43 1.5 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=20．解：（I ）∵/1()f x x=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =，∴1()ln ,()ln f x x g x x x ==+，∴/21()x g x x-=，令/()0g x =得1x =，当x ∈（0，1）时，/()0g x <，()g x 是减函数，故（0,1）是()g x 的单调减区间。
甘肃省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．关于命题“，”，下列判断正确的是（ ） x ∃∈N 220x x +=A ．该命题是全称量词命题，且是真命题 B ．该命题是存在量词命题，且是真命题 C ．该命题是全称量词命题，且是假命题 D ．该命题是存在量词命题，且是假命题【答案】B【分析】根据存在量词命题的定义及取可判断.0x =【详解】该命题是存在量词命题，当时，，所以该命题为真命题. 0x =220x x +=故选:B.2．设集合，，则（ ）{}2A y y x =={}2210B x x x =--<A B = A ． B ．C ．D ．()0,110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)0,110,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】求集合中函数的值域，解集合中一元二次不等式，得到两个集合，再求 A B A B ⋂【详解】函数值域为，∴， 2y x =[)0,∞+[)0,A =+∞不等式解得，∴， 2210x x --<112x -<<1,12B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则. [)0,1A B ⋂=故选：C3．下列函数为增函数的是（ ） A ． B ．()31log f x x=()3f x x =C ． D ．()sin f x x =()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的单调性逐项判断即可.【详解】函数与在定义域内为减函数，不符合题意；()31log f x x =()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭函数在上为减函数，不符合题意；()sin f x x =π3π22⎛⎫⎪⎝⎭，根据幂函数的性质知为增函数.()3f x x =故选:B. 4．函数的部分图像大致为（ ）()22111x f x x +=-+A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性和特殊点排除不符合的选项. 【详解】函数的定义域为，，因此()22111x f x x +=-+R ()()()2221211111x x f x f x x x -+-+-=-=-=+-+是上的偶函数，其图象关于轴对称，选项C ，D 不满足； ()f x R y 又，所以选项B 不满足，选项A 符合题意. ()1102f =>故选：A5．已知，，，则（ ） 0.32=a ln 0.2b =20.3c =A ． B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>a c b >>【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的性质比较即可. 【详解】因为，，， 0.321a =>ln 0.20b =<200.31c <=<所以. a c b >>故选:D.6．已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ） ()f x ()2,32()()110f a f ++->a A ． B ．C ．D ．()2,+∞()1,+∞()0,∞+()1,-+∞【答案】C【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在上单调递增，R 可转化为，根据单调性即可求解.()()110f a f ++->()()11f a f +>【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，()y f x x α==()2,32232α=5α=所以.()5f x x =因为，所以为奇函数，且在上单调递增，()()()5f x x f x -=-=-()5f x x =R 所以可化为， ()()110f a f ++->()()()111f a f f +>--=可得，解得，所以的取值范围为. 11a +>0a >a ()0,∞+故选:C.7．下列式子中，可以是函数为奇函数的充分必要条件为（ ） ()()cos 2f x x φ=+A ． B ． πϕ=3π2ϕ=C ．，D ．，ππ2k ϕ=+k ∈Z π2π2k ϕ=+k ∈Z 【答案】C【分析】利用三角函数的奇偶性和充要条件的定义判定即可． 【详解】若为奇函数，则，解得； ()()cos 2f x x φ=+()0cos 0f ϕ==()ππ2k k ϕ=+∈Z 当时，有，则函数为奇函数. ()ππ2k k ϕ=+∈Z ()()cos 2sin 2f x x x ϕ=+=±()f x 所以函数为奇函数的充分必要条件为， ()()cos 2f x x φ=+()ππ2k k ϕ=+∈Z 故选：C8．已知函数满足，若与的图像有交点，()()f x x ∈R ()()2f x f x +-=1y x =+()y f x =()11,x y ，，则（ ）()22,x y ()33,x y 123123x xx y y y +++++=A ． B ．0C ．3D ．63-【答案】C【分析】两个函数图像都关于点对称，则图像交点也关于点对称，可求值. ()0,1()0,1【详解】由可得，()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-函数的图像上任意一点关于点的对称点为， 即点，()f x ()(),x f x ()0,1()(),2x f x --()(),x f x --由也满足函数解析式，可得函数的图像关于点对称，()(),x f x --()f x ()0,1函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关1y x =+y x =1y x =+于点对称，()0,1若与的图像有交点，，，不妨设，1y x =+()y f x =()11,x y ()22,x y ()33,x y 123x x x <<由对称性可得，，，，1302x x +=20x =1312y y+=21y =所以. 1231233x x x y y y +++++=故选：C二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，则 0a b >>0m >a b m m>1a b <<33a b >C ．若且，则 D ．若正数a ，b 满足，则0x >1x ≠1ln 2ln x x +≥2a b +=112a b+≥【答案】AD【分析】由不等式的性质和基本不等式的运用，逐个判断选项. 【详解】由不等式的性质可知，A 正确，B 错误； 当时，，C 错误； ()0,1x ∈1ln 0ln x x+<正数a ，b 满足，则， 2a b +=()1111222221121b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当时，等号成立，D 正确. 1a b ==故选：AD.10．设函数，则（ ）()()2ln 2f x x =-A ．是偶函数 B ．在上单调递减 ()f x ()f x ()0,∞+C ．的最大值为 D ．的一个零点()f x ln 2x ()f x 【答案】AC【分析】根据函数解析式，研究函数的奇偶性、单调性、最值和零点，验证各选项的结论.【详解】函数，由得的定义域为，关于坐标原点对称，()()2ln 2f x x =-220x ->()f x (又，所以为定义域上的偶函数，A 选项正确；()()f x f x -=()f x令，则，由二次函数的性质，当时，为增函数；当22t x =-ln y t =()x ∈22t x =-(x ∈时，为减函数；22t x =-在定义域内为增函数，由复合函数的单调可知，在上单调递增，在上单ln y t =()f x ()(调递减，B 选项错误；由函数单调性可知，最大值为，C 选项正确； ()f x ()0ln 2f =，解得，则的零点为，D 选项错误.()2ln 20x -=1x =±()f x 1±故选：AC.11．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T （单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟，）的函数模型：①；②.