RC电路响应和三要素法解读
零状态 全响应 三要素
RC零状态响应电路 uC (0+)= uC (0-)=0
RL零状态响应电路 iL(0+)= iL(0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC
US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
= L/R
iL
US R
Rt
(1 - e L )
t0
2
iL
Req:
• i 2
2
iL
•
用快速公式
•
•
iC uC ( 0 ) uC ( 0 ) 2V
+
u- C
（2）求稳态值 uC ()
关键：画t=∞时的等效电路，电容
∞时的等效电路：
代之以开路
3
•
_
iC
uC( ) 2V
3V +
6
+
u- C
（3）求等效电阻Req
关键：Req为从电容两端看进去的等效电阻
3
•
Req 3//6 2
i() 2A
2. i 2(1 e10t )A t 0
t
( f (t) f ()(1 e ))
i i i (4e10t 2) A t 0
uL
L di dt
24e V 10t
t0
§3-4 一阶电路的三要素法
t
t
1
6
Req ReqC 1s
• （4）求uC、ic 关键：快速公式
思考：ic的求法？
例3-5-2 t = 0 时由1合2，由三要素法求换路后的i、iL。
一阶暂态电路三要素法和
一阶暂态电路三要素法和一阶暂态电路是指由电阻、电感和电容组成的电路，在初始状态下有一个初始电压或电流，当电路发生突变时，电压或电流会发生暂态响应。
为了研究电路的暂态响应，我们可以使用一阶暂态电路三要素法。
一阶暂态电路三要素法是一种用于分析一阶暂态电路响应的方法，它通过确定电路的三个要素：时间常数、初始条件和输入信号来推导电路的暂态响应。
时间常数是一阶暂态电路的一个重要参数，它描述了电路响应的速度。
对于由电阻R和电容C组成的一阶电路，时间常数τ可以通过以下公式计算：τ = RC。
时间常数越小，电路的响应速度越快。
初始条件是指在初始状态下电路的电压或电流值。
在分析一阶暂态电路时，我们需要知道电路在初始时间点的电压或电流值，这些值可以通过测量或已知条件来确定。
输入信号是指施加在电路上的信号。
输入信号可以是电压或电流的变化，它会引起电路的响应。
在分析一阶暂态电路时，我们需要知道输入信号的形式和参数，例如输入信号的幅值、频率和相位。
通过确定时间常数、初始条件和输入信号，我们可以使用一阶暂态电路三要素法来推导电路的暂态响应。
首先，我们可以根据时间常数来判断电路的响应速度。
如果时间常数很小，电路的响应会很快；如果时间常数很大，电路的响应会比较慢。
我们可以根据初始条件来确定电路的初始状态。
初始条件可以是电路的初始电压或电流值。
通过测量或已知条件，我们可以确定电路在初始时间点的初始条件。
我们可以根据输入信号的形式和参数来计算电路的暂态响应。
根据输入信号的幅值、频率和相位，我们可以计算出电路在不同时间点的电压或电流值。
总结一下，一阶暂态电路三要素法是一种用于分析一阶暂态电路响应的方法。
通过确定时间常数、初始条件和输入信号，我们可以推导出电路的暂态响应。
这种方法可以帮助我们更好地理解和分析一阶暂态电路的行为，对于工程实践中的电路设计和故障排除非常有用。
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
RC电路响应和三要素法
方程的通解: uCuC uC UAeRC
求特解 ---- u' C（方法二）
RC电路响应和三要素法
第3章 电路的暂态分析
3.1 电阻元件、电感元件、电容元件 3.2 换路定则与电压和电流初始值的确定 3.3 RC电路的响应 3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法 3.5 微分电路和积分电路 3.6 RL电路的响应
3.3 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路
稳态分量
uC
+U
电路达到 63.2%U
稳定状态 时的电压
o -36.8%U
uC
uC
uC t
仅存在 于暂态 过程中
-U
暂态分量
u C U (1 e R t ) C U (1 e t)(t 0 )
2. i电C流CiCddu的tC变化U R规e律t
3. u C 、 iC 变化曲线
t 0
iC
uCU(1eRt C )
入信号为零, 仅由电容元件的 + 初始储能所产生的电路的响应。U -
2 t 0 R
1
S
+
iC
u
–
R
u
+ C–
c
实质：RC电路的放电过程
图示电路
