2004年第15届全国希望杯数学邀请赛初二第2试试卷
八年级数学希望杯第1-22届试题汇总(含答案与提示)
希望杯第一届（1990）第二试试题 (1)希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题 (5)希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题 (10)希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题 (18)希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题 (24)希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题 (26)希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题 (32)第六届(1995年)初中二年级第一试试题 (45)希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题 (50)希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题 (56)希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题 (62)希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题 (72)希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题 (79)第九届（1998年）初中二年级第一试试题 (88)希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题 (98)1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (108)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试 (111)2000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试 (114)2001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题 (119)2001年希望杯第12届八年级第2试试题 (122)2002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试 (129)2002年度初二“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (132)2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试 (139)2003年第十四届“希望杯”(初二笫2试) (142)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 (148)2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试 (151)2005年第十六届希望杯初二第1试试题 (157)2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (159)2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (163)2006年第十七届“希望杯’’数学邀请赛第二试 (166)2007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试 (171)2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (173)2008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题 (179)2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (183)2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (186)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试 (193)2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (195)2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第二试 (201)希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ]A．7.5 B．12. C．4. D．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ]A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ]A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N.B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1,则∠BDA=[ ]A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA 的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____. 3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300,三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列n 1＜n 2＜n 3＜n 4……，试求：n 1·n 2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( ) A．a＜b＜c. B．(a-b)2+(b-c)2=0. C．c＜a＜b. D．a=b≠c5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的 ( )A．4倍. B．3倍. C．2倍. D．1倍6．D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 27.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为的x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22，y 2C. x 2y 22，y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( )A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b a a b +等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______. 6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______．8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++______.10．已知两数积ab ≠1．且2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则ab=______.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1.已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO∥FK，OH∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989 (1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
第8-21届希望杯全国数学邀请赛(初二)试题
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第九届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是（AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则y1x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是 （A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为 （A ）一切偶数 （B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）20001999个 （B ）19992000个 （C ）2001000个 （D ）2001999个 8．如图1，梯形ABCD 中，AB //CD ，且CD ＝3AB ，EF //CD ，EF 将梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，则AE ：ED 等于（ ）。
