2018年北师大版九年级下《1.3三角函数的计算》同步练习含答案
北师大版数学九年级下册 第一章 第2---3节测试题含答案
1.2 30°，45°，60°角的三角函数值1．若△ABC 中，sinA ＝cosB ＝22，则下列最确切的结论是( )A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形 2. 计算tan60°＋2sin45°－2cos30°的结果是( ) A ．2 B ． 3 C ． 2 D ．1 3．下列计算错误的是( ) A ．sin60°－sin30°＝sin30° B ．sin 245°＋cos 245°＝1 C ．tan60°＝sin60°cos60°D ．sin30°＝cos60°4. 在△ABC 中，tanA ＝1，sinB ＝12，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 5．在△ABC 中，∠A ＝75°，sinB ＝32，则tanC 等于( )A.33 B ． 3 C ．1 D ．32 6. 2sin60°的值等于( ) A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．27. 菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC ＝2，则点B 的坐标为( )A ．(2，1)B ．(1，2)C ．(1，2＋1)D ． (2＋1,1)8. 如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，测得有一水塔(图中点A)在她家北偏东60°方向500m 处，那么线段OB 的长是( )A ．250mB ．2503m C.50033m D ．2502m9. 已知α、β均为锐角，且满足|sinα－12|＋tanβ－12＝0，则α＋β＝ .10．α为锐角，当20191－tanα＋2020无意义时，sin(α＋15°)＋cos(α－15°)的值为 .11．某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i ＝1∶3，坝外斜坡的坡度i ＝1∶1，则两个坡角的和为 .12．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，sin(x ＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny，据此判断下列等式成立的是 (填序号)． ①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sinx·cosx；④sin(x －y)＝sinx·cosy－cosx·siny. 13. 计算：(1)3tan30°－tan45°2cos30°＋1；(2)12－3tan 230°＋tan45°＋2sin45°－12.14. 已知tanα－2cos30°＝0，求锐角α.15. 已知tanA 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．16. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠B ＝30°.请你添加适当的辅助线，求出tan15°的值．17. 已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32. 计算8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1的值．18. 如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B 为折断处最高点，树顶A 落在离树根C 的12米处，测得∠BAC ＝30°，求BC 的长(结果保留根号)．19. 如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，测得∠CBD ＝60°，牵引底端B 离地面1.5米．求此时风筝离地面的高度(结果精确到个位)．20. 小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长332米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米．若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．答案：1---8 CCABC CDB 9. 75° 10. 3 11. 75° 12. ② ③ ④13. 解：(1)原式＝2－3； (2)原式＝2－22.14. 解：α＝60°15. 解： ∠A＝45°或60°16. 解：方法很多，提供以下两种方法供参考：方法一：延长CB 至D 1，使BD 1＝BA ，则AC ＝1，D 1C ＝2＋3，∠D 1＝15°，故tan15°＝AC D 1C ＝12＋3＝2－ 3.方法二：延长BC 至D 2，使BD 2＝BA ，则∠D 2AC ＝75°－60°＝15°， CD 2＝BD 2－BC ＝2－3，故tan15°＝CD 2AC ＝2－31＝2－ 3.17. ∵sin60°＝32，∴α＋15°＝60°，∴α＝45°，∴8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋(13)－1＝22－4cos45°－1＋tan45°＋3＝22－22－1＋1＋3＝3.18. 解：∵BC⊥AC，∴∠BCA＝90°.在Rt△ABC 中，∵tan∠BAC＝BCAC，∴BC＝AC·tan∠BAC＝12×tan30°＝12×33＝43(米)．19. 解：在Rt△CBD 中，CD ＝CB·sin60°＝20×32≈17.3(米)．∴CE ＝CD ＋DE ＝17.3＋1.5≈19(米)． 答：此时风筝离地面的高度约为19米．20. 解：延长OA 交BC 于点D.∵AO 的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°， ∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°，在Rt△ACD 中，AD ＝AC·tan∠ACD ＝332·33＝32(米)，∴CD ＝2AD ＝3米，又∵∠O ＝60°，∴△BOD 是等边三角形，∴BD ＝OD ＝OA ＋AD ＝3＋32＝4.5(米)，∴BC ＝BD －CD ＝4.5－3＝1.5(米)．答：浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米．1.3 三角函数的计算一、选择题1．用计算器求cos9°，以下按键顺序正确的是( ) A.cos 9＝ B.9cos ＝ C.cos 90＝D.90cos ＝2．计算sin20°－cos20°的值约是(结果精确到0.0001)( ) A ．－0.5976 B ．0.5976 C ．－0.5977D ．0.59773．