八年级秋季班-第20讲：期末复习(1)

期末复习内容分析本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程 的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中 需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大 家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题．知识结构二次根式的 性质二次 根式二次根式的运 算最简二次根式同类二次根式二次根式的加减 二次根式的乘除有理化因式和分母有理化 混合运算一元 二次 方程解法 根的判别式开平方法配方法公式法平行向量定理 平行向量 平行向量因式分解法根的情况实际问题应用二次三项式的因式分解1 / 33函数的定义域和求函数值实变际量函数问与正比例函数概念、 图像和性质反比例函数概念、图像正反比例函数 综合运用题常和性质量 函数的常用表示法：解析法列表法图像法定义命题公理定理逆命题 逆定理线段的垂直平分线定理及逆定理 点 的角的平分线定理及逆定理轨迹几何证明依据直角三角形的性质勾股定理演绎 推理直角三角形全等的判定 勾股定理的逆定理选择题【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（A． 1 5B． 5） C． 0.5【难度】★【答案】 B【解析】 1  5 ； 0.5  1  2 ； 50  5 2 ．5522【总结】本题考查了最简二次根式的定义．D． 502 / 33【练习2】 若一元二次方程 ax2  2x 1  0 有两个实数根，则 a 的取值范围正确的是（）A． a 1B． a 1C． a 1且 a  0D． 0  a 1【难度】★【答案】 C【解析】因为方程有两个实数根，故   b2  4ac   22  4  a  0 ，则 a 1，又因为一元二次方程的二次项系数不为零，即 a  0 ；故 a 1且a  0 ． 【总结】本题考查了一元二次方程根的情况．【练习3】 如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）．A．（-3，-2） B．（3，2） C．（2，-3）D．（-2，-3）【难度】★【答案】 D【解析】反比例函数的图像与正比例函数图像的两个交点关于原点对称．【总结】本题考查了反比例函数图像的性质．【练习4】 下列命题中，哪个是真命题（ ） A．同位角相等 B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高 D．若 PA  PB ，则点 P 在线段 AB 的垂直平分线上【难度】★ 【答案】 D 【解析】 A 中只有两条直线平行，同位角相等； B 中‘S  S  A’不能证明三角形全等；C 中等腰三角形的对称轴是底边上的高所在直线，对称轴应该是直线； D 中是垂直平分线的性质． 【总结】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定，对称轴及垂直平分线性质．3 / 33【练习5】 以下说法中，错误的是（ ）A．在△ABC 中，∠C=∠A-∠B，则△ABC 为直角三角形B．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC 为直角三角形C．在△ABC 中，若 a  3 c ，b  4 c ，则△ABC 为直角三角形55D．在△ABC 中，若 a : b : c  2: 2: 4 ，则△ABC 为直角三角形 【难度】★【答案】 D【解析】选项 A、B 均由三角形内角和定理可求得 A  90 ；C 由勾股定理可得 ABC 为直角三角形； D 中有三边关系知构造不了三角形，故错误． 【总结】本题考查了直角三角形的判定．【练习6】 关于 x 轴上有一点 A 到点 B（-3，4）的距离是 5，则点 A 的坐标是（ ）A．（-6，0）B．（0，0）C．（-6，0）或（0，0）D．以上都不对【难度】★【答案】 C【解析】过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴为点 C ，则点 C 的坐标为 3，0 ，又因为点 B 到 x 轴的距离为 4 ，所以由勾股定理可得点 A 的坐标为 6 ，0 或 0 ，0 ．【总结】本题考查了勾股定理的应用．【练习7】 x3 化简成最简二次根式后等于（ ） x 12A． x x x 1B． x x 1 xC． x x 1 xD． x x x 1【难度】★★【答案】 C【解析】 x3x 12 0 ，x3 0 ，即 x  0 ，x 1 0 ，故原式 x x 1 x．故选C．【总结】本题考查了二次根式的化简．4 / 33【练习8】 某同学做了以下四题，其中做错的有（ ）① 16a4  4a2 ；② 5a  10a  5a ；③ a 1  a2  1  a ；④ 3a  2a  a ．aaA．1 个B． 2 个C．3 个D．4 个【难度】★★【答案】 B【解析】①③正确；②④错误；②中 5a  10a  50a2  5 2a ；  ④中 3a  2a  3  2 a ，故选 B．【总结】本题考查了二次根式的运算及化简．【练习9】 如果关于 x 的方程 (x  a)(x  b)  (x  b)(x  c)  (x  c)(x  a)  0 （其中 a、b、c均为正数）有两个相等的实数根，则以 a、b、c 为长的线段促成的是（ ）．A．等腰非等边三角形B． 等边三角形C．直角三角形D．不能确定形状【难度】★★【答案】 B【解析】原方程可以整理为 3x2  2a  b  cx  ab  bc  ac  0 方程有两个相等的实数根，   2a  b  c2  4  3 ab  bc  ac  0整理得： 4a2  4b2  4c2  4ab  4bc  4ac  0即 2a  b2  2b  c2  2a  c2  0 a  b  0，b  c  0，a  c  0 ，即 a  b  c  三角形为等边三角形． 【总结】本题考查了一元二次方程根的判别式及配方的运用．