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x.二、填空题（每题1分，共10分） 1..________6613022=-2.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷- 3.89850-+=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x yx y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．答案与提示一、选择题提示：1．因为所求角α=5(90°-α),解得α=75°．故选(B)．2．因为2的平方是4，4的平方根有2个，就是±2．故选(C)．3．以x=1代入，得a0-a1+a0-a1-a1+a1-a0+a1-a0+a1=2a0-3a1+3a1-2a0=0．故选(A)．＜3，根据大边对大角，有∠C＞∠B＞∠A．5．如图5，数一数即得．又因原式中有一个负号．所以也不可能是(D)，只能选(A)．7．∵a＜0，故选(C)．8．有△ABE，△ABM，△ADP，△ABF，△AMF等五种类型．选(D)．9．题目说是一个固定的值，就是说：不论x，y取何值，原式的值不变．于是以x=y=0代入，得：故选(B)．故选(A)．二、填空题提示：4．∠ADC=∠2+∠ADB=∠1+∠ADB=180°--∠A=120° 所以∠ADC 的度数是120度． 5．∠COD 度数的一半是30度．8．∵Δ=p 2-4q ＞p 2．9．方程组可化简为：解得： x=1，y=-1，z=0． ∴1989x-y+25z=1990．10．∵6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=(3x 2+4x-7)(2x 2+x+1)而3x 2+4x-7=0．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞MC ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q.D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1∶3,则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分）1． △ABC 中，∠CAB ∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______． 2． 21(2)0a ab -+-=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=30053三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______．5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和A ＇B ＇C ＇D ＇，且正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的顶点A ＇在正方形ABCD 的中心．当正方形A ＇B ＇C ＇D ＇绕A ＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．答案与提示一、选择题提示：1．若底边长为12．则其他二边之和也是12，矛盾．故不可能是(B)或(D)．又：底为4时，腰长是10．符合题意．故选(C)．=19882+3×1988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883．只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1．从而选(A)．4．由图6可知：当∠BDA=60°时，∠CDB5．如图7按同心圆分成面积相等的四部分．在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形．如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形．故选(D)．二、填空题提示：1．如图8：∠NLC=∠B+∠1=∠CAB-90°+∠1=∠CAB-∠3 =∠N．∴NC=LC=3．5．当a，b，c均为正时，值为7．当a，b，c不均为正时，值为-1．三、解答题1．证法一把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，…，(177，354)．这样的组中，任一组内的两个数之差为177．从1~354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组．也即至少有两个数之差是177．从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177．证法二从1到354的自然数中，任取178个数．由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，…，176这177种之一．因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a b=k×177．又因1~354中，任两数之差小于2×177=354．所以两个不相等的数a，b之差必为177．即a b=177．∴从自然数1，2，3，…，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是177．2．如图9，重合部分面积S A＇EBF是一个定值．证明：连A＇B，A＇C，由A＇为正方形ABCD的中心，知∠A＇BE=∠A＇CF=45°．又，当A＇B＇与A＇B重合时，必有A＇D＇与A＇C重合，故知∠EA＇B=∠FA＇C．在△A＇FC和△A＇EB中，∴S A＇EBF=S△A＇BC．∴两个正方形的重合部分面积必然是一个定值．3．可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190．其中 1990=7×284+2，1909=7×272+5．1099=7×157,9091=7×1298+5,9109=7×1301+2,9910=7×1415+5，9901=7×1414+3，9019=7×1288+3，9190=7×1312+6．即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6．即余数只有0，2，3，5，6五种．它们加1，2，3都可能有余1的情形出现．如0+1≡1，6+2≡1，5+3≡(mod7)．而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n．又：加5，6有：5+3≡1，6+2≡1．(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13．没有一个被7除余1．所以7是次小的n．即 n1=4，n2=7∴ n1×n2=4×7=28．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大(1)BOC ．一正根、一负根且负根的绝对值小;D ．没有实数根15．甲乙二人，从M 地同时出发去N 地．甲用一半时间以每小时a 公里的速度行走，另一半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．答案与提示一、选择题提示：1．∵OP=OB-PB=OB-(AB-AP)=6-(8-5)=3．∴选(B)．2．∵以2，3代入方程，适合．故选(B)．3．∵有两条边相等的三角形是等腰三角形．∴选(D)．4．∵a=1，b=-1，c=1．∴选(C)．6．∵x=y＞5的任何正整数，都可以和10作为三角形的三条边．∴选(D)．7．两直线相交所成角可以是直角，故而(A)，(D)均不能成立．∴选(C)．8．设两个角为α,β.则(α+β)+(α-β)=180°,即α=90°．故选(D)．9．∵不论x为何实数，x2+|x|+1总是大于零的．∴选(D)．即7a=2b+2，可见a只能为偶数，b+1是7的倍数．故取(A)．11．设这11个连续奇数为：2n+1，2n+3，2n+5，…，2n+21．则(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+…+(2n+21)=1991．即 11(2n+11)=1991．解得n=85．∴第六个数是2×85+11=181．故选(B)．∴选(A)．13．原方程可化为(2x5-20x3+2x)+(x4-10x2+1)=0．即 (2x+1)(x4-10x2+1)=0．即 x4-10x2+1=0．故取(C)．14．a＜-1时，a3+1＜0，a2+1＞0，a+1＜0．而若方程的两根为x1，x2，则有15．设M，N两地距离为S，甲需时间t1，乙需时间t2，则有∴t1＜t2，即甲先．另外：设a=1，b=2，则甲走6小时，共走了9公里，这时乙走的时间为从这个计算中，可以看到，a，b的值互换，不影响结果．故取(B)．二、填空题提示：1．设所求角为α，则有(180°-α)-(90°-α)=90°．4．x3+2x2y+2xy3+y3=(x3+y3)+(2x2y+2xy2)=(x+y)(x2-xy+y2)+2xy(x+y)=(x+y)(x2+xy+y2)5．设二根为x1，-x1，则x1+(-x1)=-(k2-9)．即k2-9=0．即k=±3．又，要有实数根，必须有△≥0．即 (k2-9)2-4(k+2)＞0．显然 k=3不适合上面的不等式，∴k=-3．6．由2x2-3x-1=a(x+1)2+b(x-1)+c是恒等式，故由x=1代入，得c=-2；x2项的系数相等，有a=2，这时再以x=0代入，得-1=a-b+c．即b=1．7．x2-y2=1991，(x-y)(y+x)=11×181可以是9．BD∶DC=2∶1，故有AB∶AC=2∶1，直角三角形斜边与直角边之比为2∶1，则有∠B=30°．10．从A出发可连6条，从B出发可连5条，（因为BA就是AB），从C出发可连4条，…，从F出发可连一条．共计1+2+3+4+5+6=21（条）．另法：每个点出发均可连6条，共有42条．但每条都重复过一次，11．如图28．∠F=∠1+∠A+∠2．又：△ADC≌△CEB．∴∠1=∠3．∴∠F=∠3+∠A+∠2=∠B+∠A=120°．12．△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，故AD又是垂线，又是分角线，故∠BAD=60°，∠ADB=90°．又：AE是分角线，故∠DAE=∠EAB=30°．又：DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°．在△ADF中，∠DAF=∠F=30°．∴AD=DF．而在△ADB中，AB=9，∠B=30°．13．∵4＜BC＜14．∴当BC为4时，BD=CD=2，AD＜7．当BC=14时，BC=CD=7，有AD＞2．∴2＜AD＜7．14．