第 28届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析
1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初二第1试)(解析版)
1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）一、选择题（共15小题，每小题1分，满分15分）1．（1分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜1 C．D．2．（1分）已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根．③无限小数不一定是无理数．④一定没有意义．其中正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（1分）已知8个数：，，0.236，，3.1416，﹣π，，，其中无理数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．64．（1分）若A=，A的算术平方根是（）A．a2+3 B．（a2+3）2C．（a2+9）2D．a2+95．（1分）下列各组数可以成为三角形的三边长度的是（）A．1，2，3 B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c D．1，m，n，其中1＜m＜n6．（1分）方程x2+|x|﹣6=0的最大根与最小根的差是（）A．6 B．5 C．4 D．37．（1分）等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（）A．50°，50°，80°B．50°，50°，80°或130°，25°，25°C．50°，65°，65°D．50°，50°，80°或50°，65°，65°8．（1分）如果x+y=，x﹣y=，那么xy的值是（）A．B．C．D．9．（1分）如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°10．（1分）已知﹣＜x＜1，将化简得（）A．3﹣3x B．3+3x C．5+x D．5﹣x11．（1分）如图，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（）A．5 B．6 C．7 D．812．（1分）关于x的一元二次方程2x+（k﹣4）x2+6=0没有实数根，则k的最小整数是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．513．（1分）对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．414．（1分）若方程9x2﹣6（a+1）x+a2﹣3=0的两根之积等于1，则a的值是（）A．B．C．D．15．（1分）有下列四个命题：①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形一定是全等三角形．②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形一定是全等三角形．③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是（）A．①，②B．②，③C．③，④D．②，④二、填空题（共15小题，每小题1分，满分15分）16．（1分）某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是．17．（1分）实数x满足x+=10，则的值为．18．（1分）设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=．19．（1分）如果实数x、y满足2x2﹣6xy+9y2﹣4x+4=0，那么=．20．（1分）设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有个．21．（1分）+++┉┉+=．22．（1分）当0＜x＜2时，=．23．（1分）已知方程x2+（2m+1）x+（m2+m+1）=0没有实数根，那么m为．24．（1分）已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1﹣c|=|1﹣d|，那么a+b+c+d=．25．（1分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接）26．（1分）如果x﹣y=+1，y﹣z=﹣1，那么x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx=．27．（1分）若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．28．（1分）如图，B、C、D在同一条直线上，且AB=BC=AC，CD=DE=EC，若BM：ME=r，则DN：NA=．29．（1分）设方程x2﹣y2=1993的整数解为α，β，则|αβ|=．30．（1分）若，x+=3，则=．1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题1分，满分15分）1．（1分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．B．ab＜1 C．D．【解答】解：A、如果a＜b＜0，则；故不成立；B、ab＞1，故不成立；C、，故不成立；D、不等式成立的是．故选：D．2．（1分）已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根．③无限小数不一定是无理数．④一定没有意义．其中正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：1的平方根是1或﹣1，故①正确．