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是( ) A ．tan26°＜cos27°＜sin28° B ．tan26°＜sin28°＜cos27° C ．sin28°＜tan26°＜cos27° D ．cos27°＜sin28°＜tan26°4．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m 长的斜道(如图1所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( )图1A.SHIFT sin0·25＝B.sin SHIFT0·25＝C.sin0·25＝D.SHIFT cos0·25＝5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4(a，b分别为∠A，∠B所对的边)，利用计算器计算，∠A 的度数约是()A．36°B．37°C．38°D．39°二、填空题6．比较大小：8cos31°________35.(填“>”“<”或“＝”)7．用计算器求相应的锐角(结果精确到1′)．(1)sinA＝0.2334，则∠A≈__________；(2)cosB＝0.6198，则∠B≈__________；(3)tanα＝3.465，则α≈__________.8．一出租车从立交桥桥头直行了500 m，到达立交桥的斜坡上高为25 m处，那么这段斜坡的倾斜角约为____________(结果精确到1″)．9．如图2，王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为55°，又知水平距离BD ＝10 m，楼高AB＝24 m，则树高CD约为________(结果精确到0.1 m)．图210．将45°的∠AOB按图3所示的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为________cm(结果精确到0.1 cm)．图311.一个人由山底A爬到山顶C，需先爬30°的山坡80 m，再爬40°的山坡300 m(如图4)，则山高CD 约为________m(结果精确到0.1 m)．图4三、解答题12．已知：如图5，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∠A＝48°.求：(1)AB边上的高(结果精确到0.01)；(2)∠B的度数(结果精确到1′)．图513．如图6，伞不论张开还是收紧，伞柄AM始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，动点D与点M重合，且点A，M，D在同一条直线上．已知部分伞架的长度如下(单位：cm)：(1)求AM的长；(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(结果精确到1 cm)．图614．施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．如图7(示意图)，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB＝4米，斜面距离BC＝4.25米，斜坡总长DE＝85米．(1)求坡角∠D的度数(结果精确到1°)；(2)若这段斜坡用高度为17厘米的长方体台阶来铺，则需要铺几级台阶(参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95)?图715．如图8，甲、乙两建筑物相距120 m，甲建筑物高50 m，乙建筑物高75 m，求从甲建筑物的顶端A处观望乙建筑物的底端D的俯角α和观望乙建筑物的顶端C的仰角β的大小(结果精确到0.1°)．图816. (1)验证下列两组数值的关系：2sin30°·cos30°与sin60°；2sin22.5°·cos22.5°与sin45°.(2)用一句话概括上面的关系．(3)试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．(4)如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．答案1．A2．C3．C4．A5．B6．>7．(1)13°30′ (2)51°42′ (3)73°54′8．2°51′58″9．9.7 m10．2.711．232.812．解：(1)如图，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H .∵在Rt △ACH 中，sin A ＝CH AC， ∴CH ＝AC ·sin A ＝9sin48°≈6.69，∴AB 边上的高约为6.69.(2)∵在Rt △ACH 中，cos A ＝AH AC， ∴AH ＝AC ·cos A ＝9cos48°.∵在Rt △BCH 中，tan B ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.13．解：(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合，∴AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm)．(2)AD ＝2×36cos52°≈2×36×0.6157≈44(cm)．14．解：(1)由题意，得AB ∥DF ，∴∠ABC ＝∠D ，∴cos D ＝cos ∠ABC ＝AB BC ＝44.25≈0.94， ∴∠D ≈20°.(2)EF ＝DE ·sin D ≈85×sin20°≈85×0.34＝28.9(米)，∴需要铺台阶28.9×100÷17＝170(级)．15．解：由题意，得DE ＝AB ＝50 m ，AE ＝BD ＝120 m ，则CE ＝CD －DE ＝75－50＝25(m)，∴tan α＝ED AE ＝50120＝512， tan β＝CE AE ＝25120＝524， ∴α≈22.6°，β≈11.8°.答：从甲建筑物的顶端A 处观望乙建筑物的底端D 的俯角α约为22.6°，观望乙建设物的顶端C 的仰角β约为11.8°.16.解：(1)∵2sin30°·cos30°＝2×12×32＝32，sin60°＝32， ∴2sin30°·cos30°＝sin60°；∵2sin22.5°·cos22.5°－sin45°＝0，∴2sin22.5°·cos22.5°＝sin45°.(2)由(1)可知，一个锐角的正弦值与余弦值的乘积的2倍等于该角的2倍角的正弦值．(3)答案不唯一，如2sin15°·cos15°＝0.5，sin30°＝0.5，∴2sin15°·cos15°＝sin30°，故结论成立．(4)2sin α·cos α＝sin2α.。
北师大版初三数学下册《1.3三角函数的计算》习题课件(附答案)
CD , (2)在Rt△BCD中，cos 55°＝ BC CD ∴BC＝ ≈60 n mile. cos55
所以海轮在B处时与灯塔C的距离约是60 n mile.
sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428， tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48≈1.111)．
解：(1)如图，过点C作AB的垂线，垂足为D， 根据题意可得∠ACD＝42°，∠BCD＝55°，
AD 设CD的长为x n mile.在Rt△ACD中，tan 42°＝ ， CD
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，
62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大 小．
(3)比较大小(在横线上填写“＜”“＞”或“＝”)： ＝ 若α＝45°，则sin α________cos α； ＜ 若α<45°，则sin α________cos α；
＞ 若α>45°，则sin α________cos α.
由菱形的性质知∠BCD＝∠BAD＝2∠BAO≈102°40′≈103°， 则∠ABC＝∠ADC≈77°. ∴菱形的边长约为6 m，四个内角分别约为103°，77°， 103°，77°.
,
这里由正切值求角，必须借助计算器完 成．用三角函数值求相应的角时，近似值先精 确到1′，待完成菱形内角的度数计算后再精确
到1°，避免累积误差过大．
16.【中考•贺州】如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北 偏东42°方向上，它沿正东方向航行80 n mile后到达B处， 此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．求： (1)海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离(结果精确到0.1 n mile)；
北师大版九年级下《1.3三角函数的计算》同步练习含答案
1.3 三角函数的计算同步练习一、单选题1、如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为（）个．①=sinA-1；②sinA+cosA＞1；③tanA＞sinA；④cosA=sin（90°﹣∠A）A、1B、2C、3D、42、下列式子错误的是（）A、cos40°=sin50°B、tan15°•tan75°=1C、sin225°+cos225°=1D、sin60°=2sin30°3、在Rt△ABC中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）A、sinA=sinBB、tanA=tanBC、sinA=cosBD、cosA=cosB4、如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A、8°B、10°C、12°D、6°5、如果α是锐角，且cosα=，那么sinα的值是( ) A、B、C、D、6、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A、12B、9C、4D、37、已知α、β都是锐角，如果sinα=cosβ，那么α与β之间满足的关系是（）A、α=β；B、α＋β=90°；C、α－β=90°；D、β－α=90°．8、在直角坐标系中，P是第一象限内的点，OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则cosα的值是（）A、B、C、D、9、在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列等式: (1) sin A＝sin B；(2) a＝c·sin B；(3) sin A＝tan A·cos A；(4) sin2A＋cos2A＝1．其中一定能成立的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个10、已知sinα•cosα=，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα=（）A、B、-C、D、±11、已知：sin232°+cos2α=1，则锐角α等于（）A、32°B、58°C、68°D、以上结论都不对12、在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且sinA=， tanB=1，则∠C的度数为（）A、75°B、105°C、60°D、45°13、已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A、B、C、D、14、已知α为锐角，则m=sin2α+cos2α的值（）A、m＞1B、m=1C、m＜1D、m≥115、如图，P为∠XOY上一点，作PH⊥OY于H，对于sin2∠XOY+cos2∠XOY的大小，下列说法正确的是（）A、与点P的位置有关B、与PH的长度有关C、与∠XOY的大小有关D、与点P的位置和∠XOY的大小都无关二、填空题16、已知α是锐角且tanα=，则sinα+cosα=________17、已知为一锐角，化简：________ ．18、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanA=________19、已知：实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式：①asinθ+bcosθ﹣c=0；②acosθ﹣bsinθ+d=0（其中θ为任意锐角），则a、b、c、d之间的关系式是：________20、已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C的度数是________三、解答题21、已知tanα=，α是锐角，求tan（9O°﹣α），sinα，cosα的值．22、在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，求cosA，sinB，cosB．23、已知α+β=90°，且sinα+cosβ=，求锐角α．24、已知=2，求tanα的值．