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是45°，则顶角是90°，高就是腰，其长为10cm．15．设两根为x1，x2．则x1+x2=-p① x1x2=q②由题设及①，②可知，x1，x2均为负整数．q为质数，若q为奇数，则x1，x2均为奇数．从而p为偶数，而偶质数只有2，两个负整数之和为-2，且不相等，这是不可能的．若q为偶数（只能是2），两个负整数之积为2，且不相等，只能是-1和-2．∴方程的根是-1和-2．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于( )A．1 ; B．2; C．3; D．42．两个正数m，n的比是t(t＞1)．若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( )A.ts; Bs-ts; C.1tss+; D.1st+.3.y>0时,3x y-等于( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2，y 22y 2;C. x 2，y 2; D. x 2y 2.9．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538.二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×19911991-1991×19891988=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______． 9.2243x x +++的最小值的整数部分是______.10．已知两数积ab ≠1．且2a 2+1234567890a+3=0,3b 2+1234567890b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．答案与提示一、选择题提示：3．由y＞0，可知x＜0．故选(C)．4．容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式．故选(B)．5．△ACD是等边三角形,△BCA和△ADE均为等腰三角形.故知∠BAC=30°,而∠BAE=120°,所以选(A)．6．以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2＞BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2＞BD2+CD2．故选(D)．故选(C)．∴选(C)．9．∵x=4，y=5，z=4，u=4．∴选(A)．10．由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数．二、填空题提示：1．1989×19911991-1991×19891988=1989(1991×104+1991)-1991(1989×104+1988)=1989×1991-1991×1988=1991．2．原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)．3．原式=(a+c)(a+b)∶[(b+a)(b+c)∶(c+a)(c+b)]∴平方根为±(a+c)．4．正多边形中，最小内角为60°，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为180°．5．两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾．∴a=1或2．7．在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在△ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可△ADC为直角三角形．从而有面积为8．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，正好是以∠2，∠3，∠5为3个内角的四边形的4个内角之和．∴和为360°．10．由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1．设这两个正数为a，b．则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b≤2．证明（反证法）：若a+b＞2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b≤1，→a＞2b，这个不等式两边均为正数，→a3＞(2-b)3．→a3＞8-12b+6b2-b3．→a3+b3＞8-12b+6b2．→6b2-12b+6＜0．→b2-2b+1＜0．→(b-1)2＜0．矛盾．∴a+b≤2．即本题的结论是正确的．2．本题以图33为准．由图34知OK∥AB，延长EO和FK，即得所求新渠．这时，HG=GM（都等于OK），且OK ∥AB，故△OHG的面积和△KGM的面积相同．即新渠占地面积与原渠面积相等．而且只挖了△KGM这么大的一块地．我们再看另一种方法，如图35．作法：①连结EH，FG．②过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M．③连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线．又：EH∥ON∴△EOH面积=△FNH面积．从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多．即新渠面积与原渠的面积相等．由图35可知，第二种作法用工较多（∵要挖的面积较大）．故应选第一种方法。
八年级数学第15届“希望杯”第2试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第 15届“希望杯”第2试试题一、选择题(每小题5分，共50分) 1. 方程|x+1|+|x-3|=4 的整数解有() (A)2个(B)3个 (C)5个 (D)无穷多个m ［ 1 血2. 若等式对任意的x(x 丰± 3)恒成立，则 mn=()(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-163. 若x > z y >z ，则下列各式中一定成 立的是() (A)x+y > 4z(B)x+y > 3z(C)x+y > 2z(D)x+y > z4. 规定［a ］表示不超过a 的最大整数，当x=-1时，代数式2mf-3nx+6的值为16,2则[」m-n]=()5. 如图1，在=ABCD 中, AC 与BD 相交于O, AEL BD 于E , CF 丄BD 于F ,那么图中的全等 三角形共有()(A)-4(B)-3(C)3 (D)4(C)7 对(D)8 对Hi6.如图2，在直角扇形ABC 内,分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成 S 1, S, S 3, S 4四部分，贝y S 2和S 4的大小关系是((A)S 2V S 4(B)S 2=S(C)S 2> S 4(D)无法确定(B)6 对C027.Give n m is a real number, and |1-m|=|m|+1 , simplify an algebraic expression,then] £8. 二(1)班共有35名学生，其中]的男生和1的女生骑自行车上学， 那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是() (A)9(B)10(C)11(D)129. 李编辑昨天按时间顺序先后收到 A B C 、D E 共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最 新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序： ①BAECD ②CEDBA ③ACBED④DCABE 中，李编辑可能回复的邮件顺序是()(A)①和②(B)②和③(C)③和④(D)①和④10. 有A 、B 、C 三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同)，设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两 把尺子的长度.已知用C 尺量度，得A 尺比B 尺长6个单位；用A 尺量度，得B 尺比C 尺长 10个单位；则用B 尺量度，A 尺比C 尺()(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位 (D)短5个单位二、填空题(每小题5分，共50分)11. 若方程 |1002x-1002 2|=1002 3 的根分别是 X 1 和 X 2，贝U X 1 +X 2= ___ . 12. 分解因式：a 4+2a 3b+3a 2b 2+2ab 3+b 4= ____ ._______________ 1 _______________13. 对于任意的自然数n ,有f(n)=： ： ^ X 1' ,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)= _____ .(A)|m|-1 (B)-|m|+1(C)m-1(D)-m+1(英汉小词典simplify化简；algebraic expressi on:代数式))-314414.X 1, X 2, X 3, X 4, X 5, X 6 都是正数，且 =6,贝 VX 1X 2X 3X 4X 5X 6=15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD AE 』DE CEL AD CE is a bisector to / BCD then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____ (英汉小词典trapezoid :梯形；bisector :平分线；ratio :比值； quadrilateral :四边形) b 4d-7 b -h 1 7(d -1) £ Figure 316.已知a ，b ，c ，d 为正整数，且•- - ， - ，则-的值 是 ______ ; h 的值是 ________ 17. 