学而思奥数2016秋季班提高班第5讲讲义

AA EE
C C 3.18（平方B 厘B 米）． D D C C
拓展 2 如图，正方形 ABCD 的边长为 12cm， 正方形 CEFG 的边长为 5cm，求阴影 部分的面积．
G
F
D
M CN
E
G
F
D
MC N
E
A
B
A
B
【答案】60 平方厘米
【分析】阴影部分可等积变形为两个
直角三角形 DCG 与 BCE，面积为
D
C
【分析】如下图，连接 AD，可以看
出， AD∥BC，所以
S△ABC 例3
S△BCD
44
2 8cm2
（1）如图，BD 长 12 厘米，DC 长 4
厘米，B、C 和 D 在同一条直线上．三
角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积
的多少倍？三角形 ABC 的面积是三角
形 ADC 面积的多少倍？
A
B
三角形 AEF 的面积是 40 平方厘米．
深化练习 7．31 连接 DE、EC，根据等积变形可知，阴 影部分的面积等于三角形 CDE 的面 积，即直角梯形减去两个直角三角形 的面积．梯形面积：(5 7) (6 4) 2 60， 三角形 ADE 面积：5 6 2 15，三角 形 CEB 面积：7 4 2 14，所以阴影 部分的面积为：60 15 14 31．
ห้องสมุดไป่ตู้
复习巩固 作业 1 四年级九个班进行拔河单循环赛，每 个班要进行几场比赛？一共要进行几 场比赛？ 【答案】8；36 【分析】每个班要进行 8 场，一共要 进行8 9 2 36场比赛．
作业 2 数一数，下面的图形中有多少个包含 “★”的长方形？
★
【答案】36 【分析】左上方的点有 4 个，右下方 的点有 9 个，4 9 36个．
3.6 平方厘米，求三角形 CDE 的面积.
【答案】三角形 ABE、ADC、ADE； 14.4 平方厘米 例4 （1）如图，三角形 ABC 中，DC 2BD， CE 3AE，三角形 ADE 的面积是 20， 三角形 ABC的面积是多少？
A E
BD
C
（2）如图，在三角形 ABC 中，E 是 BC 中点，D、F 是 AB 边上的三等分点， 已知三角形 BEF 的面积是 2，求三角 形 ABC 的面积是多少？
A
D
G
F
B
C
E
第一题的图
E
F
A
D
H
B
C
G
【随堂练】
1. ABCD和CEFG均为正方形， AB=6cm,CE=2.5cm,则阴影部分面积 是多少
A
D
G
F
B
C
E
【答案】2.5 6 2 7.5(cm2)
2. ABCD和CEFG均为正方形， AB=10cm，CE=4cm，求阴影部分面积。
A
D
G F
B
C
E
例2 （1） 如图，正方形 ABCD 与正方形 CEFG 并排放置，B、C 、E 在同一条 直线上，且正方形 ABCD 边长为 10 厘 米，则图中阴影面积为多少平方厘
米？
A
D
G
F
B
C
E
（2） 如图，正方形 ABCD 和正方形
ECGF 并排放置，BF 与 CD 相交于点
H，已知 AB 6厘米，则阴影部分的面
【随堂练】
CD=4BD,则三角形 ADC 是三角形 ABD 的几倍？三角形 ABC 是三角形 ABD 的几倍？
A
B D
C
【答案】4 倍，5 倍
练一练 如图，在三角形 CDE 中，B 是 EC 中 点，A 是 BD 中点，连接 AE、AC，那 么与三角形 ABC 面积相等的三角形一 共有哪几个？若三角形 ABC 的面积是
D
C
F
A
E
B
4．6 因为F 是 AC的中点，所以 S△ABC 2S△ABF ，同理S△ABF 2S△BEF ，
故S△BEF S△ABC 4 8 6 2 4 6(平方 厘米)．
5．54 S△BFD 12 2 3 18， S△ABD 18 2 3 27， S△ABC 27 2 54．
6．40 平方厘米 △ABD与△ABC等高，BD DC ，有 S△ABD 180 2 90(平方厘米)．同理 有S△ABE 90 3 2 60(平方厘米)， S△AFE 60 3 2 40 (平方厘米)．即
作业 3 计算：9999 1111 【答案】11108889 【分析】原式=(10000 1) 1111
11110000 1111 11108889
四年级秋季提高班第 5 讲练习册答案 等积变形
同步练习 1．3.18 如图，连接 AE，BD.因为 AD∥BC，则： S△PDC S△PDB，又 AB∥ED，则： S△EAD S△EBD，所以， S阴影 S△EPD S△PDC
四年级秋季提高班第 5 讲作业 等积变形
作业 1
如图，大小两个正方形摞在一起，已
知大正方形的边长为 20 厘米，小正方
形的边长为 16 厘米，求阴影三角形的
面积．
A
D
B C
E
G
F
【答案】连接 BD ，发现 BD∥GE ，由
平行线同的等积变形知，S△GDE ， S△GBE
所以阴影部分面积等于大正方形的一 半，即20 20 2=200（平方厘米）.
