复数高考考点解析(理科)
复数 高中知识点总结
复数高中知识点总结语文：高中语文课程包括古诗文赏析、现代文学作品阅读、现代汉语语言知识、修辞手法等内容。
学生需要通过阅读和理解文学作品来提高语言表达能力，学习古代汉语和现代汉语语法知识，以及汉字的构造和意义等。
数学：高中数学主要包括函数、三角函数、数列、立体几何、概率论、统计学、微积分等内容。
通过学习数学，学生能够提高逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
物理：高中物理课程涉及力学、电磁学、光学、热学、原子物理等内容。
通过学习物理，学生能够理解自然界中物体的运动和性质，能够掌握一定的物理实验技能和探究问题的方法。
化学：高中化学课程包括化学元素和化合物、化学反应、化学平衡、化学动力学、化学结构、化学能量等内容。
通过学习化学，学生能够理解物质的组成与性质，掌握一定的化学实验技能和化学方程式计算。
生物：高中生物课程包括生物基础知识、生物分子与细胞、遗传与进化、生物个体与环境、人体健康等内容。
学生通过学习生物，能够理解生物的基本概念与规律，掌握一定的生物实验技能和生物技术的应用。
历史：高中历史课程包括古代史、近现代史、世界史、中国现代史等内容。
通过学习历史，学生能够了解历史事件和历史人物的背景和影响，提高对历史事件的分析和思考能力。
地理：高中地理课程包括自然地理和人文地理两大部分，分别涉及地球的自然环境和人类活动。
学生通过学习地理，能够了解地球地理环境和人文环境的相互影响和作用。
政治：高中政治课程包括马克思主义基本原理、中国特色社会主义理论、中外政治制度、中国政治经济、社会主义市场经济等内容。
通过学习政治，学生能够了解马克思主义和中国特色社会主义理论，掌握一定的政治观念和思维方法。
英语：高中英语课程包括英语语法、阅读理解、听力口语、写作、翻译等内容。
学生通过学习英语，能够提高英语听说读写能力，掌握一定的英语表达和交流能力。
音乐、美术、体育等课程注重学生的审美意识、动手实践和身体素质的培养提高。
以上是对高中各科学科的简要总结，希望对你有所帮助。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)
2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年北京市高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分,满分40分)1．（5分)（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为（﹣2,1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分)(2009•北京）已知向量=(1，0）,=(0,1),=k+（k∈R）,=﹣，如果∥,那么(）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项．【解答】解：∵=(1,0),=（0,1），若k=1，则=+=(1，1），=﹣=（1，﹣1)，显然，与不平行,排除A、B．若k=﹣1,则=﹣+=（﹣1,1）,=﹣=(1,﹣1)，即∥且与反向,排除C，故选D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分)（2009•北京）为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点(）A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】对数函数的图像与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(）A． B．1 C． D．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】画出图象,利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解:依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．(5分）（2009•北京)“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时,cos2a=cos(4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z）,或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z）,故选A．【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．(5分）(2009•北京)若（1+)5=a+b（a,b为有理数)，则a+b=()A．45 B．55 C．70 D．80【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b,求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：(1+)5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（)4+C55•（)5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分)（2009•北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．648【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种,十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）（2009•北京)点P在直线l：y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且｜PA|=｜AB|,则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（)A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点"C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点"【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；压轴题;创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解,进而可推断出直线l 上的所有点都符合．【解答】解：设A(m，n）,P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1 )x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解,∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．(5分)（2009•北京）=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4，﹣2）时s有最小值﹣6,故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）（2009•北京)设f（x)是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1,f(1）)处的切线的斜率为1,则该曲线在（﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1．【考点】偶函数；导数的几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象,根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f(﹣1）)处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）（2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上,若｜PF1|=4,则｜PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】第一问用定义法,由｜PF1｜+｜PF2｜=6,且｜PF1｜=4，易得｜PF2｜；第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1｜+｜PF2|=2a=6，∴|PF2｜=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2;120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型，难度不大，考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分)（2009•北京）若函数则不等式的解集为［﹣3，1]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3,1］．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．(5分）(2009•北京)｛a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014=0．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】压轴题．