一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是 18,那么另一条直 角边的长有 _______ 种可能，它的最大值是 ________ . 18. “神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成，已知三个舱中每两个舱的长度和 分别为4859mm 5000mm 5741mm 那么这r 三个舱中长度最大的是 ________ mm 长度最小的是 ____ mm. 19. 若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36 ，贝U x+2y+3z 的最大值是 ____ ，最 小值是 _____ . 20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图，其中有关房产城建的 热线电话有30个，那么有关环境保护的电话有 _________ 个；如果每年按52周计算「，每周接到 的热线电话的数量相同，那么“市民热线” 一年内接到的热线电 话有 ___ 个. 唐产域淫道路 36■/环境保护三、解答题(每题10分，共30分)苴它方面21.民航规定：旅客可以免 费携带a 千克物品，若超过a 千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(b > a)时，所交费用为Q=10b-200(单位: 元).(1) 小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2) 小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3) 若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m 表示Q.22. 如图5, —张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm,把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF.(1) 证明四边形AECF是菱形;⑵计算折痕EF的长；⑶求A CEH的面积.23. 如图6,用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点O A、B均在正方形格子的顶点(格点)处，其中点0与点A位于同一水平线上，相距a格，点0与点B 位于同一竖直线上，相距b格.(1) 若a=5, b=4,则厶OAB中(包括三条边)共有多少个格点？(2) 若a, b互质，则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点？证明你的结论.⑶若a, b互质，且a> b>8,A OAB中(包括三条边)共有67个格点，求a, b的值.参考答案、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A二、11.2004 12.(a 2+b2+ab)213.5 14.6 15.7:9 16.21 ; 7 17.2 ; 8018.2941 ; 2059 19.15 ; -6 20.45 ; 7800三、21.(1)Q=35 X 10 -200=150(元);(2) 设小王携带了x千克物品，则10x-200=100，解得x=30.(3) 已知最多可以免费携带a千克物品，则10a-200=0 ,解得a=20.所以m=b-a=b-20,即b=m+20.故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).22. (1)如图1，因为AB// CD所以AF// CE CF// HE根据对称性，知/ CEH M AED因为DE、C三点共线，所以A、E、H三点共线，所以AE//CF,所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF 所以四边形AECF是菱形.⑵设AF=x,则• 一ICF=x, BF=9-x.在厶BCF中，C F=B F+B C,所以x2=(9-x) 2+32,解得x=5,即卩CF=5 BF=4.过E作EM L AB交AB于M,则MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1EM=3.所以EF 二J EM*十= JiF.(3) 根据对称性，知△ CEH^A AED£ ££所以S^CEH F S^AEE F 2 DE- AD=] (AF- MF) • AD< X 4X 3=6(cm2).23. (1)如图2, a=5, b=4,A OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.(2)若a，b互质，假设线段AB上存在某一点P(恰为格点)，可设点P到点O的水平距离为x,竖直距离为y(x，y均为整数)，则£ £S^AOB F S △AOF+S^BOF F二ay+ 上bx，] ] ]所以-ab=二ay+ 亠bx，即ab=ay+bx，ay=b(a-x).因为a，b互质，所以a-x是a的倍数，它与a-x v a矛盾，因此，假设不正确，即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.⑶由⑵ 知，线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.以OA OB为边作一个矩形OACB则在△ CAB中格点的个数与厶OAB中格点的个数相同，且只有A、B两点是公共的，而矩形OAC沖格点的个数为(a+1)(b+1).因此，(a+1)(b+1)+2=2 X 67=134,(a+1)(b+1)=132=2 X 2X 3X 11.由a>b>8，得a+1=12，b+1=11，即a=11，b=10.。
2004年第15届全国希望杯数学邀请赛初二第1试试卷
2004年第十五届希望杯初二第1试试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（每小题4分，共40分）1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔．小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是 （ ）（A） （B ） （C）（D）2、代数式14121111432＋＋＋＋＋＋－x xx x x x 的化简结果是 （ ）（A ）1885－x x （B ）1884－x x （C ）1487－x x（D ）1887－x x3、已知x 是实数，且(x 2－9x ＋20)x －3＝0，那么x 2＋x ＋1＝ （ ）（A ）31（B ）21（C ）13（D ）13或21或314、已知a ，b （b ＞a ）是两个任意质数，那么下列四个分数：①ab b a ＋；②a b ab ＋－；③2222b a a b ＋－；④22b a ab ＋中总是最简分数的有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个5、Given p , q are real numbers, and p ＋2q ＝0（q ≠0）, then the value of321－＋－＋－q pq p qp is（ ）（A ）4（B ）6（C ）3（D ）4or 66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元．如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位） （ ）（A ）2千套 （B ）3千套（C ）4千套（D ）5千套7、△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C ，满足3∠A ＞5∠B ，3∠C ≤∠B ，则这个三角形是（ ）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）等边三角形8、如图，正方形ABCD 的面积为256，点E 在AD 上，点E在AB 的延长线上，EC ⊥FC ，△CEF 的面积是200，则BE 的长是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）11 （D ）109、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，点E 、F 分别是对角线AC 、BD 的中点，则 （ ）（A ）EF ⊥BD （B ）∠AEF ＝∠ABD（C ）EF ＝21(AB ＋CD ) （D ）EF ＝21(CD －AB )10、［x ］表示不大于x 的最大整数，如［3.15］＝3，［－2.7］＝－3，AB CDFEA BC D EF［4］＝4，则1002]00420032[]32[]21[⨯⨯⨯＋＋＋ ＝ （ ）（A ）1001 （B ）2003 （C ）2004 （D ）1002 二、A 组填空题（每小题4分，共40分．含两个空的小题，每个空2分．）11、计算：3005200520052003200330052003200420034008200220034004200322⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋－－－＋－＝__________．12、已知x ＝2323－＋，y ＝2323＋－，则x yy x ＋＝___________．13、已知a ，b ，c 是三个实数，且a 与b 的平均数是127，b 与c 的和的三分之一是78，c 与a的和的四分之一是52，那么a ，b ，c 的平均数是__________．14、Given in the △ABC ,a ,b ,c are three sides of the triangle, a ＝3, b ＝10 and perimeter of the triangleis multiple of 5, then the length of c is____________．（英汉小词典：side ：边；perimeter ：周长；multiple ：倍数）15、某学校有学生2000名，从中随意询问200名，调查收看电视的情况，结果如下表：16、如图，等腰梯形ABCD 的面积是49平方厘米，AD ∥BC ，且AC ⊥BD ，AF ⊥BC ，则BD ＝___________平方厘米，AF ＝___________平方厘米．