uC(0)U
换t =路0时前开电关路S已 处1稳, 电态容uCC(经0电)阻UR 放电
1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0)
(1) 列 KVL方程 uRuC 0 一阶线性常系数
一阶动态电路的三要素法
感谢您的观看
THANKS
应，并了解电路的性能。
03 三要素法可以帮助我们更好地理解和设计一阶动 态电路。
04 三要素法在一阶动态电路 中的应用
电容电压的计算
总结词
通过三要素法，可以计算出电容电压 的初始值、稳态值和时间常数。
详细描述
在三要素法中，电容电压的初始值可 以通过初始条件计算得出，稳态值则 根据换路定律确定，而时间常数是电 路中电容器充放电的时间。
研究不足与展望
虽然三要素法在分析一阶动态电路方面取得了显著成果，但仍存在一些局限性，例如对于高阶动态电 路的分析仍需进一步研究。
目前对于三要素法的理论研究相对成熟，但在实际应用方面仍需加强，特效率。
未来研究可以探索将三要素法与其他电路分析方法相结合，以拓展其应用范围和提高分析精度，同时也 可以研究如何将三要素法应用于其他领域，如控制系统、信号处理等。
实例二：简单RL电路的响应分析
总结词
RL电路的响应分析
详细描述
RL电路由一个电阻R和一个电感L组成，其 响应也可以通过三要素法进行计算。根据三 要素法，RL电路的响应由初始值、时间常数
和稳态值三个要素决定。初始值是电感在 t=0时的电流或电压值，时间常数是RL的乘 积，稳态值是当时间趋于无穷大时的电流或
背景
在电子工程和电路分析领域，一阶动态电路是常见的基本电路之一。了解一阶动态电路的响应特性对于电子设备 和系统的设计、分析和优化具有重要意义。三要素法作为一种有效的分析方法，广泛应用于一阶动态电路的分析 和设计中。
研究目的和意义
研究目的
通过研究一阶动态电路的三要素法，旨在深入理解一阶动态电路的响应特性，掌握三要 素法的应用技巧，提高分析和解决实际电路问题的能力。
一阶RC电路的暂态过程 - 电子技术
一阶RC电路的暂态过程 - 电子技术分析一阶RC电路的暂态过程的方法有很多种，这里只介绍经典法和三要素法，下面以图3-6所示的电路为例，对这两种方法分别进行介绍。
1、经典法图3-6所示电路，t=0时开关S闭合，电源对电容充电，从而产生过渡过程。
根据KVL，得回路电压方程为而：从而得微分方程：此微分方程的通解为两个部分：一个是特解，一个是齐次方程式的解，即:特解可以是满足方程式的任何一个解，假定换路后，t→时电路已达稳定，电容C的电压为稳态分量，那么它是满足方程式的一个解。
对于图3－6所示的RC串联电路：=＝US。
微分方程的齐次方程式为：令其通解为，代入齐次微分方程式可得特征方程式是：所以，特征方程式的根为：式中，其量纲为（秒），称为电路暂态过程的时间常数。
因此微分方程的通解=+积分常数A需用初始条件来确定。
在t=0时=+=+A由此可得：A=-因此+上述利用微分方程进行求解分析一阶RC电路的暂态过程的方法称为经典法，经典分析法步骤较多，为便于掌握，现归纳如下：（1）用基尔霍夫定律列出换路后电路的微分方程式。
（2）解微分方程。
解微分方程通常比较麻烦，对于一阶RC电路有一种更方便、更常用的分析方法——三要素法。
2、三要素法通过经典分析法我们得到图3-6所示电路暂态过程中电容电压为： +上述结果可归纳为一种简单的解题方法，称为“三要素法”，式中只要知道稳态值，初始值和时间常数，这“三要素”，则便被唯一确定。
这种利用“三要素”来实现电路暂态分析的方法，称“三要素法”。
虽然上述式子由图3-6所示的电路提出，但它适合于任何含一个储能元件的一阶电路在阶跃（或直流）信号激励下的过程分析。
而经典法则适用于任何线性电路的暂态分析。
在“三要素”中，特别要注意时间常数，前面已定义，一阶RC电路仅有一个电容元件，C即为电容器的电容量，而R为换路后的电路中除去电容后所得无源二端口网络等值电阻。
下面以直流(激励源为常数)一阶电路为例应用“三要素法”分析电路的响应。
RC电路的响应
3.3 RC电路的响应经典法分析电路的暂态过程，就是根据激励通过求解电路的微分方程以得出电路的响应。
激励和响应都是时间的函数所以这种分析又叫时域分析。
3.3.1 RC电路的零输入响应零输入响应------无电源激励，输入信号为零。
在此条件下，由电容元件的初始状态u C（0+）所产生的电路的响应。
分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。
如图 3.3.1(RC串联电路，电源电压U0)。
换路前，开关S合在位置2上，电源对电容充电。