【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值;（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和(Ⅰ）可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ)由(Ⅰ）知sinA=,sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理,得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分)（2009•北京）如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC．（1)求证：BC⊥平面PAC;（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题;证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC，满足定理所需条件; (2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE 中,求出AD与平面PAC所成角即可;（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P 的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A ﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解:（1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB．又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中,∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．(3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强．17．（13分）（2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．(Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2,4，6，8（单位:min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2,3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ0 2 4 6 8P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率．18．(13分）（2009•北京)设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程;（Ⅱ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x)在区间（﹣1，1）内单调递增,求k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题;压轴题．【分析】(I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f(x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；(III)由（Ⅱ)知，若k＞0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f（x）(﹣1,1)内单调递增，若k＜0,则当且仅当﹣≥1时，函数f(x)(﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′(x）=（1+kx)e kx,f′（0)=1,f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程为y=x;（Ⅱ）由f′（x)=(1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0）,若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x)＜0,函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＞0，函数f（x)单调递增，若k＜0，则当x∈(﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x)单调递增,当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＜0，函数f(x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时,函数f（x）(﹣1，1）内单调递增,若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f(x)（﹣1，1)内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时,k的取值范围是［﹣1,0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）(2009•北京）已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为,右准线方程为x= （I)求双曲线C的方程；（Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B,证明∠AOB的大小为定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题;综合题；压轴题；转化思想．【分析】( I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：(Ⅰ）由题意，，解得a=1,c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．(Ⅱ)设P（m,n）（mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P（m，n)处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m)，化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0＜m2＜2,3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）(8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1,y1)，(x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵,且=x1x2+［4﹣2m（x1+x2)+m2x1x2］=+［4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分)(2009•北京）已知数集A=｛a1,a2，…，a n｝（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P;对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与两数中至少有一个属于A．（I)分别判断数集{1，3,4｝与{1，2,3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明:a1=1,且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1,a2,a3,a4，a5成等比数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题;压轴题；新定义；分类讨论．【分析】(I）根据性质P;对任意的i,j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集｛1，3，4}与{1,2，3，6｝中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，,，…,，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ)跟据(Ⅱ)，只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3,4,∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3,1×6,2×3，，，，,，都属于数集{1,2，3,6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A=｛a1，a2，…，a n｝具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n(k=2,3，4，…，n）,故a k a n∉A（k=2，3，4，…,n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n)．又∵＜＜…＜＜,∴，,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且；（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当n=5时,有，,即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴,∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1,公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查,属于较难层次题．。
考向03 复数(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(原卷版)
