学而思网校5年级 超难奥数
学而思教育五年级奥数课程
第一讲分数四则混合运算一、知识点梳理Ø奥数六大模块：计算，计数，应用题，行程，几何，数论。
Ø本讲属于：计算一、小数的运算法则1、加减法：注意小数点对齐，其余和整数相似2、乘法：看乘数和被乘数里共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数。
3、除法：需要把除数转化为整数，然后按照整数除法进行二、分数的运算法则1、加减法：分母先通分---找到分母的最小公倍数。
然后分子才可以相加减。
2、乘法：分子相乘的积作为结果的分子，分母相乘的积作为结果的分母，最后记住要进行约分。
3、除法：记住：甲除以乙，等于甲乘乙数的倒数。
重要步骤：约分----------找出分子分母的公约数，利用分数基本性质：分子分母同乘（除）一个不为零的数，值不变三、分数与小数的互化：(1)原则：具体化成哪个取决于用分数简单还是用小数简单。
一般是：乘除法运算时，小数化成分数，这样可以约分。
加减法运算时，分数化成小数，这样避免通分。
(2)熟练掌握一些常见的分数和小数互化，如：1=0.5 2，1=0.25，3=0.754，1=0.1258……..等.(3)分数要约分保留最简形式。
四、百分数1、百分数的符号：%，可以看成1100. 也可以看成乘以0.01如：753 75%=0.75==1004五、繁分数1、定义：分子或分母（都）含有四则运算或分数的数，叫繁分数。
最长的分数线叫主分数线，以上叫分子，以下叫分母。
如：122+3，分子是1，分母是22+3。
二、重点例题讲解（按照相关要求，例题只标出题号，不再书写题目，各位家长见谅）例题5：解析：考察了常用的巧算技巧：乘法分配律和其逆运算。
(1)、原式=21233 15125´+´-=212 545 +-=1 4(2)、原式=111388 1212´+´=1113 (8 1212+´=28´=16例题6：解析：考察凑数法，配对法，计算的时候并不一定要按照给定的顺序计算，先观察题目中数字的特点。
学而思五年级计算拓展题目+解析
第7天
挑战时间 ______ 分钟 错 ______ 题 ★青铜新人★
7.8 + 2.3 = _________ 1.49 _ 1 = _________
5 × 0.8 = _________
0.3 × 0.078 = _________
35.92 + 1.357 = _________ 60 _ 13.46 = _________ 0.04 × 9 = _________
0.98 × 0.07 = _________
★★黄金高手★★
0.5 × 0.725 = _________ 0.35 × 0.03 = _________ 0.8 × 0.79 = _________ 0.392 ÷ 0.8 = _________
0.45 × 0.54 = _________ 0.08 × 0.09 = _________ 0.93 × 0.92 = _________ 0.51 ÷ 0.85 = _________
★★★王者大神★★★
4.9 + 5.9 _ 3.992 = _________
19.7 + 0.56 × 3.25 = _________
0.36 ÷ 0.72 × 2 = _________
解方程： x + 0.9 =
4.9
x = _________
27.4 _ 2.96 _ 5.004 = _________ 0.48 × 2.55 _ 0.33 = _________ 0.0943 ÷ 0.23 × 6 = _________ 解方程： 9 × x = 306
0.2 × 0.019 = _________
27.1 + 4.226 = _________ 65.99 _ 18.06 = _________ 0.61 × 9 = _________
学而思奥数5年级秋季班：第1讲《长方体与正方体》讲义
D
【解析】 1、 8 、12 、 6 ； 2、 6 、正方形、相等； 3、 (5 3 4) 4 48 （厘米） ； 4、 6 12 72 （厘米） ； 5、 C ．
例2
⑴对长、宽、高分别为 3 厘米、 2 厘米、1厘米的长方体木 块喷漆，喷漆的面积是多大？ ⑵制作一个无盖的长方体鱼缸， 长、 宽、 高分别为 3 分米、 2 分米、1分米，需要多少平方分米的玻璃？（不计玻璃之 间粘合的部分） ⑶对左右联通的长方体热水管包一层保护罩，长、宽、高 分别为 3 米、 2 米、1米，需要多少平方米的保护罩？
例4
有一个长方体形状的零件， 中间挖去一个正方体 （如下图， 单位为厘米） ． ⑴挖掉这个正方体之后这个长方体的表面积是增大了还 是减小了？ ⑵这个挖去一块后得到的图形的表面积为_____平方厘米．
6 2 2 5 8
2
五年级秋季
基础
第 1 讲
【解析】 ⑴这个长方体挖掉一块之后表面积增大了． 挖掉的这个小 正方体的下底面拼在原长方体上表面缺掉的部分恰好可 以拼成完整的长方体， 因此增加的面积可以看成是挖掉的 这个小正方体的四个侧面，它们的面积是 (2 2) 4 16 （平方厘米） ； ⑵原长方体的表面积为： (5 8 5 6 6 8) 2 236 （平 方厘米） ．所以挖掉一块的长方体的表面积为 236+16=252 （平方厘米） ．
五年级秋季
基础
3
【解析】 ⑴表面积： S表 S长方体 S正方体 S粘贴面积 118 24 4 2 134 （平方 厘米） ； ⑵体积：V V正方体 V长方体 2 2 2 7 5 2 8 70 78 （立方厘米） ．
高思奥数导引小学五年级含详解答案第16讲 构造与论证
第16讲构造论证一内容概述各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律。
本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。
典型问题兴趣篇1.如图16-1，用12⨯两种规格的小长方形地板砖铺满地面，至少需要地板砖多少块？⨯和132.国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）就把整个33⨯的棋盘控制了。
为了控制一个44⨯的棋盘至少要放几个皇后？3.图16-3的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。