t=0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，输入信号为零。
此时，电容已储有能量，其上电压的初始值u C（0+）=U0；于是电容经过电阻R开始放电。
根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时的电路微分方程RCdu C/dt+u C=0 3.3.1式中 i=Cdu C/dt令式 3.3.1的通解为 u C=Ae pt代入3.3.1并消去公因子Ae pt得微分方程的特征方程 RCp+1=0 其根为p=-1/RC于是式3.3.1的通解为 u C=Ae-1t/RC定积分常数A。
根据换路定则，在t=0+时，u C（0+）=U0，则A=U0。
所以 u C= U0e-1t/RC= U0 e-1/τ ------ 3.3.3 C图3.3.1RC放电电路-+-U+u C-t=0+u CSiR其随时间变化的曲线如图3.3.2所示。
它的初始值为U 0，按指数规律衰减而趋于零。
式3.3.3中，τ=RC 它具有时间的量纲，所以称电路时间常数。
决定u C 衰减的快慢。
当t=τ时， u C = U 0e -1=U 0/2.718=36.8%U 0 可见τ等于电压u C 衰减到初始值U 0的36.8%所需的时间。
可以用数学证明，指数曲线上任意点的次切距的长度都等于τ。
以初始点为例〖图3.3.2（a ）〗du C /dt=-U 0/τ 即过初始点的切线与横轴相交于τ。
从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。
5.5 一阶电路的全响应和三要素法
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
解 （1）第一种方法 iL (0 ) iL (0- ) 24 / 4 6A L R 0.6 12 1 20s
零输入响应： iL (t) 6e-20tA
第8 页
8
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
iL() 24 / 4+8 2A
全解为： uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US t -
通解 uC Ae
由初始值定A uC (0-)=U0
uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US
-t
t
-
uC US Ae US (U0 - US)e t 0
= RC
第2 页
（3）全响应的两种分解方式
uC 2
0.667 0
t
第 16 页
例题 t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL 、 i1 、 i2
i1 +
10V –
5
5
iL
0.5H
i2 +
20V
–
解 iL 0 iL 0- 10 / 5 2A
iL 10 / 5 20 / 5 6A
L R 0.5 5 / /5 0.2s
i() 10 / 2 5A
u =0
i t 5 - 3.74e-2t-0.2 A
S1(t=0) 2 i u
+ 10V
-
3
S2(t=0.2s)
1
u
t
0
7.48
-
0
-
e
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t
为什么在 t = 0时 电流最大？
uC U
t ( 1 e RC
iC uC
U R
U
uC
)
4. 充电时间常数 的物理意义 当t=时
iC
t
uC ( ) U (1 e 1 ) 63.2 %U
表示电容电压 uC 从初始值上升到 稳态值的 63.2% 时所需的时间。
3 .3 .3 RC电路的全响应
t ( t ) U e RC
uC Ue
1
36.8
0 0
U
时间常数 等于电压 uC衰减到初始值U0 的 36.8 0 0
所需的时间。
时间常数
uC Ue RC Ue
U
的物理意义 t
t
τ RC
uc
0.368U 0
1 2 3
时间越长。
越大，曲线变化越慢，u 达到稳态所需要的
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
3.3.2 RC电路的零状态响应
s
i R
零状态响应: 储能元件的初 + t 0 + 始能量为零， 仅由电源激励 U C _ uC _ 所产生的电路的响应。 uC (0 -) = 0 实质：RC电路的充电过程 分析：在t = 0时，合上开关s， 此时, 电路实为输入一 u 个阶跃电压u，如图。 U 与恒定电压不同，其