根据所给的数据，t ∈N 380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭下列结论中正确的是（ ）（参考数据：，） lg 20.30≈lg 30.48≈A ．选择函数模型① B ．选择函数模型②C ．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟D ．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟 【答案】AD【分析】将分别代入与，从而可判断AB ；解不等式2x =380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭可得判断CD.38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭【详解】将代入，得；2x =380204tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭65T =将代入，得. 2x =260203tT ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1403T =故选择函数模型①.由，可得， 38020604tT ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭1lglg 22 2.532lg 2lg 3lg 4t ≥=≈-故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分. 故选:AD.12．高斯是德国的天才数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多，如高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作．如[]y x =[]x []20222022=，，，记函数，则（ ）[]1.71=[]1.52-=-()[]f x x x =-A ．B ．的值域为()2.90.9f -=()f x [)0,1C ．在上有5个零点 D ．，方程有两个实根()f x []0,5a ∀∈R ()f x x a +=【答案】BD【分析】根据高斯函数的定义，结合特殊点的函数值、值域、零点、方程的根、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，选项A 错误； ()[]()2.9 2.9 2.9 2.930.1f -=---=---=当时，， 10x -≤<[]1x =-()[]1f x x x x =-=+当时，，； 01x ≤<[]0x =()[]f x x x x =-=当时，，12x ≤<[]1x =()[]1f x x x x =-=-……以此类推，可得的图象如下图所示，()[]f x x x =-由图可知，的值域为，选项B 正确； ()f x [)0,1由图可知，在上有6个零点，选项C 错误；()f x []0,5，函数与的图象有两个交点，如下图所示， a ∀∈R ()y f x =y a x =-即方程有两个根，选项D 正确．()f x x a +=故选：BD三、填空题13．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图，这是折扇的示意图，已知为的中D OA 点，，，则此扇面（扇环）部分的面积是__________. 4OA =3π4AOB ∠=ABCD【答案】9π2【分析】利用扇形的面积公式可求得扇环的面积.【详解】. ()2213π9π42242ABCD AOB DOC S S S =-=⨯⨯-=扇环扇形扇形故答案为：. 9π214．已知，则__________.()sin cos 2sin cos f αααα+=πcos 4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】##12-0.5-【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值. 【详解】已知， ()sin cos 2sin cos f αααα+=因为，()2sin cos 12sin cos αααα+=+所以令，则，sin cos t αα=+()21f t t =-则. π11cos 1422f f ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：12-15．已知，函数，已知有且仅有5个零点，则的取值范0a >2,0()πsin ,02π5ax a x f x ax x -+-<⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()f x a 围为__________．【答案】191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【分析】当时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点；当2a ≥()f x (,0)-∞()f x [0,2π]2a <时，在上恰有一个零点，所以在上有且仅有4个零点，利用正弦函数的图象()f x (,0)-∞()f x [0,2π]列式可求出结果.【详解】当时，，令，得， 0x <()2f x ax a =-+-()0f x =21x a=-若，即时，在上无零点，所以在上有且仅有5个零点， 210a-≥2a ≥()f x (,0)-∞()f x [0,2π]当时，，所以，即. [0,2π]x ∈πππ,2π555ax a ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦π5π2π6π5a ≤+<1229510a ≤<若，即时，在上恰有一个零点，210a-<2a <()f x (,0)-∞所以在上有且仅有4个零点，所以，即， ()f x [0,2π]π4π2π5π5a ≤+<191255a ≤<又，所以. 2a <1925a ≤<综上所述：的取值范围为.a 191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭故答案为：.191229,2,10510⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭四、双空题16．已知函数是奇函数，当时，，，则__________.当()f x (),0x ∈-∞()2xf x mx =+()11f =-m =时，__________.()0,x ∈+∞()f x =【答案】 ##12-0.5-122xx ---【分析】利用是奇函数，由，代入函数解析式解出的值；由()f x ()()111f f =--=-m (),0x ∈-∞时的函数解析式利用奇函数的性质求时的解析式.()0,x ∈+∞【详解】因为是奇函数，所以，解得；()f x ()()11112f f m ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭12m =-因为当时，，0x <()122xf x x =-当时，，则.0x >0x -<()()112222x xf x f x x x --⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦故答案为：；12-122xx ---五、解答题17．已知是第二象限角，且. α222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=(1)求的值；tan α(2)求的值.()()πsin sin π23π3cos cos 2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)；1tan 2α=-(2). 35【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化为关于的方程，根据所在的象限即可求解； tan αα（2）根据诱导公式可得原式，分子分母同时除以即可求解.cos sin 3sin cos αααα-=-+cos α【详解】（1）由，222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=可得，即， 2222sin 3sin cos 2cos 0cos ααααα--=22tan 3tan 20αα--=解得或.1tan 2α=-tan 2α=因为是第二象限角，所以.α1tan 2α=-（2）. ()()πsin sin πcos sin 1tan 323π3sin cos 3tan 153cos cos 2αααααααααα⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭===-+-+⎛⎫-+- ⎪⎝⎭18．已知函数的定义域为集合，集合.