浙教版八年级数学上册.7勾股定理同步练习
浙教版初中数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》同步练习卷
浙教新版八年级上学期《2.7 探索勾股定理》同步练习卷一．选择题（共14小题）1．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．64D．162．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若AC＝6，BC＝8，则BD的长是（）A．4B．5C．6D．73．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6B．9C．18D．364．如图，在面积为6的Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，BC边上有一动点P，当点P到AB边的距离等于PC的长时，那么点P到端点B的距离等于（）A．B．C．D．5．如图，正方形的面积是（）A．5B．7C．25D．106．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（）A．1.6B．1.4C．1.5D．27．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（）A．B．C．D．﹣18．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④9．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（）A．6B．C．+2D．+2 11．如图所示，在Rt△ABC中，斜边OB在x轴的正半轴上，直角顶点A在第四象限内，S＝20，OA：AB＝1：2，则点B的坐标为（）△OABA．（2，0）B．（12，0）C．（10，0）D．（5）12．如图，由边长为1的正方形组成的6×5网格中，一块含45°的三角板ABC 的斜边AB始终经过格点N，AC始终经过格点M，点A在MN下方运动，格点P到A的距离最小值为（）A．1B．C．﹣1D．2﹣2 13．在平面直角坐标系中，已知定点A（﹣，3）和动点P（a，a），则P A 的最小值为（）A．2B．4C．2D．414．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．B．1C．D．二．填空题（共10小题）15．若点A（3，m）在直角坐标系的x轴上，则点B（m﹣1，m+2）到原点O 的距离为．16．如图，Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．则这两个正方形的面积之和为cm217．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为．18．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝5，BC＝12时，计算阴影部分的面积为19．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°，CD＝，BC＝，连接AC、BD，若AC⊥AB，则BD的长度为．20．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B 两点间的距离等于．21．把两块同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB＝3，则CD＝．22．直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若c﹣b＝2，a＝14，则b＝．23．如图，四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积是24．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x+y＝．三．解答题（共12小题）25．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于多少？26．在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．27．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（本题可根据需要，自己画图并解答）28．如图，等腰△ABC的底边BC＝16cm，腰AC＝10cm，AD是底边BC上的高，一动点P从点B出发，沿BC方向以2cms的速度向终点C运动，设运动时间为ts（t＞0）（1）求AD的长；（2）当△P AC是等腰三角形时，求t的值．29．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．30．先阅读下列一段文字再解答问题．已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知点A（3，3），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点间的距离；（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为7，点B的纵坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离；（3）已知个三角形各顶点坐标为A（0，5），B（﹣3，2），C（3，2），你能判断此三角形的形状吗？说明理由．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4．（1）若BC＝2，求AB的长；（2）若BC＝a，AB＝c，求代数式（c﹣2）2﹣（a+4）2+4（c+2a+3）的值．32．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．33．如图，平面直角坐标系中的每个小正方形边长为1，△ABC的顶点在网格的格点上．（1）画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连接BD；此时D点的坐标是．（2）直接写出线段AC的长为，AD的长为，BD的长为．（3）直接写出△ABD为三角形，四边形ADBC面积是．34．如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求线段AB的长；（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．35．问题背景：已知a＞0，b＞0，c＞0，△ABC的三条边长分别为，，，求此三角形面积．我们通过观察发现：a2+c2+d2+2cd＝a2+（c+d）2，a2+b2+d2+2ab＝（a+b）2+d2，故可构造出一个矩形．如图，在矩形CDEF中，CD＝EF＝a+b，DE＝CF＝c+d．在DE上取点A，使DA＝d，AE＝c，在EF上取点B，使EB＝b，BF＝a．这样不需要求高，就可借助图形计算三角形面积．这种通过构造几何图形解决问题的方法称为“构造法”，并可以结合学过的勾股定理解决类似问题．问题解决：＝（用含a，b，c，d的代数式表示）（1）根据上图，则S△ABC（2）若另一△ABC的三边长分别为，，2（m＞0，n＞0，且mn＝2），试运用构造法求出此三角形的面积．36．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD＝2．求△ABC的周长和面积．浙教新版八年级上学期《2.7 探索勾股定理》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．64D．16【分析】此图是一个勾股图，可得225+A＝289，从而易求A．【解答】解：如右图所示，根据勾股定理，可得225+A＝289，∴A＝64．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆弧交边AB于点D．若AC＝6，BC＝8，则BD的长是（）A．4B．5C．6D．7【分析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD＝AC，根据BD＝AB﹣AD即可算出答案．【解答】解：∵AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，∴AD＝AC，∴AD＝6，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．故选：A．【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．3．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6B．9C．18D．36【分析】根据角平分线的定义、外角定理推知∠ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝3，EF＝6，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质及平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出△ECF是直角三角形是解决本题的关键．4．如图，在面积为6的Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，BC边上有一动点P，当点P到AB边的距离等于PC的长时，那么点P到端点B的距离等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用全等三角形的判定和性质以及结合勾股定理得出PB的长．【解答】解：∵点P到AB边的距离等于PC的长，∴AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP＝∠DAP，在△CAP和△DAP中，，∴△CAP≌△DAP（AAS），∴AC＝AD＝4，∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，BD＝1，设PB＝x，则PC＝PD＝3﹣x，在Rt△PDB中，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即点P到端点B的距离等于．故选：B．【点评】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质，正确应用勾股定理是解题关键．5．如图，正方形的面积是（）A．5B．7C．25D．10【分析】根据勾股定理得出正方形的边长，进而得出正方形的面积．