25、在直角△ABC中，∠C=90°，若=5，求tanA．26、下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α=2sinα．答案部分一、单选题1、【答案】C2、【答案】D3、【答案】C4、【答案】C5、【答案】C6、【答案】A7、【答案】B8、【答案】C9、【答案】B10、【答案】B11、【答案】A 12、【答案】B 13、【答案】D 14、【答案】B 15、【答案】D二、填空题16、【答案】17、【答案】1 18、【答案】219、【答案】a2+b2=c2+d220、【答案】90°三、解答题21、【答案】解：∵如图所示：tanB=tanα=，∴设AC=2x，BC=5x，则AB=x，∴tan（9O°﹣α）==，sinα===，cosα===．22、【答案】解：∵∠C=90°，sinA=，∴cosA==，∵∠A+∠B=90°，∴sinB=cosA=，cosB=sinA=．23、【答案】解：由α+β=90°，得sinα=cosβ．sinα+cosβ=2sinα=，sinα=，α=60°．24、【答案】解：∵=2，∴3sinα+3cosα=2（2sinα+cosα）则cosα=sinα，∴tanα==1．25、【答案】解：由正切等于正比余弦，得=5，化简，得1+2cosA=5sinA．再有正弦余弦，得1+2cosA=5．1+4cosA+cos2A=25（1﹣cos2A）．解得cosA=．sinA===0.562tanA===1.47．26、【答案】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=α．则sinα+cosα=+=＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α=30°，则sin2α=sin60°=，2sinα=2sin30°=2×=1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α=2sinα不成立．。
1.3 三角函数的计算
【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1， 1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1.
解：(1)由题意得∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在 Rt△ BDE 中，
tan∠BDE＝DBEE，∴BE＝DE·tan39°.
∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)． 答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝DF 50 2x ＝1.8，
BF
2x
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
第一章 直角三角形的边角关系
1.3 三角函数的计算
学习目标
1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识. 2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. (重点) 3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点）
导入新课
回顾与思考 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角α
第二种方法：
第一步：按计算器
tan 键，
1.3 三角函数的计算 同步训练(含答案)
三角函数的计算基础题知识点1用计算器求非特殊角的三角函数值1.用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是(A)A.sin24＝B.24sin＝C.2ndF sin24＝D.sin242ndF＝2.计算sin20°－cos20°的值是(精确到0.000 1)(C)A.－0.597 6B.0.597 6C.－0.597 7D.0.597 73.用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是(C)A.tan26°<cos27°<sin28°B.tan26°<sin28°<cos27°C.sin28°<tan26°<cos27°D.cos27°<sin28°<tan26°4.下列式子错误的是(D)A.cos40°＝sin50°B.tan15°•tan75°＝1C.sin225°＋cos225°＝1D.sin60°＝2sin30°5.用科学计算器计算：31＋3tan56°≈10.02(结果精确到0.01).6.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：(1)cos63°17′；解：原式≈0.45.(2)tan27.35°；解：原式≈0.52.(3)sin39°57′6″；解：原式≈0.64.(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解：原式≈－0.78.知识点2用计算器求非特殊锐角的度数7.已知4cosα＝0.975 4，那么锐角α的度数约为(B)A.15°27′B.75°53′10″C.12°44′6″D.42°17′31″8.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝5，c ＝13，用计算器求∠A 约等于(D )A.14°38′B.65°22′C.67°23′D.22°37′知识点3 三角函数的实际应用9.小明家在某小区买了一套住房，该小区楼房均为平顶式，南北朝向，楼高统一为16米(五层)，小明在冬至正午测得南楼落在北楼上的影子有3.5米高，且已知两楼相距有20米，请你帮小明求此时太阳光与水平线的夹角度数(结果精确到1°).解：∵tanα＝16－3.520＝0.625， ∴α≈32°.∴此时太阳光与水平线的夹角约为32°.10.