()()ln 5f x x =-A {}21B x a x a =-<<-(1)当时，求；2a =()A B R ð(2)若命题：，是假命题，求的取值范围. p x A ∃∈x B ∈a 【答案】(1)； (){}35A B x x x ⋃=<≥R 或ð(2). (],1-∞【分析】（1）求出函数的定义域可得集合，代入，根据集合的补集与并集运算即可求()f x A 2a =解；（2）由题意可得，分与讨论列式即可求解.A B ⋂=∅B =∅B ≠∅【详解】（1）要使函数有意义，则解得，()f x 5010x x ->⎧⎨->⎩15x <<所以集合，. {}15A x x =<<{}15A x x x =≤≥R 或ð因为，所以. {}23B x x =-<<(){}35A B x x x ⋃=<≥R 或ð（2）因为命题：，是假命题，所以.p x A ∃∈x B ∈A B ⋂=∅当时，，解得；B =∅21a a -≥-13a ≤当时，则或，解得.B ≠∅215a a a -<-⎧⎨-≥⎩21211a a a -<-⎧⎨-≤⎩113a <≤综上，的取值范围为.a (],1-∞19．已知幂函数在上单调递增.()()2211m f x m x -=-⋅()0,∞+(1)求的值域； ()f x (2)若，，求的取值范围. 0x ∀>()222f x axx≥-a 【答案】(1) R (2) [)2,+∞【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性列式求解即可；（2）由题意可得，，根据二次函数的性质求出的最大值即可. 0x ∀>242≥-a x x 242y x x =-【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，()()2211m f x m x -=-⋅()0,∞+所以，解得，()211210m m ⎧-=⎪⎨->⎪⎩2m =所以.()3f x x =故的值域为. ()f x R （2）由题可得，，则， 0x ∀>22ax x≥-242≥-a x x 当时，有最大值2， 4122x =-=-⨯242y x x =-则，即的取值范围为. 2a ≥a [)2,+∞20．已知函数.()()22ln 12nf x x x =+-+(1)证明：当时，在上至少有两个零点；1n =()f x ()0,∞+(2)当时，关于的方程在上没有实数解，求的取值范围.2n =x ()f x m =[]1,2m 【答案】(1)证明见解析；(2).()(),362ln 2,-∞⋃++∞【分析】（1）通过零点存在性定理即可判断零点个数；（2）易判断函数的单调性，求出的值域，结合题设条件，即可求得的取值范围.()f x ()f x m 【详解】（1）当时，，1n =()22ln 2f x x x =-+因为，，， 2110e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()110f =>()2e 4e 0f =-<所以，， ()110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()()1e 0f f <因此，，，，即在上至少有两个零点. 11,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()21,e x ∈()10f x =()20f x =()f x ()0,∞+（2）当时，，易知在上单调递增.2n =()22ln 2f x x x =++()f x []1,2又，，即的值域为,()13f =()262ln 2f =+()f x []3,62ln 2+且关于的方程在上没有实数解，x ()f x m =[]1,2所以的取值范围为.m ()(),362ln 2,-∞⋃++∞21．对于函数，若在定义域内存在两个不同的实数x ，满足，则称为“类指数()f x ()2x f x =()f x 函数”．(1)已知函数，试判断是否为“类指数函数”，并说明理由； ()123x g x =-()g x (2)若为“类指数函数”，求a 的取值范围． ()21x a h x a =--【答案】(1)不是 “类指数函数” ()g x(2)()3-+【分析】（1）是否为“类指数函数”，可以转化为方程是否存在两个不同的实数()g x ()()0f x g x -=根；（2）是否为“类指数函数”， 转化为方程是否存在两个不同的实数根，进一步()h x ()()0f x h x -=化简、换元转化为一元二次方程求解.【详解】（1）若函数为“类指数函数”，则在定义域内存在两个不同的实数x 满足方程()123xg x =-，. ()()0f x g x -=()()1223x x f x g x -=-+由于函数与在R 上均单调递增，所以在R 上均单调递增，至多有一个零2x y =13xy =-()()f x g x -点，所以不是 “类指数函数”.()g x （2）若函数为“类指数函数”，则方程有两个不同的实数根，即方程()21x a h x a =--()()0f x h x -=有两个不同的实数根， 2021x xa a -=--整理得，()()22120x x a a -+-=设，则方程有两个不等的正根，20x t =>()210t a t a -+-=，由，解得或()21212Δ140100a a t t a t t a ⎧=++>⎪+=+>⎨⎪=->⎩()2Δ140a a =++>3a <--3a >-+由，解得；由，解得. 1210t t a +=+>1a >-120t t a =->a<0所以.30a -+<故a 的取值范围． ()3-+22．已知函数的部分图像如图所示. ()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式；()y f x =(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得()y f x =12π6到的图像，求函数的单调递增区间；()y g x =()g x (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得1ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦成立?若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由.()()12f x g x m +=m【答案】(1) ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2) ()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (3)存在，0m =【分析】（1）由题知，，求出从而得的值，将特殊点代入函数中求出，即可1A =7ππ4123T =-T ωϕ解决问题；（2）根据函数伸缩变换与平移变换后的到新函数的解析式，根据函数解析式求解单调区间即可； （3）假设存在实数的值或取值范围满足题意，根据所给条件先由，得m ()()12f x g x m +=，再根据所给的角把范围求出来，根据范围的包含关系列出不等()()21g x m f x =-()()21,g x m f x -式解出即可.【详解】（1）由图可知， 1A =，则，， 7πππ41234T =-=2ππT ω==2ω=所以，. ()()sin 2f x x ϕ=+77sin 126ππ1f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，即 7π2π(Z)π62k k ϕ+=-+∈5π2π(Z)3k k ϕ=-+∈又，所以当时，， π2ϕ<1k =π3ϕ=所以. ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， ()y f x =12得：， πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再向右平移个单位长度得到： π6， ()πππsin 4sin 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由，， πππ2π42π232k x k -+≤-≤+k ∈Z 解得，， ππ5ππ242242k k x -+≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递增区间为 ()g x ()ππ5ππ,242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z （3）由，得，()()12f x g x m +=()()21g x m f x =-由，得， 1ππ33x -≤≤1ππ2π33x -≤+≤所以，1sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以. ()11,m f x m m ⎡-∈-⎢⎣又，得， 2ππ66x -≤≤2πππ433x -≤-≤所以2π1sin 43x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭由题可知， 1,m m ⎡⎡-⊆-⎢⎢⎣⎣得 11m m -≥-⎧⎪⎨≤⎪⎩解得，0m =所以存在， 0m =使得成立. ()()12f x g x m +=。