【解答】解：由勾股定理可得：正方形的边长＝，所以正方形的面积＝25，故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．6．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（）A．1.6B．1.4C．1.5D．2【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵BC＝＝5，＝4×4﹣×1×1﹣×3×4﹣×3×4＝，∵S△ABC∴△ABC中BC边上的高＝＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（）A．B．C．D．﹣1【分析】直接利用勾股定理得出PC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：PC＝2，BC＝1，则在Rt△PCB中，PC2+BC2＝PB2，故PB＝，则PD＝，故点D表示的数为：﹣1．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确得出PC的长是解题关键．8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，故本选项正确；②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，故本选项正确；③由2xy+4＝49可得2xy＝45①，又∵x2+y2＝49②，∴①+②得，x2+2xy+y2＝49+45，整理得，（x+y）2＝94，x+y＝≠9，故本选项错误；④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，列出等式为4××xy+4＝49，即2xy+4＝49；故本选项正确．∴正确结论有①②④．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．9．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；D、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．10．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（）A．6B．C．+2D．+2【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．【解答】解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝2，则AD＝CD＝2，在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝2，则BD＝2，故AB＝AD+BD＝2+2．故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形及含30°角的直角三角形的性质，要求我们熟练掌握这两种特殊直角三角形的性质．11．如图所示，在Rt△ABC中，斜边OB在x轴的正半轴上，直角顶点A在第四象限内，S＝20，OA：AB＝1：2，则点B的坐标为（）△OABA．（2，0）B．（12，0）C．（10，0）D．（5）【分析】设OA为x，则AB为2x，利用三角形的面积公式列出方程求出x，根据勾股定理可得OB为x，进一步确定B点的坐标．【解答】解：OA为x，则AB为2x，∵S＝20，△OAB∴×x×2x＝20，解得x＝±2（负值舍去），由勾股定理得OB为x，x＝×2＝10，则点B的坐标为（10，0）．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理和坐标与图形的性质，运用勾股定理求出有关的边的长度是解题的关键．12．如图，由边长为1的正方形组成的6×5网格中，一块含45°的三角板ABC 的斜边AB始终经过格点N，AC始终经过格点M，点A在MN下方运动，格点P到A的距离最小值为（）A．1B．C．﹣1D．2﹣2【分析】根据勾股定理解答即可．【解答】解：当AC与CM重合，AB与BN重合时，格点P到A的距离最小，由运动可得：点A的轨迹为圆弧，此时P A＝，故选：B．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出P A的值．13．在平面直角坐标系中，已知定点A（﹣，3）和动点P（a，a），则P A 的最小值为（）A．2B．4C．2D．4【分析】根据勾股定理、两点间的距离公式得到关于a的代数式，根据配方法、偶次方的非负性解答．【解答】解：P A＝＝＝，∴P A的最小值为＝4，故选：B．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．B．1C．D．【分析】由勾股定理可得BC＝＝4，依据A'B+A'C≥BC，可得A'B≥BC ﹣A'C＝4﹣3＝1，即可得到A'B的最小值为1．【解答】解：由折叠可得，A'C＝AC＝3，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，∵A'B+A'C≥BC，∴A'B≥BC﹣A'C＝4﹣3＝1，∴A'B的最小值为1，故选：B．【点评】本题主要考查了勾股定理以及轴对称变换的运用，解决问题的关键是依据A'B+A'C≥BC，得到A'B≥BC﹣A'C．二．填空题（共10小题）15．若点A（3，m）在直角坐标系的x轴上，则点B（m﹣1，m+2）到原点O 的距离为．【分析】首先根据x轴上的点纵坐标为0得出m的值，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：∵点A（3，m）在直角坐标系的x轴上，∴m＝0，∴点B（﹣1，2）到原点O的距离为：＝．故答案为．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．求出m的值是解题的关键．16．如图，Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN．则这两个正方形的面积之和为169cm2【分析】根据Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，得出三角形的边长，进而解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC的周长为30cm，面积为30cm2，∴b+c＝30﹣a，bc＝60，∴（b+c）2＝b2+c2+2bc＝a2+120＝（30﹣a）2，解得：a＝13，∴两个正方形的面积之和为b2+c2＝a2＝169cm2，故答案为：169．【点评】本题考查了勾股定理的应用．解答此题时，巧妙地运用了完全平方公式的变形来求△ABC的面积．17．如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四个小正方形的面积之和等于8，则最大正方形的边长为2．【分析】根据勾股定理可知正方形A和C的面积和就是大正方形的面积．同理正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，所以四个正方形的面积和就等于两个大正方形的面积由此即可得出结论．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，∴正方形A和C的面积和就是大正方形的面积，同理，正方形B和D的面积和等于大正方形的面积，设最大正方形的边长为x，可得：四个小正方形的面积＝2×x×x＝8．解得：x＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查勾股定理这一知识点，解答此题的关键是熟知勾股定理．18．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝5，BC＝12时，计算阴影部分的面积为30【分析】根据勾股定理求出AB，根据圆的面积公式，三角形的面积公式结合图形列式计算．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，则AB＝＝13，阴影部分的面积＝×π×（）2+×π×（）2+×5×12﹣×π×（）2＝×π×[（）2+×（）2﹣（）2]+×5×12＝30，故答案为：30．【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．19．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°，CD＝，BC＝，连接AC、BD，若AC⊥AB，则BD的长度为2．【分析】过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，过C作CF⊥AD于F，得到△ADE是等腰直角三角形，证明△DAB≌△EAC得：EC＝BD，在Rt△DCE中，利用勾股定理求EC的长，于是得到结论．【解答】解：过A作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，过C作CF⊥AD于F，则△ADE是等腰直角三角形，∵∠ADC＝45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CF＝DF＝CD＝1，∵AC⊥AB，∠ABC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝，∴AF＝＝2，∴AD＝3，∴DE＝AD＝3，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，（SAS），∴CE＝BD，∵∠ADE＝∠ADC＝45°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝＝2，∴BD＝CE＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20．已知直角坐标平面内的两点分别为A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B 两点间的距离等于5．【分析】根据两点间的距离公式，可以得到问题的答案．【解答】解：∵直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），∴A、B两点间的距离为：＝5．故答案为5．【点评】本题考查了勾股定理，两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式．21．