基本不等式练习题及答案

双基自测
1．(人教A版教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为( )．
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个
数是
( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．
B．1 C．2 D．4

4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝
( )．
A．1＋2 B．1＋3 C．3 D．4

5．已知t＞0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．

考向一 利用基本不等式求最值
【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则1x＋1y的最小值为________；

(2)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．
【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋1x－1的最小值为________．
(2)已知0＜x＜25，则y＝2x－5x2的最大值为________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．

考向二 利用基本不等式证明不等式
【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.
．
【训练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.

求证：1a＋1b＋1c≥9.
考向三 利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值
范围是________．
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2
恒成立，则实数m的最大值是________．
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地
理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，
房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙
高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低
【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为
10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工
厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预
计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数
n

的关系是g(n)＝80n＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n次投入后的年利润为
f(n
)万元．

(1)求出f(n)的表达式；
(2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元

【试一试】 (2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是
( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
双基自测
D．(2，＋∞)
答案 C

2．解析 ①②不正确，③正确，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2－1＝1.
答案 B
3．解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.答案
A
4．解析 当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋1x－2＋2≥2

x－2×1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2(x＞2)，即x
＝3时取等号，

即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3.答案 C
5．解析 ∵t＞0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1
时取等号．答案 －2
【例1】解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，

∴1x＋1y＝2x＋yx＋2x＋yy＝3＋yx＋2xy≥3＋22.当且仅当yx＝2xy时，取等号．

(2)∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等

号．答案 (1)3＋22 (2)1
【训练1】．解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋1x－1＋1≥2＋1＝3 当且

仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝15·5x·(2－5x)，∵0＜x＜25，
∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤5x＋2－5x22＝1，∴y≤15，当且仅当5x＝2
－5x，
即x＝15时，ymax＝15.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴2y＋8x＝1，
∴x＋y＝(x＋y)8x＋2y＝10＋8yx＋2xy＝10＋24yx＋xy≥10＋2×2×
4
yx·x
y
＝18，

当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.
答案 (1)3 (2)15 (3)18

【例2】证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋cab≥2 bca·cab＝2c；bca＋
ab
c

≥2 bca·abc＝2b；cab＋abc≥2 cab·abc＝2a.以上三式相加得：
2bca＋cab＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋cab＋abc≥a＋b＋c.
【训练2】
证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋
a＋b＋c
b

＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc
≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．
解析 若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，只需求得y＝xx2＋3x＋1的最
大值即可，因为x＞0，所以y＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12 x·1x＝15，当且仅当

x＝1时取等号，所以a
的取值范围是15，＋∞答案 15，＋∞

【训练3】解析 由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 2xy，得xy≥8，于是由
m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m
的最大值为10.答案 10

【例3．解 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋12x×400)＋5 800＝
900x＋16x＋5 800(0＜x≤5)，则y＝900x＋16x＋5 800≥900×2x×16x＋5
800＝13 000(元)，
当且仅当x＝16x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最
低．
【训练3】 解 (1)第n次投入后，产量为(10＋n)万件，销售价格为100

元，固定成本为80n＋1元，科技成本投入为100n万元．所以，年利润为f(n)＝

(10＋n)100－80n＋1－100n(n∈N*)．(2)由(1)知f(n)＝(10＋n)




100－
80

n
＋1

－100n

＝1 000－80n＋1＋9n＋1≤520(万元)．当且仅当n＋1＝9n＋1，
即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．所以，从今年算起第8年利
润最高，最高利润为520万元．
【示例】．正解 ∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，

∴1a＋2b＝1a＋2b(a＋b)＝1＋2＋ba＋2ab≥3＋2 ba·2ab＝3＋22.

当且仅当 a＋b＝1，ba＝2ab，即 a＝2－1，b＝2－2时，1a＋2b的最小值为3＋22.
【试一试】尝试解答] a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝
a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2 aa－b·1aa－b＋2 ab
·1ab＝2

＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1aa－b且ab＝1ab，即a＝2b时，等号成立．答案
D
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