3-7 一阶电路的三要素法
一阶暂态电路三要素法和
一阶暂态电路三要素法和一阶暂态电路是指由电阻、电感和电容组成的电路，在初始状态下有一个初始电压或电流，当电路发生突变时，电压或电流会发生暂态响应。
为了研究电路的暂态响应，我们可以使用一阶暂态电路三要素法。
一阶暂态电路三要素法是一种用于分析一阶暂态电路响应的方法，它通过确定电路的三个要素：时间常数、初始条件和输入信号来推导电路的暂态响应。
时间常数是一阶暂态电路的一个重要参数，它描述了电路响应的速度。
对于由电阻R和电容C组成的一阶电路，时间常数τ可以通过以下公式计算：τ = RC。
时间常数越小，电路的响应速度越快。
初始条件是指在初始状态下电路的电压或电流值。
在分析一阶暂态电路时，我们需要知道电路在初始时间点的电压或电流值，这些值可以通过测量或已知条件来确定。
输入信号是指施加在电路上的信号。
输入信号可以是电压或电流的变化，它会引起电路的响应。
在分析一阶暂态电路时，我们需要知道输入信号的形式和参数，例如输入信号的幅值、频率和相位。
通过确定时间常数、初始条件和输入信号，我们可以使用一阶暂态电路三要素法来推导电路的暂态响应。
首先，我们可以根据时间常数来判断电路的响应速度。
如果时间常数很小，电路的响应会很快；如果时间常数很大，电路的响应会比较慢。
我们可以根据初始条件来确定电路的初始状态。
初始条件可以是电路的初始电压或电流值。
通过测量或已知条件，我们可以确定电路在初始时间点的初始条件。
我们可以根据输入信号的形式和参数来计算电路的暂态响应。
根据输入信号的幅值、频率和相位，我们可以计算出电路在不同时间点的电压或电流值。
总结一下，一阶暂态电路三要素法是一种用于分析一阶暂态电路响应的方法。
通过确定时间常数、初始条件和输入信号，我们可以推导出电路的暂态响应。
这种方法可以帮助我们更好地理解和分析一阶暂态电路的行为，对于工程实践中的电路设计和故障排除非常有用。
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
一阶电路三要素法
R0 6 / /3 2k
uC
R0C 2
18 (5
103 2106
4
1
8
)e
t 41 0
3
4
103
18 3
s 9mA
6e250
t
R 6k
3k
恒流源除源
1）求电容电压
uC 18 (
uC;
54
1
8
)e
t 41 0
3
54V
uC
2）求电流 iC、 i;2
18V
iC
C duC dt
①确定 uC (0 ) uC (0 ) 54 V
②确定 uC ()
由换路后稳态电路求稳态值 uC ()
uC
(
)
9
10
36 63 3来自10318 V
③由换路后电路求时间常数
9mA R
6k
t=0 S
uC
+ _
iC
2F
C
i2
3k
9mA
R 6k
+
uC
(
) _
3k
换路后，储能元件两端求等效电阻R0
t∞ 电路
对一阶电路的求解，只需求出初始值 f (、0稳) 态值 要素，代入通用表达式即可直接写出电压或电流的通解
f和(换)路后的时间常数三个
——三要素法
例1：电路如图，S闭合前电路已处于稳 态。t=0时合上开关S，试求
1）电容电压 u;C
2）电流 iC 、 i;2
3）画出 uC、 iC、 i变2 化曲线。
2 、三要素法求解暂态过程要点
（1）求初始值、稳态值、时间常数
1）初始值 f (0 )的计算
3-7 一阶电路的三要素法
t 4
t
t 4
9.6 0.6 e V , t 0+
X
求开关闭合后： 已知uC (0 ) 6V，开关闭合前电路处于稳态， 1）电容电压的全响应、稳态响应、暂态响应、 例题3 零输入响应、零状态响应，并画其波形图。
2) 24k 电阻上的电压uR (t )。
X
解（续） 求：2）电压表读数达到最大值的时间；
di2 (t ) u(t ) R1i1 (t ) L dt
1 t R1C R 2t L
i (t )
S (t 0)
R2
C
u (t )
V
s
U s (e e ), t 0 U du(t ) 当 0 时u(t ) 达到最大值，此时有 dt 1 1 R2 R t t t 2t R 1 L e R1C 2 e L e R1C R1 R2e L R1C L C
16 V
i 2
1
5i
1
5H
b
S ( t 0)
与电感相连的等效内阻为： Req 1 0.25 1.25 电路的时间常数为： L 5 = 4s Req 1.25
2
iab
i
1
5i
uab
X
解（续）
