第2章《质点运动学》习题解答

第2章《质点运动学》习题解答2.1.1质点的运动学方程为ˆˆˆˆ(1).(32)5,(2).(23)(41)r t i j r t i t j=++=-+-求质点轨迹并用图表示。

【解】①.32,5,x t y=+=轨迹方程为y=5②2341x ty t=-⎧⎨=-⎩消去时间参量t得：3450y x+-=2.1.2质点运动学方程为22ˆˆˆ2t tr e i e j k-=++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=-1至t=1质点的位移。

【解】①222ttx ey ez-⎧=⎪=⎨⎪=⎩消去t得轨迹：xy=1,z=2②221ˆˆˆ2r e i e j k--=++,221ˆˆˆ2r e i e j k-+=++,222211ˆˆ()()r r r e e i e e j--+-∆=-=-+-2.1.3质点运动学方程为2ˆˆ4(23)r t i t j=++，（1）. 求质点的轨迹；（2）.求自t=0至t=1质点的位移。

【解】①.24,23,x t y t==+消去t得轨迹方程2(3)x y=-②0110ˆˆˆˆˆ3,45,42r j r i j r r r i j==+∆=-=+2.2.1 雷达站于某瞬时测得飞机位置为114100,33.7R mθ==，0.75s后测得22124240,29.3,,R m R Rθ==均在铅直平面。

求飞机瞬时速率的近似值和飞行方向（α角）。

【解】221212122cos()R R R R Rθθ∆=+--代入数值得：22041004240-241004240cos4.4349.385()Rm∆=+⨯⨯≈349.385465.8(/)0.75Rv m st∆≈==∆利用正弦定理可解出034.89α=-2.2.2一小圆柱体沿抛物线轨道运动，抛物线轨道为2/200y x=（长度mm）。

第一次观察到圆柱体在x=249mm处，经过时间2ms后圆柱体移到x=234mm处。

求圆柱体瞬时速度的近似值。

【解】2222()()1536.22519.6/r x yvtmm ms∆∆+∆+≈==∆=112.5α≈-2.2.3 一人在音乐厅听音乐，离演奏者17m 。

另一人在听同一演奏的转播，离2320km ，收听者离收音机2m ，问谁先听到声音？声速为340m/s,电磁波传播的速度为83.010/m s ⨯。

【解】132821170.05()34023201020.0136()3.010340t s t s t t ∆==⨯∆=+=⨯∆<∆ 在的人先听到声音。

2.2.4 如果不允许你去航空公司问讯处，问你乘波音747飞机自不着陆飞行到巴黎，你能否估计大约用多少时间？如果能，试估计一下（自己找所需数据）。

【解】st v∆∆=2.2.5 火车进入弯道时减速，最初列车向正北以90km/h 速率行驶，3min 后以70km/h 速率向北偏西030方向行驶。

求列车的平均加速度。

【解】00120021220ˆˆˆ90,70cos 6070cos30,ˆˆ70cos 60(70cos3090)35913.91(/)0.071(/)913.910.0570,sin 0.7659,49.99sin 30sin v j v i j v v v i j va km h t m s θθθ==-+∆=-=-+-∆+===∆=⨯===2.2.6 （1）ˆˆˆcos sin 2,r R tiR tj tk =++R 为正常数。

求t=0,π/2时的速度和加速度。

（2）23ˆˆˆ3 4.56,r ti t j t k=-+求t=0,1时的速度和加速度（写出正交分解式）。

【解】 （1）ˆˆˆcos sin 2,ˆˆˆsin cos 2,ˆˆcos sin r R ti R tj tk dr v R ti R tj k dt dv a R ti R tj dt=++==-++==-- 当t=0时，ˆˆˆ2, , 0,,2,,0x y z x y z v Rjk a Ri v v R v a R a a =+=-====-==当t=π/2时，ˆˆˆ-2, -, -,0,2,0,-,0x y z x y z v Rik a Rj v R v v a a R a =+=======（2）232ˆˆˆ3-4.56,ˆˆˆ3-918,ˆ-9r ti t j t k dr v i tj t k dt dv a jdt=+==+== 当t=0时，ˆˆ3, -9, v ia j == 当t=1时，ˆˆˆˆˆ3-918, -936, v ij k a j k =+=+2.3.1 图中a 、b 和c 表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t 图，试说明三种运动的特点（即速度，计时起点时质点的坐标，位于坐标原点的时刻）。

【解】a 直线的斜率为速度0120 1.732(/)ax dxv tg m s dt===- 00,20t x m ==000200,60,|20/311.547()|x x x tg t s t ====== b 直线的斜率为速度00000300.577(/)0,10()1030,|10/0.57717.331()|bx x x v tg m s t x m tg t s t ========-=--c 直线的斜率为速度000451(/)0,25()|25()cx x v tg m s t x m t s =====-=2.3.2 质点直线运动的运动学方程为x=acost, a 为正常数。