45 3 4 60.
作业 5 如图，三角形 ABC 的面积是 45，BC 是CD的 5 倍， AE是CE的 2 倍，那么 三角形CDE 的面积是多少？
A
A
E
E
B
CD
B
CD
【答案】3 【分析】如右图，连接BE．BC 5CD， 所以S△BCE 5S△CDE，又 AC 3CE，所 以S△ABC 3S△BCE 15S△CDE ， S△CDE 45 15 3.
实战练习 10. 连接 BF，根据等高模型，S△EFB 8， S△CFB 8，所求面积是 （8 8 8） 2 48．
D
C
F
A
E
B
四年级秋季提高班第 5 讲 等积变形
例1 （1）已知长方形 ABCD 中， AB 8， BC 5，求三角形 ABE 的面积．
D
C
E
A
B
（2）如图，正方形 ABCD 的边长为 18， BE 8，求三角形 AEF 的面积．
D
C
F
A
BE
（3）如图，正方形 ABCD 的边长为 18， AE 4，求阴影部分的总面积．
D
C
AEF B
【答案】（1）20； （2）72； （3）126
【分析】（1）可以过 E 作三角形的高， 高与 BC 等长；也可以利用等积变形将 E 点移动至 C 点；
（2） AD∥BC，所以S△ABF S△DBF ， 此时S△AEF S△DBE ，面积为 8 18 2 72（如果想更直观一些，可 以将三角形 DBE 再次等积变形为直角 三角形 CBE）． （3）(18 4) 18 2 126．
练一练 如图，三角形 ABC 中，DC 3BD， AE 1.5BE，三角形 ABC 的面积是 60， 三角形 BDE 的面积是多少？
A
E
BD
C
【答案】6 【分析】S△ABD 60 (1 3) 15， S△BED 15 (1 1.5) 6．
例5
（1）如图，已知三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米，BD 3BC， AB 2AE， 求三角形 BDE 的面积．
DC
（2）如图，D、E 在 BC 上，DC 2BD，
EC 3DE．求三角形 ABC 的面积是三
角形 ADE 面积的几倍？
A
B
DE
C
【答案】
（1）3 倍；4 倍； （2）6 倍
【分析】 （1）等高模型，两个三角形高相等， 底是几倍，面积就是几倍． （2）EC 3DE ，则S△AEC 3S△ADE ， 可设三角形 ADE 的面积为 1 份，则三 角形 AEC 的面积为 3 份；DC 2BD， 则S△ADC 2S△ABD，所以三角形 ABD 是 2 份；则三角形 ABC 的面积为 6 份， 所以面积 是三角形 ADE 的 6 倍． 方法二：通过边的关系导出BC 6DE， 所以是 6 倍．
积是多少平方厘米？
E
F
A
D
H
B
C
G
【答案】50 平方厘米；18 平方厘米
【分析】（1）连接 CF，那么 CF 平行
BD ，所以，阴影面积等于三角形
BCD的面积，即10 10 2=50平方厘
米．
（2）连接 DF、FC，根据平行线间的
等积变形，S△DHG S△DHF ，同理 S△BDF S△BDC ，阴影的面积为 6 6 2 18平方厘米．
【答案】10 10 2 50(cm2)
3. ABCD和CEFG均为正方形，
AB=10cm,CE=4cm，求阴影部分面积。
D
A
F
G
H
E
C
B
【答案】4 4 2 8(cm2)
练一练 此图是由大、小两个正方形组成的， 小正方形的边长是4厘米，求三角形 ABC 的面积是多少？
A
A
B
B
4
4
C
【答案】8 平方厘米
E A
【随堂练】
如图，平行四边形 ABCD，底为 10， 高为 6。则阴影部分面积是多少？
A
D
A
D
B
C
B
C
A
B
C
A
D
A
D
B C
D
B
C
【答案】10 6 2 30