考向03 复数【2022年全国甲卷】1. 若1z =-，则1zzz =-（ ）A. 1-+B. 1-C. 13-D. 13-【答案】C【解析】1(1113 4.z zz =--=--=+=113z zz ==-+-.故选 ：C 【2022年全国甲卷】2. 已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ）A. 1,2a b ==- B. 1,2a b =-= C. 1,2a b == D. 1,2a b =-=-【答案】A【解析】12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩.故选:A【2022年新高考1卷】3. 2. 若i(1)1z -=，则z z +=（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D 【2022年新高考2卷】4. 2. (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i -+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.【2022年浙江卷】2. 已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ）A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-= C. 1,3a b =-=- D. 1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.【2022年北京卷】2. 若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ）A. 1 B. 5C. 7D. 25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．易错题【01】对服饰的相关概念理解不清易错题【02】对复数的模的定义理解不透易错题【03】复数相等的条件应用出错易错题【04】复数的模与绝对值混淆1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则a b +=（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（ ）A ．132i + B ．132i - C ．32i + D ．32i -3．已知复数212iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()0,1-B ．()0,1C ．()1,1-D ．()1,0-4．设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于（ ）A ．0B ．4C ．2D 5．若z 为纯虚数，且2z =，则11z=+（ ）6．已知2(1)(1)z m m i =-++为纯虚数，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．11或- D ．-1或0一、单选题1．（2022·辽宁·育明高中一模）若复数53i--的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上（ ）A ．2x y = B ．y ＝12x x+ C ．y x = D ．221y x =--2．（2021·云南昆明·三模（理））给出下列三个结论：①若复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则1a =②若复数21iz i=+，则复数z 在复平面内对应的点在第二象限③若复数z 满足||1z =，则z 在复平面内所对应点的轨迹是圆其中所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知a 为正整数，且42i 25a +=，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·江西南昌·三模（理））若复数z 的实部和虚部均为整数，则称复数z 为高斯整数，关于高斯整数，有下列命题：①整数都是高斯整数；②两个高斯整数的乘积也是高斯整数；③模为3的非纯虚数可能是高斯整数；④只存在有限个非零高斯整数z ，使1z也是高斯整数其中正确的命题有（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①②D ．②③④5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=-，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ）A ．12i -+B ．2i --C ．12i -±D ．2i-±二、多选题6．（2021·黑龙江·密山市第一中学模拟预测）已知123z i =+，()2z m i m R =-∈，则下列说法正确的有（ ）A ．若12z z 为实数，则23m =-；B ．12z z ⋅的共轭复数是()()2332m m i ++-；C ．12z z -的最小值是4；D ．满足11z z -=的复数z 在复平面上的对应点Z 的集合是以()2,3--为圆心，以1为半径的圆．7．（2021·重庆八中模拟预测）设复数z 的共辄复数为z ，i 为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）A ．若0z z ⋅=，则0z =B ．若z z -∈R ，则z ∈R C ．若2cosisin 55ππz =+，则1z =D ．若i 1z -=，则z 的最大值为28．（2021·江苏泰州·模拟预测）设z 为复数，在复平面内z 、z 对应的点分别为P 、Q ，坐标原点为O ，则下列命题中正确的有（ ）A ．当z 为纯虚数时，,,P O Q 三点共线B ．当1z i =+时，POQ △为等腰直角三角形C ．对任意复数z ，OP OQ ≠D ．当z 为实数时，OP OQ=9．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）A ．若A ，B ，C 为任意集合，则()()⋂⋂= A B C A B C B ．若a ，b ，c为任意向量，则()()⋅⋅=⋅⋅ a b c a b cC ．若1Z ，2Z ，3Z 为任意复数，则()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅D ．若A ，B ，C 为任意事件，则()()()()⋃⋂=⋂+⋂P A B C P A C P B C 三、填空题10．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b -=__________．1．(2021年新高考1卷)已知2i z =-，则(i)z z +=A ．62i-B ．42i-C ．62i+D ．42i+2.(2021年新高考2卷) (22i)(12i)+-=（ ）A. 24i-+ B. 24i-- C. 62i+ D. 62i-3．(2021年高考全国甲卷理科)已知2(1)32i z i -=+，则z =( )A 312i --B ．312i -+C ．32i -+D ．32i --4．(2021年高考全国乙卷理科)设()()2346z z z z i ++-=+，则z =( )A ．12i-B ．12i+C ．1i+D ．1i-.5．(2021年高考浙江卷)已知a ∈R ，()1i i 3i a +=+（i 为虚数单位）， 则a =（）.A ． 1-B ． 1C ． 3-D ． 36．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若z=1+i ，则|z 2–2z |=( )A ．0B ．1CD ．27．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)复数113i-虚部是( )A ．310-B ．110-C ．110D ．3108．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)若(1i)2i z +=，则z =( )A ．1i--B ．1+i-C ．1i-D ．1+i9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数z 满足i 1z -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( )A.22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(1)1x y ++=11．(2021年上海卷)已知121i,23i z z =+=+，12z z +=．12．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________．的1.【答案】D【解析】选D,由题意a=2,b=1,所以a+b=3.2．【答案】A 【解析】选A ，21+3=12i iz i -=+.3．【答案】D 【解析】选D ，2=112iz i-=-+，所以对应点坐标为（-1,0）.4．【答案】D【解析】选D,2(1)1i i i--=+=【解析】选A.由题意有2110m m -=+≠，所以m=1.一、单选题1．【答案】D 【解析】因为53i --＝()()()53i 3i 3i -+=---+＝－32＋12i ，所以a ＝－32，b ＝12，所以A 13(,22-，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足.故选：D.2．【答案】C【解析】①因为复数()2()z a a ai a =-+∈R 是纯虚数，则200a a a ⎧-=⎨≠⎩，解得1a =，故正确；②复数()()()2121111i i i z i i i i -===+++-，则复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故错误；③因为复数z 满足||1z =，所以z 在复平面内所对应点的轨迹以原点为圆心，以1为半径的是圆，故正确；所以正确结论的个数是2个，故选：C 3．