甘肃省兰州市第一中学高一数学上学期期末考试试题
兰州一中2016-2017-1学期期末考试试题高一数学说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟. 答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将答案写在答题卡上.)1．过点)1,4(A 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是( ) A ．5=+y x B ．5=-y xC ．045=-=+y x y x 或D ．045=+=-y x y x 或 2．已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若n m n m ⊥⊂⊥则,,αα C ．若αα//,,n n m m 则⊥⊥ D ．若αα⊥⊥n n m m 则,,//3．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中cm D C cm A O 2,6''''==，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角， 则异面直线CD AB 和所成的角是( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．905．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积 与球表面积的比值为( ) A ．21 B ．23 C ．31 D ．346．已知三棱锥ABC P -的四个顶点C B A P ,,,都在半径为R 的同一个球面上, 若PC PB PA ,, 两两相互垂直,且3,2,1===PC PB PA ,则R 等于 ( )ABCDOA ．214 B ．14 C ．213 D ．3 7．如图，已知两点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线 经直线AB 反射后射到直线OB 上，再经直线OB 反射后射 到P 点，则光线所经过的路程NP MN PM ++等于( )A ．102B ．6C ．33D ．528．定义在R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，x x f x2017log 2017)(+=，则在R 上，函数)(x f 零点的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线 画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条 棱中，最长的棱的长度为( )A ．25B ．24C ．4D ．610．已知点),1,0(),0,1(),0,1(C B A -直线)0(≥+=k b kx y 将ABC ∆分割为面积相等 的两部分,则b 的取值范围是( )A ．)1,0(B ．)21,31[ C ．]31,221[- D ．)21,221[-第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分,请将答案写在答题卡上.)11．如图，长方体1111D C B A ABCD -中，4,3==BC AB ， 51=CC ,则沿着长方体表面从A 到1C 的最短路线MN长为 ________．12．若幂函数)()(为常数ααx x f =的图象恒过定点A , 直线0312=+++-k y kx 恒过定点,B 则直线 AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，每生产1件该产品还需要增加投资 1万元，年产量为)(*∈N x x 件．当20≤x 时，年销售总收入为)33(2x x -万元； 当20>x 时，年销售总收入为260万元． 则该工厂的年产量为________件时，所得 年利润最大. (年利润=年销售总收入－年总投资)．14．已知函数⎩⎨⎧≥--<-=)1()2)((4)1( 2)(x a x a x x a x f x . 若0)(=x f 恰有2个实数根， 则实数a 的取值范围是_______________. 三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =， H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥16．(本小题8分)(1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l .当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离.17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点．ABC1A 1C 1B EFH1C(1)求三棱锥ADE D -1的体积. (2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？若存在，求出AM 的长； 若不存在，请说明理由．18． (本小题10分) 如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCDPA 平面⊥,AD AB ⊥,CDAC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小. (2)求二面角C PD A --的正弦值．19. (本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．(1) 若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． 求实数a 的取值范围.(2) 求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．兰州一中2016-2017-1学期期末考试高一数学答题卡 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.________________ 12.______________________13.________________ 14.______________________三、解答题(本大题共5小题，共44分．)15．(本小题8分)16．(本小题8分) 17． (本小题8分)ABC 1A1C1BEFH1C18．(本小题10分)19. (本小题10分)兰州一中2016-2017-1学期期末考试高一数学答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBDCBAACDD二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分，共16分.)11.74 12. 150 13. 16 14.),2[)1,21[+∞⋃ 提示: 8. 别漏了(0,0)9. 构造正方体模型(如左下图)该多面体为三棱锥BCD -10. 221, 0-==b k 时; , 0时>k 如右上图, (,0),1M b k b N y k k +-=+令11(1)212MNBb k b S k k ∆+=+⋅=+,得210212<∴>-=b b b k 14. 当0≤a 时,方程0)(=x f 无实根;当10<<a 时,要使0)(=x f 恰有2个实数根，须12≥a ,121<≤∴a 当1≥a 时, 要使0)(=x f 恰有2个实数根，须021≤-a 2≥∴a 综上,所求为),2[)1,21[+∞⋃三、解答题(本大题共5小题，共44分.)15．(本小题8分)如图，在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，AC AB =，H F E ,, 分别是AC BC C A ,,11 的中点. (1)求证：平面ABE HF C 平面//1 . (2)求证：11BCC B AEF 平面平面⊥ADCB1A 1C 1B EANOMCB证明: (1)H F , 分别是AC BC ,的中点，AB HF //∴. 又H E , 分别是AC C A ,11的中点， AH EC //1∴ 又AH EC =1 HA EC 1四边形∴为平行四边形.AE H C //1∴，又A AB AE H HF H C =⋂=⋂,1 ，所以平面ABE HF C 平面//1 .(2)AC AB = ,中点为BC F ,BC AF ⊥∴ABC B B 平面⊥1 ,ABC AF 平面⊂,AF B B ⊥∴1,1B BC B B =⋂ 11BCC B AF 平面⊥∴又AEF AF 平面⊂ ,11BCC B AEF 平面平面⊥∴16．(本小题8分) (1)已知直线062:1=++y ax l 和直线01)1(:22=-+-+a y a x l .当21//l l 时，求a 的值.(2)已知点)1,2(-P ，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离． 