﹣1的立方根是﹣1，所以负数有立方根，故②错误．无限循环小数是有理数，所以③正确．当a≤0④中的根式有意义．所以①③两项正确．故选：B．3．（1分）已知8个数：，，0.236，，3.1416，﹣π，，，其中无理数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：=、=﹣1、﹣π，这三个数是无理数，、0.236、3.1416、=﹣、=8这五个数都是有理数，故选：A．4．（1分）若A=，A的算术平方根是（）A．a2+3 B．（a2+3）2C．（a2+9）2D．a2+9【解答】解：∵a2≥0，∴a2+9＞0，∴A==（a2+9）2，∵==a2+9，∴A的算术平方根是a2+9．故选：D．5．（1分）下列各组数可以成为三角形的三边长度的是（）A．1，2，3 B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0C．a，b，c，其中a+b＞c D．1，m，n，其中1＜m＜n【解答】解：A、∵1+2=3，∴1，2，3不能构成三角形，故此选项错误；B、∵（a+1）+（a+2）=2a+3＞a+3，a+3﹣a﹣2=1＜a+1（a＞0），∴a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边，故此选项正确；C、例如：5+1＞2，而1+2＜5，∴以a，b，c，其中a+b＞c为边的不一定能够成直角三角形；D、例如：m=2，n=3，∵1+2=3，∴以1，m，n（1＜m＜n）为边不一定能构成三角形．故选：B．6．（1分）方程x2+|x|﹣6=0的最大根与最小根的差是（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：原方程化为（|x|+3）（|x|﹣2）=0，解得|x|=﹣3，或|x|=2．但应舍去|x|=﹣3．=±2．故由|x|=2得：x1，2则x1﹣x2=4．故选：C．7．（1分）等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（）A．50°，50°，80°B．50°，50°，80°或130°，25°，25°C．50°，65°，65°D．50°，50°，80°或50°，65°，65°【解答】解：∵等腰三角形的某个内角的外角是130°∴等腰三角形的这个内角是50°①若50°的角是底角，则三个内角是50°，50°，80°；②若50°的角是顶角，则三个内角是50°，65°，65°．故选：D．8．（1分）如果x+y=，x﹣y=，那么xy的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵（x+y）2=，（x﹣y）2=∴4xy=（x+y）2﹣（x﹣y）2=﹣（）=12（）∴xy=．故选：B．9．（1分）如图所示，△ABC中，AB=AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，则∠DEF=（）A．55°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE=140°，∴∠A=50°，又∵AB=AC，∴∠C==65°，∵EF⊥BC，∴∠DEF=∠C=65°．所以A错，B错，C对，D错．故选C．10．（1分）已知﹣＜x＜1，将化简得（）A．3﹣3x B．3+3x C．5+x D．5﹣x【解答】解：∵﹣＜x＜1，∴2x+1＞0，x﹣1＜0，∴x﹣4＜0，∴原式=|2x+1﹣（4﹣x）|=|3x﹣3|=3﹣3x．故选：A．11．（1分）如图，在△ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：①∵AB=AC，G是三角形的重心，∴AD=AE，∠BAF=∠CAF，∵AG=AG，∴△AGD≌△AGE；②∴DG=EG，∵BD=EC，∠DGB=∠EGC，∴△DGB≌△EGC；③∴BG=CG，∵BF=CF，GF=GF，∴△BGF≌△CGF；④∵AB=AC，AG=AG，BG=CG，∴△AGB≌△AGC；⑤∵AB=AC，AF=AF，BF=CF，∴△AFB≌△AFC；⑥∵BE=CD，AD=AE，AB=AC，∴△AEB≌△ADC；⑦∵BD=CE，BE=CD，BC=BC，∴△DBC≌△ECB．故选：C．12．（1分）关于x的一元二次方程2x+（k﹣4）x2+6=0没有实数根，则k的最小整数是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．5【解答】解：∵一元二次方程2x+（k﹣4）x2+6=0没有实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣4×6（k﹣4）＜0，解得k＞．k最小整数=5．故选D．13．（1分）对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设三个连续自然数为k、k+1、k+2（k＞1），则k+（k+1）+（k+2）=3（k+1），故以k，k+1，k+2为三边的三角形的周长总可以被3整除．又∵以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，显然不能被2、4整除，∴①，④错误．∵以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，∴②错误．正确的结论是③．故选：A．14．（1分）若方程9x2﹣6（a+1）x+a2﹣3=0的两根之积等于1，则a的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△=36（a+1）2﹣4×9×（a2﹣3）=36（2a+4）≥0∴a≥﹣2．∵x1•x2==1∴a2=12∴a1=2，a2=﹣2（舍去）故选：B．15．（1分）有下列四个命题：①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形一定是全等三角形．