17、方程1213＋＋－－x x x ＝1的解是___________或___________．18、已知x ，y ，z 是三个互不相同的非零实数，设a ＝x 2＋y 2＋z 2，b ＝xy ＋yz ＋zx ，c ＝21x ＋21y ＋21z ，d ＝xy 1＋yz 1＋zx 1，则a 与b 的大小关系是________________；c 与d 的大小关系是_______________．19、已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＝4，2c 2－ab ＝43c －10，那么ab ＝_____；c 2＝______．20、小明做数学题时，发现21211＝－，522522＝－，10321033＝－，17441744＝－，…按上述规律，第五个等式是___________________；第n 个等式是____________________．三、B 组填空题（每小题8分，共40分．每题两个空，每个空4分．）21、一个三位自然数，当它分别被2、3、4、5、7除时，余数都是1，那么具有这个性质的最小三位数是___________；最大三位数是__________．22、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为15，那么另一条直角边的长有__________种可能，其中最大值是_________．23、已知p ，q ，pq ＋1都是质数，且p －q ＞40，那么满足以上条件的最小质数p ＝__________；q __________．24、用1、2、3、4、5这五个数字可以组成60个没有重复数字的三位数，那么这60个三位数的和是_________；这个和除以111，得到的商是________．BCADOD25、如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是_________；CE和CG的大小关系是_________．2004年第十五届希望杯初二第1试参考答案一、选择题：二、A组填空题：三、B组填空题：【部分详解】1 解：由于物与像成中心对称，所以将旋转180°即可得到．故选C．23456 解：设该书至少应发行x千套，依题意得80000+20×1000x≤100×（1-30%-10%）×1000x，∴x≥2，故该书至少应发行2千套．故选A．7、解：∵3A＞5B，2B＞3C，∴3A+2B＞5B+3C，即A＞B+C，不等式两边加A，∴2A＞A+B+C，而A+B+C=180°，∴2A＞180°，即A＞90°，∴这个三角形是钝角三角形．故选B．8、9、10、13、14、解：由题意得：a=3，b=10，∴b-a＜c＜a+b，即7＜c＜13，∴c可取8、9、10、11、12，又∵a+b+c是5的倍数，∴可得符合条件的只有c=12，即c的值为12，故答案为：12．15、解：样本频率为（15+47+78）÷200=140÷200=70%．∴全校每周收看电视不超过6小时的人数约为2000×70%=1400．故答案为1400．16、18、19、20、解：∵等式左边根号内为一个整数减去一个分数，并且这个分数的分子为这个整数，分母为这个整数的平方加1，等式右边是这个整数乘以左边的分数的算术平方根．21、解：∵这个数减去1能被2，3，4，5，7整除，∴这个数是2，3，4，5，7的最小公倍数加1，即3×4×5×7+1=421；∴最大的三位数是421+3×4×5×7=841；故答案为：421、841．22、设另一直角边长和斜边长分别是Z，X，显然X>Z>0根据直角三角形的边长关系有：15^2=X^2-Z^2即：15^2=(X+Z)(X-Z)式中X+Z 和X-Z 分别是大于零的整数，且满足：X+Z > X-Z > 0再来看看15^2＝225这个数的因数：1，3，5，9，15，25，45，75，225。
2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初一第2试)(解析版)
2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a=|﹣2004|+15，则a是（）A．合数B．质数C．偶数D．负数2．（5分）若7a+9|b|=0，则ab2一定是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数3．（5分）a与b之和的倒数的2003次方等于1，a的相反数与b之和的2005次方也等于1，则a2003+b2004=（）A．22005B．2 C．1 D．04．（5分）如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上移动2秒，这时，三角形扫过的面积是多少平方厘米（）A．21 B．19 C．17 D．155．（5分）小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降价3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元，则春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是多少元（）A．（2.5，0.7）B．（2，1） C．（2，1.3）D．（2.5，1）6．（5分）当x=﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（）A．28 B．﹣28 C．32 D．﹣327．（5分）The sum of n different positive integers is less than 50．The greatest possible value of n is（）A．10 B．9 C．8 D．78．（5分）已知∠A与∠B之和的补角等于∠A与∠B之差的余角，则∠B=（）A．75°B．60°C．45°D．30°9．（5分）如图，一个正方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态，则？表示的数字是（）A．1 B．2 C．4 D．610．（5分）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8=0，则ab=（）A．﹣8 B．8 C．32 D．2004二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）若正整数x，y满足2004x=105y，则x+y的最小值是．12．（5分）数列1，1，2，3，5，8，13，21…的排列规律是：从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2008个数中，共出现个偶数．13．（5分）2004年6月3日依照美语习惯写作6/3/2004，依照英语习惯写作3/6/2004．像6/3/2004就难以判断是美语日期还是英语日期，也难以判断是哪一天，称为易混日期．而4/18/2004显然是美语日期，可以准确断定为2004年4月18日；18/4/2004显然是英语日期，可以准确断定为2004年4月18日；2/2/2004虽不能断定是美语日期还是英语日期，但总可以断定为2004年2月2日．这些都是不混日期．那么每月有易混日期个；2004年全年的不混日期共有个．14．（5分）若x2+3x﹣1=0，则x3+5x2+5x+18=．15．（5分）如图，甲、乙两船同时从B港分别向C港和A港行驶．已知甲船速度是乙船速度的倍，A、B两港相距540千米．甲船3小时后到达C港，然后立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．则乙船速度是千米/小时．16．（5分）If n is a positive integer，and if the unit s’digit of n2 is 6 and the units’digit of （n﹣1）2 is 9，the units’digit of （n+1）2 is ．（英汉小词典units’digit：个位数字）17．（5分）用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要条长为1的线段，它的面积是．18．（5分）关于x，y的方程组的解x，y的和等于1．则m的值是．19．（5分）甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页．若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了页．20．（5分）将2004写成若干个质数的乘积，如果a，b，c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么关于x，y的方程组的解是x=，y=．三、解答题（共3小题，满分30分）21．（10分）观察下面的等式：2×2=4，2+2=4×3=4，+3=4，×4=5，+4=5，×5=6，+5=6，小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．22．（10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．23．（10分）在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等．请确定x的值，并给出一种填数法．2004年第15届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a=|﹣2004|+15，则a是（）A．合数B．质数C．偶数D．负数【解答】解：∵|﹣2004|=2004，∴a=2004+15=2019，∵2019=3×673，∴a是合数．故选：A．2．（5分）若7a+9|b|=0，则ab2一定是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数【解答】解：∵|b|≥0，∴7a≤0，∴a≤0，又∵b2≥0，∴ab2≤0，∴ab2为非正数．故选：D．3．（5分）a与b之和的倒数的2003次方等于1，a的相反数与b之和的2005次方也等于1，则a2003+b2004=（）A．