5 / 33【练习10】 已知一直角三角形 ABC 的三边为 a、b、c，∠B=90°，那么关于 x 的方程a(x2 1)  2cx  b(x2 1)  0 的根的情况是（）．A．有两个相等的实数根 C．没有实数根 【难度】★★ 【答案】 A 【解析】解： B  90，a2  c2  b2B． 有两个不相等的实数根 D．无法确定  化简原方程为： a  bx2  2cx  b  a  0 ，  4c2  4 b2  a2  4c2  4c2  0 ，方程有两个相等的实数根，故选项 A 正确． 【总结】本题考查了勾股定理的应用及根的判别式的综合运用．【练习11】 多项式 4x2  8x 1进行因式分解正确的是（）A． (x  2  5 )(x  2  5 )22B． (4x  4  2 5)(4x  4  2 5)C． (2x  2  5)(2x  2  5)D． 4(x  2  5 )(x  2  5 )22【难度】★★【答案】C【解析】解：令 4x2  8x 1  0 ，由   82  4  4  1  80  0由公式法得：x12 25 ，x22 25；所以4x28x1 4 x2 25  x2 25 (2x25)(2x  2 5) ，故选 C． 【总结】本题考查了一元二次方程的应用----二次三项式的因式分解的运用．6 / 33【练习12】 已知函数 y  kx k  0 中 y 随 x 的增大而增大，那么它和函数 y  k k  0 在x同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（）．【难度】★★ 【答案】 D【解析】 函数 y  kxk  0 中 y 随 x 的增大而增大；k  0函数 y  kxk  0 和函数 y  k k  0 的图像都在一、三象限，故 D 正确．x 【总结】本题考查了正反比例函数的图像和性质．【练习13】 如图，A、C 是函数 y  1 的图象上任意两点，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 B ， x过点 C 作 y 轴的垂线，垂足为 D ，记 Rt△AOB 的面积为 S1 ， Rt△COD 的面积为 S2 ，则 S1 和 S2 的大小关系是（）．A ． S1  S2B ． S1  S2C． S1 = S2D．由 A、C 两点的位置确定【难度】★★【答案】 C【解析】 点 A 和点 C 都在反比例函数图像上， S1S21 2xy1 2，故选 C ．【总结】本题考查了反比例函数的性质的运用．7 / 33【练习14】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC =6cm，BC =8cm，现将直角边AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（ ）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cmA【难度】★★E【答案】 B【解析】解：在 RtABC 中，由勾股定理得： AB 10cm ，再由折叠 CDB的性质可得 CD  DE ，AE  AC  6cm ，所以 BE  AB  AE  4cm ，且 DE  AB ；设 CD 为 x ，则 BD  8  x ， DE  x ，在 RtDEB中，有 BE 2  DE2  BD2 ，即 42  x2  8  x2 ，解得： x  3cm ．故 B 项正确．【总结】本题考查了图形的折叠和勾股定理的应用，注意翻折的性质的运用．【练习15】 在△ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高 AD=12，则△ABC 的周长是（）A．42 【难度】★★B．32C．42 或 32D．37 或 33【答案】 A【解析】 AD  BC ，在 RtADC 中，由勾股定理得： CD2  AC 2  AD2 ，所以 CD  5 ，同理可得： BD2  AB2  AD2 ，所以 BD  9 ．当△ABC 为锐角三角形时，BC  BD  CD  5  9 14 ，则△ABC 的周长 1314 15  42 ； 当△ABC 为钝角三角形时，BC  BD  CD  9  5  4 ，则△ABC 的周长 13  4 15  32； 故选 C． 【总结】本题考查了勾股定理的应用，注意当涉及到三角形一边上的高时，要分两种情况讨 论．8 / 33填空题【练习16】 （1）若 x 1  1  x  (x  y)2 ，则 x  y 的值为_______； （2）使 (2  x)(x  1)  2  x  x  1 成立的条件是______；（3）二次根式 m  n 的有理化因式是__________． 【难度】★ 【答案】（1） 2 ；（2） 1 x  2；（3） m  n ． 【解析】（1）由题意得： x 1  0，1 x  0 ，所以 x 1，把 x 1代入 x 1  1  x  x  y2 ，可得： y  1 ，故 x  y  2 ；（2）由题意，得：2  x x 10 0，解得：1x2；（3） m  n 的有理化因式是 m  n 等．【总结】本题考查了二次根式的有意义的条件及有理化因式的概念，注意任何一个二次根式 的有理化因式是不唯一的．【练习17】 （1）方程 x2  4  0 的根是__________； （2）已知关于 x 的一元二次方程（m  2 ）x 2 +3x+m 2  2=0 的一个根为 0，则 m 的 值是__________．【难度】★ 【答案】（1） x1  2，x2  2 ；（2）  2 ． 【解析】（1） x2  4  0 ，则 x1  2，x2  2 ．（2）把 x  0 代入方程得： m2  2  0 且 m  2  0 ，则计算得出 m   2 ． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法及一元二次方程成立的条件．9 / 33【练习18】 （1）已知正比例函数 y=(2m  1)x 的图像上两点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，当x1  x2 时， y1  y 2 那么 m 的取值范围是______；（2）反比例函数的图像经过直线 y =  3x 上的点(  m，m+2)，则 m =____________，反比例函数的解析式为____________．