4.把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？5.把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的。
请问：最少有多少条棱是白色的？6.请在9，8，…，3,2，1的相邻两个数之间填入“+”或者“－”（不能改变数的顺序），使得结果是1。
能否使得结果是0呢？987654321＝ 1987654321＝07.如图16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由。
8.四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场。
这四全同学回答分别比了1、2、3、3场。
老师说：“你们肯定有人记错了。
”请问：老师是怎么知道的呢？9.有四个算式：□+□=□,□-□=□,⨯□□=□。
如果每一个算式中都至少有1个□□=□,÷偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？10.有14个孩子，依次给他们编号为1,2，3，…，14。
能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和。
拓展篇1.图16-6中的左图为21枚硬币组成的三角形，如果仅移动7枚硬币，要把这些硬币变成右图的形状，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法。
五年级奥数学而思专题2、数的整除性（A）备课讲稿
五年级奥数学而思专题2、数的整除性（A）备课讲稿五年级奥数学而思专题2、数的整除性( A)二数的整除性（A）_年级_班姓名_得分一、填空题1. 四位数3AA1”是9的倍数，那么A= ____ .2. 在25口79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____ .3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是______ .4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是______ .5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____ .6. 所有能被3整除的两位数的和是________ .7. 已知一个五位数口691 □能被55整除,所有符合题意的五位数是_____ .8. 如果六位数1992口□能被105整除,那么它的最后两位数是_______ .9. 42 □ 28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是 _______ .10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，其余同学出列，那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是________ 号.二、解答题11. 173 □是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12 ?在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13. 在“改革”村的黑市上人们只要有心，总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券，也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14. 试找出这样的最小自然数，它可被11整除，它的各位数字之和等于13. ----------------------------- 答案------------------------------------1. 7已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1 一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+仁18,则A=7,符合题意.事实上,3771 9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除?偶数位上数字和是5+7=12,因而，奇数位上数字和2+口+9应等于12, □内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一：能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999 □ 0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二：或者这样想，2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+ --+100)- (3+6+9+12+?+99)=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下：12,15,18,21, …，96, 99这一列数共30个数，其和为12+15+18+-+96+99=(12+99) 30 2=16657. 96910 或46915五位数A691 B能被55整除，即此五位数既能被5整除，又能被11整除.所以B=0或5.当B=0时，A6910能被11整除，所以(A+9+0)-(6+1)= A+2能被11整除, 因此A=9;当B=5时，同样可求出A=4.所以，所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3 5 7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7 整除。
学而思五年级春季第五讲行程问题
（2）甲乙二人在相同的一段时间内行走，甲速为 10 米每秒，乙速为 12 米每秒，则甲速：乙速=
10:12=5:6；同样我们也可以得到甲乙二人在这段时间内所走的路程关系： 甲： 乙=5:6.
