第8章动态规划

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OR8

部位
解：把对每一个部位派出巡逻队数量的决策，看成是一个阶段，可归结成4 个阶段的决策问题。
2 3 4
A 18 14 10
B 38 35Biblioteka 31C 24 22 21D 34 31 25
2007/08
--20--
--第8章动态规划--
一、建立模型
（1）阶段变量：k=1, 2, 3, 4 （2）状态变量：xk——第k阶段可用于分配的巡逻队数量；（3）决策变量：uk——第k阶段派出的巡逻队数量；允许决策集合D(xk)={2, 3, 4} （4）状态转移律：xk+1=xk－uk ；（5）阶段指标函数：vk(uk)——预期损失函数，如表示；（6）基本方程：fk ( xk )= min{vk(uk)+ fk+1(xk+1)} （7）边界条件：f5 ( x5 )=0
3+ 3 3+ 4
=6，u3 * (C3) = C3D1
3）k=2， f2(x2)=min{v2(x2，u2) + f3(x3)}， B1C1+ f3(C1) f2(x2=B1)= min B1C2+ f3(C2) B1C3+ f3(C3) B2C1+ f3(C1) f2(x2=B2)= min B2C2+ f3(C2) B2C3+ f3(C3) = min = min 7+4 5+7 6+6 3+4 2+7 4+6 =7， u2 * (B2) = B2C1 =11，u2 * (B1) = B1C1
2007/08 --8--
--第8章动态规划--
（3）决策（decision）：指在某阶段从给定的状态出发，决策者从面临的若干种不同的方案中所做出的选择。决策变量uk(xk) ∈Dk(xk)——允许决策集合， uk(xk)取值范围。要点： ① 决策变量是对活动过程控制的手段； ② 决策变量取值可以是连续型的，也可以是离散型的； ③ 允许决策集合相当于可行域。（4）策略（policy）与子策略（subpolicy）：各阶段决策组成的序列总体称为策略；从某一阶段开始到过程最终的决策序列称为子策略。 n 阶段策略可记为 {u1(x1), u2(x2) , … , un(xn)}，子策略可记为 {uk(xk), uk+1(xk+1) , … , un(xn)}。（5）状态转移律：状态参数变化的规律。从第k阶段的某一状态值xk 出发，当决策变量uk的取值确定之后，下一阶段的状态值xk+1按某种规律T(xk , uk)确定。第k+1阶段状态是第k阶段状态xk和变量uk的函数 xk+1 = T(xk , uk)，又称状态转移方程。

算法分析第8章

绐定一个加权连通图（无向的或有向的），完全最短路径问题要求找到从每个顶点到其他所有顶点之间的距离(最短路径的长度)
ห้องสมุดไป่ตู้
Floyd算法通过一系列n阶矩阵来计算一个n 顶点加权图的距离矩阵：
每一个这种矩阵都包含了所讨论的矩阵在特定路径约束下的最短路径的长度
每条这种路径都由两条路径构成：一条从vi 到vk的路径，路径中每个中间顶点的编号都大于K一1；一条从vi到vj的路径，路径中每个中间顶点的编号也都不大于k-1.
8.1 计算二项式系数
计算二项式系数是把动态规划应用于非最优化问题的一个标准例子
在二项式系数的多种特性之中，只关心两种：当n>k>0时，C(n,k)＝C(n-1,k-1)+C(n-1,k) 以及 C(n,0)=C(n,n)=1
为了计算c(n,k)，一行接一行地填充下表，从行0开始，到行n结束
我们可以在深度优先查找和广度优先查找的帮助下生成有向图的传递闭包。从第i个顶点开始，无论采用哪种遍历方法，都能够得到通过第i个顶点访问到的所有顶点的信息，因此，传递闭包的第i 行的相应列置为了1。以每个顶点为起始点做一次这样的遍历就生成了整个图的传递闭包。 Warshall算法通过一系列n阶布尔矩阵来构造一个给定的n个顶点有向图的传递闭包，算法的中心思想是，任何中的所有元素都可以通过它在序列（8.5）中的直接前趋计算得到。：
式(8．7)是Warshall算法的核心
算法 Warshall（A[1..n,1..n]） //实现计算传递闭包的Warshall算法
//输入：包括n个顶点有向图的邻接矩阵A //输出：该有向图的传递闭包
8.2.2计算完全最短路径的计算完全最短路径的Floyd算法计算完全最短路径的算法