(教材P 14练习T 4变式)如图，已知墙高AB 为6.5米，将一长为6米的梯子CD 斜靠在墙面，梯子与地面所成的角∠BCD ＝55°，此时梯子的顶端与墙顶的距离AD 为多少米(结果精确到0.1米)?解：在Rt △BCD 中，∵∠DBC ＝90°，∠BCD ＝55°，CD ＝6米，∴BD ＝CD ·sin ∠BCD ＝6×sin 55°≈6×0.82＝4.92(米).∴AD ＝AB －BD ≈6.5－4.92＝1.58≈1.6(米).答：梯子的顶端与墙顶的距离AD 约为1.6米.中档题11.(2018·淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是(A )A.2ndF sin 0·15＝B.sin 0·152ndF ＝C.2ndF cos 0·15＝D.tan 0·152ndF ＝12.要使式子sinα－0.4有意义，则α可以取下列数值中的(D )A.17°B.19°C.21°D.24°13.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为14.1cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ).14.(教材P 15习题T 4变式)如图，甲、乙两建筑物相距120 m ，甲建筑物高50 m ，乙建筑物高75 m ，求俯角α和仰角β的大小.解：∵AB ＝50，CD ＝75，BD ＝120，∴DE ＝50，CE ＝CD －DE ＝75－50＝25，AE ＝120.∴tanα＝ED AE ＝50120≈0.416 67， tanβ＝CE AE ＝25120≈0.208 33. ∴α≈22.6°，β≈11.8°.答：俯角α约为22.6°，仰角β约为11.8°.15.如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，他乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈0.51)解：由题意可知AC ∥BD ，∴∠CAB ＝∠ABD ＝27°.过点C 作CE ⊥AC 交AB 于点E .∵在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CE AC， ∴CE ＝AC ·tan ∠CAE ＝4×tan 27°≈4×0.51＝2.04.∵2.04＞1.78，∴小敏乘此电梯不会有碰头危险.∵2.04＜2.26，∴姚明乘此电梯会有碰头危险.综合题16.施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行.如图，现测得斜坡上铅垂的两棵树间的水平距离AB ＝4米，斜面距离BC ＝4.25米，斜坡总长DE ＝85米.(1)求坡角∠D 的度数(结果精确到1°)；(2)若这段斜坡用厚度为17 cm 的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶(参考数据：cos 20°≈0.94，sin 20°≈0.34，sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95)?解：(1)∵cosD ＝cos ∠ABC ＝AB BC ＝44.25≈0.94，∴∠D ≈20°. (2)EF ＝DE ·sinD ＝85×sin 20°≈85×0.34＝28.9(米)，∴共需铺台阶28.9×100÷17＝170(级).。
北师大版九年级数学下册全册同步练习含答案
北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( )A． sin A=53B．cos A=23C．sin A=23D．tan A=522．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A．35B．45C．43D．343．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝35，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．16 3C. 203D．165二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝34，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =163，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝35．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案 1．C[提示：sinA=BCAB．] 2．D[提示：过A 点作垂线交底部于C 点，则△ACB 为直角三角形，∴BC ＝2222106AB AC -=-＝8(m)，∴tan a ＝68＝34．故选D ．]3．B[提示：∠ADE 和∠EDC 互余，∴cos a ＝sin ∠EDC ＝35，sin ∠EDC ＝3,45EC EC DC ==∴EC =125.由勾股定理，得DE ＝165．在Rt △AED 中，cos a ＝16355DE AD AD ==,∴AD＝163．故选B ．] 4．4[提示：在Rt △BCA 中，AC ＝3米，cos ∠BAC ＝34AC AB =，所以AB ＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin 2a ＋cos 2a ＝l ，∴a ＝48°．] 6．提示：sin A ＝13，cos A ＝223，tan A =24.7．解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD ，∴CD 2＝AD ·DB ＝16，∴CD =4，∴AC =22203AD CD +=．∴sin A ==35CD AC =，cos A ＝45AD AC =，tan A =34CD AD =. 8．解：(1)如图l －27所示，作BH ⊥OA ， 垂足为H ．