②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形一定是全等三角形．③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是（）A．①，②B．②，③C．③，④D．②，④【解答】解：①此题忽略了锐角和钝角三角形高的位置不相同的情况，故错误；②正确，两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形是全等三角形，故正确．③不正确，举一反例说明，如图：在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，AD⊥BC1，AD=AD．但△ABC 与△ABC1显然是不全等的；④正确，可举一例说明，如图：在钝角△ABC与锐角△ABC1中，AB=AB，AC=AC1，∠ABC=∠ABC1，但△ABC与△ABC1显然是不全等的．所以正确的是②④．故选：D．二、填空题（共15小题，每小题1分，满分15分）16．（1分）某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是65．【解答】解：∵自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，又∵1002=10000，92=81，∴这个自然数只能是两位数，∵个位数字是5，∴这个自然数的个位数字也为5，∵602=3600，802=6400，∴它的十位数字可能是6或7，∵752=5625，652=4225，∴它的十位数字是6，∴这个数为65．故答案为：65．17．（1分）实数x满足x+=10，则的值为6．【解答】解：∵x+=10，∴5x+16=（10﹣x）2，经整理得x2﹣25x+84=0，解得x=4或21，经检验x=4是方程的根，故=6．故答案为6．18．（1分）设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=1993．【解答】解：∵195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5与200分别相差﹣4.5，﹣3.5，﹣2.5，﹣1.5，﹣0.5，0，+0.5，+1，+1.5，+2.5，∵[（﹣4.5）+（﹣3.5）+（﹣2.5）+（﹣1.5）+（﹣0.5）+0+0.5+1+1.5+2.5]÷10=﹣0.7，∴A=200﹣0.7=199.3，则10A=1993．故答案为：1993．19．（1分）如果实数x、y满足2x2﹣6xy+9y2﹣4x+4=0，那么=．【解答】解：可把条件变成（x2﹣6xy+9y2）+（x2﹣4x+4）=0，即（x﹣3y）2+（x﹣2）2=0，因为x，y均是实数，∴x﹣3y=0，x﹣2=0，∴x=2，y=，∴==．故答案为．20．（1分）设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有5个．【解答】解：∵a+b+c=13∴a+b=13﹣c∵a+b＞c∴13﹣c＞c∴c＜∵a+b+c=13∴c可取的值为5，6∴三边可能的取值为：∴以a，b，c为三边的三角形共有5种．21．（1分）+++┉┉+=9．【解答】解：原式=﹣1++┉┉+﹣=﹣1+=9．22．（1分）当0＜x＜2时，=．【解答】解：原式=+=+=+∵0＜x＜2，∴x+2＞0，x﹣2＜0，上式去掉绝对值符号得：+===．故答案是：．23．（1分）已知方程x2+（2m+1）x+（m2+m+1）=0没有实数根，那么m为任何实数．【解答】解：∵方程x2+（2m+1）x+（m2+m+1）=0没有实数根，∴△＜0，而△=（2m+1）2﹣4（m2+m+1）=﹣3，即无论m取何实数，△总是小于0．所以m的取值范围为：任何实数．故答案为任何实数．24．（1分）已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1﹣c|=|1﹣d|，那么a+b+c+d=0．【解答】解：∵a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，∴a+1＜0，b+1＞0，1﹣c＞0，1﹣d＜0，∵|a+1|=|b+1|，|1﹣c|=|1﹣d|，∴﹣a﹣1=b+1，1﹣c=d﹣1，整理得：a+b=﹣2，c+d=2，则a+b+c+d=0．故答案为：025．（1分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC＜DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接）【解答】解：在BA的延长线AF上，截取AG，使AG=AC，连接GD，∵∠GAD=∠CAD，AD是公共边，∴△ADG≌△ADC（SAS），∴AG=AC，DG=DC，∴DB+DC=DB+DG，又∵DB+DG＞BG，BG=BA+AG=BA+AC，∴AB+AC＜DB+DC．故答案为：＜．26．（1分）如果x﹣y=+1，y﹣z=﹣1，那么x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣zx=7．【解答】解：∵x﹣y=+1①，y﹣z=﹣1②，∴x﹣z=2③，则①2+②2+③2=（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2=（+1）2+（﹣1）2+（2）2=14，即2（x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣yx）=14，∴x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣yx=7．故答案为：7．27．（1分）若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．28．（1分）如图，B、C、D在同一条直线上，且AB=BC=AC，CD=DE=EC，若BM：ME=r，则DN：NA=1：r．【解答】解：AB=BC=AC，CD=DE=EC，△ABC、△CDE是等边三角形，AB∥CE，AC∥DE，△ABM∽△CEM，AB：CE=BM：ME=r，同理AC∥DE，△ACN∽△DEN，AN：DN=AC：DE，∵AB=AC，DE=EC，∴AN：DN=AB：CE=r，∴DN：NA=1：r．29．（1分）设方程x2﹣y2=1993的整数解为α，β，则|αβ|=993012．【解答】由方程可知（x+y）（x﹣y）=1993×1，可得或或或，解得或或或．∴|αβ|=997×996=993012．30．（1分）若，x+=3，则=．【解答】解：∵x+=3，∴（x+）2=9，即x2+=7，∴（x2+）2=49，∴x4+=47，（x+）3=27，∴x3++3（x2•+•x）=27，即x3+=18，∴==．故答案为：．。