【难度】★【答案】（1） m  1 ；（2）1； y   3 ．2x【解析】（1） 点 A 和点 B 都在正比例函数图像上，当 x1  x2 时， y1  y2 ； y 随 x 的增大而减小，即 2m 1 0 ；故 m  1 ． 2（2） 点(  m，m+2)在函数 y  3x 图像上，m  2  3- m ，即 m 1；此点坐标为 1，3 ，反比例函数解析式为 y   3 ．x 【总结】本题考查了正反比例函数的性质及解析式的求法．【练习19】 （1）定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是 ____________________________________；（2）命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_____________________________． 【难度】★ 【答案】见解析 【解析】（1）如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （2）如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形． 【总结】本题考查了互逆命题的应用．【练习20】 （1）已知直角坐标平面内两点 A(3，-1)和 B(-1，2)，那么 A、B 两点间的距离 等于____________；（2）已知直角坐标平面内的 RtABC 三个顶点的坐标分别为 A4 ，3 、B 1，2 、C 3， 4 ，则该直角三角形的直角顶点是________． 【难度】★ 【答案】（1） 5 ；（2）点 B ．10 / 33【解析】（1）由两点间距离公式，可得：()()5123122=++--=AB d ；（2）∵()43A ，、()12B ，、()34C -，，∴()()103241222=-+-=AB ，()()402413222=--+-=BC ，()()503443222=--+-=AC ，222BC AB AC +=∴，所以ο90=∠B ，故直角顶点为点B ．【总结】本题主要考查了两点间距离公式的应用及勾股定理逆定理的应用．【练习21】 （1）经过已知点A 、B 的圆的圆心的轨迹是______________________；（2）到点A 的距离等于2厘米的点的轨迹_________________________． 【难度】★【答案】（1）线段AB 的垂直平分线；（2）以点A 为圆心2厘米为半径的圆．【解析】（1）由题意知，圆心应满足到点A 和点B 的距离相等，从而根据线段的垂直平分线画出即可；（2）到定点的距离等于定长的轨迹为圆． 【总结】本题考查了基本图形的画法．【练习22】 （1）某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x ，则关于x 的方程为_______________；（2）某厂计划今年的产值为a 比前年翻一番，且这两年的增长率相同，则这三年的总产值是_____________． 【难度】★★【答案】（1）()960001760002=+x ；（2）322a ．【解析】根据平均增长率问题的方程类型()b x a n=±1来列方程： （1）()960001760002=+x ；（2）设增长率为x ，则2(1)2x +=，解得：21x =，故这三年的总产值为：1132(121)222a a a a ++=．【总结】本题考查了一元二次方程中平均增长率问题的类型，注意对总产值的理解．【练习23】 （1）在实数范围内分解因式：2361x x -+=________________；（2）若一元二次方程2210mx x +-=在实数范围内有实数根，则m 的取值范围 是___________________． 【难度】★★【答案】（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3633633x x ；（2）01≠-≥m m 且． 【解析】（1）令01632=+-x x ，由()2643240∆=--⨯=>，所以由公式法得：123636x x +-==，，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-36336331632x x x x ． （2）由题意得：044≥+=∆m 且0≠m ；解得：01≠-≥m m 且． 【总结】本题考查了二次三项式的因式分解及根的判别式的运用．【练习24】 计算：113185044252⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭=____________． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】()22422229242145051183=÷-+=÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+． 【总结】本题考查了二次根式的混合运算，注意进行化简．【练习25】 如图，Rt ABC ∆中，9040ACB A D ∠=∠=o o ，，为AB 中点，CE AB ⊥，则DCE ∠=_____． 【难度】★★ 【答案】ο10．【解析】οΘ90=∠ACB ，D 为AB 中点，CD AD =∴，ο40=∠=∠∴A ACD ，AB CE ⊥Θ，∴οοο5090180=∠--=∠A ACE ， οοο104050=-=∠-∠=∠∴ACD ACE DCE ．【总结】本题考查了直角三角形的性质及等腰三角形性质的综合运用．ABCDE【练习26】 （1）如果正比例函数y = kx （k ≠0）的自变量取值增加7，函数值相应减少4，那么当x =4时，y =_________；（2）若x 与-3y 成反比例函数关系，y 与-4z 成反比例函数关系，则x 与z 成__________比例函数． 【难度】★★ 【答案】（1）716-；（2）反． 