RC电路响应和三要素法
第四章电路的暂态响应
uL(0+) i1(0+)
i2(0+)
Us
12V
R1 4Ω
R2 6Ω
i1(0 )R1 Us uL (0 ) 0
uL (0 ) 4.8V
2）求S闭合后的各稳态值
S闭合达到稳态时，电感相当 于短路，其等效电路图如图所 示
uL() 0V
i1()
US R1
3A
i2 ()
US R2
2A
iL() i1() i2() 5A
R2 6Ω
iL
i1
Us
12V
R1 4Ω
1）求S闭合后的各初始值 由换路定律可得： il (0 ) il (0 ) 3A
L iL
S
uL
i1
i2
Us
12V
R1 4Ω
R2 6Ω
等效一个电流源，等效电路图如下图
i1(0 )
R2 R1 R2
iL (0 )
6 4
6
3
1.8A
iL(0+)
i2 (0 ) 1.2A 由KVL，可知
+ uL – R
iC
+ R IS –
0+电路
uL(0+)= - RIS
iC ( 0
)
Is
RI S R
0
例4
S闭合前电路已处于稳态，试确定S
闭合后电压uL和电流iL、 i1 、 i2的初始值和稳态值。
【解】开关S闭合之前
il
(0
)
US R1
12V 4
3A
L iL
S
uL
i1
i2
Us
12V
R1 4Ω
4-4一阶电路的全响应 三要素法
t
t r 1 e
t r r 0 r e
（t ≥0+）
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应
r (t ) r () r (0 ) r () e
t
t 0
全响应的初始值、稳态解和电路的时间常数，称为一阶线性 电路全响应的三要素。求出初始值、稳态值和时间常数即可按上 式直接写出全响应的函数式。这种方法就叫做三要素法。
注意：
1)零输入响应、零状态响应和全响应都可采用三要 素法进行求解； 2)三要素法只能用于求解一阶电路的响应。
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 求解步骤
作出t=0-时的等效电路，求出uC(0-)或iL(0-);
根据换路定则，求出uC(0+)或iL(0+); 根据t>0时的电路，求出L或C两端看进去的有源二端电
阻网络的戴维宁等效电路（一阶RC电路）或诺顿等效电 路（一阶RL电路）；
根据一阶电路零状态响应的一般形式求出uC(t)或iL(t) ;
电容电压的稳态值uc(∞)即为得到的戴维宁等效电路中的 电压源电压，电感电流的稳态值iL(∞)即为诺顿等效中的 电流源的电流。根据Req可求出时间常数τ ;
根据t>0时的电路，将电容用电压为uC(t)的电压源代替，
i f 0.5 A
3) 求τ
uo 10 × io 10i0 40i0 3
Req
uo 40W io L 1 s Req 40
电路原理
§4-4 一阶电路的全响应∙ 例题
4) 写出i (t)
i ( t ) i f [i (0 ) i f ]e 0.5 0.7e
一阶电路的全响应与三要素
§ 5.4 —阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应， 电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又 有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关 S 闭合前，电容已经充电且电容电压u c （0」二U 0，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源 U S 作用于一阶RC 电路。
根据KVL 此时电路方程可表示为：U C图5-19 一阶RC 电路的全响应u e(0•) = u e (0 _) = U o 令方程（5-9 ）的通解为U e 二U e U C与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则U e =U St同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为 U C = Ae^。
其中.二RC 为电路的时间常数，所以有tu e =U S Ae":将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为A 二U 。
U S所以电容电压最终可表示为tU c =U S (U 0-U s )e 「(5-20)电容充电电流为due U S _ U 0 -■ i = CdtR e这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了 U s ，U 0均大于零时，在U s ・U 0、根据换路原则，可知方程（RCdu e dtU e =U S(5-19)5-19 ）的初始条件为U s = 0、U s :: U 0三种情况下u c 与i 的波形。
（a ） （b ）图5-20 u c ，i 的波形图将式（5-20 ）重新调整后，得ttu c 二U °e 「U s CI-e 「）从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即全响应=零输入响应 +零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于 RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
RC与RL电路响应诠析
RC与RL电路响应诠析最近在复习电工的时候开始在学的时候因为书上都有RC电路的零输入响应、RC电路的零状态响应、RC电路的全响应这三种情况的分别得公式，我在做题的时候发现这个办法不但记得不是很牢固而且要判断是属于那种情况，费劲。
在看到三要素分析法的时候我就在想是不是这三种情况都是从这个里面衍生出来的。
我就尝试着把每种情况的公式带入到三要素法里面匹配，结果是在意料之中的匹配上了。
RC电路的响应RC零输入响应：其状态图如上图所示：书上直接说其电压值为：Uc=Uoe^(-1/RC) ，电流理所当然的为Uc/ R.这样讲不但抽象而且有点脱节。