下学期八年级数学竞赛试题
八年级数学竞赛试题一．精心选一选（本题共10小题，每题3分，共30分．请把你认为正确结论的代号填入下面表格中）1．16的算术平方根是 （ ）A ． 2B ． ±2C ．4D ． ±42．在实数23-，0，34，π，9中，无理数有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列图形中，是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（ ）4．如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （ ）A ．30oB ．50oC ．90oD ．100o5．如果实数y 、x 满足y=111+-+-x x ，那么3y x +的值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-2 6．与三角形三个顶点的距离相等的点是 （ ） A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的点C ．三边上高所在直线的交点D ．三边的垂直平分线的交点7．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ；②BC=ED ；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使 △AB C ≌△AED 的条件有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是（ ）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案A ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．A CA ′B ′′ （第4题） 50o30ol 第7题图12C AE DA ．211 B ．1.4 C ．3 D ．29．如图，在直角坐标系xoy 中，△ABC 关于直线y =1成轴对称，已知点A 坐标是（4，4），则点B 的坐标是 （ ）A ．（4，－4）B ．（4，－2）C ．（－2，4）D ．（－4，2）10．一个正方体的体积是99，估计它的棱长的大小在 （ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间二．耐心填一填（每题3分，共18分，直接写出结果） 11．计算︱2-3︱+２2的结果是 ．12．若25x 2=36，则x ＝ ；若23-=y ，则y ＝ ．13．点P 关于x 轴对称的点是（3，–4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是 ．14．如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件：，使OC OD =（只添一个即可）． 15．等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的顶角应该为 ．16．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：n ＝（用含三．计算题（计算要认真仔细，善于思考！本大题有3个小题，共24分） 17．（8分）计算 ()32281442⨯+--）（第16题DO CBA第14题图18．（8分）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222)(b a b a -+-19．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，求四边形ABCD 的周长．四．解答题（本大题有3个小题，共26分） 20．（8分）某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】
全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。
解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。
代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。
答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。
求△ABC的面积。
解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。
底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。
答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。
解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。