把两块同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一块三角尺的锐角顶点与另一块的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB＝3，则CD＝3﹣3．【分析】作AF⊥BC于F，根据等腰直角三角形的性质求出AF，BF，CF，根据勾股定理求出BC，得到AD，根据勾股定理求出DF，结合图形计算．【解答】解：过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝6，BF＝AF＝FC＝AB＝3，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝6，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝3，∴CD＝DF﹣FC＝3﹣3，故答案为：3﹣3．【点评】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．22．直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若c﹣b＝2，a＝14，则b＝48．【分析】由题意得c＝b+2，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：∵c﹣b＝2，∴c＝b+2，∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2，即142+b2＝（b+2）2，解得，b＝48，故答案为：48．【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．23．如图，四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，则四边形ABCD的面积是4【分析】延长BA、CD交于点E，根据等腰直角三角形的性质得到ED＝AD＝2，EB＝BC＝2，根据三角形的面积公式计算．【解答】解：延长BA、CD交于点E，∵∠BAD＝135°，∴∠EAD＝45°，∴ED＝AD＝2，EB＝BC＝2，∴四边形ABCD的面积＝×2×2﹣×2×2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．24．如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的面积为40，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x+y＝22．【分析】先由S A＝40，再根据勾股定理的几何意义，得到x+10+（8+y）＝S A，由此得出x与y的数量关系．【解答】解：∵S A＝40，根据勾股定理的几何意义，得x+10+（8+y）＝S A＝40，∴x+y＝40﹣18＝22，即x+y＝22．故答案为：22．【点评】本题考查了勾股定理的几何意义，要知道，以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．三．解答题（共12小题）25．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2+CF2等于多少？【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2＝EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACD，即∠ECF＝（∠ACB+∠ACD）＝90°∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB＝∠MEC＝∠ECM，∠DCF＝∠CFM＝∠MCF，∴CM＝EM＝MF＝5，EF＝10，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝100．【点评】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．26．在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余，可以求得∠CBD的度数；（2）根据题目中的数据和勾股定理，可以求得AB的长．【解答】解：（1）∵在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠ABC＝∠C，∠ADB＝90°，∵∠A＝48°，∴∠ABC＝∠C＝66°，∠ABD＝42°，∴∠CBD＝24°；（2）∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵BC＝15，BD＝12，∴CD＝9，设AB＝x，则AD＝x﹣9，∵∠ADB＝90°，BD＝12，∴122+（x﹣9）2＝x2，解得，x＝，即AB＝．【点评】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．27．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P 从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，（1）当△ABP为直角三角形时，求t的值：（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．（本题可根据需要，自己画图并解答）【分析】（1）首先根据勾股定理求出BC的长度，再分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可．（2）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP 时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4 cm．①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4÷2＝2s．②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s．综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．（2）①当BP＝BA＝5时，∴t＝2.5s．②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，∴t＝4s．③当PB＝P A时，PB＝P A＝2t cm，CP＝（4﹣2t）cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝32+（4﹣2t）2，解得t＝s．综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝2.5s或4s或s．【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．28．如图，等腰△ABC的底边BC＝16cm，腰AC＝10cm，AD是底边BC上的高，一动点P从点B出发，沿BC方向以2cms的速度向终点C运动，设运动时间为ts（t＞0）（1）求AD的长；（2）当△P AC是等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得到BD的长，由勾股定理可求得AD的长；（2）当PC＝AC＝10cm，当AP＝CP时，点P在AC的垂直平分线上，当AP＝AC时，点P和点B重合，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵等腰△ABC的底边BC＝16cm，AD是底边BC上的高，∴BD＝CD＝BC＝8cm，∵腰AC＝10cm，∴AD＝＝6cm；（2）∵△P AC是等腰三角形，∴当PC＝AC＝10cm，∴BP＝BC﹣PC＝6cm，∵动点P在底边上从点B开始向点C以2cm/s的速度移动，∴t＝6÷2＝3s．当AP＝CP时，点P在AC的垂直平分线上，则△APC∽△BAC，∴，即，∴t＝，当AP＝AC时，点P和点B重合，∵t＞0，∴这种情况不存在，∴当△P AC是等腰三角形时，t的值是3s或s．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论是解题的关键．29．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接BD，根据AB＝AD＝6，∠A＝60°，得出△ABD是等边三角形，求得BD＝8，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC是直角三角形，从而求得∠ADC＝150°；（2）根据四边形的面积等于三角形ABD和三角形BCD的和即可求得．【解答】解：（1）连接BD，∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，∠ADB＝60°，∵BC＝10，CD＝8，则BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝150°；+S△BDC（2）S＝S△ABD＝AD•AD+BD•DC＝×6××6+×8×6＝9+24．【点评】本题考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，把不规则的图形转化成规则的三角形求得面积等．30．先阅读下列一段文字再解答问题．已知在平面内有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），其两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知点A（3，3），B（﹣2，﹣1），试求A，B两点间的距离；（2）已知点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为7，点B的纵坐标为﹣2，试求A，B两点间的距离；（3）已知个三角形各顶点坐标为A（0，5），B（﹣3，2），C（3，2），你能判断此三角形的形状吗？说明理由．【分析】（1）根据两点间的距离公式计算；（2）根据两点所在的直线在坐标轴上时，两点间距离公式计算；（3）分别求出AB，AC，BC，根据勾股定理的逆定理计算．【解答】解：（1）∵点A（3，3），B（﹣2，﹣1），∴AB＝＝；（2）∵点A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为7，点B的纵坐标为﹣2，∴AB＝7﹣（﹣2）＝9；（3）AB＝＝3，AC＝＝3，BC＝＝6，∵AB2+AC2＝36＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形．