求质点速度和加速度并讨论运动特点（有无周期性，运动围，速度变化情况等）。

【解】sin cos(),2cos cos()x x v a t a t a a t a t ππ=-=+=-=+质点受力cos F ma ma t mx ==-=-，是线性恢复力，质点做简谐振动，振幅为a ，运动围在a x a -≤≤，速度具有周期性。

2.3.3 跳伞运动员的速度为1,1qtqte v eβ---=+v铅直向下，β、q为正常量。

求其加速度。

讨论当时间足够长时（即t→∞），速度和加速度的变化趋势。

【解】22(1)(1)(1)2(1)qt qt qt qtqtqtqtdv qe e qe eadt eqeeββ-------++-==+=+,,0t v aβ→∞→→2.3.4直线运动的高速列车在电子计算机控制下减速进站。

列车原行驶速度为180/v km h=，其速度变化规律如图所示。

求列车行驶至x=1.5km时加速度的大小。

【解】2000cos,52sin cos sin555105dv dv dx dvv v x a vdt dx dt dxv x v x v xππππππ====⋅=-⋅=-当x=1.5km时，2223180sin9675.67(/)1050.747(/)a km hm sππ=-=-=-2.3.5在水平桌面上放置A、B两物体，用一不可伸长的绳索按图示的装置把它们连接起来。

C点与桌面固定。

已知物体A的加速度0.5Aa g=，求物体B的加速度。

【解】以C为坐标原点，建立一维坐标系o-x。

设绳的总长度为，B的坐标为Bx，A的坐标为A x ，则得34A B x x l -=两端对t 求导2222340, 340,3330.5448A BA B B A d x d x a a dt dt a a g g-=-===⨯=2.3.6 质点沿直线的运动学方程为2103x t t =+。

（1）将坐标原点沿ox 轴正方向移动2m ，运动学方程如何？初速度有无变化？ （2）将计时起点前移1s ，运动学方程如何？初始坐标和初始速度都发生怎样的变化？加速度变不变？【解】 （1）2103x t t =+2,2x x x x ''=-=+，代入上式得：222103, 3102,x t t x t t ''+=+=+-106, x xdx dx t v v dt dt''==+= 初速度不变。

（2）2103x t t =+1,1t t t t ''=+=-代入上式得：2210(1)3(1)347x t t t t ''=-+-''=+-初坐标0,7()t x m '==-由0变为-7m.64x v t '=+,初速度由10m/s 变为4m/s.加速度不变，都是26/m s .以下四题用积分2.4.1 质点由坐标原点出发时开始计时，沿x 轴运动，其加速度22[/]x a t cm s =，求在下列两种情况下质点的运动学方程、出发后6s 时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：（1）初速度v=；（2）初速度v的大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。

【解】（1）0tx x xv v a dt=+⎰，22,txv tdt t==⎰00txx x v dt=+⎰，231,3tx t dt t==⎰当t=6s时，672()x cm=,72072()x cm∆=-=,质点运动的路程：72()s cm∆=(2) 2929txv tdt t=-+=-⎰,231(-9)-93tx t dt t t==⎰,当t=6s时，618()x cm=,18018()x cm∆=-=,29,0,3,x xv t v t=-==质点运动的路程如图，3193x t t=-，363,18,6,18t x t x==-==，质点运动的路程：1821854()s cm∆=⨯+=2.4.2质点直线运动瞬时速度的变化规律为3sin.xv t=-求13t=至25t=时间的位移。

【解】21213sin tt x x x tdt ∆=-=-⎰，5521333sin 3cos |3(cos5cos3) 3.82()x x x tdt t m ∆=-=-==-≈⎰2.4.3 一质点作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为2cos .x a A t ωω=-在t=0时，0,,x v x A ==其中A ω、均为正常数，求此质点的运动学方程。

【解】00tx x x v v a dt =+⎰，20cos cos ()sin tx tv A t dtA t d t A tωωωωωωω=-⋅=-⋅=-⎰⎰00tx x x v dt =+⎰，sin cos |cos ttx A A t dtA A t A tωωωω=+-⋅=+=⎰2.4.4 飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动。

刚着陆时，t=0时速度为0v 且坐标为x=0.假设其加速度为2x x a bv =-，b=常量，求此质点的运动学方程。

【解】02220,,x v t x x xx v x xdv dv dv bv bdt b dt dt v v =-=-=-⎰⎰，0,(1)x v v bv t =+ 00t x x x v dt =+⎰， 000000000(1)1(1)(1)11ln(1)|ln(1)tt t v d bv t x dt bv t b bv t bv t bv t b b+==++=+=+⎰⎰ 解以下四题中匀变速直线运动时应明确写出所选的坐标系、计时起点和初始条件。