（5）写出uab (t ) 函数表达式。
uab (t ) uab () [uab (0 ) uab ()]e
暂态分量 稳态分量
t
X
例题1
已知RL电路中的电压源电压如图所示，且iL (0 ) 0, 求t 0时的i (t ) ，并绘出变化曲线。
一阶电路三要素法的公式
一阶电路三要素法的公式
一阶电路三要素法是一种对一阶电路进行分析的方法，它可以将一阶电路分解为三个简单元件：电阻、电感和电容。
其中，电阻是一种能够吸收运动电流，产生热量和电势差的元件；电感是一种在电路中存在的磁场，并能够存储能量的元件；而电容则可以在电路中存储电荷，具有调节电路的功能。
一阶电路三要素法的公式主要分为以下几个部分：
第一，电阻R：R=V/I，其中V为电压，I为电流。
第二，电感L：L=U/I，其中U为电势差，I为电流。
第三，电容C：C=Q/V，Q为电荷，V为电压。
第四，电路总模型：V=RI+L(dI/dt)+Q/C，其中V为电压，R为电阻，I为电流，L为电感，Q为电荷，C为电容。
第五，电路增益：A=Vout/Vin，Vout为输出电压，Vin为输入电压。
第六，电路阻抗：Z=V/I，V为电压，I为电流。
第七，电路时间常数：τ=L/R，L为电感，R为电阻。
以上就是一阶电路三要素法的公式，它可以用来分析一阶电路的不同特性，如电阻、电感、电容、增益、阻抗以及时间常数等。
要使用一阶电路三要素法，首先应该确定电路中所有组成元件的电压、电流和电荷。
然后，根据上述公式，依次计算电阻、电感、电容、增益、阻抗和时间常数，最终形成一个完整的一阶电路模型。
通过一阶电路三要素法，我们可以更好地理解电路，并给出有效的解决方案，可以大大提高工作的效率。
《电路基础》第15讲 一阶电路的三要素公式 (1)
∴ uc(t)=12(1-e-10t) t≥0
5
例2 k(t=0)
15V
i
1
1
2
iL 15V
作t=0+时的等效电路：
求 i(t) t≥0
解： 三要素法
3H ①
15 2
iL (0+ ) = iL (0 ) = 5
• = 6( A) 3
3
2
i(0+ ) = 5 + (6)* 3 = 1(A)
i(0+)
结束
作业：P192 3-28 预习: 阶跃函数和阶跃响应
21
初始值～最终值（稳态值）。
②同一个电路，u、 i的变化由同一个τ决定。
３、三要素求解：
①f(0+): 初始值，独立和非独立初始条件求解。 t=0-,C开路，Ｌ短路。零状态时，Ｃ短路，Ｌ开路。
②f(∞): 特解，稳态值，最终值。Ｃ开路，Ｌ短路
③τ： = RC = LG 3
例1
已知： t=0时合上开关
由图可见，从电容两端看去的等效电 阻为2Ω， 所以τ=RC=0.5s。
于是按三要素得t≥1.5s的电路响应为
uC (t)=5.32e2(t 1.5 ) (V)
t≥1.5s
u1(t)=0
t≥1.5s
t>1.5s时的电路
19
t>1.5s时的电路 0<t<1.5s时的电路
20
第15讲 一阶电路的三要素公式
(1) 如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，求t≥0时电压uC 和u1的零输入响应、零状态响应以及全响应；
(2)如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，经过1.5s后， 开关又由“2”闭合到“3”，求t≥0时的电压uC和u1 。
一阶动态电路的三要素法
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THANKS
应，并了解电路的性能。
03 三要素法可以帮助我们更好地理解和设计一阶动 态电路。
04 三要素法在一阶动态电路 中的应用
电容电压的计算
总结词
通过三要素法，可以计算出电容电压 的初始值、稳态值和时间常数。
详细描述
在三要素法中，电容电压的初始值可 以通过初始条件计算得出，稳态值则 根据换路定律确定，而时间常数是电 路中电容器充放电的时间。
研究不足与展望
虽然三要素法在分析一阶动态电路方面取得了显著成果，但仍存在一些局限性，例如对于高阶动态电 路的分析仍需进一步研究。
目前对于三要素法的理论研究相对成熟，但在实际应用方面仍需加强，特效率。
未来研究可以探索将三要素法与其他电路分析方法相结合，以拓展其应用范围和提高分析精度，同时也 可以研究如何将三要素法应用于其他领域，如控制系统、信号处理等。
实例二：简单RL电路的响应分析