时间一定时，路程与速度成正比例
二、例题讲解
例 1、分析：第一问：速度提高之前与提高之后走的总路程是一样的，那么根据路程一定，速度与时间成
设甲的速度为 x 米/分钟。（x-50）×26=（x+50）×6
x=80
A,B 两地距离为：（80-50）×26=780（米）或者（80+50）×6=780（米）
第五讲 行程问题 5.2
五年级春季班 第五讲 行程问题
曹威
法二：比例法。由图可知（绿线表示同时间内的相遇过程红线表示同时间内的追及过程）
A
4份
B
3份
4份
乙
红色表示相同时间内甲乙走的路程比为 5：4，但此时相遇点距 A,B 两点的距离比为 3：4，
则我们可以统一甲走的路程为 15 份，则 72 千米占 8 份，全程 35 份可求。
例 4、分析：
答案：315 千米
甲
4800
2400 乙
A
B
2880
10 分钟
由图可知速度改变前，相遇时甲走了 4800 米，乙走了 2400 米，则甲乙的速度比为 2：1，
五年级下册数学最难的奥数题
五年级下册数学最难的奥数题1、一个筐子放进4篮苹果后，连筐共重28千克，当倒出3篮苹果后再称，连筐共重10千克，一个筐子重(4)千克2、一块正方形菜地，边长是12米。
如果要把它的面积扩大到原来的2倍，其中一条边增加4米，另一条边增长多少米?(写出过程)3、学校卖3把椅子和4张桌子共用元，未知卖2张桌子的钱可以卖5把椅子，一把椅子多少元?一张桌子多少元?(写下过程)4.一条路长米，从头到尾每隔10米栽1棵梧桐树，共栽多少棵树?5、12棵柳树排列成一排，在每两棵柳树中间种3棵桃树，共种多少棵桃树?6、一根厘米长的木条，要锯成10厘米长的小段，需要锯几次?7、.蚂蚁爬到树枝，每上时一节须要10秒钟，从第一节爬到至第13节须要多少分钟?8.在花圃的周围方式菊花，每隔1米放1盆花。
花圃周围共20米长。
需放多少盆菊花?9、从发电厂至闹市区一共存有根电线杆，每相连两根电线杆之间就是30米。
从发电厂至闹市区存有多离?10、.王老师把月收入的一半又20元留做生活费，又把剩余钱的一半又50元储蓄起来，这时还剩40元给孩子交学费书本费。
他这个月收入多少元?11.一个人沿着小骗走了全长的一半后，又跑了剩的一半，还剩1千米，问：小加全长多少千米?12.甲在加工一批零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工。
问：这批零件有多少个?13.一条毛毛虫由幼虫短至成虫，每天短一倍，16天能长至16厘米。
反问它几天可以短至4厘米?14.一桶水，第一次倒出一半，然后倒回桶里30千克，第二次倒出桶中剩下水的一半，第三次倒出千克，桶中还剩下80千克。
桶里原来有水多少千克?15、甲、乙两书架共计图书本，甲书架的图书数比乙书架的3倍太少16本。
甲、乙两书架上各存有图书多少本?16、甲、乙、丙三人年龄之和是94岁，且甲的2倍比丙多5岁，乙2倍比丙多19岁，问：甲、乙、丙三人各多大?17.小明、小华捉住完鱼。
第九届学而思综合能力测评五年级数学试卷及答案解析
量为： (20 + 10) × 5 = 150 ；10 天吃完需要牛的头数是：150 ÷10 −10 = 5 (头)．
第二大题（解答题共 4 道，其中两题为必做题，两题为附加题选做.请同学们把解题过程写清楚）
1. （10 分）8 个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光 和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？ 答案：2400 提示：冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留 给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇． 小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻 小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑 只满足第一、三个条件的站法总数为：
S+ BFD
=
1 16
S, ABCD
=
1 16
×10 ×10
=
6.25
（平方厘米）．
8. 在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17 分、11
分和 4 分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或
三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120 分才能
平方厘米
答案：74
