高中数学 平面向量数乘运算及其几何意义课件 新人教A版必修4
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人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
人教A版高中数学必修4课件2.2向量数乘运算及其几何意义课件
讲授新课
注意：
实数与向量a，可以作积， 但不可以作加减法，即＋a， －a是 无 意 义 的 ．
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
讲授新课
实数与向量的积的运算律： a
2a
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
a
2a
3( 2a )
讲授新课
实数与向量的积的运算律：
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
讲授新课
思考
共
反过来，如果 线向量，那么b
a
与
b是
a？
结那论么：如b 果aa，. b是共线向量，
讲授新课
结 论：
向
量b与
非零向
量a共
线,当且
仅当
有唯
一一个
实数，使
得b
a
.
讲授新课
例
3.
向量a
e1
e2
,
b
2e1
2e2
是否共线？
试用m, n表示DE, EF , FD.
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请
作出a
a
a和(a
)
(a
)
(a
)
向量，并指出相加后和的长度和方向有
什么变化？
复习回顾
请作出a
a
a和(a
)
高中数学《2.2.3向量数乘运算及其几何意义》 新人教A版必修4
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和 （－ a ）＋（－ a ）＋ （－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又 平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于 是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，
ppt课件
1.掌握向量的数乘运算及几何意义； 2.掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算； 3.理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共
线的向量，能判断两个向量共线； 4.通过本节课的学习，体会类比和化归思想．
如何求作两个非零向量的和向量？
a
NoO
a
A
吗？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是
3a
吗? 你能用图形表示吗？
向量数乘的定义
思考1：已知非零向量 a ，如何求作向量 a ＋ a ＋ a 和 （－ a ）＋（－ a ）＋ （－ a ）？
a
a
a
a
OA
BC
a
a
OC aaa
a
P
N MO
OP （－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
思考2：向量 a ＋ a ＋ a 和（－ a ）＋（－ a ）＋（－ a ）
解:在平行四边形ABCD中，
ACABADab,
DBABADab.
又 平行四边形的两条对角线互相平分，
MA1AC 2
D
C
b
M
1(ab) 1a1b;
2
22 A a
B
M B 1D B 1(a b )1a1b ;
22
22
M C1AC1a1b; 2 22
M D M B 1D B 1a1b . 2 22
事实上，因为 A B = O B -O A
a 2b (a b) b, 而 AC OC OA =a 3b (a b) =2b, 于 是 AC=2AB. 所以，A、B、C三点共线.
ppt课件
例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，
人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学课件
进行比较。
a
3(2a)和
6a(
a为非零向量)，并
问题二：求作向量 (2 3)a和 2a 3a，并进行比较。
a
问题三：已知向量 a、b，求作向量 2(a b) 和
2a 2b ，并进行比较。
a
b
实根数据与定向义量，积求的作运向算量律 3(2a )和
6a
(
a为非零向
量)，并进行比较。
a
和 MD 吗？
D
C
解：在 ABCD中，
AC AB AD a b
M
b
DB AB AD a b
A
a
B
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
Байду номын сангаас22
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
的长度和方向规定如下：
（1）大小： a a
相同
相反
实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数 与向量不能相加、相减.
思考：你能说明向量数乘的几何意义吗？
a
数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或反
方向放大或缩短 倍.
思考：类比数的乘法运算律，你能说出向量数乘的 运算律吗？
问题一：求作向量
结合律: λ(μa)=(λμ)a 分配律: (λ+μ)a =λa +μa 分配律: λ(a + b)=λa +λb
特别地
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
(3) 4a
例1 计算（牛刀小试）
（1）
（2） 3(a+b)-2(a b) a （3） (2a+3b-c) (3a-2b c)
2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义 课件(37张PPT) 高中数学必修4(人教版A版)
)
解：设
AB AB
AB 为 上的单位向量， AB
'
AC AC
AC ' 为 AC 上的单位向量
则 AB AC 的方向为∠BAC的角平分线AD的方向 AC AB （如图） y
解：（ 1 ）原式 4a 12b 6c 9a 12b 6c 13a
（2）3x 3a 2x 4a 4x 4a 4b 0
x 3a 4b 0
x 3a 4b
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ。 问题1：如果 b=λa 那么，向量a与b是否共线？ 问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？
∴ A、B、D 三点共线
定理
向量
b
与非零向量
a
共线
有且仅有一个实数 ，使得
b a．
E
例4.如图：已知 AD 3 AB ， DE 3BC ， 试判断 AC 与 AE 是否共线．
解： AE AD DE 3 AB 3 BC
C A B D
3AB BC
外心 ；
② AB AC 一定过边 BC 的中点；通过 ABC 的 重心 ； ③ OA OB OC 0 ， O 是 ABC 的 重心 ；
C
C
D
C
M O A BA B
O M
A
B
(4) (
AB
| AB | | AC |
AC
)( R) 通过三角形ABC的
内心 _________
B B’ A (P) C’ D C x
高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义习题课件新人教A版必修4