22005B．2 C．1 D．0【解答】解：由题意得，（）2003=1，（﹣a+b）2005=1，所以a+b=1，b﹣a=1，解得a=0，b=1，所以原式=02003+12004=1．故选：C．4．（5分）如图，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上移动2秒，这时，三角形扫过的面积是多少平方厘米（）A．21 B．19 C．17 D．15【解答】解：扫过的面积应该是矩形BCDF的面积加上上面三角形的面积，3×2=6厘米，3×6+×3×2=21平方厘米．故选：A．5．（5分）小明的妈妈春节前去市场买了3公斤葡萄和2公斤苹果，花了8元钱，春节后，再去市场买这两种水果，由于葡萄每公斤提价5角钱，苹果每公斤降价3角钱，买7公斤葡萄和5公斤苹果共花了21元，则春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是多少元（）A．（2.5，0.7）B．（2，1） C．（2，1.3）D．（2.5，1）【解答】解：设春节后购物时，（葡萄，苹果）每公斤的价格分别是x元，y元．，解得．故选：A．6．（5分）当x=﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，那么，代数式9b﹣6a+2=（）A．28 B．﹣28 C．32 D．﹣32【解答】解：∵当x=﹣1时，代数式2ax3﹣3bx+8的值为18，∴﹣2a+3b+8=18，∴﹣2a+3b=10，则9b﹣6a+2，=3（﹣2a+3b）+2，=3×10+2，=32，故选：C．7．（5分）The sum of n different positive integers is less than 50．The greatest possible value of n is（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：要使n的值最大即要求各数尽可能的小，∵1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，∴n个不同的正整数和小于50，那么这个n的最大可能值为9．故选：B．8．（5分）已知∠A与∠B之和的补角等于∠A与∠B之差的余角，则∠B=（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：设∠A=x，∠B=y，则∠A与∠B之和的补角为180°﹣（x+y），∠A 与∠B之差的余角为90°﹣（x﹣y）．由题意得：180°﹣（x+y）=90°﹣（x﹣y），解得：y=45°．故选：C．9．（5分）如图，一个正方体六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．根据图中三种状态，则？表示的数字是（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：由图一、二可得：标1的与标2，3，5，4的面相邻，所以1与6相对；由图二、三可得标3的与标1，2，5，6的面相邻，所以3与4相对；由图一、三可得标5的与标1，3，4的面相邻，所以2与5相对；故既与3又与5相邻的是1或6，3在上5在右就是6，5在上3在右就是1．所以此题答案是6．故选：D．10．（5分）若a，b都是有理数，且a2﹣2ab+2b2+4a+8=0，则ab=（）A．﹣8 B．8 C．32 D．2004【解答】解：a2﹣2ab+2b2+4a+8=2a2﹣4ab+4b2+8a+16=（a2﹣4ab+4b2）+（a2+8a+16）=（a﹣2b）2+（a+4）2=0，∴a﹣2b=0且a+4=0，解得：a=﹣4，b=﹣2，则ab=8．故选：B．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）11．（5分）若正整数x，y满足2004x=105y，则x+y的最小值是703．【解答】解：正整数x，y满足2004x=105y，两边同时除以3得668x=35y，而668和35互素，因此x=35，y=668，则x+y的最小值是35+668=703．故答案为：703．12．（5分）数列1，1，2，3，5，8，13，21…的排列规律是：从第3个数开始，每一个数都是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前2008个数中，共出现669个偶数．【解答】解：从数列中可看出每3个，就有一个偶数，2008÷3=669．所以有669个偶数．13．（5分）2004年6月3日依照美语习惯写作6/3/2004，依照英语习惯写作3/6/2004．像6/3/2004就难以判断是美语日期还是英语日期，也难以判断是哪一天，称为易混日期．而4/18/2004显然是美语日期，可以准确断定为2004年4月18日；18/4/2004显然是英语日期，可以准确断定为2004年4月18日；2/2/2004虽不能断定是美语日期还是英语日期，但总可以断定为2004年2月2日．这些都是不混日期．那么每月有易混日期11个；2004年全年的不混日期共有234个．【解答】解：1×12﹣1=11（天）；12×12﹣12=144﹣12=132（天）．2004年全年是366天，则2004年全年的不混日期共有：366﹣132=234（天），故答案为：11；234．14．（5分）若x2+3x﹣1=0，则x3+5x2+5x+18=20．【解答】解：∵x2+3x﹣1=0，∴x2+3x=1，∴x3+5x2+5x+18，=x3+3x2+2x2+6x﹣x+18，=x（x2+3x）+2（x2+3x）﹣x+18，=x+2﹣x+18，=20．故答案为：20．15．（5分）如图，甲、乙两船同时从B港分别向C港和A港行驶．已知甲船速度是乙船速度的倍，A、B两港相距540千米．甲船3小时后到达C港，然后立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．则乙船速度是15千米/小时．【解答】解：设乙船的速度是x千米/小时，=，解得x=15．故答案为：15．16．（5分）If n is a positive integer，and if the units’digit of n2 is 6 and the units’digit of （n﹣1）2 is 9，the units’digit of （n+1）2 is 5．（英汉小词典units’digit：个位数字）【解答】解：个位数为0到9的数的平方的个位数为：0﹣﹣0；1﹣﹣1；2﹣﹣4；3﹣﹣9；4﹣﹣6；5﹣﹣5；6﹣﹣6；7﹣﹣9；8﹣﹣4；9﹣﹣1；由此可知n的个位数是4或6，又∵（n﹣1）的个位数为3，∴可得n的个位数为4，n﹣1的个位数为3，n+1的个位数为5，∴（n+1）2的个位数为5．故答案为：5．17．（5分）用若干条长为1的线段围成一个长方形，长方形的长和宽的最大公约数是7，最小公倍数是7×20．则围成这个长方形最少需要126条长为1的线段，它的面积是980．【解答】解：设长为7a，宽为7b，由题意可知，a、b相乘得20，20=1×20=2×10=4×5，4+5=9最小，所以a=7×4=28，b=7×5=35，周长为（28+35）×2=126，面积为28×35=980．故答案为126，98018．（5分）关于x，y的方程组的解x，y的和等于1．则m的值是1．【解答】解：解方程组，得．把x=1，y=0代入2mx+3y=2，得2m+0=2，∴m=1．故答案为1．19．（5分）甲、乙两打字员，甲每页打500字，乙每页打600字，已知甲每完成8页，乙恰能完成7页．若甲打完2页后，乙开始打字，则当甲、乙打的字数相同时，乙打了35页．【解答】解：设则当甲、乙打的字数相同时，乙打了x页．+1000=600xx=35．则当甲、乙打的字数相同时，乙打了35页．故答案为35．20．（5分）将2004写成若干个质数的乘积，如果a，b，c是这些质数中的三个，且a＜b＜c，那么关于x，y的方程组的解是x=1，y=1．【解答】解：∵2004=2×2×3×167，∴a=2，b=3，c=167，代入方程组得，解得．故答案为：x=1，y=1．三、解答题（共3小题，满分30分）21．（10分）观察下面的等式：2×2=4，2+2=4×3=4，+3=4，×4=5，+4=5，×5=6，+5=6，小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．【解答】解：（1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如1×3≠1+3；（2）将第一组等式变形为：，，得出如下猜想：“若n是正整数，则”，证法1：左边==右边，所以猜想是正确的，证法2：右边==左边，所以猜想是正确的．22．（10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由．【解答】解：不能填，理由如下：设所填的互不相同的4个数为a，b，c，d；则有①﹣②得c2﹣d2=d2﹣c2∴c2=d2因为：c≠d，只能是c=﹣d④同理可得c2=b2因为c≠b，只能c=﹣b⑤比较④，⑤得b=d，与已知b≠d矛盾，所以题设要求的填数法不存在．23．（10分）在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等．请确定x的值，并给出一种填数法．【解答】解：∵x是正整数，∴表中各行或各列三数之和都是相等的正整数即：=12+，∴不妨设a，b与x在同一行，c，d与x在同一列，则有a+b=c+d=12+﹣x=12﹣又∵a+b和c+d的最小值是=5，∴12﹣≥5，即x≤，又∵12﹣=a+b是整数，且x是不同于1，2，3，4，5，6，7，8的正整数，∴x=9，填数法如下：（不唯一）。
第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛 初二(八年级)第2试试题及答案
即 为定值。
（3）若存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形，则
AO=AC，OB=CD
由（1）知AO=BO，AC=CD。
并且B（0，b）
所以得D（-2b,-b）
因为 （正数舍去）
即存在直线AB：y=x-1，使得四边形OBCD为平行四边形。
22.（1）如图1，设经过ts后司机听到回声，则有30t+340t=2×925，解得t=5.