【解析】（1）由题意得：()()74+=-x k y ，即k kx y 74+=-，代入kx y =中，解得：74-=k ，所以正比例函数为x y 74-=，故当4=x 时，716-=y ．（2）由题意得：1234k k x y y z =-=-，，所以1122433()4k kx z k k z=-=⋅-， 故x 与z 成反比例函数．【总结】本题考查了正反比例函数的概念．【练习27】 （1）如图，已知在△ABC 中，CD 平分∠ACD ，∠A =2∠B ，BC =a ，AD =b ，则AC =________（用含a 、b 的代数式表示）；（2）在△ABC ，AB =BC ，BD =DC ，BC =CE ，则图中一定相等的角（小于平角)有______对． 【难度】★★【答案】（1）b a -；（2）3．【解析】（1）如图所示，在BC 上截取CE ，使得AC CE =，连接DE ΘCD 平分ACD ∠，∴ECD ACD ∠=∠，又ΘCD CD CE AC ==，，ECD ACD ∆≅∆∴，CED A b DE AD ∠=∠==∴；，又ΘEDB B CED B A ∠+∠=∠∠=∠，2，EDB B ∠=∠∴，b AD DE BE ===∴，又Θ，a BC = b a BE BC CE AD -=-==∴． （2）BCA BAC ∠=∠；BEA BAD ∠=∠；CAE DAC ∠=∠．ABCD （1）EABCD（2）【练习28】 （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90度，BC =24cm ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，BD ：DC =5：3，则点D 到AB 的距离为_______cm ；（2）等腰直角三角形ABC 的斜边BC =4，△DBC 为等边三角形，那么A 、D 两点的距离是____________；（3）在矩形ABCD 中，AB :AD =1:2，将点A 沿折痕DE 对折，使点A 落在BC 上的F 点，则∠ADE =______度．【难度】★★【答案】（1）9；（2）232232或；（3）15． 【解析】（1）作AB DE ⊥于E ，Θcm BC DC BD 243:5:==，，cm DC 9=∴， ΘAD 是BAC ∠的平分线，AB DE C ⊥=∠，ο90， cm DC DE 9==∴．（2）分两种情况：①连接AD ，交BC 于E ，ΘDBC ∆为等边三角形，4===∴BC CD BD ，AC AB =Θ，∴AD 垂直平分BC ，12902AE BC DEB ∴==∠=o ，，322422=-=∴DE ，232+=+=∴AE DE AD ； ②如图示，由①得：32=DE ，2=AE ， 232-=-=∴AE DE AD ； 所以2-32232或+=AD ．（3）如图所示：由题意可得2:1:=AD AB ，由翻折性质AD DF =，则在中CDF Rt ∆2:1:=CF DC ，故ο30=∠DFC ；在矩形ABCD 中，CF AD //，所以ο30=∠=∠DFC ADF ， 故ο1521=∠=∠=∠ADF EDC ADE ． 【总结】本题考查了直角三角形的性质，及分情况讨论．【练习29】 一元二次方程()21230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的最大整数值____________． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由题意得：()()()012831422>+-=+--=∆k k k k ，解得：23<k 且10k -≠，即1≠k ， 所以k 的取值范围为23<k 且1≠k ．所以k 的最大整数值为0． 【总结】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的运用．【练习30】 方程()012017201520162=-⨯-x x 的较大根m ，方程22015201610x x -+=较小根为n ，则m -n 的值_______________． 【难度】★★★【答案】20152014．【解析】Θ()012017201520162=-⨯-x x ，∴()()()01120161201620162=-+--x x ， ∴()012016201622=-+-x x x ， 即()()01120162=-+-x x x ，∴()()01201612=+-x x ，解得：122112016x x ==-，， 1=∴m ， 又Θ01201620152=+-x x ，∴()()0112015=--x x ， 解得：12112015x x ==，，∴20151=n ， 故20152014201511=-=-n m ． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【练习31】△AOC与△DCE均为等边三角形，点A、D 均在双曲线3(0)y xx=>上，点O 为坐标原点，点C、E在x轴上，A、D的坐标分别是______________．【难度】★★★【答案】()13A，；()2163D+-，．【解析】如图，过点A作xAH⊥轴于点H，过点D作xDF⊥轴于点F．AOC∆Θ为等边三角形，∴设()3A a a，又Θ点A在双曲线()03>=xxy上，∴332=a，解得：1=a或1-=a（舍），则点A的坐标为()13，；同理，设()()32D b b-，，则()323=-bb，解得：12+=b（负值舍去），则点D的坐标为()2163+-，．【总结】本题考查了反比例函数图像上点的特征及等边三角形的性质．【练习32】已知三角形ABC为等腰直角三角形，且A（2，3），B、C分别在坐标轴上，则点B的坐标分别是______________．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】如图所示：()110B-，；()220B，；()350B，；()405B，；()503B，；()601B，．【总结】本题考查了简单的‘数形结合’思想．AO CDEyxH F【练习33】 （1）已知12a =-，求224421a a a a -+-+的值；（2）已知：52321x x y -+-=+，求x y +的值． 