提示：要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑
色小正方体尽量不露出来． 在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有 (4 − 2)3 = 8 (个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方
体有 (4 − 2)2 × 6 = 24 (个)，其中 30 − 8 = 22 个用黑色．
【解析】 log2 4+ log2 16 = log2 64 ， loga (M ⋅ N ) = loga M + loga N ，
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数列找规律
【例1】
一块白白的豆腐，帅帅“咣咣咣···咔咔咔”切了六刀，最多能切成多少块？
【例2】
有一个国家的钱币仅有六元和七元两种，在这个国家里人们买东西时会出现找不开钱的情况。
⑴出现这种情况的价格共有多少种？
⑵其中最贵的价格是多少元？
【例3】
“不好吃”肉串店老板送给帅帅十张优惠券(从1到10分各1张)。
在一个风雨交加的下午，帅帅拿着优惠券喜滋滋的去吃肉串了，结果看见了老板在店门口给帅帅留了一个牌子：
【例4】
下列⑴~(20)的二十个加法算式是按一定规律排出的，得数最小的算式是哪个？请写出它的得数。
组合专题：超难组合数学㈠
1．一棱柱以五边形A1A2A3A4A5与B1B2B3B4B5为上、下底，这两个多边形的每一条边及每一条线段A i B j(i，j＝1，2，3，4，5)分别涂上红色或绿色。
若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。
证明上、下底10条边颜色一定相同。
2．设在空间给出20个点，其中某些点涂黄色，其余点涂红色。
已知在任何一个平面上同色点不超过3个。
求证：存在一个四面体，它的四个顶点同色，且至少有一个侧面内不含异色点。
3．某一天有若干读者去过图书馆。
他们是单独去的，但是在任何三个读者中，至少有两个人这天在图书馆相遇。
证明：一定可以找到这样两个时刻，使得在这一天到过图书馆的任何一个读者，至少在这两个时刻中的一个时刻是在图书馆的。
4．每一个参加循环赛的人和其余参加比赛的人都要比赛一次。
已知任何一次比赛都没有出现平局。
证明：可以找到这样的运动员，其他人或被他战胜，或被他胜过的人战胜。
测试题
1．一棱柱以四边形F1I1H1G1与K1L1J1E1为下、上底，这两个多边形的每一条边及每一条线段(所有连接顶点的线段)分别涂上红色或绿色。
若每一个以棱柱顶点为顶点的、以已涂色的线段为边的三角形均有两条边颜色不同。
证明上、下底8条边颜色一定相同。
答案及解析
证明：
先证明上底下底分别同色
假如底边有不同色线段，那么假设F1I1为红F1G1为绿，由F1点连三条线段分别为F1E1,F1J1，F1L1，三条线段中必然有两条颜色相同，假设F1J1，F1L1都为红色，那么三角形L1I1J1为全绿三角形，矛盾，假设F1J1，F1L1都为都为绿色，那么三角形G1L1J1为全红三角形，矛盾，所以下底边颜色全部相同。
类似可得上底边颜色全部相同。
再来证明上底下底有同色边，
假设上底边为红，下底边为绿，然后类似的F1E1,F1J1，F1L1必然有两条同色，假设F1J1，F1L1都为都为绿色，那么三角形G1L1J1为全红三角形，矛盾，假设E1F1，L1F1为红，那么三角形G1J1I1为全红三角形，矛盾。
所以上下8条边颜色相同。
几何专题：综合型
【例1】
如图，四边形PQRS与长方形ABCD的内侧相接，AP＝4厘米，AS＝2厘米，QC＝7厘米，RC＝3厘米，∠SPQ＝90°，∠QRS＝45°。
请求出四边形PQRS的面积。
【例2】
如图所示，下午6:30在北方的上空有北极星N和组成等腰直角三角形的三颗星A、B、C(N 的左方是B，B的上方是C，C的左方是A，NB＝BC＝CA)。
数小时后，星A和星B同时沉入地平线下。
后来，星C也沉下去了。
如果星A、B、C逆时针绕北极星一周需24小时，请问：星C沉下去的时刻是几点？(地平线是水平的直线)
【例3】
如图，在△ABC中，AB＝11厘米，AC＝9厘米。
首先，在BC边上，取点H，∠BHA＝90°；然后在BC边上，在H与C之间取点D，使∠BAD＝60°；这样，∠DAC是∠HAD的2倍。
请问：这时线段BH的长度是线段CH的长
度的几倍？
【作业】
如图1，图中的三个四边形ABHG、CDIH和EFGI都是正方形，当其面积分别是10平方厘米、13平方厘米、29平方厘米时，请问：
⑴如图2，有16个边长为1厘米的正方形方格，在图中连结这些方格的顶点，画出四边形ABHG；