思考题 2 已知 λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λ a|＝λ|a| C．|λ a|＝|λ|·|a|
B．|λ a|＝|λ|·a D．|λ a|>0
【答案】 C
题型二 向量共线定理的应用 例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线： (1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 与 a＋kb 共线．
要点 2 向量数乘的运算律 设 a，b 为任意向量，λ 、μ 为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝(λμ)a； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb． 要点 3 共线向量定理 向量 b 与非零向量 a 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 得 b＝λa．
1．向量与实数可以求积，能求加、减运算吗？ 答：不能，如 λ＋a，λ－a 无意义．
－λ，y＝λ，即 x＋y＝1. 【答案】 1
例 5 如图所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量C→D ＝( )
A.B→C－12B→A B．－B→C＋12B→A C．－B→C－12B→A D.B→C－12B→A
【解析】 解法一 ∵D 是 AB 的中点，∴B→D＝12B→A， ∴C→D＝C→B＋B→D＝－B→C＋12B→A. 解法二 由C→D＝12(C→B＋C→A)＝12[C→B＋(C→B＋B→A)]＝C→B＋12 B→A＝－B→C＋12B→A. 【答案】 B
【解析】 (1)真命题，∵ 2>0，∴ 2a 与 a 同向． 又| 2a|＝ 2|a|，∴ 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)真命题．∵－3<0， ∴－3a 与 a 方向相反且|－3a|＝3|a|. 又∵6>0，∴6a 与 a 方向相同且|6a|＝6|a|. ∴－3a 与 6a 方向相反且模是 6a 的模的12；
高一数学人教A版必修4课件2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
3.解读运算律 λ(a+b)=λa+λb 的几何意义 (1)当 a,b 中有一个等于 0,或 λ=0 或 1 时,等式显然成立. (2)当 a,b 都不等于 0,且 λ≠1,λ≠0, 当 λ>0,且 λ≠1 时,如图, ������������=a,������������ =b,������������1 =λa,������1 ������1 =λb,������������=a+b,������������1 =λa+λb, 由作法知������������ ∥ ������1 ������1 , 所以|������1 ������1 |=λ|������������ |, 所以|������������1 |=λ|������������|,且������������1 与������������方向也相同, 故有 λ(a+b)=λa+λb 成立. 当 λ<0 时,同理可证. 综上,λ(a+b)=λa+λb 成立.
一
二
三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 计算:(1)3(6a+b)-9 ������ + ������ ; (2) (3������ + 2������)- ������ + ������ -2 ������ + ������ ; 2 2 2 8 (3)2(5a- 4b+c)-3(a-3b+c)-7a. 思路分析 :可综合运用向量数乘的运算律求解 . 解:(1)原式=18a+3b- 9a- 3b=9a; (2)原式 =
1 2 1 1 1 3 3
1
2������ + ������ -a- b=a+ b-a- b=0;
2.2.3[向量数乘运算及其几何意义]课件(新人教a版必修4)
![2.2.3[向量数乘运算及其几何意义]课件(新人教a版必修4)](https://img.taocdn.com/s3/m/fb629d7c7fd5360cba1adbd4.png)
２．如图，在任意四边形ABCD中，E为AD的中 点，F为BC的中点，求证：
AB DC 2EF
建议课后作业:
P 101 T9、T10、 T11
a 的方向与 a 的方向 （2）当 0 时， 相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方
向相反；特别地，当 0时， a 0
（ 1） a a
2、实数与向量积的运算律
3(2a ) = 6 a
a
2a
3(2a )
6a
（） 1 ( a) ( )a
3 AC
∴
AC 与 AE 共线．ห้องสมุดไป่ตู้
思考:
判断下列各小题中的向量a与b是否共线: (1)a 2e, b 2e; (2) a e1 e2 , b 2e1 2e2
练习强化
1.已知 , R,则在以下各命题中,正确的命题共有(Ｄ ) (1) <0,a 0, a与a方向一定相反; (2) 0, a 0, a与a方向一定相同; (3) 0,a 0, a与a是共线向量; (4) >0,a 0, a与 a方向一定相同; (5) <0,a 0, a与 a方向一定相反; A.2 B.3 C.4 D.5
数与向量积
看书P97~99 (限时5分钟)
学习目标
1、实数与向量积的定义 2、实数与向量积的运算律
3、向量 与非零向量 a共线 的充要条件
b
一只兔每次位移向量
a
,
3次位移多少?
3a
n(n N )次位移多少?
na
位移与速度的关系：
s = tv
1、实数与向量积的定义
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规定如下：
（1）|a||||a|;
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时，a 0.
练一练: 课本P90,练习2,3
探究 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
2： (a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
练一练: 课本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OAab,
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
运算，对于任意向量a、 b以及任意实数、1、2，
恒有（1a2b） =1a2b
例1、计算下列各式
(1) (3)4a
12a
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 5b
( 3 )2 a ( 3 b c ) ( 3 a 2 b c )
a 5b 2c
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b
B
2b
A
b a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
练习:
A,B,C三点共线
1 、 已 知 两 个 非 零 向 量 e 1 和 e 2 不 共 线 ， 如 果 A B 2 e 1 3 e 2 ， B C 6 e 1 2 3 e 2 ， C D 4 e 1 8 e 2 ， 求 证 :A 、 B 、 D 三 点 共 线 .