【点评】本题考查的是勾股定理，两点间的距离公式，等腰直角三角形的概念，掌握勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4．（1）若BC＝2，求AB的长；（2）若BC＝a，AB＝c，求代数式（c﹣2）2﹣（a+4）2+4（c+2a+3）的值．【分析】（1）根据勾股定理求得AB的长；（2）先根据勾股定理表示c2﹣a2＝16，将所求式子去括号代入可得结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4．∴AB＝＝＝2；（2）Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝4，∴c2﹣a2＝16，∴（c﹣2）2﹣（a+4）2+4（c+2a+3），＝c2﹣4c+4﹣（a2+8a+16）+4c+8a+12，＝c2﹣4c+4﹣a2﹣8a﹣16+4c+8a+12，＝c2﹣a2，＝16．【点评】本题考查了勾股定理的运用、完全平方公式及多项式的乘法，熟练掌握勾股定理是关键．32．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．【分析】（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；【解答】解：（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，或t＝6时，P在△ABC的角平分线上．【点评】本题考查了勾股定理，关键是根据等腰三角形的判定，三角形的面积解答．33．如图，平面直角坐标系中的每个小正方形边长为1，△ABC的顶点在网格的格点上．（1）画线段AD∥BC，且使AD＝BC，连接BD；此时D点的坐标是（0，﹣4）．（2）直接写出线段AC的长为，AD的长为2，BD的长为．（3）直接写出△ABD为直角三角形，四边形ADBC面积是20．【分析】（1）根据题意画出图形，进一步得到D点的坐标；（2）根据勾股定理可求线段AC的长，AD的长，BD的长；（3）根据勾股定理的逆定理可得△ABD为直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示：D点的坐标是（0，﹣4）；（2）线段AC的长为＝，AD的长为＝2，BD的长为＝．（3）∵AB＝＝5，AD＝2，BD＝，（2）2+（）2＝（5）2，∴△ABD为直角三角形，四边形ADBC面积是2×＝20．故答案为：（0，﹣4）；，2，；直角，20．【点评】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，矩形的面积，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．34．如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求线段AB的长；（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长；（2）根据两点间的距离公式可求线段AC，BC的值，再相加即可求解；（3）由代数式可得﹣的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，根据两点间的距离公式即可求解．【解答】解：（1）；（2）AC+BC＝+＝＝+；（3）代数式可得﹣的最大值即为点（0，4）和点（4，1）间的距离，最大值为＝5．【点评】本题主要考查最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键．35．问题背景：已知a＞0，b＞0，c＞0，△ABC的三条边长分别为，，，求此三角形面积．我们通过观察发现：a2+c2+d2+2cd＝a2+（c+d）2，a2+b2+d2+2ab＝（a+b）2+d2，故可构造出一个矩形．如图，在矩形CDEF中，CD＝EF＝a+b，DE＝CF＝c+d．在DE上取点A，使DA＝d，AE＝c，在EF上取点B，使EB＝b，BF＝a．这样不需要求高，就可。
浙教版八年级数学上册.7勾股定理同步练习
2.7 勾股定理同步练习一．选择题（共12 小题）1 ．以下说法中，正确的有（）①有一个角为60 °的等腰三角形是等边三角形②三边分别是 1 ，，3的三角形是直角三角形③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形④三个角之比为3： 4 ： 5 的三角形是直角三角形A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2 ．（ 2016 春 ? 马山县校级月考）如图，已知长方形ABCD 中， AD=6 ， AB=8 ，P 是 AD 边上的点，将△ABP 沿 BP 折叠，使点 A 落在点 E 上， PE、 BE 与 CD 分别交于点O 、 F，且 OD=OE ，则 AP的长为（）A ．B．5C． D ．3 ．（ 2016 春 ? 江汉区期中）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90 °，AB=3cm ， AC=5cm ，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 C 与点 A 重合，则 AE 的长等于（）A ． 4cmB ．cm C．cm D ．cm4 ．（ 2016 春 ? 深圳校级期中）已知正方形ABCD 的边长为3， E 是 BC 上一点， BE=，Q是CD上一动点，将△ CEQ 沿直线 EQ 折叠后，点 C 落在点 P 处，连结 PA，点 Q 从点 C 出发，沿线段CD 向点 D 运动，当PA 的长度最小时，CQ 的长为（）A．3﹣3B．3﹣C．D．35 ．（ 2016 ? 市南区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着 BD 所在直线翻折，使点 C 落在斜边AB 上的点 E 处，则 DC 的长为（）A ．cm B．cm C． 2cm D ．cm6 ．（ 2016 ? 安徽模拟）如图，四边形ABCD 是矩形， AB=4 ，AD=3 ，把矩形沿直线AC 折叠，点 B落在点 E 处， AE 交 CD 于点 F．连结 DE ，则 DF 的长是（）A．B．C．D．7 ．（ 2016 ? 淄博）如图，正方形 ABCD 的边长为10 ，AG=CH=8，BG=DH=6，连结GH，则线段GH 的长为（）A．B．2C．D．10 ﹣58 ．（ 2016 ? 荆门）如图，△ ABC 中， AB=AC ，AD 是∠BAC 的均分线．已知A B=5 ，AD=3 ，则 BC的长为（）A．5B．6C．8D．109 ．（ 2016 ? 漳州）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段 AD 长为正整数，则点 D 的个数共有（）A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个10 ．（ 2016 ? 株洲）如图，以直角三角形 a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种状况的面积关系知足S1+S 2=S 3图形个数有（）A．1B．2C．3D．411 ．（ 2016 ? 青海）如图，正方形ABCD 的边长为 2 ，其面积标志为S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标志为S2，，依照此规律持续下去，则S9的值为（）A．（）6B．（）7C．（）6D．（）712 ．（ 2016 ? 黄冈校级自主招生）如图，四边形 ABCD 的对角线A C 与 BD 相互垂直，若 AB=3 ，BC=4 ，CD=5 ，则 AD 的长为（）A．3 B ．4C．2 D ．4二．填空题（共 6 小题）13 ．（ 2016 ? 金华）如图， Rt △ABC 纸片中，∠ C=90 °，AC=6 ，BC=8 ，点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕△ABD 折叠获得△ AB ′D ， AB ′与边BC 交于点 E．若△DEB′为直角三角形，则 BD 的长是 ______．14 ．（2016 ? 甘孜州）直角三角形斜边长是5，向来角边的长是 3 ，则此直角三角形的面积为______．15 ．（ 2016 ? 烟台）如图， O 为数轴原点， A ， B 两点分别对应﹣3 ， 3 ，作腰长为4 的等腰△ABC ，连结 OC ，以 O 为圆心， CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点 M 对应的实数为______．16 ．（ 2016 ? 泰兴市二模）如图，△ ABC 中， AB=AC=10，BC=8，AD均分∠BAC交BC于点D，点 E 为 AC 的中点，连结DE，则△CDE 的周长为 ______．17 ．（2016 ? 黄冈模拟）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90 °，AC=3 ，BC=4 ，点 D 在 AB 上，AD=AC ，AF ⊥ CD 交 CD 于点 E，交 CB 于点 F，则 CF 的长是 ______．18 ．（ 2016 ? 长春模拟）如图，在△ ABC 中，∠C=90 °，AC=6 ， BC=8 ．以点 A 为圆心， AC 长为半径作圆弧交边AB 于点 D ，则 BD 的长为 ______．三、解答题（共9 小题）19 ．（ 2016 ? 临清市二模）假如三角形有一边上的中线长恰巧等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（ 1 ）请用直尺和圆规在图①中画一个以AB 为边的“好玩三角形” ；（ 2 ）如图②，在Rt △ABC 中，∠C=90 °，，求证：△ ABC 是“好玩三角形”．20 ．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 °，点D 为 AB 的中点，点 E 为 AC 下方一点， AE∥BC 且CE⊥ CD 于点 C．（1 ）若 AC=6 ，BC=8 ，求 CD 的长；（2 ）过点 D 作 FD ∥EC，交 EA 延伸线于点 F，连结 CF，求证： EF+AF=BC ．21 ．如图，△ABC 中，∠BCA=90 °，AC=BC ，点 D 是 BC 的中点， CE⊥AD 于 E， BF∥AC 交 CE的延伸线于点F．（1 ）求证： BD=BF ；（2 ） AB 与 DF 有何地点关系？请说明原因；（3 ）求：的值．22 ．以下图，在等腰△ ABC 中， BC=AC ，∠ACB=90 °，D 、 E 为斜边 AB 上的点，且∠ DCE=45 °求证： DE 2=AD 2+BE 2．