在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH =3，∴OH ＝4，∴点B 的坐标为(4，3)． (2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6．在Rt △AHB 中，∵BH =3，∴AB ＝22223635BH AH +=+=，∴cos ∠BAO=635AH AB == 255． 9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，∴BD ＝12B C = 12AD ，即AD ＝2BD ，∴AB ＝225BD AD +=BD ，∴tan ∠ABC=ADBD=2,sin ∠ABC=AD AB =255 (2)作BE ⊥AC 于E ，在Rt △BEC 中，sinC=sin ∠ABC=255.又∵sin C=,BEBC.5BE故BE=.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ）A ．3B ．33 C ．21 D ．233．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B ＝32，AC ＝23，则AB 的长是 ( ) A ．3＋3 B ．2＋23 C. 5 D ．924．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) A ．32a B ．a C.12a D ．12a 或32a 二、选择题5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan2B= ． 6．若a 为锐角，且sin a =22,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin A ＝32,b ＋c ＝6，则b = ． 8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则 ＝________；(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角 ＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12.(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝53,若关于x的方程(53＋b)x2＋2ax＋(53－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案 1． D ； 2 。
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 三角函数的计算
5．已知下列锐角的三角函数值，用计算器求锐角 A 的度数．(结果精确到 0.01°)
(1)cos A＝0.7651; (2)sin A＝0.9343； 解：(1)∠A≈40.08° (2)∠A≈69.12°
(3)tan A＝35.26; (4)tan A＝0.707.
(3)∠A≈88.38° (4)∠A≈35.26°
解：(1)∵四边形 BCEF
是矩形，∴CE＝BF＝3，又∵CD＝6，∴sin
D＝CCDE
＝1 2
，
∴∠D＝30°
(2)在 Rt△ABF 中，sin ∠BAF＝BAFB
＝2 3
，设 BF＝2k，则 AB＝3k，由勾股定
理得 AF＝
5
k.∵BF
＝3，即
2k
＝3，∴k
＝3 2
，∴AF
＝3
5 2
，又∵F E ＝B C＝ 1，
解：在Rt△BCD中，∵∠DBC＝90°，∠BCD＝55°，CD＝6米， ∴BD＝CD·sin ∠BCD＝6×sin 55°≈6×0.82＝4.92(米)， ∴AD＝AB－BD＝6.5－4.92＝1.58≈1.6(米). 答：梯子的顶端与墙顶的距离AD约为1.6米
9．(东营中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计
13．(2022·郑州月考)图①是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图②是其 示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝ 48°，BE＝110 cm，DE＝80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1 cm， 参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11)
∴AE＝AF＋FE＝(3 5 ＋1)米 2
北师版九年级数学下册第一章1.3 三角函数的计算
线与水平线 所成的锐角称为俯角．
◎自主检测 知识点 ：用计算器求锐角的三角函数值
1. 用计算器求下列各式的值： (1)sin20°； (2)cos38°； (3)tan10°；
(4)cos27°51′； (5)sin75°31′12″； (6)3sin29 °. 解：(1)sin20° ＝0.3420； (2)cos38° ＝0.7880；
2. 如图，某段公路沿山坡每前进 100 米，路面就升 高 4 米，求这段公路的坡角．
解：sinθ＝0.04，θ＝2.29° ＝2° 17′.
◎基础训练 1. (2018·烟台)利用计算器求值时，小明将按键顺 序 的显示结果记为 a， 的显示结果记为 b，则 a，b 的大小关 系为(
B
) B．a＞b D．不能比较
◎拓展提升 6. 已知菱形 ABCD，AB＝10 cm，∠A＝40°，则 菱形 ABCD 的面积为 cm2)．
64.3
cm2(结果精确到、0．1
7. (1) 用计算器计算并验证 sin25 °＋ sin46 °与 sin71°之间的大小关系； (2)若 α、β 、α＋β 都是锐角，猜想 sinα ＋sinβ 与 sin(α＋β )的大小关系； (3)请借助下面的图形证明上述猜想．
4. 根据下列条件求锐角 α 的大小(精确到 1′)： (1)sinα ＝0.5657； (2)sinα ＝0.964； (3)cosα ＝0.257; (4)cosα ＝0.491； (5)tanα ＝0.4997; (6)tanα ＝8.665.