三要素法的公式为：f（oo）+（f（0+）-f(oo)）e^(-1/Rc) 注（f（00）代表的是无穷大的时候的f函数，俺不会打）。
用三要素法分析上题为Uc（o+）=U，Uc（oo）=0，（无穷大的时候开关s打到档位1，电容是储电元件，总有放完的时候）带入到三要素公式为：0+(U-0)e^(-1/Rc) 其结果与上面的结果是一致的，我将这个公式带入到例题求解，结果是正确的。
上面的公式为什么不用电流求解呢？电流也是使用于三要素的公式，在RC电路中分析电压要比分析电流要简单的多，我们为什么要避简求繁，用电压的值处以电阻的值不就得到电流的值了。
RC电路的零状态响应；RC零状态响应是在0时刻时电容是处于无电的状态，在t>0的时候的合上开关，用三要素法分析为：在时间0的时候开关没合上，电压U（o+）=0;合上开关后为：U(oo)=E/(R1+R2),即Uc=U（oo）+（U（o+）—U(oo)）=U(oo)(1-e^(-1/RC))与书上得出的公式是一样的，而且分析起来很简单RC电路全响应：全响应就是在0时刻的时候电容就已经充了电了，然后在电路上引起变化，而后还是有电源的存在的情况，其实就是上面两种情况的合成：但是用三要素发求出0时刻的电压和稳定后的电压就不用分别求两种情况的电压了，这使得解题的过程变得简单化了。
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(1)
i R 0 u L 0
, u 0 uS(0+)
R
NR
, i 0 iS(0+) c
uC(0+) iL(0+)
（b）t=0+时等效电路
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
9
计算非独立初始值的具体方法： A、画出t =0+电路，
a、若 若
uc (0 ) uc (0 ) U cs ，
6
以电容上电压为未知变量列写电路的方程。
换路后由图（b）可知，其KVL方程为：
uczi (t ) uRzi (t ) 0
而uRzi(t)=izi(t) R,
izi ( t )
C
d u C zi ( t dt
)
，代入上式可得：
RC
duCzii (0+ )= RI S
则电容用一个电压源UCS代替；
uc (0 ) 0 ， 则电容用短路线代替。
b、若 iL (0 ) iL (0 ) ILs ，
则电感用一个电流源ILS 代替； 若 iL (0 ) 0 ， 则电感作开路处理。
B、现在可用求解电阻电路的各种方法来求解指定的非独立初始值。
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
（或称内部激励）共同作用引起的响应。
f t 0
N
y t
xk 0 0 k1,2,,n
实际上，由线性电路的性质知：
全响应 零输入响应 零状态响应
即：
y t yzi t yzs t
电路分析基础
xk 0 0 k 1,2,,n
3.4 电感的串联和并联
6
思考题
1. 解释电路零输入响应的定义； 2. 解释电路零状态响应的定义； 3. 解释电路全响应的定义；
5.5一阶电路的全响应及三要素法
d ()
d
2.4×10−12
−
5
0.251
1
2
4
3
+
+
1
−
0.251
−
图 5-17′′ 求
4
3
eq
+
oc
−
（V）
（ ≥ 0+）
1μF
4
图 5-18 戴维南等效电路
= 3 e− （A）（ = 2.4 × 10−12 ）
（ ≥ 0+）
求1 ()。
如图 5-17′所示，两个节点②和①的 KCL 为
由分量的待定常数。
2.一阶电路全响应的解
全响应问题的解分解为后一稳态值
强制分量1 ()以及从前
一稳态到达后一稳态需要经过的过渡过程
自由分量2 ()。分量
−/
1 () = (∞)，分量2 () = e
= [(0+ ) − (∞)]e−/ (2 ()推导
见右侧)。那么全响应()=强制分量1 ()+自由分量2 ()，即
一阶电路全响应为
0 = (0− )
() = 0 e−/ + s (1 − e−/ ) ( ≥ 0+ )
3.求全响应的方法——三要素法
从全响应的表达式可以看出，线性电路的三个重要因素：前一稳
态值(0+ )、后一稳态值(∞)以及一个时间常数参数决定了全响应。
因此，针对一个具体的线性电路，只需得到这三个要素值就可得到全
时间常数为 = = × 3 = 0.5(s)。
1
2
+
⑵ ≥ 0+ 时间开关打开，等效电路如图 5-15′′所示，电路零
一阶动态电路的全响应及三要素法
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
5全响应三要素5-3
R1
+ US S
－
C + uC -
R2
+ R3 u3
－
1 RC 2 103 10001012 s 2s
uC (t ) 4 (0 4)e u3 (t ) 4 (6 4)e
4(1 e 4 2e
5105 t
) V 0 t t1 V 0 t t1
波形:
uC (t ) (V)
t 10 ms 15 ms
t 15 ms
S
1
R 15k
2
V
10V 1F 5V
C uC
(t 10ms)
2.3V
0
5V
10ms
t(ms)
例：如图 S1在t=0时闭合， t=0.1s，闭合S2。 求： S2闭合后u(t)表达式。
S1
4F
S2
+ + uC - + 20V u 50k - 50k －
解：分段讨论：（用三要素法）
① t<0:
uC (0 ) 0 uC (0＋) uC (0 ) 0
t
② 0 t 0.1s
uC () 20V RC 50 103 4 106 0.2s
(3) f ()可通过换路后，达到新的稳态的电路来求。 此时，C开路，L短路。
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
例如： uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e
t
t τ
V
i L (t ) i L () [i L (0 ) i L ()]e
t 1