三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质教案
考纲要求
1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在(－π
2，π
2)上的性质.
要点识记
1个必会思想——整体思想的运用
研究y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、值域、对称轴(中心)时，首先把“ωx＋φ”视为一个整体，再结合基本初等函数y＝sin x的图象和性质求解．
2个重要性质——三角函数的周期性与单调性
(1)周期性：函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最
小正周期为π
|ω|.
(2)单调性：三角函数的单调性应在定义域内考虑，注意以下两个三角函数单调区间的不同：
①y＝sin(π
4－x)，②y＝sin(x－
π
4)．
教材回归
判断下列说法是否正确(请在括号内填“√”或“×”)．
(1)y＝cos x在第一、二象限上是减函数．(×)
(2)y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1 . (×)
(3)y＝cos(x＋π
3)在[0，π]的值域是[－1，
1
2]．(√)
(4)y＝sin(2x＋5
2π)是非奇非偶函数．(×)
考向一三角函数的定义域、值域
例1(1)[2014·天津高考]函数f(x)＝sin(2x－π
4)在区间[0，
π
2]上的最小值为()
A. －1
B. －
2
2 C.
2
2 D. 0
(2)函数y＝lg(2sin x－1)＋1－2cos x的定义域是________．
[解析] (1)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π4∈[－π4，34π]，
∴y ∈[－22，1]，选B 项．
(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2sin x －1>0，1－2cos x ≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >12，cos x ≤12，
[2k π＋π3，2k π＋56π)(k ∈Z )
变式练习 1.已知f (x )的定义域为[0,1]，则f (cos x )的定义域为__[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )
______．
2.若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为
__2__． 3.函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为____[－9,1]____．
[易错点拨] 求解三角函数的最值和值域时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚，不然极易出现错误．
三角函数定义域、值域的求解策略
(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)首先把三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令t ＝sin x ，或t ＝sin x ±cos x )化为关于t 的二次函数求值域(最值)． 考向二 三角函数的单调性
例2 (1)[2014·唐山模考]已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个
单调递减区间是( )
A. [－π8，3π8]
B. [π8，9π8]
C. [－3π8，π8]
D. [π8，5π8]
(2)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )
A. [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z
B. [k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z
C. [k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z
D. [k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z
[答案] (1)C (2)C
三角函数单调区间的求法
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作一个整
体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的减区间．若在y ＝A sin(ωx ＋φ)中，ω<0，则应先利用诱导公式将解析式转化，使x 的系数变为正数，再进行求解．
变式练习
1．函数y ＝sin(π3－2x )的递增区间为[k π＋512π，k π＋1112π](k ∈Z )________．
2. 函数f (x )＝cos(2x －π4)＋3在[－π2，π2]上的单调递减区间为___[－π2，－3π8]和[π8，π2]
_____．
考向三 三角函数的奇偶性和对称性
例3 [2015·山东高考]将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8
个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( B )
A. 3π4
B. π4
C. 0
D. －π4
三角函数奇偶性和对称性的求法
函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)，(1)函数f (x )为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数
的充要条件为φ＝k π＋π2(k ∈Z )．(2)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋
k π(k ∈Z )，求x ；如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．
1. [2014·江西高三联考]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图
象的一条对称轴方程是( A)
A. x ＝π9
B. x ＝π6
C. x ＝π3
D. x ＝π2
2. [2015·泰安质检]函数f (x )＝cos(2x ＋3π2)(x ∈R )，下面结论不正确的是( D )
A. 函数f (x )的最小正周期为π
B. 函数f (x )的一个对称中心是(π2，0)
C. 函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称
D. 函数f (x )是偶函数
走向高考
[2015·河北质检]设函数f (x )＝sin(πx 3－π6)－2cos 2πx 6.
(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．
课后小练
1.y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( )
2.函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．( ) 3.[2015·苏州模拟]函数y ＝sin x ＋16－x 2的定义域为________．
4.[2015·衡水统考]求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的最值____．
5. 函数y ＝log 12（cos2x ）的递减区间为________．
三角函数的图像与性质。