17.如图4，等腰直角 中， ，底边BC的长为10，点D在BC上，从D作BC的垂线交AC于点E，交BA的延长线于点F，则DE＋DF的值是
18.如图5，在边长为6的菱形ABCD中，DE AB于点E，并且点E是AB的中点，点F在线段AC上运动，则EF+FB的最小值是，最大值是
19.若实数 满足 ，则 的值是
（A）798个（B）898个（C）900个（D）998个
二、填空题（每小题4分，共40分）
11.若 ，计算：
12.若以x为未知数的方程 的根是负数，则实数 的取值范围是
13.若 是以x为未知数的方程 的根，则m-n的值是
14.正整数 满足等式 ，那么 ，
15.已知 ，则 的值是
16.已知点A（4，m），B（-1，n）在反比例函数 的图象上，直线AB与x轴交于C，如果点D在y轴上，且DA=DC，则点D的坐标是
20.Suppose is a 6-digit number, are three different 1-digit numbers, and not less than 4. If M is a multiple of 7, then the minimum value of M is
(英汉词典：multiple倍数)
希望杯-第十五届全国数学邀请赛初二第2试-
第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试2004年4月18日 上午8：30至10：30 得分一、选择题:（每小题5分，共50分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的英文字母填在每题后面的圆括号内。
1. 方程1+x ＋3-x = 4的整数解有（ )（A ）2个 （B ）3个 （C ）5个 （D ）无穷多个2. 若等式3+x m － 3-x n =982-x x 对任意的 x （x ≠±3）恒成立,则mn ＝（ ） （A ）8 （B ）－8 （C ）16 （D ）－163. 若x ＞z ，y ＞z ，则下列各式中一定成立的是（ ）（A ）x ＋y ＞4z （B ）x ＋y ＞3z （C ）x ＋y ＞2z （D ）x ＋y ＞z4. 规定[a]表示不超过a 的最大整数，当x ＝－1时，代数式2mx3－3nx ＋6值为16，则[32m －n]＝( ） （A ）－4 （B ）－3 （C ）3 （D ）45. 如图1，在 □ ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，CF⊥BD 于F ，那么图中的全等三角形共有（ )（A ）5对 （B ）6对 （C ）7对 （D ）8对6. 如图2，在直角扇形ABC 内，分别以AB 和AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成S 1、S 2、S 3、S 4 四部分，则S 2和S 4的大小关系是（ ）（A ）S 2＜S 4 （B ）S 2＝S 4 （C ）S 2＞S 4 （D ）无法确定7. Given m is a real number ,and m -1=m ＋1，simplifyan algebraic expression ，then 122+-m m ＝（ )（A ）m －1 (B)－m ＋1 (C) m －1 (D) －m ＋1 （英汉小词典simplify ：化简；algebraic expression ：代数式）8. 二(1)班共有35名学生，其中21的男生和31的女生骑自行车上学，那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是（ )（A ）9 (B)10 (C)11 (D)129. 李编缉昨天按时间顺序先后收到A 、B 、C 、D 、E 共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE 中，李编缉可能回复的邮件顺序是( )（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）①和④10. 有A 、B 、C 三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30 个单位（单位长度各不相同），设三把尺子的0刻度和30 刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度。
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第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试一、选择题(每小题5分，共50分)1.方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有( )(A)2个(B)3个(C)5个(D)无穷多个2.若等式对任意的x(x≠±3)恒成立，则mn=( )(A)8 (B)-8 (C)16 (D)-163.若x＞z，y＞z，则下列各式中一定成立的是( )(A)x+y＞4z (B)x+y＞3z (C)x+y＞2z (D)x+y＞z4.规定[a]表示不超过a的最大整数，当x=-1时，代数式2mx3-3nx+6的值为16，则[m-n]=( )(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)45.如图1，在ABCD中，AC与BD相交于O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，那么图中的全等三角形共有( )(A)5对(B)6对(C)7对(D)8对6.如图2，在直角扇形ABC内，分别以AB和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D，整个图形被分成S1，S2，S3，S4四部分，则S2和S4的大小关系是( )(A)S2＜S4 (B)S2=S4(C)S2＞S4 (D)无法确定7.Given m is a real number, and |1-m|=|m|+1，simplify an algebraic expression, then =( )(A)|m|-1 (B)-|m|+1 (C)m-1 (D)-m+1(英汉小词典simplify：化简；algebraic expression：代数式)8.二(1)班共有35名学生，其中的男生和的女生骑自行车上学，那么该班骑自行车上学的学生的人数最少是( )(A)9 (B)10 (C)11 (D)129.李编辑昨天按时间顺序先后收到A、B、C、D、E共5封电子邮件，如果他每次都是首先回复最新收到的一封电子邮件，那么在下列顺序：①BAECD ②CEDBA ③ACBED ④DCABE中，李编辑可能回复的邮件顺序是( )(A)①和② (B)②和③ (C)③和④ (D)①和④10.有A、B、C三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位(单位长度各不相同)，设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子量度另两把尺子的长度.已知用C尺量度，得A尺比B尺长6个单位；用A尺量度，得B尺比C尺长10个单位；则用B尺量度，A尺比C尺( )(A)长15个单位 (B)短15个单位 (C)长5个单位(D)短5个单位二、填空题(每小题5分，共50分)11.若方程|1002x-10022|=10023的根分别是x1和x2，则x1+x2=______.12.分解因式：a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4=______.13.对于任意的自然数n，有f(n)=，则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(999)=______.14.x1，x2，x3，x4，x5，x6都是正数，且，，，，，,则x1x2x3x4x5x6=______.15.(Figure 3)In a trapezoid ABCD，AE=DE，CE⊥AD，CE is a bisector to∠BCD，then the ratio of the area of a quadrilateral ABCE to that of a triangle CDE is _____.(英汉小词典trapezoid：梯形；bisector：平分线；ratio：比值；quadrilateral：四边形)16.已知a，b，c，d为正整数，且，，则的值是______；的值是______.17.一个直角三角形的三条边的长均为整数，已知它的一条直角边的长是18，那么另一条直角边的长有______种可能，它的最大值是______.18.