23 ．（ 2016 ? 广东）如图， Rt △ABC 中，∠B=30 °，∠ACB=90 °，CD ⊥ AB 交 AB 于 D ，以 CD 为较 短的直角边向△ CDB 的同侧作 Rt △DEC ，知足∠ E=30 °，∠DCE=90 °，再用相同的方法作 Rt △FGC ，∠FCG=90 °，持续用相同的方法作 Rt △HIC ，∠HCI=90 °．若AC=a ，求 CI 的长．24 ．（2016 ? 安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是x 、 y 和 z ，知足 x 2 +y 2 =z 2，则称这个三角形为勾股三角形．（ 1 ）依据上述定义， “直角三角形是勾股三角形”是真命题仍是假命题；（ 2 ）已知一勾股三角形三个内角从小到大挨次为x 、 y 和 z ，且 xy=2160 ，求 x+y 的值；（ 3 ）如图，△ ABC 中， AB=，BC=2，AC=1+，求证：△ ABC是勾股三角形．25 ．（ 2016 春 ? 临清市期中）如图：四边形ABCD 中， AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥ CB 于 B．试求：（ 1 ）∠BAD 的度数；（ 2 ）四边形ABCD 的面积．26 ．（ 2016 春 ? 孝南区校级月考）已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90 °，CD ⊥ AD ，AD 2+CD2=2AB2，求证： AB=BC ．27 ．已知△ABC 中， AB=AC ．（1 ）如图 1，在△ADE 中，若 AD=AE ，且∠DAE= ∠BAC ，求证： CD=BE ；（2 ）如图 2，在△ADE 中，若∠DAE= ∠BAC=60 °，且CD 垂直均分 AE ，AD=3 ，CD=4 ，求 BD 的长；（3 ）如图 3，在△ADE 中，当 BD 垂直均分 AE 于 H，且∠ BAC=2 ∠ADB 时，尝试究 CD 2，BD2，22.7 勾股定理同步练习参照答案与试题分析一．选择题（共12 小题）1 ．以下说法中，正确的有（）①有一个角为60 °的等腰三角形是等边三角形②三边分别是 1 ，，3的三角形是直角三角形③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形④三个角之比为3： 4 ： 5 的三角形是直角三角形A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【剖析】分别依据等边三角形及直角三角形的判断定理解答．【解答】解：①正确，切合等边三角形的判断定理；②正确，由于 1 2+32= （）2，所以三边分别是1 ，，3的三角形是直角三角形；③正确，依据矩形对角线的性质的抗命题；④错误，三边之比为 3 ： 4： 5 的三角形是直角三角形．应选 C．【评论】本题考察的是等边三角形及直角三角形的判断定理，比较简单．2 ．（ 2016 春 ? 马山县校级月考）如图，已知长方形ABCD 中， AD=6 ， AB=8 ，P 是 AD 边上的点，将△ABP 沿 BP 折叠，使点 A 落在点 E 上， PE、 BE 与 CD 分别交于点O 、 F，且 OD=OE ，则 AP 的长为（）A ．B ．5C ．D ．【剖析】由矩形的性质得出∠ A= ∠C= ∠D=90 °，CD=AB=8 ，BC=AD=6 ，由折叠的性质得出 EP=AP ， BE=AB=8 ，∠E= ∠A=90 °，由ASA 证明△ODP ≌△OEF ，得出 PD=FE ，OP=OF ，所以 DF=EP=AP ，设 AP=x ，则 DF=x ，FE=PD=6 ﹣ x ，得出 CF=CD ﹣ DF=8 ﹣ x ，BF=BE ﹣ FE=x+2 ，在 Rt △BCF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】 解：∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠A= ∠C= ∠D=90 °，CD=AB=8 ， BC=AD=6 ，由折叠的性质得： EP=AP ， BE=AB=8 ，∠E= ∠A=90 °，在△ODP 和△OEF 中，，∴△ODP ≌△OEF （ ASA ），∴PD=FE ， OP=OF ，∴DF=EP=AP ，设 AP=x ，则 DF=x ， FE=PD=6 ﹣ x ，∴CF=CD ﹣ DF=8 ﹣ x ， BF=BE ﹣ FE=x+2 ，在 Rt △BCF 中， BC 2+CF 2=BF 2 ，即 62 + （ 8﹣ x ） 2= （x+2 ） 2 ，解得： x=4.8 ；应选： A ．金戈铁制卷【评论】本题考察了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判断与性质；娴熟掌握矩形和折叠的性质，证明三角形全等进一步得出DF=EP 是解决问题的重点．3 ．（ 2016 春 ? 江汉区期中）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90 °，AB=3cm ， AC=5cm ，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 C 与点 A 重合，则 AE 的长等于（）A ． 4cmB ．cm C．cm D ．cm【剖析】设 AE=xcm ，依据勾股定理求出BC ，用 x 表示出 BE，依据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设 AE=xcm ，由翻折变换的性质可知，EC=xcm ，∵∠B=90 °，AB=3cm，AC=5cm，∴BC==4cm ，∴BE=BC ﹣ CE= （ 4 ﹣ x） cm ，在 Rt △ABE 中， AE 2=AB2+BE2，即 x2=32+ （ 4﹣ x）2，解得， x=，应选： C．【评论】本题考察的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．4 ．（ 2016 春 ? 深圳校级期中）已知正方形ABCD 的边长为3， E 是 BC 上一点， BE=，Q是CD 上一动点，将△ CEQ 沿直线 EQ 折叠后，点 C 落在点 P 处，连结 PA，点 Q 从点 C 出发，沿线段CD 向点 D 运动，当PA 的长度最小时，CQ 的长为（）A．3﹣3B．3﹣C．D．3【剖析】先求得 AE 和 CE 的长，而后由翻折的性质获得PE=EC ，最后依据当点 A 、P、 E 一条直线上时， AP 有最小值求解即可．【解答】解：以下图：在 Rt △ABE 中， AE===2．∵BC=3 ， BE=，∴EC=3 ﹣．由翻折的性质可知：PE=CE=3 ﹣．∵AP+PE ≥AE，∴AP ≥AE ﹣ PE．∴当点 A、 P、 E 一条直线上时，AP 有最小值．∴AP=AE ﹣ PE=2﹣（3﹣）=3﹣3．应选： A．【评论】本题主要考察的是翻折的性质、勾股定理的应用，明确当点A、P、E 在一条直线上时，AP 有最小值是解题的重点．5 ．（ 2016 ? 市南区一模）如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AB=5cm，AC=4cm，点D在AC上，将△BCD 沿着 BD 所在直线翻折，使点 C 落在斜边AB 上的点 E 处，则 DC 的长为（）A ．cm B．cm C． 2cm D ．cm【剖析】第一由勾股定理求出BC，由折叠的性质可得∠BED= ∠C=90 °，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm ，设 DC=xcm ，则 DE=xcm ， AD= （4 ﹣ x） cm ，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90 °，AB=5cm ， AC=4cm ，∴BC==3cm ，∵将△BCD 沿着直线BD 翻折，使点 C 落在斜边AB 上的点 E 处，∴△BED ≌△BCD ，∴∠BED= ∠C=90 °，BE=BC=3cm，∴AE=AB ﹣ BE=2cm ，设 DC=xcm ，则 DE=xcm ， AD= （ 4 ﹣ x） cm ，由勾股定理得：AE 2+DE2=AD2，即 22+x2= （ 4﹣ x）2，解得： x= ．应选： B．【评论】本题主要考察翻折变换的性质，全等三角形的性质，勾股定理；娴熟掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的重点．6 ．（ 2016 ? 安徽模拟）如图，四边形ABCD 是矩形， AB=4 ，AD=3 ，把矩形沿直线AC 折叠，点 B 落在点 E 处， AE 交 CD 于点 F．连结 DE ，则 DF 的长是（）A．B．C．D．【剖析】由四边形ABCD 是矩形与△ AEC 由△ABC 翻折获得， AD=CE ，∠ADF= ∠CEF，由 AAS 证得△ADF ≌△CEF，的长 FA=FC ，设 DF=x ，则 FA=4 ﹣x，由勾股定理得：DA 2+DF2=AF2，即可求出DF 的长．【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD=BC ， AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折获得，∴BC=EC ，∠CEF= ∠ABC=90 °，∴AD=CE ，∠ADF= ∠CEF，在△ADF 与△CEF 中，，∴△ADF ≌△CEF（ AAS ），∴FA=FC ，设 DF=x ，则 FA=FC=DC ﹣ DF=4 ﹣ x，在 Rt △DFA 中，由勾股定理得：DA 2+DF2=AF2，即 32+x2= （ 4﹣ x）2，解得： x= ，即DF的长是．应选 C．【评论】本题主要考察了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理等知识；娴熟掌握折叠的性质，获得相等的线段与角是解决问题的重点．7 ．（ 2016 ? 淄博）如图，正方形 ABCD 的边长为10 ，AG=CH=8，BG=DH=6，连结GH，则线段GH 的长为（）A．B．2C．D．10 ﹣5【剖析】延伸 BG 交 CH 于点 E，依据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE，可得 GE=BE ﹣ BG=2 、HE=CH ﹣ CE=2 、∠HEG=90 °，由勾股定理可得GH 的长．