动态规划

(3)决策（Decision）
(4)策略（Policy）各阶段的决策组成的一个决策序列称为
一个策略，记为： p x1, x2 ,, xn
从阶段i开始的过程，称为i子过程，它包含阶段i，阶段i+1，…，阶段n。i子过程的决策序列称为i子策略，记
为 pi xi , xi1,, xn i 1, 2 ,, n 1
,
3 资源分配问题
设有数量为a的资源，计划分配给n 个项目。设xi (i=1, 2, …, n)为分配给第i 个项目的资源量，gi(xi)为第i个项目得到数量为xi的资源后可提供的收益，问如何分配资源a，可使总收益为最高？
►静态规划模型
n
max f gi (xi )
i 1
n xi a
1.3 动态规划的基本方程
(1) 动态规划的基本方程(逆序递推公式)
si1
g(si , xi )
，f
* n 1
(
x
n 1
)
0
fi* (si )
opt
v(si , xi )
f
i
* 1
(si
1
)
xi
i n, n 1,,1
(2) 动态规划的基本方程(正序递推公式)
si1 g(si , xi ) ，f1*(s1) opt{v(s1, x1)}
1
6
7
X
2
(
B2
,
C3
)
f
3
(C3
)
1 6
最短路线B2C3D。
C1
5
5
4
B1 5
3
A
C2
3
D
4
6

运筹学第八章图论 - 全

(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c) 时即可看出。
2017/7/13 11
图与网络的基本知识
次，奇点，偶点，孤立点与某一个点vi相关联的边的数目称为点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次为奇数的点称作奇点，次为偶数的
2017/7/13
18
图与网络的基本知识
有向图无向图
道路
回路
链
圈
道路(边的方向一致)
2017/7/13 19
图与网络的基本知识
连通图
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相连，则称此图为连通图。任何一个不连通图总可以分为若干个连通子图，每一个称为原图的一个分图（连通分支）。
连通图
2017/7/13
边，对余下的图重复这个步骤，直至无圈为止。
２、避圈法：每次增加一条边，且与已有边不构成圈，直至恰有n-1条边为止。
2017/7/13
24
树
例１、下图是某建筑物的平面图，要求在其内部从每一房间都能走到别的所有的房间，问至少要在墙上开多少门？试给出一个开门的方案。
三
七
Байду номын сангаас
三八一四二五
七八九六
无向图
2017/7/13
有向图
8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图如果边e的两个端点相重，称该边为环。如右图中边e1为环。如果两个点之间边多于一条，称为多重边，如右
v2 e5
多重边
e2
e1 v1
环
e3 v3
e4
图中的e4和e5，对无环、无多重边的

运筹学胡运权第六版答案

运筹学胡运权第六版答案第一章简介1.1 运筹学的定义运筹学是一门利用数学、统计学和计算机科学等方法来解决优化问题的学科。

优化问题是指在满足一定约束条件下，寻求使得目标函数达到最优值的过程。

1.2 运筹学的应用领域运筹学在各个领域都有广泛的应用，包括但不限于以下方面： - 生产和物流管理 - 交通运输和配送问题 - 金融和投资决策 - 供应链管理 - 人力资源管理 - 客户关系管理等1.3 运筹学的重要工具和方法运筹学的研究方法包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等。