解: (1)由01221=-B A B A ，得021)1(=⨯--a a ，由01221≠-C B C B ，得0)1(6)1(22≠---a a ，1-=∴a (2)过P 点且与原点距离最大的直线,是过P 点且与OP 垂直的直线， 由OP l ⊥ 得1-=OP l k k ．所以2=l k ．由直线方程的点斜式得)2(21-=+x y ，即052=--y x ，所以直线052=--y x 是过P 点且与原点距离最大的直线，最大距离为555d -==．17． (本小题8分) 如图，长方体1111D C B A ABCD -中， 41==DC D D ，2=AD ，C D E 1为的中点． (1)求三棱锥ADE D -1的体积．(2)AC 边上是否存在一点M ,使得MDE A D 平面//1？ 若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解: (1)11DED A ADE D V V --= 长方体中, CD D AD 1平面⊥ ，AD ∴是三棱锥DE D A 1-的高． C D E 1为 的中点，且41==DC D D ，41=∴∆DE D S 又2=AD ，所以3811==--DED A ADE D V V ． 1B 1C 1D 1ECDBA(2)取AC 中点M ，连接DM EM ,，因为C D E 1为的中点，M 是AC 的中点，A D EM 1//∴.又MDE EM 平面⊂ ，MDE A D 平面⊄1，MDE A D 平面//1∴．5=∴AM ．即在AC 边上存在一点M ，使得MDE A D 平面//1，此时M 是AC 的中点5=AM ．18． (本小题10分)如图，在四棱锥ABCD P -中， ABCD PA 平面⊥, AD AB ⊥,CD AC ⊥，60=∠ABC ，BC AB PA ==，E 是PC 的中点．(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小． (2) 求二面角C PD A --的正弦值．解: (1)在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD AB 平面⊂，AB PA ⊥∴．又AD AB ⊥，A AD PA =⋂，PAD AB 平面⊥∴. 故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角. 在PAB Rt ∆中，PA AB =，故 45=∠APB ． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为 45．(2) 在四棱锥ABCD P -中，ABCD PA 平面⊥ ，ABCD CD 平面⊂，CD PA ⊥∴． 由条件CD AC ⊥，A AC PA =⋂，PAC CD 平面⊥∴． 又PAC AE 平面⊂ ，AE CD ⊥∴．由BC AB PA ==，60=∠ABC ，可得PA AC =．∵E 是PC 的中点，AE PC ⊥∴．又C PC CD =⊥ ，PCD AE 平面⊥∴． 过点E 作PD EM ⊥，垂足为M ，连接AM ，如图所示． PCD AE 平面⊥ ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， PD AM ⊥∴．AME ∠∴是二面角C PD A --的平面角． 由已知 30=∠CAD ,1=∴CD 设,3==AC PA 则,7,6,2===PD PC AD . PAC Rt ∆中, 2621==PC AE . 在ADP Rt ∆中，PD AM ⊥ ,AD AP PD AM ⋅=⋅∴,得7212=AM . 在AEM Rt ∆中，414sin ==∠AM AE AME ．所以二面角C PD A --的正弦值为414． 19．(本小题10分)设二次函数a ax x x f ++=2)(．甘肃省兰州市第一中学高一数学上学期期末考试试题11 / 11 (1)若方程0)(=-x x f 的两实根1x 和2x 满足1021<<<x x ．求实数a 的取值范围;(2)求函数x x a x af x g 2)1()()(2-+-=在区间]1,0[上的最小值．解: (1)令a x a x x x f x m +-+=-=)1()()(2． 依题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆0)0(0)1(12100m m a 得2230-<<a ,故实数a 的取值范围为 )223,0(- . (2) x ax x g 2)(2-=①当0=a 时，x x g 2)(-=在]1,0[上递减，2)1()(min -==∴g x g ．②当0>a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=图象的开口方向向上，且对称轴为10x a =>． 若111≥≤a a 即，函数)(x g 在]1,0[a 上递减，在]1,1[a 上递增．aa g x g 1)1()(min -==∴. 若1011<<>a a即，函数)(x g 在]1,0[上递减．2)1()(min -==∴a g x g ． ③当0<a 时，函数a a x a x g 1)1()(2--=的图象的开口方向向下，且对称轴01<=ax ， )(x g 在]1,0[上递减, 2)1()(min -==∴a g x g综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=)1( 1)1( 2)(min a aa a x g。
兰州一中高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2015-2016学年甘肃省兰州一中高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A．幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）B．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】试题分析：对于A．幂函数的图象都经过点（1，1），但不一定经过点（0，0），如幂函数1yx=，不经过点（0，0）；B．当α＝0时，函数y＝xα的图象不是一条直线，它不包括（0，0），C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，不一定满足y＝xα在定义域内y随x的增大而增大，反例幂函数1yx=；D．幂函数y＝xα，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小是正确的．【考点】幂函数的性质．2．如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】试题分析：由三视图复原几何体，如图该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积为12422432+⨯⨯⨯=，所以应选A．【考点】三视图、棱锥的体积．3．下列关于函数y＝f（x），x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为（）①若且满足f（x0）＝0，则（x0，0）是f（x）的一个零点；②若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是根的近似值．A ．0B ．1C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：对于①、[]0,x a b ∈且满足0()0f x =，则是f （x ）的一个零点，而不是（0x ，0），所以①错误；②、因为函数f （x ）不一定连续，所以②错误；③、函数f （x ）的零点是方程f （x ）＝0的根，方程f （x ）=0的根一定是函数f （x ）的零点，所以③正确的；④、用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④错误．故选 B ．【考点】函数的零点、二分法等基本知识．【方法点睛】对于①，根据零点的概念即可判断；对于②考虑零点存在性定理的条件：函数f （x ）一定连续进行判断；对于③根据零点的概念即可判断；对于④，利用二分法求根时，得到的根也可能是精确值，故④错．我们把函数y=f （x ）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即方程的根．f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的解．这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．零点存在性定理：若函数y=f （x ）在闭区间[a ，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f （a ）•f （b ）≤0，则在区间[a ，b]内，函数y=f （x ）至少有一个零点，即相应的方程f （x ）=0在区间[a ，b]内至少有一个实数解．