将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。
对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。
由此可得x = 1 或 x = 11/3。
答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。
已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。
解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。
答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。
解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛厦门市八年级获奖情况公布
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厦门外国语学校 肖 宜 厦门外国语学校 郑润丰 厦门双十中学 张煜风 厦门双十中学 王晨霖 厦门十一中 张宇辰 厦门一中 吴凡 厦门一中 曾正 厦门一中 游路加 厦门一中 吴品萱 厦门同安一中 陈秀梅 厦门同安一中 高 恬 厦门同安一中 林 薇 厦门同安一中 黄雅兰 厦门同安一中 洪 妍 厦门同安一中 张剑岚 厦门同安一中 邵禹铭 厦门翔安一中 郭增佳 厦门英才学校 方艺鸿 厦门五缘实验学校 纪聪杰 厦门五缘实验学校 江薇 厦门五缘实验学校 曾昊 厦门外国语学校 陈 轲 厦门外国语学校 曲玥玥 厦门外国语学校 黄 宇 厦门双十中学 白若泰 厦门市莲花中学 王维 厦门市湖里区蔡塘学校 郑晓婷 厦门市槟榔中学 荆远方 厦门九中 卜昕月 厦门一中 陈见淳 厦门一中 陈嘉琪 厦门一中 许文熙 厦门一中 郑佳欣 厦门第六中学 涂锦程 厦门第六中学 李欧阳 厦门第六中学 刘雅文 厦门大同中学（兴华校区） 姚毓群 厦门同安一中 张睿 厦门市启悟中学 苏文宇 厦门五缘实验学校 刘航尔 厦门外国语学校 陈思曲 厦门外国语学校 阮聪逸 厦门市汀溪中学 叶栋梓 厦门一中 李途越 厦门一中 康梓屹 厦门五中 罗蔚榕 厦门五缘实验学校 刘豪
全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖 全国三等奖
第 27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析
第27届“希望杯”全国数学邀请赛初二1试解析一、选择题1、【解析】A ，B 选项SSA 不能判定全等；C 明显不是判定全等的条件，D 项正确，选D .2、【解析】由3-=x y 与k kx y -=，得ky k x -+-=-+=122121，，∵交点为整点，∴k 可取1-，0，2，3，共计4个不同的值，故选B .3、【解析】由题可得混合后男女生的比为23:22)1112(:)1210(=++，故选D .4、【解析】解不等式2|1|＞+x ，得1＞x 或3-＜x ；解不等式)0(||≥≤a a x ，得a x a ≤≤-，∵它们的解集没有公共部分，∴1≤a 且3-≥-a ，∴10≤≤a ，故选A .5、【解析】解不等式组，得5＜x 且21m x -＞，∵要满足不等式组只有四个整数解，∴需要满足以下关系：1210＜m -≤，解得11≤-m ＜，故选C .6、【解析】∵ED AE =，∴A EDA ∠=∠，∴A A EDA DEB ∠=∠+∠=∠2；∵DB ED =，∴A DEB DBE ∠=∠=∠2，∴A DBE A CDB ∠=∠+∠=∠3；∵CD BC =，∴A CBD CDB ∠=∠=∠3，∴A CBD DBE ABC ∠=∠+∠=∠5；∵AC AB =，∴A ABC C ∠=∠=∠5，∴︒=∠=∠+∠+∠18011A ABC C A ，∴11180︒=∠A ，故选D .7、【解析】当0=n 时，4205==A ；当1=n 时，44411==A ；当2=n 时，47619==A ；当3=n 时，411629==A ……，要使得p A +的平方根是有理数，需满足p A +是一个平方数，观察发现，有且仅有各项的分子加上5，就使各数均成为平方数，故45=p ，答案是D .8、【解析】∵504201625.0=⨯，63)42(504=⨯÷，∴动点p 回到A 点；∵7251820151⋯=÷⨯，即动点p 再从A 往原方向移动7个单位到AD 中点，故选D .9、【解析】不妨从1开始，取1，2，3，5，8，13共六个数，其中没有任何3条线段可以构成三角形，如果往其中加入任意一个141-的其它数，那么必有3可以构成一个三角形；故n 最小可取值为7，选A .10、【解析】不妨设)(2x k a C ，)00(＞，＞k a ，则ak BC BC a OB 2'===，，设'AA 的中点为D ，延长'AA 交'BC 于E ；∵A 点在xy 1=上，∴1=⋅DO AD ；易证CBO Rt ODA Rt △∽△，∴有22a k OB BC AD DO ==，∴222ak DO =，∴a k DO =，k a D A AD =='，∴k a a D A OB E A -=-=''，a k a OB AD AE +=+=，a k a k BC DO BC EB EC 2+=+=+=，ak a k EB BC EC -=-=2''；∴10'=+ECA AEC S S △△，即10))((21))((2122=--+++a k a k k a a a k a k a k a ，整理得20222=+k ，∴92=k ，∵0＞k ，∴3=k ，∴6)(21)(212122=+=+⋅=⋅=k k a k a a k AE BC S ABC△，故选B .