【解答】解：如图，延伸BG 交 CH 于点 E，在△ABG 和△CDH 中，，∴△ABG ≌△CDH （ SSS），AG 2+BG2=AB2，∴∠1= ∠5 ，∠2= ∠6 ，∠AGB= ∠CHD=90 °，∴∠1+ ∠2=90 °，∠5+ ∠6=90 °，又∵∠2+ ∠3=90 °，∠4+ ∠5=90 °，∴∠1= ∠3= ∠5 ，∠2= ∠4= ∠6，在△ABG 和△BCE 中，，∴△ABG ≌△BCE（ ASA ），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE ﹣ BG=8 ﹣6=2 ，同理可得HE=2 ，在 RT△GHE 中， GH===2，应选： B．【评论】本题主要考察正方形的性质、全等三角形的判断与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，经过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的重点．8 ．（ 2016 ? 荆门）如图，△ ABC 中， AB=AC ，AD 是∠BAC 的均分线．已知A B=5 ，AD=3 ，则 BC 的长为（）A．5B．6C．8D．10【剖析】依据等腰三角形的性质获得AD ⊥ BC， BD=CD ，依据勾股定理即可获得结论．【解答】解：∵AB=AC ， AD 是∠BAC 的均分线，∴AD ⊥ BC， BD=CD ，∵AB=5 ，AD=3 ，∴BD==4 ，∴BC=2BD=8，应选 C．【评论】本题考察了勾股定理，等腰三角形的性质，娴熟掌握等腰三角形的性质是解题的重点．9 ．（ 2016 ? 漳州）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段 AD 长为正整数，则点 D 的个数共有（）A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个【剖析】第一过 A 作 AE⊥BC ，当 D 与 E 重合时，AD 最短，第一利用等腰三角形的性质可得BE=EC ，从而可得BE 的长，利用勾股定理计算出AE 长，而后可得AD 的取值范围，从而可得答案．【解答】解：过 A 作 AE⊥ BC，∵AB=AC ，∴EC=BE= BC=4 ，∴AE==3 ，∵D 是线段 BC 上的动点（不含端点B、 C）．∴3≤AD ＜5，∴AD=3或4，∵线段 AD 长为正整数，∴点 D 的个数共有 3 个，应选： C．【评论】本题主要考察了等腰三角形的性质和勾股定理，重点是正确利用勾股定理计算出AD 的最小值，而后求出AD 的取值范围．10 ．（ 2016 ? 株洲）如图，以直角三角形 a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种状况的面积关系知足S1+S 2=S 3图形个数有（）A．1B．2C．3D．4【剖析】依据直角三角形 a 、 b 、 c 为边，应用勾股定理，可得a2 +b 2 =c 2．（ 1 ）第一个图形中，第一依据等边三角形的面积的求法，表示出 3 个三角形的面积；而后依据a 2+b2=c2，可得 S1+S 2=S 3．（ 2 ）第二个图形中，第一依据圆的面积的求法，表示出 3 个半圆的面积；而后依据a2+b 2 =c 2，可得 S1+S 2=S 3．（ 3 ）第三个图形中，第一依据等腰直角三角形的面积的求法，表示出 3 个等腰直角三角形的面积；而后依据 a 2+b2=c2，可得 S1+S 2=S 3．（ 4 ）第四个图形中， 第一依据正方形的面积的求法， 表示出 3 个正方形的面积； 而后依据 a 2+b 2=c 2，可得 S 1+S 2=S 3．【解答】 解：（ 1 ）S 1 =a 2， S 2 = b 2， S 3=c 2 ，∵a 2+b 2=c 2，∴a 2 +b 2=c 2 ，∴S 1+S 2=S 3．（2）S 1=a 2，S 2=b 2， S 3 = c 2，∵a 2+b 2=c 2，∴ a 2 +b 2 =c 2，∴S 1+S 2=S 3．（ 3 ） S 1= a 2， S 2 = b 2 ， S 3= c 2，∵a 2+b 2=c 2，∴ a 2+ b 2 = c 2，∴S 1+S 2=S 3．（ 4 ） S 1=a 2， S 2 =b 2，S 3=c 2， ∵a 2+b 2=c 2，∴S 1+S 2=S 3．综上，可得面积关系知足 S 1 +S 2 =S 3 图形有 4 个．应选： D．【评论】（ 1 ）本题主要考察了勾股定理的应用，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和必定等于斜边长的平方．（ 2 ）本题还考察了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要娴熟掌握．11 ．（ 2016 ? 青海）如图，正方形ABCD 的边长为 2 ，其面积标志为S1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标志为S2，，依照此规律持续下去，则S9的值为（）A．（）6B．（）7C．（）6D．（）7【剖析】依据等腰直角三角形的性质可得出S2+S 2=S 1，写出部分 S n的值，依据数的变化找出变化规律“ S n = （）n﹣3”，依此规律即可得出结论．【解答】解：在图中标上字母E，以下图．∵正方形 ABCD 的边长为 2 ，△CDE 为等腰直角三角形，∴DE 2+CE2=CD2，DE=CE ，∴S2+S 2=S 1．察看，发现规律：S1=2 2=4 ， S2= S1=2 ， S3= S2=1 ， S4= S3=，，∴S n= （） n ﹣3 ．当 n=9 时，S =（）9﹣3= （）6，9应选： A．【评论】本题考察了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的重点是找出规律“ S n= （）n﹣3”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的值，依据数值的变化找出变化规律是重点．12 ．（ 2016 ? 黄冈校级自主招生）如图，四边形 ABCD 的对角线A C 与 BD 相互垂直，若 AB=3 ，BC=4 ，CD=5 ，则 AD 的长为（）A．3 B ．4C．2 D ．4【剖析】在 Rt △AOB 、 Rt △DOC 中分别表示出AO 2、 DO2，从而在Rt △ADO 中利用勾股定理即可得出 AD 的长度．【解答】解：在 Rt △AOB 中， AO 2=AB2﹣ BO2；Rt △DOC 中可得： DO 2=DC2﹣CO2；∴可得 AD 2=AO2+DO2=AB2﹣ BO2+DC2﹣ CO2=18 ，即可得 AD==3．应选 A．【评论】本题考察了勾股定理的知识，解答本题的重点是在Rt △AOB 、Rt △DOC 中分别表示出AO 2、DO 2，需要我们娴熟掌握勾股定理的表达形式．二．填空题（共 6 小题）13 ．（ 2016 ? 金华）如图， Rt △ABC 纸片中，∠ C=90 °，AC=6 ，BC=8 ，点 D 在边 BC 上，以 AD 为折痕△ABD 折叠获得△ AB ′D ，AB ′与边BC 交于点 E．若△DEB ′为直角三角形，则 BD 的长是2或5 ．14 ．（ 2016 ? 甘孜州）直角三角形斜边长是 5 ，向来角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．【剖析】依据直角三角形的斜边与一条直角边，可利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再依据三角形的面积公式求出头积即可．【解答】解：∵直角三角形斜边长是 5 ，向来角边的长是 3 ，∴另向来角边长为=4 ．该直角三角形的面积S=×3×4=6．故答案为： 6 ．【评论】 本题考察了勾股定理以及三角形的面积公式，解题的重点是依据勾股定理求出另一条直角边的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据勾股定理找出直角三角形的三边关系是重点．15 ．（ 2016 ? 烟台）如图， O 为数轴原点， A ， B 两点分别对应﹣ 3 ， 3 ，作腰长为 4 的等腰△ABC ， 连结 OC ，以 O 为圆心， CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点 M 对应的实数为．【剖析】 先利用等腰三角形的性质获得OC ⊥ AB ，则利用勾股定理可计算出 OC= ，而后利用画法可获得 OM=OC=，于是可确立点 M 对应的数．【解答】 解：∵△ABC 为等腰三角形， OA=OB=3 ，∴OC ⊥AB ，在 Rt △OBC 中， OC== =，∵以 O 为圆心， CO 长为半径画弧交数轴于点M ，∴OM=OC=，∴点 M 对应的数为．故答案为．【评论】 本题考察了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和必定等于斜边长的平方．假如直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2 +b 2 =c 2．也考察了等腰三角形的性质．16 ．（ 2016 ? 泰兴市二模）如图，△ ABC 中， AB=AC=10，BC=8，AD均分∠BAC交BC于点D，点 E 为 AC 的中点，连结DE，则△CDE 的周长为14．【剖析】依据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥ BC，CD=BD ，再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC ，而后依据三角形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC ， AD 均分∠BAC ， BC=8 ，∴AD ⊥ BC， CD=BD=BC=4 ，∵点 E 为 AC 的中点，∴DE=CE=AC=5 ，∴△CDE 的周长 =CD+DE+CE=4+5+5=14．故答案为14 ．【评论】本题考察了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并正确识图是解题的重点．17 ．（2016 ? 黄冈模拟）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90 °，AC=3 ，BC=4 ，点 D 在 AB 上，AD=AC ，AF⊥ CD 交 CD 于点 E，交 CB 于点 F，则 CF 的长是．