4．如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，E 为棱SC 的中点，若AC ＝23，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，则异面直线AC 与BE 所成的角为（ ）A ．30° B．45° C ．60° D ．90° 【答案】C【解析】试题分析：取SA 的中点F ，连接EF ，BF ，则∵E 为棱SC 的中点，∴EF ∥AC ，∴∠BEF （或其补角）为异面直线AC 与BE 所成的角，AC ＝23SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，3BE EF BF ∴===， 060BEF ∴∠=，所以应选C ．【考点】异面直线及其所成的角．5．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ＝22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线AE 、BF 所成的角为定值 【答案】D【解析】试题分析：：∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE ．故A 正确．∵EF 垂直于直线AB 1，AD 1，∴A 1C ⊥平面AEF ．故B 正确．C 中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为22，故V A-BEF 为定值．C 正确；当点E 在D 1处，F 为D 1B 1的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是∠FBC 1，当E 在上底面的中心时，F 在C 1的位置，异面直线AE ，BF 所成的角是∠EAA 1显然两个角不相等，D 不正确．故选D ．【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角． 6．若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,)+∞ C ．(2,+)∞ D ．20⎛⎤⎥ ⎝⎦， 【答案】B【解析】试题分析：令()xg x a =（a ＞0，且a ≠1），h()x x a =+分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f （x ）=a x-x-a 有两个不同的零点，则函数g （x ），h （x ）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a ＞1时符合题目要求． 【考点】函数的性质及应用．7．已知,m n 为异面直线， m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A ．α∥β，且l ∥αB ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以//l β．由直线m ，n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m ∥n ，与m ，n 异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．【考点】平面与平面之间的位置关系，平面的基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质．8． 已知直线（1+k ）x+y-k-2＝0过定点P ，则点P 关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是（ ） A ．（3，﹣2） B ．（2，﹣3） C ．（3，﹣1） D ．（1，﹣3） 【答案】C【解析】试题分析：由直线（1+k ）x+y-k-2=0化为k （x-1）+（x+y-2）=0，令1020x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩于是此直线恒过点P （1，-1）．设点P 关于直线x-y-2=0的对称点为P ′（m ，n ），则1120221111m n n m --⎧--=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得31m n =⎧⎨=-⎩∴P ′（3，-1）．故选C ．【考点】直线的性质和轴对称的性质．9．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈， AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB ：A′B′＝（ ）A ．2 ：1B ．3 ：1C ．3 ：2D ．4 ：3 【答案】A【解析】试题分析：∵平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，， AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，∴∠ABA'=30°，∠BAB'=45°， 连结AB ′，设AB=2，则AA ′=1， ∴AB ′222()()1AB AA ''-=AB ：A′B′＝2:1【考点】两条线段的比值的求法．10．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若截距之和最小，则直线的方程为（ ） A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝0 【答案】B【解析】试题分析：设直线的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，直线经过点P （1，4）， 则有141a b+= ∴144()()5549b a a b a b aba b+=++=++≥+= 当且仅当4141b a a ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y-6=0．故选B ．【考点】直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值． 【方法点睛】（1）一般情况下直线在x 轴的截距即当y=0时x 的值，直线在y 轴的截距即当x=0时y 的值，如果把方程设为截距式（一定要保证截距不为0），这样截距比较直观；（2）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值二、填空题11．已知直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，则经过点A （3，2）且与直线1l 垂直的直线方程为________． 【答案】2x-y-4＝0【解析】试题分析：因为直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，所以28112m m m =≠+-，解得1m =，直线1l 方程为210x y +-=，因为所求的直线方程与 直线1l 垂直，所以可设为20x y λ-+=，又因为经过点A （3，2），所以2320λ⨯-+=，解得4λ=-，所以所求直线为2x-y-4＝0．【考点】两直线平行满足的条件及如何求直线方程．12．用斜二测画法得到的四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是________．【答案】82试题分析：作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，则AE=BF=ADcos45°=1， ∴CD=EF=3．将原图复原（如图）则原四边形应为直角梯形，∠A=90°，AB=5，CD=3，AD=2 则原四边形的面积是1(53)22822+⋅=【考点】斜二测画法的理解和应用【方法点睛】将直观图放在还一个平面直角坐标系x oy ''中，还原成平面图的关键是找与,x y ''轴平行的直线或线段，且平行与x '轴的线段还原时相等，且平行与y '轴的线段还原时放大为直观图中相应线段的2倍，由此图形的各个顶点，顺次连接即可；对于面积问题直观图的面积是原几何图形面积的24倍，在选择及填空题中可直接应用 【解析】13． 已知三棱锥A-BCD 2则该三棱锥的外接球的表面积为________． 【答案】3π【解析】试题分析：如图所示，设球心为O 点，底面△ABC 的中心为O 1，球的半径为R ．∵三棱锥A-BCD 的所有棱长都2所以123623CO == 222116232()33PO PC O C =-=-=在1OAO ∆中，22236()33R R =-+ 解得32R =∴该三棱锥的外接球的表面积22344(3S R πππ===，故答案为：3π． 【考点】正三棱锥的性质、球的表面积计算公式．14．已知关于x 的方程22210x mx m +++=有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围是________．