二、A 组填空题11、【解析】∵1＞ab ，1＞bc ，1＞ca ，∴1)(2＞abc ，∴1＞abc 或1-＜abc ，∴1)(2016＞abc A =，故1＞A .12、【解析】∵A ，B 关于原点对称，∴21x x -=，21y y -=，∴221221253y x y x y x =-；∵422=y x ，∴8222=y x ，即8531221=-y x y x .13、【解析】∵0)11()3()12(=--+--k y k x k ，∴0)113()12(=-+---y x y x k ∴⎩⎨⎧=-+=--0113012y x y x ，解得⎩⎨⎧==32y x ，∵无论k 取何值，当32==y x ，时，关于x 的一次函数的值恒为零，∴不论k 取何值，关于x 的一次函数0)11()3()12(=--+--k y k x k 的图象必经过点)32(，.14、【解析】设a =+⋯⋯+++2016131211，原式20161)201611()20161)(1(=-----=a a a a .15、【解析】根据题意，三角形三边长可以有以下情形：16153，，，16144，，，15145，，，16135，，，15136，，，16126，，，14137，，，15127，，，16117，，，14128，，，15118，，，16108，，，13129，，，14119，，15109，，，131110，，，故有16个.16、【解析】原式2223223)1)(1()1)(1(1)1(+-+=+-+=+-++-=a a a a a a a a a a a ，∵31131=+-=+a ，33663)113324()1(222-=++--=+-a a ，∴108363)33663(3)1)(1(22-=-=+-+a a a ，∴10836312345-=+-++-a a a a a .17、【解析】易证BCE Rt AFE Rt △≌△，∴1==CE FE ，∴2222=-==AE AF AE BE ，∴122+=+=CE AE AC ，∴2422)122(2121+=⨯+⨯=⋅=BE AC S ABC △.18、【解析】40722⋯=÷，617)32(22⋯=÷+，147)432(222⋯=÷++，577)5432(2222⋯=÷+++，6127)65432(22222⋯=÷++++677)765432(222222⋯=÷+++++，297)8765432(2222222=÷++++++4407)98765432(22222222⋯=÷+++++++，∵62877)12016(⋯=÷-，∴a 除以7所得的余数是6.19、【解析】设梯形两条对角线分别为a ，b ，根据题意有16=+b a ，14422=+b a ，∴56=ab ∴28562121=⨯==ab S 梯形.20、【解析】∵20162016)2016)(2016(2222=-+=-+++x x x x x x ，∴y y x x ++=-+2016201622，∴y x -=，∴0=+y x .三、B 组填空题21、【解析】如图，易证BEC Rt ADB Rt △≌△，∴2==AD BE ，1==DB EC ，∴)25(，C ；∴)25(')32('--，，，C A ，设直线''C A 的解析式为b kx y +=，则有⎩⎨⎧-=+-=+2532b x b x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==31131b k ，∴直线''C A 的解析式为31131-=x y .22、【解析】所有多边形的内角和是︒=︒⨯+36000360)199(；边数最多的多边形最多有103499=+条边.23、【解析】依题意有⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++4141664313927212481d c b a d c b a d c b a d c b a ，解得241-=a ，125=b ，∴83=+b a ，∴85)(1=+-=+b a d c .24、【解析】∵ABC △是△Rt ，∴①222c b a =+，∵0111=+--ba b a ，∴②ab a b =-22，②①+得③ab c b +=222，①②-得④ab c a -=222；④③⨯得2222245210(b a b a =-+，∴252+=ab 或252--=ab 舍去，将252+=ab 代入④解得2=a 或2-=a 舍去；∴1521+==ab S ABC △.25、【解析】如图，将CDM △绕点D 顺时针旋转︒60得到EDN △，连接AM ，MN ，则EN CM =，∵ND MD =，︒=∠60MDN ，∴MDN △是等边三角形，∴MN MD =；∵CM 与AM 关于BD 对称，∴CM AM =，∴当E 、N 、M 、A 共线时，AE NE AM MN MC MD =++=+2(最小)，此时︒=∠=∠=∠60DMN BMA BMC ，作DA EF ⊥交AD 的延长线于F ，则︒=∠90F ，由旋转可得︒=∠60CDE ，2==ED CD ，∴︒=︒-︒=∠306090EDF ，∴在DEF Rt △中，2221==DE FE ，∴2622=-=EF DE DF ，∴262+=+=DF AD AF ；∴AEF Rt △中，22EF AF AE +=22)22()262(++=13+=.故答案为：13+，︒60.。
第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试.docx
第十六届 “希望杯” 全国数学邀请赛校名 _______________ 班次 ______ 姓名 ___________ 辅导教师 ____________ 成绩 _______ 一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。