解：(1)34°27′；(2)74°35′；(3)75°6′； (4)60°36′； (5)26°33′； (6)83°25′.
2. 已知一个锐角的三角函数值，用计算器可以方便 地求出这个锐角的
1.3 三角函数的计算 课时练习(含答案解析)
北师大版数学九年级下册1.3三角函数的计算课时练习一、单选题（共15题）1.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC=26°，BC =5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）答案：D解析：解答：由tan ∠B=AC BC ，得 AC=BC•tanB =5×tan 26．故选：D ．分析: 本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键。
2. 下面四个数中，最大的是（ ）A ．53-B ．sin88°C ．tan46°D ．512- 答案：C解析：解答: A.53-≈2.236-1.732≈0.504； B.sin 88°≈0.999；C.tan 46°≈1.036；D.512- ≈2.23612- ≈0.568． 故tan46°最大，故选：C ．分析: 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可3. 利用计算器求tan 45°时，依次按键则计算器上显示的结果是（ ）A ．0.5B ．0.707C ．0.866D ．1答案：D解析：解答: 依次按键则计算器上显示的tan45°的值，即1．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器4. 用计算器求sin50°的值，按键顺序是（）答案：B解析：解答: 先按键“sin”，再输入角的度数50°，按键“=”即可得到结果．故选B．分析: 根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果5. 用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（）A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66答案：B解析：解答: 用计算器解cos44°=0.72．故选B．分析: 本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数6.计算sin20°-cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．-0.5976 B．0.5976 C．-0.5977 D．0.5977答案：C解析：解答: 按MODE，出现：DEG，按sin20-cos20，=后，显示：-0.597 7．故本题选C．分析: 本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数7.用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，不能直接计算出来的三角函数值是（）A．cotα B．tanα C．cosα D．sinα答案：B解析：解答：用科学记算器计算锐角α的三角函数值时，只能计算正弦、余弦、正切的值，要计算余切的值，需先计算正切值，在借助倒数进行计算得出答案，故答案为A．分析: 本题要求熟练应用计算器进行计算8.用科学记算器计算，下面结果不正确的是（）A．175=1419857B．19=4.358898944 C．sin35°=0.573576436D．若tanα=12，则α=25°56′50″答案：D解析：解答: 利用计算器分别计算后，只有D是错误的，α应等于26°33′54″．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器9. Rt△ABC中，∠C=90°，a：b=3：4，运用计算器计算，∠A的度数（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°答案：B解析：解答: ∵a：b=3：4，∴设a=3x，b=4x，由勾股定理知，c=5x．∴sinA=a：c=3：5=0.6，运用计算器得，∠A=37°．故选B．分析: 根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后求出∠A．10. 用科学记算器算得①293=24389；②58≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tan a=5，则锐角a≈0.087488663°．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④答案：A解析：解答: 前3个利用计算器计算可得是正确，最后一个tan45°=1，tana=5，说明α的度数应大于45°，所以错误，故选A分析:前3个用计算器计算即可；最后一个根据45°的正切值与所给正切值比较即可．. 11. 计算cos80°-sin80°的值大约为（）A．0.8111 B．-0.8111 C．0.8112答案：B解析：解答: 原式=sin10°-sin80°A.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°＜0，故A错误；B.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°=-0.8111＜0，故B正确；C.锐角的正弦随角的度数的增大而增大，sin10°＜sin80°，sin10°-sin80°＜0，故C错误；故选：B．分析: 根据一个角的余弦等它余角的正弦，可转化成正弦函数，根据锐角的正弦随角的度数的增大而增大，可得答案12. 已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（）A．8° B．9° C．10°答案：C解析：解答: ∵sin A=0.1782，∴∠A≈10°．故选：C．分析: 正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin-10.1782即可求出∠A的度数13. 如果tanα=0.213，那么锐角α的度数大约为（）A．8° B．10° C．12°答案：C解析：解答：∵tanα=0.213，∴∠α≈12°．故选C．分析: 正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按tan-10.213即可求出∠α的度数14. 