【答案】5162m -<<-【解析】试题分析：设f （x ）=x 2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f （x ）=x 2+2mx+2m+1与x 轴的交点分别在区间 （-1，0）和（1，2）内，则(0)210(1)20(1)420(2)650f m f f m f m =+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，解得5162m -<<-． 【考点】一元二次方程根的分布与系数的关系． 15．甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动，其轨迹f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x ≥0）的函数关系式分别为1()21x f x =-， 22()f x x =，3()f x x =，42()log (1)f x x =+，有以下结论：①当x＞1时，甲在最前面；②当x＞1时，乙在最前面；③当0＜x＜1时，丁在最前面，当x＞1时，丁在最后面；④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为___________ （把正确结论的序号都填上，多填，错填或少填均不得分）．【答案】③④⑤【解析】试题分析：因为路程f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系是： f1（x）＝2x−1，f2（x）＝x2，f3（x）=x，f4（x）=log2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型．当x=2时，f1（2）=3，f2（2）=4，∴命题①不正确；当x=4时，f1（5）=31，f2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确．故答案为：③④⑤．【考点】几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．【方法点睛】分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．三、解答题16．如图（1）所示，在直角梯形ABCD中， BC∥AP， AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．又 E、F、G 分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．（1）求证：平面EFG∥平面PAB；（2）求三棱锥C-EFG的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1 6【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理证明EF∥AB．利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAB．然后利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFG∥平面PAB．（2）利用等体积V C-EFG=V G-CEF，转化求解即可．试题解析：证明：（1）∵E、F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD又CD∥AB．∴ EF∥AB．∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ．同理，EG ∥平面PAB ，∵EF EG E =，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ∴平面EFG ∥平面PAB ． （2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC＝13×（12×1×1）×1＝16． 【考点】平面与平面平行的判定定理及几何体的体积的求法【名师点睛】1、判断面面平行的方法（1）利用定义:（常用反证法）；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行，（4）利用平行平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行； 2、在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．17．已知两点)3,4(-A ，)1,2(-B ，直线0234=-+y x l ：，求一点P 使PB PA =，且点P 到直线l 的距离等于2． 【答案】)4,1(-P 或)78,727(-P 【解析】试题分析：先求出直线 AB 的垂直平分线，再根据),(b a P 在直线05=--y x 上及已知点P 到l 的距离为2，即可得到结论试题解析：设点P 的坐标为),(b a P ．∵)3,4(-A ，)1,2(-B ． ∴AB 的中点M 的坐标为)2,3(-．又AB 的斜率12413-=-+-=AB k ． ∴AB 的垂直平分线方程为32-=+x y ，即05=--y x ． 而),(b a P 在直线05=--y x 上． ∴05=--b a ． ①又已知点P 到l 的距离为2． ∴点P 必在于l 平行且距离为2的直线上， 设直线方程为034=++m y x ，由两条平行直线之间的距离公式得：252=+m ∴8=m 或12-=m ．∴点P 在直线0834=++y x 或01234=-+y x 上． ∴0834=++b a 或01234=-+b a ② ∴①②得：1=a ，4-=b 或727=a ，78-=b ． ∴点)4,1(-P 或)78,727(-P 为所求的点．【考点】线段的垂直平方线及点到直线的距离18．（1）已知圆C 经过(0,0)O ， (2,2)Q -两点，且被直线y=1截得的线段长为23．求圆C 的方程．（2）已知点P （1，1）和圆x 2＋y 2－4y ＝0，过点P 的动直线l 与圆交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）22224040x y x x y y ++=+-=或；（2）22330x y x y +--+=【解析】试题分析：（1） 先设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，再将O ，Q 两点代入得到D ，E ，F 的关系式，再把直线方程与圆联立，得到二元一次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，又得到一个D ，E ，F 的关系式，联立解出D ，E ，F 的值，得到圆C的方程；（2）先求出圆x 2＋y 2－4y ＝0圆心坐标，利用圆心与弦中的的连线垂直该弦，得到斜率之间的关系，从而得到M 点的轨迹方程试题解析：（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=．因为点O ，Q 在圆上，代入220x y Dx Ey F ++++=：可得04=0F D E =⎧⎨--⎩又由已知，联立：解得：2+10x Dx E ++=由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-⋅=+．所以：12-23x x =．即()21212+412x x x x -⋅= 即：24412D E --=．即：24=0D D -． 则 0,44,0D E D E ==-==或者．所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或．（2）设点M （x ，y ）， 圆2240x y y +-=的圆心坐标为C （0，2）． 由题意：1CM AB k k ⋅=-，又AB PM k k = ．所以：2111y y x x --⋅=-- 化简: 22330x y x y +--+=所以M 点的轨迹方程为 22330x y x y +--+=【考点】（1）求圆的方程；（2）求轨迹方程．19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB ⊥AD ， AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°， PA ＝AB ＝BC ， E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；CA PBDE（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】（1）45°；（2）见解析；（3）14．【解析】试题分析：（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A-PD-C的平面角，由此能求出二面角A-PD-C得到正弦值．