其中，线性规划是运筹学的核心方法之一，其主要应用于优化问题求解。

1.4 运筹学的发展历程运筹学的发展可以追溯到二战期间的军事应用。

随着数学和计算机科学的快速发展，运筹学在各个领域得到了广泛应用，并形成了独立的学科体系。

第二章线性规划2.1 线性规划问题的基本要素线性规划问题包括目标函数、约束条件、决策变量等基本要素。

目标函数和约束条件都是线性的，决策变量是需要优化的变量。

2.2 线性规划问题的标准形式线性规划问题的标准形式可以表示为：max cxAx <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数矩阵，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量向量。

2.3 线性规划的图像解释线性规划问题可以通过图像的方式进行解释和求解。

通过绘制目标函数和约束条件的图形，可以找到目标函数的最优解。

2.4 线性规划的求解方法线性规划可以通过单纯形法、对偶单纯形法、内点法等方法求解。

这些方法基于数学和计算机算法，能够高效地找到线性规划问题的最优解。

第三章整数规划3.1 整数规划问题的特点整数规划是指线性规划问题中决策变量为整数的情况。

与线性规划相比，整数规划问题更复杂，求解难度更大。

3.2 整数规划的应用领域整数规划在很多实际问题中都有广泛的应用，例如生产调度、物流配送、旅行商问题等。

3.3 整数规划的求解方法整数规划问题可以通过分支定界法、割平面法、遗传算法等方法进行求解。

运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)

由此，可得出三条最优的运输路线：
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ；（3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10

运筹学课程章节

运筹学课程重点内容总结
对照教学大纲
第1章线性规划章
• 线性规划基本理论：模型形式，解的概念，线性规划基本理论：模型形式，解的概念，解的性质等 • 线性规划应用：6类问题建模线性规划应用：类问题建模类问题建模* • 图解法图解法* • 单纯形法：基本单纯形法，大M法，两阶单纯形法：基本单纯形法*，法段法，段法，前者重要
第2章线性规划的对偶理论
• • • • • 对偶问题的构建：对偶规划对偶问题的构建：对偶规划* 对偶问题的性质运用对偶性质进行线性规划求解* 运用对偶性质进行线性规划求解* 影子价格理解* 影子价格理解灵敏度分析*和参数分析灵敏度分析和参数分析
第4章目标规划
• 目标规划建模* 目标规划建模 • 图解法
第5章运输问题和指派问题
• 运输问题表示：语言描述，表格表示，数运输问题表示：语言描述，表格表示，学模型表示，学模型表示，几何图形表示 • 标准运输问题的表上作业法标准运输问题的表上作业法* • 表格建模：应用，建立运输问题的供需平表格建模*：应用，衡与单位运价表，衡与单位各位同学的选择 • 祝各位同学考试顺利通过并取得好成绩
• 指派问题表示：语言描述，表格表示，数指派问题表示：语言描述，表格表示，学模型表示，学模型表示，几何图形表示 • 表格建模：应用，指派问题的指派平衡与表格建模：应用，单位效率表 • 指派问题的匈牙利算法
第6章网络模型
• 最优生成树问题：最小树，最大树最优生成树问题*：最小树， • 最短路问题*：三种算法，有向图法，无向最短路问题*：三种算法，有向图法，图法，图法，表格法 • 最大流问题：可行流法，增广链法最大流问题*：可行流法，

《算法设计与分析》(全)

巢湖学院计算机科学与技术系
1.1、算法与程序
程序：是算法用某种程序设计语言的具体实现。程序可以不满足算法的性质(4)。例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
（1）传递性： ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= O(g(n))， g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))； ➢ f(n)= o(g(n))， g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n))； ➢ f(n)= (g(n))， g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n))；（2）反身性： ➢ f(n)= (f(n))；f(n)= O(f(n))；f(n)= (f(n)). （3）对称性： ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . （4）互对称性： ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ； ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ；
巢湖学院计算机科学与技术系
渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明： ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对
所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地，对于任意g1(n) O(g(n)) ，存在正常数c2和自然数
巢湖学院计算机科学与技术系
第1章算法引论