“神舟”飞船由返回舱、轨道舱和推进舱三个舱组成，已知三个舱中每两个舱的长度和分别为4859mm、5000mm、5741mm，那么这三个舱中长度最大的是_____mm，长度最小的是_____mm.19.若(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36，则x+2y+3z的最大值是______，最小值是_____.20.图4是某电台“市民热线”栏目一周内接到的热线电话的统计图，其中有关房产城建的热线电话有30个，那么有关环境保护的电话有_____个；如果每年按52周计算，每周接到的热线电话的数量相同，那么“市民热线”一年内接到的热线电话有______个.三、解答题(每题10分，共30分)21.民航规定：旅客可以免费携带a千克物品，若超过a千克，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b千克(b＞a)时，所交费用为Q=10b-200(单位：元).(1)小明携带了35千克物品，质量大于a千克，他应交多少费用？(2)小王交了100元费用，他携带了多少千克物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m(千克)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m 表示Q.22.如图5，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得到折痕EF.(1)证明四边形AECF是菱形；(2)计算折痕EF的长；(3)求△CEH的面积.23.如图6，用水平线与竖直线将平面分成若干个边长为1的正方形格子，点O、A、B均在正方形格子的顶点(格点)处，其中点O与点A位于同一水平线上，相距a格，点O与点B 位于同一竖直线上，相距b格.(1)若a=5，b=4，则△OAB中(包括三条边)共有多少个格点？(2)若a，b互质，则在线段AB上(不包括A、B两点)是否有格点？证明你的结论.(3)若a，b互质，且a＞b＞8，△OAB中(包括三条边)共有67个格点，求a，b的值.参考答案一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.B 10.A1、解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+1+x-3=4，解得：x=3；第二种：当-1＜x＜3时，原方程就可化简为：x+1-x+3=4，恒成立；第三种：当x≤-1时，原方程就可化简为：-x-1+3-x=4，解得：x=-1；所以x的取值范围是：-1≤x≤3，故方程的整数解为：-1，0，1，2，3．共5个．故选C．2、3、解：∵x＞z，y＞z，∴x+y＞2z，故选C．4、5、解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD．∴△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．（SSS）∵AF⊥BD于F，CE⊥BD于E，∴△ABF≌△CDE，△AFD≌△CEB，△AOF≌△COE．（AAS）故选C．6、8、设有a个男生骑车，b个女生骑车，则题目可简写成2a+3b=35，求a+b的最小值（a，b均为正整数）所以求的a为1，b为11，即班上最少有1+11=12个人骑车9、B(2)开始时,已收到A,B,刚收到C,所以,先回C回信时,又收到D,E,回完信,先回最新收到的E然后依次是D,B,A正确(3)收到A,回信回信时,又收到B,C,回完信,先回最新收到的C然后是B回信B时,又来新D,E,回完信,先回最新收到的E然后是D正确(1):E后应该是D,C错误(4):C后应该先B后A,错误10、设各自长度为30a, 30b ,30cC量时，30a-30b=6c（1）;A量时，30b-30c=10a（2）;求：30a-30c=?b(3)那么由（1）（2）可得，a=9/8b c=5/8b代入（3），可得30a-30c=15b选A。
二、11.200412.(a2+b2+ab)213.514.615.7:916.21；717.2；80解：设另一直角边长和斜边长分别是Z，X，显然X＞Z＞0根据直角三角形的边长关系有：182=X2-Z2即：182=（X+Z）（X-Z）式中 X+Z 和 X-Z 分别是大于零的整数，且满足：X+Z＞X-Z＞0再来看看182=324这个数的因数：1，2，3，4，6，9，18，36，54，81，108，162，324．也就是 X-Z 和 X+Z 这两个数必定取这些因数中的数．由于 X-Z＜X+Z，它们可以取：X-Z=1，X+Z=324，解这个联立方程，得2X=325（舍去），X-Z=2，X+Z=162，解这个联立方程，得2X=164，X=82，Z=80．X-Z=3，X+Z=108，解这个联立方程，的2X=111（舍去）．X-Z=4，X+Z=81，解这个联立方程，得2X=85（舍去）．X-Z=6，X+Z=54，解这个联立方程，得2X=60，X=30，Z=24．X-Z=9，X+Z=36，解这个联立方程，得2X=45（舍去）．X-Z=18，X+Z=18，已经与题意不相符了．所以，共有2个整数解：X=82，Z=80X=30，Z=24所以，另一条直角边的长度只有（ 2 ）种可能，其中最大值是（ 80 ）．故答案为 2，80．18.2941；2059解：设“神舟”飞船返回舱、轨道舱和推进舱三个仓的长度是x mm、y mm、z mm．则由题意得 x+y=4859 ① x+z=5000 ② y+z=5741 ③①+②+③解得x+y+z=7800 ④④-①解得 z=2941④-②解得 y=2800④-③解得 x=2059故答案为2941，2059．19.15；-6|x+1|+|x-2|≥3|y-2|+|y+1|≥3|z-3|+|z+1|≥4（|x+1|+|x-2|) ×(|y-2|+|y+1|)× (|z-3|+|z+1|)=36所以x∈〔-1，2〕，y∈〔-1，2〕，z∈〔-1，3〕所以x=y=z=-1时，x+2y+3z的最小值为-6当x=2，y=2，z=3时，x+2y+3z的最大值为1520.45；7800解：房产城建热线所占百分比为72÷360°=20%，一周内接到的热线电话的总数为30÷20%=150个，环境保护在扇形统计图中的度数为360°-144°-72°-36°=108°，则环境保护热线所占百分比为108÷360°=30%，∴有关环境保护的电话有150×30%=45个；∵一周内接到的热线电话的总数为30÷20%=150个，每年按52周计算∴“市民热线”一年内接到的热线电话有52×150=7800个．故答案为：45、7800．三、21.(1)Q=35×10-200=150(元)；(2)设小王携带了x千克物品，则10x-200=100，解得x=30.(3)已知最多可以免费携带a千克物品，则10a-200=0，解得a=20.所以m=b-a=b-20，即b=m+20.故所交费用Q=10b-200=10(m+20)-200=10m(元).22.(1)如图1，因为AB∥CD，所以AF∥CE，CF∥HE，根据对称性，知∠CEH=∠AED，因为D、E、C三点共线，所以A、E、H三点共线，所以AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形.又AF=CF，所以四边形AECF是菱形.(2)设AF=x，则CF=x，BF=9-x.在△BCF中，CF2=BF2+BC2，所以x2=(9-x)2+32，解得x=5，即CF=5，BF=4.过E作EM⊥AB交AB于M，则MF=BM-BF=CE-BF=CF-BF=1，EM=3.所以.(3)根据对称性，知△CEH≌△AED，所以S△CEH=S△AED=DE·AD=(AF-MF)·AD=×4×3=6(cm2).23.(1)如图2，a=5，b=4，△OAB中(包括三条边)的格点的个数为1+2+3+4+6=16.(2)若a，b互质，假设线段AB上存在某一点P(恰为格点)，可设点P到点O的水平距离为x，竖直距离为y(x，y均为整数)，则S△AOB= S△AOP+S△BOP=ay+bx，所以ab=ay+bx，即ab=ay+bx，ay=b(a-x).因为a，b互质，所以a-x是a的倍数，它与a-x＜a矛盾，因此，假设不正确，即线段AB上(除A、B两点外)不存在其它格点.(3)由(2)知，线段AB上(除A、B两点外)不存在其它的格点.以OA、OB为边作一个矩形OACB，则在△CAB中格点的个数与△OAB中格点的个数相同，且只有A、B两点是公共的，而矩形OACB中格点的个数为(a+1)(b+1).因此，(a+1)(b+1)+2=2×67=134，(a+1)(b+1)=132=2×2×3×11.由a＞b＞8，得a+1=12，b+1=11，即a=11，b=10.。