已知sinα=12，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT答案：D解析：解答：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选D．分析: 本题要求熟练应用计算器15.四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是（）A．0.8857 B．0.8856 C．0.8852 D．0.8851答案：A解析：解答：sin62°20′≈0.8857，故选A．分析: 本题要求熟练应用计算器，根据计算器给出的结果进行判断．二、填空题（共5题）1.用计算器求tan35°的值，按键顺序是____________答案：先按tan，再按35，最后按=解析：解答: 用计算器求tan35°的值，按键顺序是先按tan，再按35，最后=，故答案为：先按tan，再按35，最后按=．分析: 根据计算器的使用，可得答案2. 用科学计算器比较大小：287_______tan87答案：＜解析：解答: 287≈2×9.3274=18.6548，tan87°≈19.0811，∵18.6548＜19.0811，∴287＜tan87°．故答案为：＜．分析：用计算器分别计算，然后比较大小即可3.用科学计算器计算：8cos31°+35=_________答案：12.77解析：解答: 8cos31°+35=8×0.857+5.916=6.856+5.916=12.772≈12.77，故答案为12.77．分析: 熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据精确度的概念用四舍五入法取近似数．4. 如果cosA=0.8888，则∠A≈_________（精确到″）答案：27°16′38″解析：解答：如果cosA=0.8888，则∠A≈27°16′38″．故答案为：27°16′38″分析: 首先按2ndF键，再按cos键，再输入0.8888，再按DMS即可得出答案5. 已知tanβ=22.3，则β=_________（精确到1″）答案：87°25′56″解析：解答：∵tanβ=22.3，∴β=87°25′56″．故答案为：87°25′56″分析: 利用计算器首先按2ndf，再按tan22.3，即可得出β的角度．三、解答题（共5题）1.用计算器求下列各式的值：（1）sin47°；（2）sin12°30′；（3）cos25°18′；（4）tan44°59′59″；（5）sin18°+cos55°-tan59°答案：：解答: 根据题意用计算器求出：（1）sin47°=0.7314；（2）sin12°30′=0.2164；（3）cos25°18′=0.9003；（4）tan44°59′59″=1.0000；（5）sin18°+cos55°-tan59=-0.7817解析：分析: 本题要求同学们，熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．2. 已知∠A为锐角，求满足下列条件的∠A度数．（1）sinA=0.9816；（2）tanA=0.1890答案：解答：（1）∵sinA=0.9816，∴∠A≈79°；（2）∵tanA=0.1890，∴∠A≈11°解析：分析：（1）正确使用计算器计算即可．使用2nd键，然后按sin-10.9816即可求出∠A 的度数；（2）方法同（1）．3. 用计算器求下列格式的值（结果精确到0.0001）．（1）tan63°27′；（2）cos18°59′27″；（3）sin67°38′24″．答案：解答：（1）tan63°27′≈2.0013；（2）cos18°59′27″≈0.9456；（3）sin67°38′24″≈0.9248．解析：分析: 熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数4. 求满足下列条件的锐角θ的度数（精确到0.1°）：（1）sinθ=0.1426；（2）cosθ=0.7845．答案：解答：（1）∵sinθ=0.1426，∴∠θ≈8.2°；（2）∵cosθ=0.7845，∴∠θ≈38.3°．解析：分析: （1）直接利用计算器求出即可；（2）直接利用计算器求出即可5. 求满足下列条件的∠A的度数（精确到1″）：（1）cosA=0.8607；（2）tanA=56.78．答案：解答：（1）∵cosA=0.8607，∴∠A≈30.605°=30°36′18″；（2）∵tanA=56.78，∴∠A≈88.991°≈88°59′28″解析：分析: （1）熟练应用计算器，使用2nd键，然后按cos-10.8607，即可求出∠A的度数，对计算器给出的结果，用四舍五入法取近似数．（2）方法同（1）．。
1.3三角函数的诱导公式(二)知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数§1.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．知识点归纳总结：1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．一、选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－23二、填空题7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______．9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.三、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．§1.3 三角函数的诱导公式(二)答案知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α2．异名 符号作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12.] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.] 7．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 8．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713， ③ sin α－cos α＝713， ④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋sin 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。