uR uC U
U _
uC U Ae 方程的通解: uC uC
C
RC
求特解 ---- u'C（方法二）
u'C ( t ) uC () U
duC RC uC 0 的解 通解即： t dt pt 其解：uC Ae Ae RC
微分方程的通解为
C
1 2 3
t
(3) 暂态时间 理论上认为 t
、uC 0电路达稳态 工程上认为 t ( 3 ~ 5) 、 uC 0电容放电基本结束。
t e 随时间而衰减
t
uC
e
t
1 e
2
3
4
5
6
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
求对应齐次微分方程的通解 uC
uC U Ae uC uC
确定积分常数A
t
（令 RC）
根据换路定则在 t=0+时， uC (0 ) 0
则A U
(3) 电容电压 uC 的变化规律
uC
稳态分量
+U 电路达到 63.2%U 稳定状态 o 时的电压 -36.8%U
3 .3 .1 RC电路的零输入响应 2 t 0
S
R
c
dt
duC pt (2) 解方程： RC uC 0 通解 : uC A e dt 1 特征方程 RCP 1 0 P
齐次微分方程的通解：
由初始值确定积分常数 A
uC A e RC
RC t
根据换路定则 ，t (0 )时，uC (0 ) U , 可得
AU (3) 电容电压 uC 的变化规律
t RC
t0 电容电压 uC 从初始值按指数规律衰减， 衰减的快慢由RC 决定。
uC U e
uC (0 ) e
t
2. 电流及电阻电压的变化规律 电容电压
t U e RC
uC
放电电流
uC
O
t duC U RC iC C e
U
Ue
t RC
uC
uC
uC
t uC
仅存在 于暂态 过程中
-U
uC U
t ( 1 e RC
暂态分量
) U ( 1 e ) (t 0)
t
2. 电流 iC 的变化规律
duC U iC C e t0 dt R 3. uC 、 iC 变化曲线
0 t0 电压u表达式 u U t 0
O 阶跃电压
t
3.3.2 RC电路的零状态响应
1. uC的变化规律 (1) 列 KVL方程 +
t 0
s
i R C
+ _ uc
duC RC uC U uC (0 -) = 0 dt 方程的通解 =方程的特解 + 对应齐次方程的通解 uC 即 uC ( t ) uC 一阶线性常系数 (2) 解方程 duC RC uC U 非齐次微分方程 求特解 u'C ： dt dK 设：u'C K 代入方程, U RC K dt 解得：K U 即：u' U t
电阻电压：
dt
R
u R iC
t R U e RC
iC
uR
t
3、uC、iC、u R变化曲线
4. 放电时间常数 令:
(1) 量纲
RC
单位: S
q It s V
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢
(2) 物理意义
当t
时
uC
求 稳态值 （三要素） 时间常数
零输入响应: 无电源激励, 输 + u– R 入信号为零, 仅由电容元件的 + 1 + uC U 初始储能所产生的电路的响应。 iC – 实质：RC电路的放电过程 图示电路 uC (0 ) U 换路前电路已处稳态 uC (0 ) U t =0时开关 S 1 , 电容C 经电阻R 放电 1. 电容电压 uC 的变化规律(t 0) (1) 列 KVL方程 uR uC 0 一阶线性常系数 duC 齐次微分方程 C C uR R dt d u 代入上式得 RC C uC 0
3.6 RL电路的响应
3.3 RC电路的响应
一阶电路暂态过程的求解方法 一阶电路 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线 性电路, 且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电 路。 求解方法 1. 经典法: 根据激励(电源电压或电流)，通过求解 电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。 2. 三要素法 初始值
课前提问：
图示电路在换路前处于稳定状态，在t=0瞬间将开关S闭合， 则i(0)为( )。
(a)0A
(b)0.6A
(c)0.3A
答：（a）
第3章 电路的暂态分析
3.1 电阻元件、电感元件、电容元件
3.2 换路定则与电压和电流初始值的确定
3.3 RC电路的响应
3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.5 微分电路和积分电路