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 首尾相连，始到终
C
ab b
A
a
B
3.向量减法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则:
共起点，对角线
Ba
b
ab
C b
O
a
A
共起点，后到前
a
b
BAab
b
O
a
A
探究1： 已知非零向量 a ,作出 aaa ,你能发现什么？ a
2 、 设 e 1 和 e 2 是 两 个 不 共 线 的 向 量 ， 如 果 A B 2 e 1 k e 2 ， C B e 1 3 e 2 ， C D 2 e 1 e 2 ， 若 A 、 B 、 D 三 点 共 线 ， 求 k 值 ，
例5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
并进行比较。 a
3(2a)
b
3(2a)
=
a
6a
2a2b
ab
2b
2 (a b)2 a2 b
2a
1、向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数
（1）（a) ( )a——结合律
(2)( )a a a——第一分配律
(3) (a b) a b——第二分配律
2、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性
练一练: 课本P90,练习5
探究3：
(1)若ba(a0),则a,b位置关系?如何
b // a
(2)若 b//a(a0),则 ba是否成 ? 立
成立
3、向量共线定理：
向 量 a ( a 0 ) 与 b 共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 , 使 b a .
即 a与 b共 线 b a (a 0)
ABa,ADb ，你能用 a 、b 来表示M A 、 M B 、 M C 和 M D。
D
C
M
b
A
a
B
练一练: 课本P92,11、12题
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
3 a a a a
O
A
B
C
3 a 与 a 方向相同
即3a 3 a
类比上述结论，( a ) ( a ) ( a ) 又如何呢？
3 a a a a
N
M
Q
P
3 a 与 a 方向相反
即3a 3a
一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度和方向
（1）|a||||a|;
（2）当 0时， a 的方向与 a 的方向相同；
当 0时， a 的方向与 a 的方向相反。
特别的，当 0 时，a 0.
练一练: 课本P90,练习2,3
探究 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
2： (a为非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b
思考:1) a 为什么要是非零向量?
2) b 可以是零向量吗?
练一练: 课本P90,练习4
例2 如图，已知AD=3AB，DE=3BC，
试判断AC与AE是否共线。
E
C
解： A EA D DE A
B
3AB3BC
3A BBC
D
3AC
∴ AC 与 AE 共线．
例3.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作OAab,
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
运算，对于任意向量a、 b以及任意实数、1、2，
恒有（1a2b） =1a2b
例1、计算下列各式
(1) (3)4a
12a
( 2 ) 3 ( a b ) 2 ( a b ) a 5b
( 3 )2 a ( 3 b c ) ( 3 a 2 b c )
a 5b 2c
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
a
b
3b
B
2b
A
b a
O
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
练习:
A,B,C三点共线
1 、 已 知 两 个 非 零 向 量 e 1 和 e 2 不 共 线 ， 如 果 A B 2 e 1 3 e 2 ， B C 6 e 1 2 3 e 2 ， C D 4 e 1 8 e 2 ， 求 证 :A 、 B 、 D 三 点 共 线 .
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则: 首尾相连，始到终
C
ab b
A
a
B
3.向量减法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则:
共起点，对角线
Ba
b
ab
C b
O
a
A
共起点，后到前
a
b
BAab
b
O
a
A
探究1： 已知非零向量 a ,作出 aaa ,你能发现什么？ a
2 、 设 e 1 和 e 2 是 两 个 不 共 线 的 向 量 ， 如 果 A B 2 e 1 k e 2 ， C B e 1 3 e 2 ， C D 2 e 1 e 2 ， 若 A 、 B 、 D 三 点 共 线 ， 求 k 值 ，
例5.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且
并进行比较。 a
3(2a)
b
3(2a)
=
a
6a
2a2b
ab
2b
2 (a b)2 a2 b
2a
1、向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数
（1）（a) ( )a——结合律
(2)( )a a a——第一分配律
(3) (a b) a b——第二分配律
2、向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性
练一练: 课本P90,练习5
探究3：
(1)若ba(a0),则a,b位置关系?如何
b // a
(2)若 b//a(a0),则 ba是否成 ? 立
成立
3、向量共线定理：
向 量 a ( a 0 ) 与 b 共 线 ,当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 , 使 b a .
即 a与 b共 线 b a (a 0)
ABa,ADb ，你能用 a 、b 来表示M A 、 M B 、 M C 和 M D。
D
C
M
b
A
a
B
练一练: 课本P92,11、12题
小结:
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行:
3 a a a a
O
A
B
C
3 a 与 a 方向相同
即3a 3 a
类比上述结论，( a ) ( a ) ( a ) 又如何呢？
3 a a a a
N
M
Q
P
3 a 与 a 方向相反
即3a 3a
一般地，我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 a ，它的长度和方向