试题解析：（1）解：在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，∴PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°．所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P—ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴ CD⊥PA．由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A ∵CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD．由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．又PC∩CD＝C，综上得AE⊥平面PCD．（3）解：过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由（2）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AM⊥PD．因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°．设AC＝a，可得PA＝a，AD 23，PD＝213a，AE＝22在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD，则AM＝PA ADPD27．在Rt△AEM中，sin∠AME＝AEAM14．所以二面角A—PD—C 14．【考点】直线和平面所成角的大小的求法，直线与平面垂直的证明及二面角的正弦值的求法．【方法点睛】（1）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，分别奖励给在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半；另一半利息计入基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f（x）表示第x（x∈N）年诺贝尔奖发放后．的基金总额（1999年记为f（1），2000年记为f（2），…，依次类推）（1）用f（1）表示f（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：1．031 29≈1．32）【答案】（1）f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N），（2）是假新闻【解析】试题分析：（1）由题意先求得f（2）和f（3），结合指数式的特点，由此归纳出f（x）的表达式即可；（2）先计算出2012年诺贝尔奖发放后基金总额及2013的度诺贝尔奖各项金额，发现与150万美元相比少了约14万美元，从而判断出新闻的真实性．试题解析：（1）由题意知：f（2）＝f（1）（1＋6．24%）－12f（1）·6．24%＝f（1）×（1＋3．12%），f（3）＝f（2）×（1＋6．24%）－12f（2）×6．24%＝f（2）×（1＋3．12%）＝f（1）×（1＋3．12%）2，∴f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N）．（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f（10）＝19 800（1＋3．12%）9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12·f（10）·6．24%≈136（万美元），与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．【考点】函数模型的选择与应用、函数值、归纳推理等【名师点睛】解函数应用题的一般步骤：（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模——求解数学模型，得到数学结论；（4）还原——将用思想方法得到的结论还原为实际问题的意义；（5）反思回顾——对于数学模型得到的结果，必须验证是否有实际意义．。
甘肃省兰州市高一上学期期末数学试卷(理科)
甘肃省兰州市高一上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，设函数的定义域为集合M，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一上·玉溪期末) 已知函数，若 ,则（）A .B .C .D .3. （2分）函数f（x）=﹣2lg（x+1）的定义域为（）A . （﹣1，3]B . （﹣∞，3]C . [3，+∞）D . （﹣1，+∞）4. （2分）设奇函数f(x)在上为增函数，且f(1)=0，则不等式的解集为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一上·济南期中) 函数y=f（x）满足：①y=f（x+1）是偶函数；②在[1，+∞）上为增函数．则f（﹣1）与f（2）的大小关系是（）A . f（﹣1）＞f（2）B . f（﹣1）＜f（2）C . f（﹣1）=f（2）D . 无法确定6. （2分）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是（）A .B . 21cm2C .D . 24cm27. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1 ．直径为4的球的体积为V2 ，则V1:V2=（）A . 1:4B . 1:2C . 1:1D . 2:18. （2分）已知直线，是平面，给出下列命题：（1）若,则；②若,则；③若,则；④若a与b异面，且，则b与相交；⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a ，b都垂直.其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分） (2018高一上·寻乌期末) 若，则的大小关系是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 过直线x+y=9和2x﹣y=18的交点且与直线3x﹣2y+8=0平行的直线的方程为（）A . 3x﹣2y=0B . 3x﹣2y+9=0C . 3x﹣2y+18=0D . 3x﹣2y﹣27=011. （2分）已知正方体、球、底面直径与母线相等的圆柱，它们的表面积相等，则它们的体积的大小关系是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·宁波月考) 已知函数f（x）＝x2﹣3x﹣3，x∈[0，4]，当x＝a时，f（x）取得最大值b，则函数的图象为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·丹东月考) 若函数的定义域是，则函数的定义域是________．14. （1分）二次函数y=ax2+2ax+1在区间[﹣3，2]上最大值为4，则a等于________．15. （1分）两条异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是________．16. （1分）(2017·宁德模拟) 已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一上·绍兴期中) 已知集合，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：∁R（A∩B），（∁RB）∪A；（2）已知C={x|2a＜x＜a+3}，若C⊆B，求实数a的取值范围．18. （10分）(2018·鄂伦春模拟) 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点 .（1）证明：平面；（2）已知，的面积为，为线段上一点，且三棱锥的体积为，求 .19. （5分）已知直线l：x+y﹣1=0，（1）若直线l1过点（3，2）且l1∥l2 ，求直线l1的方程；（2）若直线l2过l与直线2x﹣y+7=0的交点，且l2⊥l，求直线l2的方程．20. （15分） (2018高二上·万州期末) 已知直线经过点，且斜率为．（1）求直线的方程．（2）求与直线平行，且过点的直线方程．（3）求与直线垂直，且过点的直线方程．21. （5分） (2016高二下·静海开学考) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．22. （5分）(2018高二上·浙江期中) 如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，，，E是BD的中点．（Ⅰ）求证：EC//平面APD；（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角的正弦值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、。