题号 1 23 4 5 678910共得分答案1一2 + 3-4 + ・——14 + 15— 2 + 4 —6 + 8—…+ 28 —30等于2、已知兀=3是不等式mx + 2<l-4m 的一个解，如果加是整数，那么加的最大值是3、 一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9,这样的两位 数中，质数有A. 1个B. 3个C. 5个D. 6个4、 有三组数兀I ，兀2，兀3； yp $2，『3； Zi ，Z2，Z3，它们的平均数分別是d ，b, C,那么兀| + 戸―Z1，也+力―Z2，乃+旳―Z3的平均数是a+b+c 、 a+b-c 小 >亠一 ，、A. --------------B. -------------------------- C ・ a+ b-cD. 3(d + b-c)3 35、 己矢II A = ―— H — -- 1— ------ 1 ---- 1— ---- , 则 A 与］的大小关系是 23 23 + 1 23 + 2 24 -1A. 4>1B. A=\C. A < \ D ・无法确定的 6、Given in the /\ABC . a, b, c are three sides of the triangle, and —=——I, then ZA is a b c A. acute angle C. obtues angleD. acute angle or obtues angle（英汉词典 acute angle ：锐角；obtuse angle ：钝角）7、如图1,点D 是△ABC 的边BC±一点，如果AB=AD=2. AC=4,9、某人月初心元人民币投资股票，由于行情较好，他的资金每月都增加牛即使他每月 末都取III 1000元用于日常开销，他的资金仍然在三个月后增长了一倍，那么兀的值是2005年3月20日 上午8 ： 30至10 : 00A. B.--D.A. -1B. 0C. 1D. —2B. right angleWBD : DC=2 : 3,则△ABC 是A.锐角三角形 C.钝角三角形 8> 己知 a <b<c<0,则—^― b + ca b cA ・ ------- < -------- < --------b +c c +d a + bB. ft 角三角形D.锐角三角形或直角三角形 的大小关系是a+bB. a c b --- <----- < ----- h+c a+b c+ac+a b+c a+b cba---- < ------ + — a+b c+a b + 图1D.A- 9000 B. 1000010、判断下列命题的真假：C. 11000D. 11100甲：在边长为1的正三如形屮（包括边界）乙：在边长为1, 一个内角为60°的菱形中的任意四个点，必有两点踽离不人冷（包括边界）的任意六个点，必有两点的距离不人于丄.2那么正确的结论是A.甲真乙真B.甲真乙假C.甲假乙真D.甲假乙假二、A组填空题（每小题4分，共40分。
第25届希望杯初二一试试题解答
一选择题
1化简 (n是自然数)
答案为：
解答：化简得 关键讨论 的值是正1还是负1
即 是偶数还是奇数， 为连续2个整数的乘积，必为偶数；或者分奇数和偶数2种情况分类讨论也可以。
2、分式 的值为0，则b的值为（）
答案为b=1
由 =0，b=1或-1，但b=-1时， ，分式无意义，舍去。
3、已知 y是不大于x的最大整数，则 的值是（）
答案：
解答： ,即 ，y=2
=
4．反比例函数 的图像上有三个点(x1,y1),(x2,y2),(x2,y2),其中x1<x2<0<x3,则y1,y2,y3的大小关系是（y2<y1<0<y3）
解答：特殊值法，根据x1<x2<0<x3，分别取-2<-1<0<1代入即可。
所以
可得，b=3,或b=4,故解析式为y=-x+3或y=-2x+4
24、如图，正方形OCBA的顶点B和正方形AFED的顶点E都在函数 (x>0)的图像上，则点E到X轴的距离是_______，到y轴的距离是________.
答案：
解答:如图
点E(1+x,x),(1+x)x=1,由求根公式得。
25.如图，Rt⊿ABC中，∠C=900，CB=3，AC=4，且CB在直线l上，将⊿ABC绕点B顺时针旋转到位置（1），可得到点P1，此时CP1=_____,将位置（1）⊿ABC绕点P1顺时针旋转到位置（2）可得到P2，将位置（2）⊿ABC绕点P2顺时针旋转到位置（3）可得到P3，…，按此规律继续旋转，直到点P2014为止，则CP2014=________。
第二十四届希望杯初二第1试试题及答案解析
2．点(-7，m)和点(-8，n)都在直线y=-2x-6上，则m和n的大小关系是( )
(A)m＞n．(B)m＜n．(C)m=n．(D)不能确定的．
3．下列命题中，正确的是( )
(A)若a＞0，则a＞．(B)若a＞a2，则a＞1．
(C)若0＜a＜1，则a＞a2．(D)若|a|=a，则a＞0．
9．选：A；【解析】题目翻译：“一个直角三角形三边为a-b，a，a+b，(a，b是正整数)，则它的周长可能是( )”，由于a-b＜a＜a+b，有(a-b)2+a2=(a+b)2，得a=4b，所以三边为3b，4b，5b，周长是12的倍数；
10．选：C；【解析】：==，设小李的手表从8：00走到15：00用t小时，有t：7=15：14，t=7．5，即15：30时，小李的表才走到下午3点；
17．3；【解析】若3x-2=5，x=，2x-1=7，x=4矛盾，舍去；若3x-2=7，x=3，2x-1=5，x=3无矛盾；
18．1.05；【解析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别是x元、y元、z元．则有②-①得：x+3y=1.05…③，①-2×③得：x+y+z=1.05；
19．3；【解析】两边同时乘以(b-a)：-=1，-=1，-1+-1=1，即+= 3；
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试答案与解析
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．选：C；【解析】①③④是函数；
2．选：B；【解析】k=-2，y随x增大而减小，-7＞-8，∴m＜n；
3．选：C；
4．选：A；【解析】3⊙=()3=；
5．选：C；
6．选：C；【解析】等边三角形内任取一点到等边三角形三条边的距离之和等边三角形的高；