【难度】★★【答案】（1）224-；（2）1． 【解析】（1）()0212212<+-=-=a Θ，∴原式()())()22221222422112121a a a a ++--====--++-； （2）0202≥-≥-x x ，Θ，2=∴x ，101-==+∴y y ，， 112=-=+∴y x ．【总结】本题考查了二次根式的化简和运算．【练习34】 解方程：（1）23730x x --=；（2）()()222311x x x ---=+．【难度】★★ 【答案】（1）1232553255x x +-==，；（2）23121-==x x ，． 【解析】（1）03732=--x x ，08537341>=⨯+=∆，解得：32851±=x ，∴原方程的解为1232553255x x +-==，； （2）()()221132+=---x x x ，化简得：02532=-+x x ，()()0213=+-x x∴原方程的解为23121-==x x ，．【总结】本题主要考查一元二次方程的解法．解答题【练习35】 证明：无论m n ，取任何实数时，方程()20mx m n x n +++=都有实数根． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】①当0=m 时，原方程可化为0=+n nx ，解得：1-=x ；②当0≠m 时，方程为一元二次方程，()()0422≥-=-+=∆n m mn n m ，故方程有两个实数根．所以无论m n 、取任何值，方程都有实数根． 【总结】本题考查了方程跟的情况，注意分类讨论．【练习36】 某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0．5元销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：设每件售价定为x 元()10>x ， 由题意得：()()[]{}6405.010102008=÷---x x 化简得：0192282=+-x x ，解得：121216x x ==， 当12=x 时，()[]{}1605.01010200=÷--x ； 当16=x 时，()[]{}805.01010200=÷--x ．所以售价定为12元时每天可售160件，售价定为16元时每天可售80件，利润可达每天640元．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决利润问题．【练习37】 已知正比例函数()11y k x =+的图像经过()()242A B m -，、，两点．（1）求m 的值；（2）如果点B 在反比例函数()220k y k x=≠的图像上，求反比例函数的解析式． 【难度】★★【答案】（1）1-=m ；（2）xy 2-=． 【解析】（1）因为正比例函数图像经过()42-，A ，所以()4121-=+k ，解得：31-=k ， 所以正比例函数解析式为x y 2-=，由题意得，当2=y 时，22=-m ，得：1-=m ； （2）由点B 在反比例函数图像，得：2212-=⨯-=k ， 所以反比例函数解析式为xy 2-=． 【总结】本题考查了利用待定系数法求正反比例函数的解析式．【练习38】 如图，在△ABC 中，∠C =90度，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，AB =20cm ．求AC +CD 的长． 【难度】★★ 【答案】20cm ．【解析】过D 作AB DE ⊥，垂足为点E ，Θο90=∠C ，DEA C ∠=∠∴．ΘAD 平分CAB ∠，EAD CAD ∠=∠∴．在ACD ∆和AED ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD DAE CAD AED C ，AED ACD ∆≅∆∴，AC AE CD DE ∴==，．又90AC BC ACB =∠=o Q ，，ABC ∆∴是等腰直角三角形， ο45=∠=∠∴CAB B ，οοο454590180=--=∠∴BDE ， ∴B EDB ∠=∠，∴EB DE CD ==， ∴cm AB EB AE CD AC 20==+=+．【总结】本题考查了构建全等三角形证明线段相等．ABCDE【练习39】 如图：在四边形ABCD 中，∠C =90°，=3=412=13BC CD AD AB =，，，，求四边形ABCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】36．【解析】Θο90=∠C ，43==CD BC ，， ∴由勾股定理得：522=+=DC BC BD ，Θ1213==AD AB ，，∴222AB BD AD =+，ο90=∠∴ADB ， ∴四边形ABCD 的面积36125214321=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ABD BCD S S S ． 【总结】本题考查了勾股定理逆定理的应用，从而快速求出几何图形的面积．【练习40】 小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图书馆，图中折现O ——A ——B ——C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：（1）小智在图书馆查阅资料的时间为_______分钟，小智返回学校的速度为_________千米/分钟；（2）请你求出小方离开学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系． 【难度】★★ 【答案】（1）15，154；（2）()450454≤≤=x x y ． 【解析】（1）1515-30=（分钟），154154=÷（min /km ），所以小智在图书馆查阅资料的时间为15分钟，小智返回学校的速度为154千米/分钟．（2）由图像可知，y 是x 的正比例函数，设所求函数的解析式为()0≠=k kx y ， 代入()454，，得：k 454=，解得：454=k ， 所以y 与x 的函数关系式为：()450454≤≤=x x y ． 【总结】本题考查了正比例函数解析式的求法，注意数形结合的理解．