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f(B1)=11 f(C1)=4
7 6 5 3 2 4 3 5
B1
2
C1
f(C2)=7
4
1
f(D1)=3
f(B2)=7
6
D1
3
f(E)=0
A
5
B2
C2
3 3
E D2
3
4
B3
f(B3)=8
1
5
C3
f(C3)=6
f(D2)=4
19
四个阶段联合考虑从A点到E点的最优选择
f(B1)=11 f(C1)=4
7 5 6 3 2 4 3 5
决策变量：表示决策的变量，称为决策变量，常用 xk(sk)表示第k阶段当状态为sk时的决策变量。
允许决策集合：决策变量的取值往往限制在一定范围内，我们称此范围为允许决策集合，用Dk(sk)表示第k阶段从状态sk出发的允许决策集合。 D2( B1)={C1,C2} D2( B2)={C1,C2,C3} D2( 如状态为 B1)={C1,C2} D2( B2)={C1,C2,C3} B1时选择 C2，可表示为：u (B1)=C2
2
第一节多阶段的决策问题
3
动态规划（Dynamic Programming）
R. Bellman50年代执教于普林斯顿和斯坦福大学，后进入兰德（Rand）研究所。1957年发表“Dynamic Programming”一书，标识动态规划的正式诞生。动态规划是解决复杂系统优化问题的一种方法。是解决动态系统多阶段决策过程的基本方法之一。
3 4
3
B3
C3
12
考虑一个阶段的最优选择
B1
2 6 3
7
5
C1
4 6
1
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
A
3
5
B2
4
2
C2
3 3 1 5
E
5
D2
3
4
B3
C3
f(D2)=4
13
考虑二个阶段的最优选择
f(C1)=4
B1
2 6
7
5 3
C1
4 6
1
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
A
5
B2
4
2
C2
3 3 1 5
f(B2)=7
5
D1
3
f(E)=0
A
3
B2
5
C2
3
3
E
D2
3 4
B3
f(B3)=8
1 5
C3
f(C3)=6
f(D2)=4
状态最优决策状态最优决策状态最优决策状态最优决策状态
A （ A，B3） B3
21
f(B1)=11
f(C1)=4
7 6 3 2 4 5
B1
f(A)=11
2
C1
f(C2)=7
6

引例1 最短路线问题
B1
2 6 3
7 5
C1
4 6
1
D1
3
A
5
B2
4 5
2
C2
3
3 1 5
E
3
D2
3
4
B3
1 2
C3 3
4
7
5
引例2
生产与存贮问题
要求确定一个逐月的生产计划，在满足需求条件下，使一年的生产与存贮费用之和最小？
引例3 投资决策问题
某公司现有资金Q万元，在今后5年内考虑给A，B， C，D 4个项目投资？引例4 设备更新问题
9
动态规划方法的特点
缺点： 1）没有统一的处理方法，求解时要根据问题的性质，结合多种数学技巧。因此，实践经验及创造性思维将起重要作用。

2）“维数障碍”：当变量个数太多时，由于计算机内存和速度的限制导致问题无法解决。有些问题由于涉及的函数没有理想的性质使问题只能用动态规划描述，而不能用动态规划方法求解。
A （ A，B3） B3 （ B3， C2 ） C2 （ C2， D2 ） D2 （ D2， E） E
从A到E的最短路径为11，路线为A→B3→C2 →D2 →E
24
通过上例的讨论，可以看到多级决策过程具有以下特点：
（1）把整个过程看成（或认为地分成）n个具有递推关系的单级过程。
（2）采取逐级分析的方法，一般由最后一级开始倒向进行。（3）在每一级决策时，不只考虑本级的性能指标的最优，而且同时考虑本级及以后的总性能指标最优，因此它是根据“全局”最优作出本级决策的。
M B
A
若M是从A到B的最优路线上的一点，则从M到B的路线也是最优的。
35
动态规划的基本方程（最优化原理的应用）