总结词
RL电路的响应分析
详细描述
RL电路由一个电阻R和一个电感L组成，其 响应也可以通过三要素法进行计算。根据三 要素法，RL电路的响应由初始值、时间常数
和稳态值三个要素决定。初始值是电感在 t=0时的电流或电压值，时间常数是RL的乘 积，稳态值是当时间趋于无穷大时的电流或
背景
在电子工程和电路分析领域，一阶动态电路是常见的基本电路之一。了解一阶动态电路的响应特性对于电子设备 和系统的设计、分析和优化具有重要意义。三要素法作为一种有效的分析方法，广泛应用于一阶动态电路的分析 和设计中。
研究目的和意义
研究目的
通过研究一阶动态电路的三要素法，旨在深入理解一阶动态电路的响应特性，掌握三要 素法的应用技巧，提高分析和解决实际电路问题的能力。
一阶电路分析的三要素法
一阶电路分析的三要素法采用“三要素法”分析一阶电路，可以省去建立和求解微分方程的复杂过程，使电路分析更为方便和高效。
适用于直流激励一阶电路的三要素法我们仍以简单一阶RC 电路为出发点。
图1 所示RC 电路的全响应结果如下：图1 一阶RC电路图( 1 )( 2 )由图1 容易知道，电容电压的初值为，电容电压的终值为；而电流的初值为，电流的终值为。
观察式( 1 ) 、式(2) 可见，一阶电路中任意电路变量的全响应具有如下的统一形式：( 3 )可见，为求解一阶电路中任一电路变量的全响应，我们仅须知道三个要素：电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。
我们称式( 6-5-3 ) 为一阶电路分析的三要素法。
三要素法同样适用于一阶RL 电路，但是二阶以上动态电路不可采用此法。
推广的三要素法在前面分析一阶电路时，我们采用的独立源具有共同的特点，即所有独立源均为直流（直流电压源或直流电流源）。
对于直流激励电路，换路前电路变量为稳定的直流量，换路后经历一个动态过程，电路变量过渡到另外一个稳定的直流量。
我们容易根据电路的原始状态和电路结构确定电路变量的初值f(0+)、电路变量的终值f(∞)以及一阶电路的时间常数。
如果电路中激励源不是直流，而是符合一定变化规律的交流量（如正弦交流信号），则换路后电路经历一个动态过程再次进入稳态，此时的稳态响应不再是直流形式，而依赖于激励源的信号形式（如正弦交流信号）。
此时，我们无法确定电路变量的终值f(∞),故无法采用式( 3 ) “三要素法”确定一阶电路全响应。
对于这类一阶电路，我们可以采用推广的三要素法：〔4 )式中，为全响应的初值、为电路的稳态响应、τ为电路的时间常数，称为一阶线性电路全响应的三要素，为全响应稳态解的初始值。
“三要素”的计算与应用利用三要素法分析一阶电路的全响应时，必须首先计算出电路变量的初值、电路变量的终值以及一阶电路的时间常数。
假设激励源为直流电压源或电流源。
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60 V 24k uR uC 0.5 F
12k 12k 60 V 24k uR (0 )
6V
2）方法一：直接应用三要素法 12 / /24 12 / /24 由叠加定理：uR (0 ) 60 6 26.4V 12 12 / /24 12 12 / /24
2）方法一：根据电路结构和元件的VCR
uR (t ) 12 103 iC (t ) uC (t ) duC (t ) 12 10 C uC (t ) dt 40 13.6e 100 t V, t 0
3
X
解（续） 2) 求24k 电阻上的电压uR (t )。
2. 求稳态值 y
画 等效电路，求出y ()。 注意：此时电容开路，电感短路。
X
一阶电路的三要素法解题步骤
3. 求时间常数
求 t 0时含源单口网络 N 1的戴维南等效电阻 或诺顿等效电阻 R0。
L R0C 或 R0 4. 写出所求变量的函数表达式
y (t ) [ y (0) y ()] e
uab ( ) 1
b
X
解（续）
（4）求等效内阻Req 和时间常数
a i 2
uab 1 (i 5i iab ) uab 2i uab 4uab iab Rab 0.25 iab
Req 1 0.25 1.25
16 V
1
5i
1
S (t 0)
0
0
),
1 e t0
2
i (t ) / A
2(1 e
t0
)e
( t t0 )
A t0
0
t0
t/s
（只有z.i.r )
X
例题2 已知t 0 时电路处于稳态，求t 0 时的uab (t ).