【剖析】 连结 DF ，由勾股定理求出AB=5 ，由等腰三角形的性质得出 CE=DE ，由线段垂直均分线的性质得出 CF=DF ，由 SSS 证明△ADF ≌△ACF ，得出∠ ADF= ∠ACF= ∠BDF=90 °，设CF=DF=x ，则 BF=4 ﹣x ，在 Rt △BDF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】 解：连结 DF ，以下图：∵在 Rt △ABC 中，∠ACB=90 °，AC=3 ， BC=4 ， ∴AB==5 ，∵AD=AC=3 ， AF ⊥ CD ，∴CE=DE ， BD=AB ﹣AD=2 ， ∴CF=DF ，在△ADF 和△ACF 中， ，∴△ADF ≌△ACF （ SSS ）， ∴∠ADF= ∠ACF=90 °，∴∠BDF=90 °，设 CF=DF=x ，则 BF=4 ﹣x ，在 Rt △BDF 中，由勾股定理得： DF 2+BD 2=BF 2 ，即 x 2 +2 2 = （ 4﹣ x ） 2 ，解得： x=1.5 ；∴CF=1.5 ；故答案为： 1.5 ．【评论】本题考察了勾股定理、全等三角形的判断与性质、等腰三角形的性质、线段垂直均分线的性质；娴熟掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的重点．18 ．（ 2016 ? 长春模拟）如图，在△ ABC 中，∠C=90 °，AC=6 ， BC=8 ．以点 A 为圆心， AC 长为半径作圆弧交边AB 于点 D ，则 BD 的长为4．【剖析】第一利用勾股定理能够算出AB 的长，再依据题意可获得AD=AC ，依据 BD=AB ﹣ AD 即可算出答案．【解答】解：∵AC=6 ， BC=8 ，∴AB==10 ，∵以点 A 为圆心， AC 长为半径画弧，交AB 于点 D ，∴AD=AC ，∴AD=6 ，∴BD=AB ﹣ AD=10 ﹣ 6=4 ．故答案为： 4 ．【评论】本题主要考察了勾股定理，重点是娴熟掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和必定等于斜边长的平方．【剖析】 先依照勾股定理求得 AB 的长，而后由翻折的性质可知：AB ′=10 ， DB=DB ′，接下来分为∠B ′DE=90 °和∠B ′ED=90 °，两种状况画出图形，设 DB=DB ′=x ，而后依照勾股定理列出对于 x 的方程求解即可．【解答】 解：∵Rt △ABC 纸片中，∠ C=90 °，AC=6 ，BC=8 ，∴AB=10 ，∵以 AD 为折痕△ABD 折叠获得△ AB ′D ，∴BD=DB ′，AB ′=AB=10．如图 1 所示：当∠ B ′DE=90 °时，过点 B ′作B ′F ⊥AF ，垂足为 F ．设 BD=DB ′=x ，则 AF=6+x， FB ′=8 ﹣ x ．22222=10 2． 在 Rt △AFB ′中，由勾股定理得： AB ′=AF +FB ′，即（ 6+x ） + （ 8﹣ x ） 解得： x 1 =2 ， x 2 =0 （舍去）．∴BD=2 ．如图 2 所示：当∠ B ′ED=90 °时，C 与点 E 重合．∵AB ′=10 ， AC=6 ，∴B ′E=4 ．设 BD=DB ′=x ，则 CD=8 ﹣ x ．22 2 2 2 +4 2． 在 Rt △′BDE 中， DB ′=DE +B ′E ，即 x = （ 8﹣ x ） 解得： x=5 ．∴BD=5 ．综上所述， BD 的长为 2 或 5 ．故答案为： 2 或 5．【评论】 本题主要考察的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出对于x 的方程是解题的重点．三、解答题（共 9 小题）19 ．（ 2016 ? 临清市二模）假如三角形有一边上的中线长恰巧等于这边的长， 那么称这个三角形为 “好玩三角形”．（ 1 ）请用直尺和圆规在图①中画一个以 AB 为边的“好玩三角形” ；（ 2 ）如图②，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，，求证：△ ABC 是“好玩三角形” ．【剖析】（ 1 ）先作 AB 的垂直均分线获得 AB 的中点 D ，而后以 D 为端点随意画线段CD=AB ，再连结 AC 、BC ，则△ACB 知足条件；（ 2 ）取 AC 的中点 D ，连结 BD ，如图②， 设 AC=2x ，则 CD=AD=x ，利用获得 BC= x ，再在 Rt △BCD 中利用勾股定理计算出BD=2x ，则 BD=AC ，而后依据 “好玩三角形” 即可获得结论．【解答】（ 1 ）解：如图①，△ ABC 为所作；（ 2 ）证明：取AC 的中点 D，连结 BD ，如图②，设 AC=2x ，则 CD=AD=x ，∵，∴BC=x ，在 Rt △BCD 中， BD===2x ，∴BD=AC ，∴△ABC 是“好玩三角形”．【评论】本题考察了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础长进行作图，一般是联合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的重点是熟习基本几何图形的性质，联合几何图形的基天性质把复杂作图拆解成基本作图，逐渐操作．20 ．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 °，点D 为 AB 的中点，点 E 为 AC 下方一点， AE∥BC 且CE⊥ CD 于点 C．（1 ）若 AC=6 ，BC=8 ，求 CD 的长；（2 ）过点 D 作 FD ∥EC，交 EA 延伸线于点 F，连结 CF，求证： EF+AF=BC ．【剖析】（ 1 ）依据勾股定理可求得AB 的长，再依据直角三角形斜边中线是斜边一半能够求得CD 的长；（2 ）延伸 FD 交 BC 于点 G，易证△ADF ≌△BDG 和△CFG≌△FCA ，可得 AF=BG 和 EF=CG 即可解题．【解答】解：（ 1 ）∵Rt △ABC 中，∠ACB=90 °，AC=6 ， BC=8 ，∴AB==10 ，∵点 D 为 AB 的中点，∴CD=AB=5 ；（2）延伸 FD 交 BC 于点 G，∵EF∥BC，∴∠FAD= ∠GBD ，在△ADF 和△BDG 中，，∴△ADF ≌△BDG ，（ ASA ）∴AF=BG ，∵EF∥BC， DF∥CE，∴∠CFE= ∠BCF ，∠CFD= ∠FCE，在△CFG 和△FCA 中，，∴△CFG≌△FCE（ASA ），∴EF=CG ，∵BC=BG+CG ，∴BC=EF+AF ．【评论】本题考察了全等三角形的判断，考察了全等三角形对应边相等的性质，考察了斜边中线是斜边一半的性质，本题中求证△ADF ≌△BDG 和△CFG≌△FCA 是解题的重点．21 ．如图，△ABC 中，∠BCA=90 °，AC=BC ，点 D 是 BC 的中点， CE⊥AD 于 E， BF∥AC 交 CE 的延伸线于点F．（1 ）求证： BD=BF ；（2 ） AB 与 DF 有何地点关系？请说明原因；（3 ）求：的值．【剖析】（ 1 ）求出∠ CAD= ∠BCF ，∠CBF= ∠ACD ，证△ACD ≌△CBF，推出 CD=BF 即可；（ 2 ）求出∠ CBA= ∠FBA ，依据等腰三角形的性质得出即可；（ 3 ）设 CD=BD=BF=x，得出AC=BC=2x，依据勾股定理求出AD 、 DF ，即可得出答案．【解答】（ 1 ）证明：∵∠ACD=90°，CE⊥ AD，∴∠CED=90 °，∴∠CAD+ ∠CDA=90°，∠CDE+∠BCF=90°，∴∠CAD= ∠BCF，∵BF∥AC ，∠ACB=90 °，∴∠CBF=90 °= ∠ACD ，在△ACD 和△CBF 中∴△ACD ≌△CBF ，∴CD=BF ，∵D 为 BC 的中点，∴CD=BD ，∴BD=BF ；（ 2 ）解： AB 垂直均分 DF ， 原因是：∵∠ACB=90 °，AC=BC ，∴∠CBA= ∠CAB=45 °， ∵∠CBF=90 °，∴∠FBA=45 °= ∠CBA ，∵BD=BF ， ∴AB 垂直均分 DF ；（ 3 ）解：设 CD=BD=BF=x ，则 AC=BC=2x ，在 Rt △ACD 中，由勾股定理得： AD==x ，在 Rt △DBF 中，由勾股定理得： DF==x ，则= = ．【评论】 本题考察了勾股定理，全等三角形的性质和判断，等腰直角三角形，等腰三角形性质的应用，主要考察了学生的推理能力，综合性比较强，有必定的难度．22 ．以下图，在等腰△ ABC 中， BC=AC ，∠ACB=90 °，D 、 E 为斜边 AB 上的点，且∠ DCE=45 °求证： DE 2=AD 2+BE 2．【剖析】 如图，将△ ADC 绕点 C 逆时针旋转 90 °到△CBF 的地点；证明∠ A= ∠ABC= ∠CBF=45 °，得到 EF 2=AD 2+BE2证明△DCE ≌△FCE ，获得 DE=EF ，故 DE 2 =AD 2 +BE 2．【解答】 证明：如图，将△ ADC 绕点 C 逆时针旋转90 °到△CBF 的地点；则 CD=CE ， AD=BF ；∠BCF= ∠ACD ，∠CBF= ∠A ；∵BC=AC ，∠ACB=90 °， ∴∠A= ∠ABC= ∠CBF=45 °，∴∠EBF=90 °，EF 2=BE 2+BF 2 =AD 2 +BE 2；∵∠DCE=45 °，∠ACB=90 °，∴∠ACD+ ∠BCE=90 °﹣45 °=45 °，而∠ACD= ∠BCF ，∴∠ECF= ∠ECD=45 °；在△DCE 与△FCE 中，，∴△DCE ≌△FCE （ SAS ），∴DE=EF ，∴DE 2=AD 2+BE 2．【评论】 该题主要考察了旋转变换的性质、全等三角形的判断及其性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的重点是作旋转变换，将分别的条件集中到某个三角形中．23 ．（ 2016 ? 广东）如图， Rt △ABC 中，∠B=30 °，∠ACB=90 °，CD ⊥ AB 交 AB 于 D ，以 CD 为较短的直角边向△ CDB 的同侧作Rt △DEC，知足∠ E=30 °，∠DCE=90 °，再用相同的方法作Rt △FGC ，∠FCG=90 °，持续用相同的方法作Rt △HIC ，∠HCI=90 °．若AC=a ，求 CI 的长．【剖析】在 Rt △ACD 中，利用 30 度角的性质和勾股定理求CD 的长；同理在 Rt △ECD 中求 FC 的长，在 Rt △FCG 中求 CH 的长；最后在Rt △HCI 中，利用 30 度角的性质和勾股定理求CI 的长．【解答】解：在 Rt △ACB 中，∠B=30 °，∠ACB=90 °，∴∠A=90 °﹣30 °=60 °，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90 °，∴∠ACD=30 °，在 Rt △ACD 中， AC=a ，∴AD= a，由勾股定理得：CD==，同理得： FC=×=，CH=×=，在 Rt △HCI 中，∠I=30 °，∴HI=2HC=，由勾股定理得：CI==，答： CI 的长为．【评论】 本题考察了勾股定理和直角三角形含30 °角的性质，在直角三角形中， 30 °角所对的直角边等于斜边的一半，这一性质常常运用，一定娴熟掌握；同时在运用勾股定理和直角三角形含30 °角的性质时，必定要书写好所在的直角三角形，特别是本题多次运用了这一性质．