根据最优化原理得到的计算动态规划问题的递（逆）推关系式：边界条件：
n
当 Vk ,n vi (si , xi ) 时，
iK
k=n时，fn+1(sn+1)=0
f k (sk ) opt {vk ( sk , xk ) f k 1 ( sk 1 )}
25
动态规划法较之穷举法的优点:
(1) 容易计算出结果；
(2) 动态规划的计算结果不仅得到了从起始点
到最终点的最短路线，而且得到了中间段任一
点到最终点的最短路线。
26
动态规划方法的基本思想：
(1)将多阶段决策过程划分阶段，恰当地选取状态变量、决策变量及定义最优指标函数．从而把问题化成一族同类型的子问题，然后逐个求解。 (2)求解时从边界条件开始，逆(或顺)过程行进方向，逐段递推寻优。在每一个子问题求解时，都要使用它前面已求出的子问题的最优结果，最后一个子问题的最优解，就是整个问题的最优解。 (3)动态规划方法是既把当前一段与未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法，因此每段的最优决策选取是从全局考虑的，与该段的最优选择一般是不同的。
第八章动态规划
8.1 多阶段决策问题 8.2 最优化原理与动态规划的数学模型 8.3 离散确定性动态规划模型的求解 8.4 离散随机性动态规划模型的求解 8.5 一般数学规划模型的动态规划解法
1
学习要点：理解动态规划基本概念、最优化原理和基本方程，逆序法和顺序解法，学习应用动态规划解决多阶段决策问题。重点 :掌握动态规划模型结构、逆序法算法原理、资源分配、设备更新、生产与存贮等问题。
4 6
1
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
A
5
B2
4
2
C2
3 3 1 5
E
3
5
D2
3
4
B3
C3
f(C3)=6
f(D2)=4
16
考虑三个阶段的最优选择
f(B1)=11 f(C1)=4
7
B1
2 6 3
5
C1
f(C2)=7
4 6
1
f(D1)=3
D1
3
f(E)=0
A
5
B2
4
2
C2
3 3 1 5
E
3
5
D2
3
4
E
3
5
D2
3
4
B3
C3
f(D2)=4
14
考虑二个阶段的最优选择
f(C1)=4
B1
2 6
7 5
C1
f(C2)=7
4 6
1
f(D1)=3
3
D1
3
f(E)=0
A
3
5
B2
4 5
2
C2
3 3 1 5
E
D2
3
4
B3
C3
f(D2)=4
15
考虑二个阶段的最优选择
f(C1)=4
B1
2 6 3
7
5
C1
f(C2)=7
23
f(B1)=11
f(C1)=4
7 6 3 2 4 5
B1
f(A)=11
2
C1
f(C2)=7
4
6
1
f(D1)=3
f(B2)=7
5
D1
3
f(E)=0
A
3
B2
5
C2
3
3
E
D2
3 4
B3
f(B3)=8
1 5
C3
f(C3)=6
f(D2)=4
状态最优决策状态最优决策状态最优决策状态最优决策状态
10
第二节最优化原理与动态规划的数学模型
一最短路线问题求解
B1
2 6 3 6 2 4 3 5 7 5
C1
4
1
D1
3
f(E)=0A5源自B2C23
3 1 5
E
D2
3
4
B3
C3
11
考虑一个阶段的最优选择
B1
2 6
7 5
C1
4 6
1
f(D1)=3
3
D1
3
f(E)=0
A
5
B2
4 5
2
C2
3 3 1 5
E D2
4
6
1
f(D1)=3
f(B2)=7
5
D1
3
f(E)=0
A
3
B2
5
C2
3
3
E
D2
3 4
B3
f(B3)=8