ABCDx （分钟）y （千米）15 3045A B 小智 O 小方4C D【练习41】 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，对角线AC 与BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AC 、BD 的中点． （1）求证：MN BD ⊥；（2）当∠BCA =15°，AC =8cm ，OB =OM 时，求MN 的长． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）证明：连接DM BM 、．Θο90=∠=∠ADC ABC ，点M 、点N 分别是边BD AC 、的中点，∴AC DM BM 21==． ΘN 是BD 的中点， ∴BD MN ⊥．（2）ΘAC CM BM BCA 2115===∠，ο， ∴ο15=∠=∠CBM BCA ，ο30=∠∴BMA ．OM OB =Θ，ο30=∠=∠∴BMA OBM ，182AC BM AC ==Q ，， 4=∴BM ．在BMN Rt ∆中，οο3090=∠=∠NBM BNM ，，221==∴BM MN ． 【总结】本题考查了等腰三角形及直角三角形的性质的综合运用．ABCD NMO【练习42】 已知：如图()a ，在等腰三角形ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线．（1）求证：AB =AC +CD ；（2）把原题中的“∠C =90°”改为“∠C =100°”，其余条件不变，如图()b ，请说出AB 、AD 、CD 之间的数量关系，并证明．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）在边AB 上截取AC AE =；ΘAD 是CAD ∠的角平分线，∴DAB CAD ∠=∠， AC AE AD AD ==，Θ，AED ACD ∆≅∆∴， ο90=∠=∠=∴C AED DE CD ，，AC AB =Θ，ο45=∠=∠∴B CAB ，ο45=∠=∠∴B BDE ， CD BE DE ==∴，∴CD AC BE AE AB +=+=； （2）CD AD AB +=．证明：在AB 上截取AD AF AC AE ==，， 100AC BC C =∠=o Q ，，ο40=∠=∠∴B BAC ， 又ΘAD 平分CAB ∠，∴ο20=∠=∠BAD CAD ，由（1）得AED ACD ∆≅∆，∴ο100=∠=∠=C AED CD DE ，，∴ο80=∠DEB ， Θο20=∠=FAD AD AF ，，∴ο80=∠=∠AFD ADF ，∴CD DE DF ==， Θοο40100=∠=∠B BFD ，，∴ο40=∠FDB ，则CD DF FB ==， ∴CD AD BF AF AB +=+=．【总结】本题考查了辅助线的添法--截长补短法的运用，注意对题目条件的有效分析．A BCD（图a ）ABCD（图b ）EE F【练习43】 已知：在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为AC 的中点，联结DE ，DM 设C α∠=．（1）当△ABC 时锐角三角形时（如图），试用α表示∠EDM ；（2）当△ABC 时钝角三角形时，请画出相应的图形，并用α表示∠EDM （可直接写出）．【难度】★★【答案】（1）ο1803-=∠αEDM ；（2）α3180-=∠οEDM ． 【解析】（1）ΘAB AC AD BC =⊥，，CD BD =∴，ΘAC BE ⊥，∴BC DE CD 21==，∴α21802180-=∠-=∠οοC CDE ，又ΘBC AD ⊥，M 为AC 中点，∴AC DM CM 21==，∴α=∠=∠C CDM ，∴()οο18032180-=--=∠-∠=∠αααCDE CDM EDM ． （2）如图，同（1）可得：α21802180-=∠-=∠οοC CDE ，α=∠=∠C CDM ，∴ααα31802180-=--=∠-∠=∠οοCDM CDE EDM ．【总结】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，注意角度之间的关系．AB CD EM【练习44】 如图，在气象站台A 的正西方向240千米的B 处有一台风中心，该台风中心以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD 方向移动，在距离台风中心130千米内的地方都要受其影响．（1） 台风中心在移动的过程中，与气象台A 的最短距离是多少?（2） 台风中心在移动的过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间 会持续多长? 【难度】★★【答案】（1）km 120；（2）5小时． 【解析】（1）如图，过点A 作BD AE ⊥于E ， Θ台风中心在BD 上移动，∴AE 就是气象台距离台风中心的最短距离， 在ABE Rt ∆中，24030AB km ABE =∠=o ，， ∴km AB AE 12021==， 所以台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离为km 120；（2）由题意得：线段CD 就是气象台A 受到台风影响的路程， 在ACE Rt ∆中，km AE km AC 120,130==， ∴km AE AC CE 501201302222=-=-=，ΘAC AD AE CD =⊥，，km ED CE 50==∴，∴km CD 100=，∴台风影响气象台的时间会持续520100=÷（小时）．【总结】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题的运用．ABCD 东北60.0°E【练习45】 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A 的坐标为（1，m ）OA =2，正比例函数3x y m=和反比例函数1k y x -=的图像都经过点A ，过点A 作OA 的垂线交x 轴于点B ．（1） 求m 和k 的值；（2）求点B 的坐标． 