解: （1）画0 等效电路，求出i L (0 )
KCL:i L (0 ) i (0 ) 5i (0 ) 6i (0 )
1 1 1 ) Us ( ) Us 2 4 4
X
1 t ln 2 R1C
R1C ln 2 R1C R2 R1C ln 2 L
t R1C ln 2时电压表读数达到最大值。
3）u(t ) U s (e U s (e
1 t R1C
e
R2 t L
)
t R1C ln 2
U s (e
e
)
ln 2
e
2 ln 2
与电容连接的等效电阻为：
24 uC ( ) 60 40V 12 24
12 24 Req 12 20k 12 24
60 V 24k uR uC 0.5 F
Req C 20 103 0.5 106 0.01s
解:
电压表内阻无限大 电压表连接的两节点间相当于开路 R2 和L,R1 和C 支路与电压源都构成充电回路。
i (t )
1）当电路达到稳态时，有 i2 () U s / R2 uC () U s
S (t 0)
R2
u (t )
V
C
Us
L
i2 i 1
R1
X
解（续）
Us i2 ( t ) (1 e R2 uC (t ) U s (1 e
uab (0 )
1 i (0 ) 5i (0 ) i L (0 ) 9V
i (0 )
2 5i (0 ) 1 uab (0 ) 16 V 1 i L (0 ) b
X
解（续）
（3）画 等效电路，求出uab ()
a i 2
uab ( ) (1/ /1) 6i ( ) 3i ( )
2i ( ) uab ( ) 16
16 V
1
5i
1
S (t 0)
b
5H
5i ( ) 16 i ( ) 3.2A
uab ( ) 9.6V
i ( )
2
5i()
a
16 V 1
y (t ) y ( ) [ y (0 ) y ( )]e
t
t 0
三要素法不仅适用于状态变量，也适用于非状态变 量。
X
一阶电路的三要素法解题步骤
1. 求初值 y (0)
(1) 画0等效电路，求出uC (0 ) 或i L (0 )。 注意：此时电容开路，电感短路。 (2) 画0 等效电路，求出y (0 )。 此时电容用电压值为uC (0 ) uC (0 )的电压源置换， 电感用电流值为i L (0 ) i L (0 ) 的电流源置换。
暂态分量
t
y ( )
稳态分量
X
例题1
已知RL电路中的电压源电压如图所示，且i L (0 ) 0, 求t 0时的i (t ) ，并绘出变化曲线。
解: 激励只作用于(0, t0 ) 区间，所以需要分段求响应。
0 t t0：
i (0 ) i L (0 ) 0
L 2 i ( ) 2A 1s R 1 t i (t ) i ( )(1 e )
R 2t L
i (t )
)
S (t 0)
R2
u (t )
V
C
1 t R1C
)
1 t R1C
Us
L
i2 i 1
R1
duC (t ) U s i1 (t ) C e dt R1
Us i (t ) i1 (t ) i2 (t ) e R1
1 t R1C
Us (1 e R2
X
解（续）
uC (t ) uC ( ) [uC (0 ) uC ( )]e 40 （ ）e 6 40 40 34e
100 t 100 t t
V, t 0 40
uC (t ) / V
V, t 0
100 t
稳态响应为： 40V, t 0 暂态响应为： 34e
§3-7 一阶电路的三要素法
北京邮电大学电子工程学院 2011.2
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§3-7 一阶电路的三要素法
零输入、零状态法：
uC (t ) uCz .i .r (t ) uCz .s.r (t ) U 0e
1 t
U s (1 e
1 t
) t0
经典法：uC (t ) uCh (t ) uCp (t )
6
V, t 0
0
t/s
零输入响应为： 6e 100 t V, t 0
34
零状态响应为： 40(1 e 100 t )V, t 0
X
解（续） 2) 求24k 电阻上的电压uR (t )。
S (t 0) 12k 12k
60 V 24k uR uC 0.5 F
9.6 0.6 e V
t 4
t
t 4
X
例题3 1）电容电压的全响应、稳态响应、暂态响应、
零输入响应、零状态响应，并画其波形图。 2) 24k 电阻上的电压uR (t )。
已知uC (0 ) 6V，求开关闭合后：
解: 1）uC (0 ) uC (0 ) 6V
S (t 0) 12k 12k
R1 R2
L
i2 i 1
R1
e
2L C
1 t R1C
2e
R2 取对数 t L
R2 1 t ln 2 ( t ) L R1C
X
解（续）
求：2）电压表读数达到最大值的时间； 3）电压表的最大读数。
R1 R2 2L C
R2 R1C L ln 2 t LR1C
a
i 2
16 V
1
5i
1
S (t 0)
5H
b
KVL： 2i (0 ) 1 i L (0 ) 16
i (0 )
16 V
i L (0 ) 2 i L (0 ) 16 6 i L (0 ) 12 A
2
5i (0 )
1
i L (0 )
b
5H
与电感相连的等效内阻为：
i
2
1 i1
iab
5i
电路的时间常数为： 5 L = 4s Req 1.25
uab
X
解（续）
（5）写出uab (t ) 函数表达式。
uab (t ) uab ( ) [uab (0 ) uab ( )]e
9.6 (9 9.6)e
1 i (t ) us (t ) 1H
2(1 e )A t 0 (只有z.s.r )
t
2
0
us (t ) / V
t0 t / s
X
解（续）
t t0： us (t ) 0 i ( ) 0
t0
1 i (t ) us (t ) 1H
i (t ) i (t ) 2(1 e L 1s R t t0 i ( t ) i ( t 0 )e