⑵请求出六边形ABCDEF的面积。
奇偶靠联想
【例1】
三个相邻偶数的乘积是一个六位数8****2，求这三个偶数。
【例2】
已知，a、b、c、d、e这5个质数互不相同，并且符合下面的算式：(a＋b)(c＋d)e＝2890，那么，这5个数当中最大的数至多是______。
【例3】
请问多位数nnn n会不会是一个完全平方数？说明理由。
【例4】
如果n个奇质数中，任意奇数个数的和仍是质数，那么这个数组可称之为“完美质数组”，
⑴证明，n的最大值为4。
⑵当n＝4时，求4个质数的乘积的最小值。
测试题
1．在11张卡片上各写有一个不超过5的数字，将这些卡片排成一行，得到一个11位数；
再将它们按另一种顺序排成一行，又得到一个11位数。
请证明这两个11位数的和至少有一位数字是偶数。
2．甲、乙两人将正整数5至11分别写在7张卡片上。
他们将卡片背面朝上，任意混合后，甲取走3张，乙取走2张，剩下的2张卡片他们谁也没看。
甲看了手里的3张卡片后对乙说“你的2张卡片上的数之和是偶数”。
试问：甲手里的是哪三个数？答案是否唯一？
答案：
1．【分析】如果在求和时发生进位现象，那么考虑从右往左数的第一次进位，由于是第一次进位，所以这一个数位上没有进位过来的，那么这只有这一个数位上的两个数字
都是5时才有可能成立，而这一位向上一位进1后，所得的和的这一位上的数字
是0，是个偶数。
也就是说如果发生进位，那么所得的和至少有一个数字是偶数；
如果这两个11位数在求和时不发生进位现象，由于没有进位，那么每一位上的
两个数字相加就得到和数的一个数字，于是这两个11位数的各位数字之和的和
就等于这两个11位数的和的各位数字之和，而前者是两个相同的数相加，是个
偶数；后者是11个数相加，那么其中必有偶数(否则，11个奇数相加，仍是奇数)，
所以不发生进位时仍然至少有一位数字是偶数。
2．【分析】甲知道其余4张卡片上分别写了哪些数，但不知道它们之中的哪两张落到了乙的手中。
因此，只有在它们之中任何两张卡片上的数的和是偶数时，甲才能说出自
己的断言．而这就意味着这4 张卡片上的数的奇偶性相同，即或者都是偶数，或
者都是奇数。
但由于一共只有3张卡片上写的是偶数，所以它们不可能都是偶数，
只能是奇数。
所以3张写着偶数的卡片全部在甲的手里。
穷举用技巧
【例1】
N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除。
N的最大值是。
【例2】
如果连续N个自然数，每个自然数的数字和都不是11的倍数，则称这连续的N个自然数为一条“龙”，n为这条龙的长度。
比如1，2，3，…，28就是一条龙，它的长度是28。
问：龙的长度最长可以为多少？写出一条最长的龙。
【例3】
黑板上写有1、2、3、……、100这100个自然数，甲、乙二人轮流每次每人划去一个数，直到剩下两个数为止。
如剩下的两数互质则判甲胜，否则判乙胜。
⑴乙先划甲后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
⑵甲先划乙后划，谁有必胜策略？必胜策略是怎样的？
【例4】
如果一个自然数的2004倍恰有2004个约数，这个自然数自己最少有多少个约数？
测试题
【例1】求所有能被30整除，且恰有30个不同约数的自然数。
【例2】在1到100中，恰好有6个约数的数有多少个？
答案： 【例1】【分析】
由于30235=⨯⨯，从质数的观点看整除，如果自然数N 能被30整除，那么自然数N 至少含有三个质因数2，3，5。
设：312235r r r N =⨯⨯⨯。
自然数N 恰有30个不同的因数，根据约数的个数公式：12311130235r r r +⨯+⨯+⨯==⨯⨯（）（）（）。
注意到235⨯⨯是三个约数之积，由此可知自然数N 中质因数的个数恰好有3个。
因此
123111235r r r +⨯+⨯+=⨯⨯（）（）（），由此可知123r r r （，，）必是124（， ， ）的一个排列。
综上所述，所求的自然数有：24235⨯⨯，42235⨯⨯，24235⨯⨯，42235⨯⨯，
42235⨯⨯，24235⨯⨯。
【例2】【分析】
6只能表示为()51+或()()1121++，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质
数的5次方，要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：
222222222222222232527211213217219223832353731145253272
1⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种种
种种
所以符合条件的自然数一共有1842116++++=(种)。