【难度】★★【答案】（1）3=m ；13+=k ；（2）()40B ，． 【解析】（1）Θ第一象限内的点A 的坐标为()1m ，， 在正比例函数mxy 3=的图像上，∴mm 13⨯=，解得：3±=m ， Θ正比例函数经过第一、三象限， ∴3=m ，则()13A ，，代入xk y 1-=，解得：13+=k ． （2）由（1）得()13A ，，设点B 的坐标为()0a ，， ∴()23122=+=AO ，a BO =，()()2231+-=a AB ，由题意得：OA BA ⊥．则在OAB Rt ∆中，由勾股定理：222BO AO AB =+，所以()22431a a =++-，解得：4=a ，所以()40B ，． 【总结】本题考查了正反比例函数性质及勾股定理的运用．A BOxy【练习46】 如图，细心观察，认真分析各式，如何解答问题：211(1)12S +== 222(2)13S +== 233(3)14S +== ．．．．．．．．．．．．（1） 用含有n （n 是正整数）的等式表述上述的变化规律； （2） 推算出10OA 的长；（3） 求出222212310...S S S S ++++的值． 【难度】★★【答案】（1）()N n nS n ∈=2；（2）1010=OA ； （3）455． 【解析】（1）由已知式子可得：()112+=+n n ，()N n nS n ∈=2；（2）由图可得：11=OA ，22222=⨯=OA ，32323=⨯=OA ， 所以1010=OA ；（3）由（1）、（2）得：()45510 (2141)...210232221=+++=++++S S S S ． 【总结】本题考查了勾股定理的运用．A 1A 2A 3A 4A 5A 6S 5OS 1S 2S 3S 4【练习47】 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点A 的坐标是（0，3），点B 在第一象限，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，连接AP ，并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD ． （1） 当点P 运动到点30（，）时，求此时DP 的长及点D 的坐标； （2） 若△OPD 的面积等于34，请求出符合条件的点P ． 【难度】★★★【答案】（1）32=DP ，D ()233，；（2）7302P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）ΘAOB ∆是等边三角形，∴ο60=∠OAB ， ΘAOP ∆绕着点A 按逆时针方向旋转边AO 与AB 重合，∴旋转角ο60=∠=∠=PAD OAB ，AP AD =， ∴APD ∆是等边三角形，∴AP DP =．Θ()()0330A P ，，，，∴()323322=+=AP ，∴3023OAP DP AP ∠===o ，， ∴ο90=∠+∠=∠PAD OAP OAD ．∴点D 坐标为()233，，32=DP ． （2）过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，连接OD ， 设点(0)P x ，，因为点P 是x 轴正半轴上的一个动点，所以OP x =， 易证3322DH x =+，Θ12OPD S OP DH =⋅⋅V ， ∴1333()2224x x ⋅⋅+=， 解得：372x -±=，Θ0x >， ∴732x -=． 故P 点坐标为7302P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，． 【总结】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质及分类讨论，综合性较强．ABP DO xyH【练习48】 已知：在△ABC 中，AB =6，AC =5，∠A 为锐角，△ABC 的面积为9，点P 为边AB 上动点，过点B 作BD ∥AC ,交CP 的延长线于点D ，∠ACP 的的平分线交AB 于点E ．（1）如图1，当CD ⊥AB 时，求PE 的长；（2）如图2，当点E 为AB 中点时，请猜想并证明：线段AC 、CD 、DB 的数量关系．【难度】★★★ 【答案】（1）23=PE ；（2）BD CD AC +=． 【解析】（1）过点E 作EF ⊥AC 于点FΘAB CD ⊥，∴921=⋅=∆CP AB S ABC ， 6=AB Θ， ∴3=CP ． 在ACP Rt ∆中，由勾股定理得：222CP AP AC +=， 5=AC Θ，4=∴AP ．ΘCE 平分ACP ∠，CD ⊥AB ，EF ⊥AC ， ∴PE EF =易证CPE CFE ≅V V ， 3CF CP ∴==， 2AF ∴=．在Rt AEF V 中，222AF EF AE +=Q ，2222(4)PE PE ∴+=-， 23=∴PE ； （2）连接DE 并延长交AC 于点F ，Θ//BD AC BE EA =，，∴DE EF DEB FEA =∠=∠，， ∴FEA DEB ∆≅∆，∴DB AF =， 又ΘFC AF AC +=，FC BD AC +=∴， EF DE =Θ，CE 平分FCD ∠， ∴DF CE ⊥，∴CD FC =， BD CD AC +=∴．【总结】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的应用及基本图形的应用．A BCDE P 图1P ABCDE图2F【练习49】 如图，已知点()34A ，，AB ⊥X 轴，垂足为点B ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到''AOB △．（1）在图中画出''AOB △，并直接写出''A B 、的坐标；（2）求'OA 的长；（3）在y 轴上是否存在点C ，使得△'AOC 为等腰三角形，如果存在，请求出所有符合条件的点C 的坐标；如果不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）()43A '-，；()03B '，．（2）()53422=+-='A O ．