24 ．（2016 ? 安徽模拟）定义：若三角形三个内角的度数分别是 x 、 y 和 z ，知足 x 2 +y 2 =z 2，则称这个三角形为勾股三角形．（ 1 ）依据上述定义， “直角三角形是勾股三角形”是真命题仍是假命题；（ 2 ）已知一勾股三角形三个内角从小到大挨次为 x 、 y 和 z ，且 xy=2160 ，求 x+y 的值；（ 3 ）如图，△ ABC 中， AB=， BC=2 ， AC=1+ ，求证：△ ABC 是勾股三角形．【剖析】（ 1 ）直接依据“勾股三角形”的定义，判断得出即可；（ 2 ）利用已知得出等量量关系构成方程组，从而求出x+y 的值；（ 3 ）过 B 作 BH ⊥ AC 于 H ，设 AH=x ，利用勾股定理第一得出 AH=BH=，HC=1 ，从而得出∠A=45 °，∠C=60 °，∠B=75 °，即可得出结论．【解答】（ 1 ）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；原因以下：∵对于随意的三角形，设其三个角的度数分别为x °、y °和z °，若知足 x 2+y 2 =z 2，则称这个三角形为勾股三角形，∴没法获得，全部直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（ 2 ）解：由题意可得：，解得： x+y=102 ；（ 3 ）证明：过 B 作 BH ⊥ AC 于 H，以下图：设 AH=xRt △ABH 中， BH=，Rt △CBH 中，（）2+（1+﹣x）2=4，解得： x=，∴AH=BH=，HC=1，∴∠A= ∠ABH=45°，∴tan ∠HBC===，∴∠HBC=30 °，∴∠BCH=60 °，∠B=75 °，∴45 2+602=752∴△ABC 是勾股三角形．【评论】本题主要考察了新定义、多元方程组解法、勾股定理和锐角三角函数关系，利用勾股定理得出 AH ，HC 的长是解题重点．25 ．（ 2016 春 ? 临清市期中）如图：四边形ABCD 中， AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥ CB 于 B．试求：（ 1 ）∠BAD 的度数；（ 2 ）四边形ABCD 的面积．【剖析】连结 AC ，则在直角△ ABC 中，已知AB ， BC 能够求 AC ，依据 AC ，AD ，CD 的长能够判定△ACD 为直角三角形，（1 ）依据∠ BAD= ∠CAD+ ∠BAC ，能够求解；（2 ）依据四边形 ABCD 的面积为△ ABC 和△ACD 的面积之和能够解题．【解答】解：（ 1 ）连结 AC ，∵AB ⊥CB 于 B，∴∠B=90 °，在△ABC 中，∵∠B=90 °，∴AB 2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2 ，∠BAC= ∠BCA=45 °，∵CD=，DA=1，∴CD 2=5 ， DA2=1 ， AC2=4 ．∴AC 2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90 °，∴∠BAD= ∠BAC+ ∠DAC=45 °+90 °=135 °；（ 2 ）∵∠DAC=90 °，AB ⊥ CB 于 B，∴S△ABC =，S△DAC=，∵AB=CB=，DA=1，AC=2，∴S△ABC =1 ， S△DAC =1而 S 四边形ABCD =S △ABC +S △DAC，∴S 四边形ABCD =2 ．【评论】本题考察了勾股定理在直角三角形中的运用，考察了依据勾股定理逆定理判断直角三角形，考察了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD 是直角三角形是解题的重点．26 ．（ 2016 春 ? 孝南区校级月考）已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90 °，CD ⊥ AD ，AD 2+CD2=2AB2，求证： AB=BC ．【剖析】由勾股定理得出AB 2+BC2=AC2，AD2+CD2=AC2，再由已知条件得出AB2 +BC 2 =2AB 2，AB 2=BC2，即可得出结论．【解答】证明：∵∠ABC=90 °，∴AB 2+BC2=AC2，∵CD⊥AD ，∴∠ADC=90 °，∴AD 2+CD2=AC2，∵AD 2+CD2=2AB2，∴AC 2=2AB2，∴AB 2+BC2=2AB2，∴AB 2=BC2，∴AB=BC ．【评论】本题考察了勾股定理、线段相等的证明方法；娴熟掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的重点．27 ．已知△ABC 中， AB=AC ．（1 ）如图 1，在△ADE 中，若 AD=AE ，且∠DAE= ∠BAC ，求证： CD=BE ；（2 ）如图 2，在△ADE 中，若∠DAE= ∠BAC=60 °，且CD 垂直均分 AE ，AD=3 ，CD=4 ，求 BD 的长；（3 ）如图 3，在△ADE 中，当 BD 垂直均分 AE 于 H，且∠ BAC=2 ∠ADB 时，尝试究 CD 2，BD2，AH 2之间的数目关系，并证明．【剖析】（ 1 ）求出∠ DAC= ∠BAE ，再利用“边角边”证明△ACD 和△ABE 全等，再依据全等三角形对应边相等即可得证；。
浙教版八年级数学上册二章2.7《探索勾股定理》同步练习 .docx
浙教版八年级上第二章2.7《探索勾股定理》同步练习一、选择题1.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a ,b ,c .若∠A+∠C=90°,那么下列等式中成立的是（ ）A. 222a b c +=B. 222a c b +=C. 222b c a +=D.以上都不对2. 如果直角三角形的三条边为2，4，a ，那么a 的取值可以有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.直角三角形两直角边的长分别为3和4，则此直角三角形斜边上的中线长为（ ）Ａ．1.5 Ｂ．2 Ｃ．2.5 Ｄ．54. 已知△ABC 的三边长分别是3cm 、4cm 、5cm ，则△ABC 的面积是（ ）A.6cm 2B.7.5cm 2C.10cm 2D.12cm 25. 如图1，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，则这个三角形为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形或钝角三角形6. 在△ABC 中, AB 2=(a+b )2, AC 2=(a-b )2, BC 2=4ab 且a >b >0,则（ ）A. ∠A=90°B.∠B=90°C.∠C=90°D. △ABC 不一定是直角三角形7.如图2，在ABC ∆中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点E ，F 是中线AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）A.6B.12C.24D.308.如图3是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分．．．．a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A ．1213a ≤≤ B ．1215a ≤≤ C ．512a ≤≤ D ．513a ≤≤二、填空题9.画一个直角三角形,使其两条直角边长分别是3cm 和4c m,则斜边长为 cm10.若一个三角形中有两个角分别为40°、50°,则这个三角形是 三角形.11.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝10，AC ＝8，则BC ＝ ．12.一个三角形的三边分别记为,,a b c ,若222c a b -=,则这个三角形是 三角形.13. 如图4，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽 度为_________ m.14. 下列结论:①三个角度之比为1∶2∶3的三角形是直角三角形;②三边长之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形;③三边长之比为8∶16∶17的三角形是直角三角形;④三个角度之比为1∶1∶2的三角形是直角三角形.其中正确的有 .(填序号)三、解答题15. 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，,,.AB c BC a AC b ===(1)若15,20a b ==,求c ;(2)若9,41a c ==,求.b16. 如图(1)，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，如图(2)，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米．17. 如图6所示的一块地，∠ADC ＝90°，AD ＝12m ，CD ＝9m ，AB ＝39m ，BC ＝36m ，求这块地的面积.18.阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为∆ABC 的三边，且满足a c b c a b 222244-=-，试判断∆ABC 的形状。
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2.7勾股定理同步练习
一．选择题（共12小题）
1．下列说法中，正确的有（）
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2016春•马山县校级月考）如图，已知长方形ABCD中，AD=6，AB=8，P是AD边上的点，将△ABP沿BP折叠，使点A落在点E上，PE、BE与CD分别交于点O、F，且OD=OE，则AP的长为（）
A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.4
3．（2016春•江汉区期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC沿DE 折叠，使点C与点A重合，则AE的长等于（）
A．4cm B．cm C．cm D．cm
4．（2016春•深圳校级期中）已知正方形ABCD的边长为3，E是BC上一点，BE=，Q是CD上一动点，将△CEQ沿直线EQ折叠后，点C落在点P处，连接PA，点Q从点C出发，沿线段CD 向点D运动，当PA的长度最小时，CQ的长为（）。