（3）存在，①1C 为以A '为圆心，O A '为半径与y 轴的交点，即C A O A '='，则()106C ，； ②2C 、3C 为以O 为圆心，O A '为半径与y 轴的交点，即OC A O ='， 则()502，C ，()305C -，； ③4C 为线段A O '垂直平分线与y 轴的交点，即CO A C ='， 设()40C a ，，则322D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在4ODC Rt ∆中，由勾股定理得： 24242OC DC OD =+，故625=a ，所以42506C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】本题考查了旋转的特征及等腰三角形的性质，注意要分类讨论．xyAB C【练习50】 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC =3，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与△ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为H ． （1）求证：AE =AF ；（2）设CE =x ，△BDF 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当△DEF 是直角三角形时，求出BF 的长．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）证明：ΘAD 平分CAB ∠，AD EF ⊥，ο30=∠B ，ο90=∠C ， ο30=∠=∠∴FAD EAD ，又ΘAH AH =， ∴AFH AEH ∆≅∆，∴AF AE =； （2）过点F 作BC FO ⊥于O ，在ABC ∆中，90303C B AC ∠=∠==o o ，，，6=∴AB ， ΘAD 平分CAB ∠，ο30=∠=∠∴DAB CAD ， ∴ο30=∠=∠B DAB ，DB AD =∴， 又在ACD Rt ∆中，ο303=∠=CAD AC ，， 由勾股定理322==CD AD ，32=∴BD ， 又x AE AB AF AB BF +=-=-=3，则在BFO Rt ∆中，2321xBF FO +==，233321xFO BD S BDF +=⋅⋅=∴∆，即23323+=x y ， Θ点E 不与C A 、重合，30<<∴x ．ABC D E FD ABC（3）由（1）得AF AE =，AD AD =Θ， AFD AED ∆≅∆∴，AFD AED ∠=∠∴，BFD CED ∠=∠∴． AD EF ⊥Θ， 而使DEF ∆为直角三角形， ο90=∠∴EDF ，ο90=∠+∠∴BDF CDE ．又Θο90=∠C ，ο90=∠+∠∴CED CDE ，∴CED BDF ∠=∠， 又ΘDFB CED ∠=∠，∴DFB BDF ∠=∠，∴BD BF =． 由（2）得：3=CD ，即322===CD AD BF ． 所以当32=BF 时，DEF ∆为直角三角形．【总结】本题考查了直角三角形的性质以及面积与函数关系式的求法，综合性较强，注意认真分析．【练习51】 已知，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，连接BD 如图1所示，点P 沿梯形的边，从A -B -C -D -A 移动，设点P 移动的距离是x ，BP =y ． （1）求证：∠A =2∠CBD ；（2）当点P 从A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示，求CD 的长；（3）在（2）的情况下，点P 从点A -B -C -D -A 移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰 三角形？若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的值；若不能，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）证明：ΘAD AB =，ABD ∆∴为等腰三角形．又ο90=∠CBA ，CBD ABD ∠-=∠∴ο90，Θο1802=∠+∠A ABD ，CBD A ∠=∠2；（2）由函数图像可知：53AB BC ==，，过点D 作DF ⊥AB ，那么DF 与AB 平行且相等， 由勾股定理，可得4AF =， 所以1CD BF ==；O85 MN图2xy 图1ABCD F（3）要使BDP ∆为等腰三角形，分以下几种情况讨论：①当点P 在AB 边上时，如果PB PD =，那么点P 在BD 的中垂线上， 故作BD 中垂线，由于AB =AD ，则点A 必在中垂线上，即点P 与点A 重合， 此时0x =；如果DB DP =（如图一），过点P 作PF ⊥AB 于点F ，由等腰三角形性质可得：1PF BF ==，所以3x AP ==；如果BP BD =，此时，510x AB BP =-=-；②当点P 在BC 边上时，只有PB PD =（如图二）． 设PB PD a ==，则3CP a =-， 在Rt CDP V 中，由勾股定理，得： 222CD CP PD +=，即221(3)a a +-=，解得：53a =，所以520533AP =+=； ③当点P 在CD 上时，没有满足条件的点；④当点P 在DA 上时（如图三），如果BP BD =，过点B 作BG ⊥AD 于点G ， 则AG AD DG =-．因为222(10)BG DG =-，222AB AG BG =+，解得：1DG =．此时11x AB BC CD DP =+++=； 如果DB DP =，那么10DP =，此时910x AB BC CD DP =+++=+；如果PB PD =，那么P 点与A 点重合，此时14x AB BC CD DA =+++=，综上所述，当△BDP 为等腰三角形时，x 的值为0或3或510-或203或11或910+或14．【总结】本题考查了等腰三角形的性质应用及数形结合的思想，综合性较强，涉及到动点的问题，最后一问注意解题时进行多个角度的分类讨论．DAB CPF图一 DABC 图二PD ABC图三PG。