【答案】A【解析】因为a +，所以442i 25a +==，即245a +=，21a =，a 为正整数，所以1a =，故选：A 4．【答案】A【解析】①令i(a,b Z)z a b =+∈，当0b =时，z a =，即z 为整数，根据题意，z 是高斯整数，故①正确；②令1i(a,b Z)z a b =+∈，2i(c,d Z)z c d =+∈，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=-++，则ac bd -为整数，ad bc +为整数，故12z z ⋅为高斯整数，故②正确；③令i(a 0,b 0)z a b =+≠≠，且3z =，故229a b +=，所以,a b 至少有一个数为非整数，故z 不是高斯整数，③错误；④令1i(a,b Z)z a b =+∈，且0z ≠，则22222211i i i a b a bz a b a b a b a b -===-++++，若1z为高斯整数，故2222,a ba b a b ++为整数，即存在有限个，例如i z =，故④正确.故选：A.5．【答案】C【解析】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a -++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=±⎩，所以12i z =-±.故选：C 二、多选题6．【答案】AC 【解析】1222223(23)()2(23)3(23)(23)=()()1z i i m i m m i m m iz m i m i m i m i m +++++--++===--+-+12z z为实数，230m ∴+=，23m =-，故A 正确；12(23)()(23)(32)z z i m i m m i ⋅=+-=++-，其共轭复数为()()2332m m i +--，故B 错误；12(2)4z z m i -=-+表示点(2,4)m -到原点的距离，12min minz z ∴-=，当2m =时，取最小值为4，故C 正确；设,,z x yi x y R =+∈，由11z z -=得(2)(3)1x y i -+-=，即222(2)(3)1x y -+-=，∴对应点Z 的集合是以()2,3为圆心，以1为半径的圆，故D 错误；故选：AC7．【答案】ABD【解析】若0z z ⋅=，即20z =，0z =，则0z =，A 正确；若z z -∈R ，即z 的虚部为0，则z ∈R ，B 正确；若2cosisin 55ππz =+1≠，C 错误；若i 1z -=，设i z x y =+（,x y ∈R ），即()2211x y +-=，则z 表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D 正确，故选：ABD ．8．【答案】ABD【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，对A ：当z 为纯虚数时，()0z bi b =≠，z bi =-对应的点分别为(0,)P b 、(0,)Q b -，,,O P Q 均在y 轴上，所以,,P O Q 三点共线，故A 正确；对B: 当1z i =+时，1z i =-，所以(1,1)P ，(1,1)Q -，所以||||OP OQ ==||2PQ =，所以222||||||OP OQ PQ +=，所以POQ △为等腰直角三角形，故B 正确；对C ：(,)OP a b = ,(,)OQ a b =-,当0b =时，OP OQ = ，故C 错误；对D ：当z 为实数时，z z a ==，此时(,0)OP OQ a ==，故D 正确.故选：ABD 9．【答案】AC【解析】对于A ，集合运算有结合律，任意集合A ，B ，C 都有()()A B C A B C ⋂⋂= ，故A 正确；对于B ，向量的数量积不满足结合律，即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c 故B 错误；，对于C ，复数的乘法运算满足结合律，所以对任意复数1Z ，2Z ，3Z ，有()()113123Z Z Z Z Z Z ⋅⋅=⋅⋅，故C 正确；对于D ，若A B C ==，(())()()⋃⋂≠⋂+⋂P A B C P A C P B C ，故D 错误.故选：AC.三、填空题10．【答案】96i+【解析】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b -=+-=++++--=+ ；故答案为：96i + .1．【答案】C 【解析】2(i)(2i)(2i i)(2i)(22i)44i 2i 2i 62i z z +=-++=-+=+--=+，故答案选C ．2.【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3．【答案】B【解析】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅．故选：B ．4．【答案】C【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+．故选：C ．5．【答案】C【解析】由题意，得3i a i -+=+，复数相等定义，知3a =-，故选C ．6．【答案】D【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-．故2222z z -=-=．故选：D ．7．【答案】D【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310．故选：D ．8．【答案】D 【解析】根据复数运算法则，()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-，故选D ．另解：由常用结论22i=(1+i)，得2(1i)(1i)z +=+，则1i z =+，故选D ．【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．9．【答案】C【解析】∵32z i =-+，∴32z i =--，对应坐标()3,2--，是第三象限．【点评】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．10．【答案】C【解析】设i z x y =+，则22i (1)i 1,(1)1z x y x y -=+-==∴+-=．11．【答案】34i+【解析】由题意得:1234iz z +=+12．【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=+，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，又12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=，222222()()2()4a cb d ac bd ac bd ∴+++=+++++=2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====．故答案为：．方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+,由已知122OZ OZ OP ==== ,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==．【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题．方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解。
考点3复数—2021届高考数学(理科旧高考)二轮专题复习首选卷
考点三 复数一、选择题1．(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i2．(2020·云南昆明三模)在复平面内，复数z ＝2i1＋i所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(2020·青海西宁检测(一))已知a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．14．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2D ．25．(2020·陕西咸阳一模)设z ·i＝2i ＋1，则z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋iD ．－2－i6．(2020·浙江宁波二模)已知复数z 是纯虚数，满足z (1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－27．(2020·江西6月大联考)若复数z＝1＋2i1－i，则|z－|＝( )A.10 B． 5C．105D．1028．(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A．1＋2i B．－2＋iC．1－2i D．－2－i9．(2020·湖南师大附中高三摸底考试)满足条件|z＋4i|＝2|z＋i|的复数z 对应点的轨迹是( )A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线10．(2020·湖南长沙长郡中学高三下学期第一次高考模拟)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( )A．－1－i B．1－iC．1＋i D．－1＋i11．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知i是虚数单位，复数z 满足(1－i)z＝2i，则复平面内与z对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限12．(2020·湖南长沙长郡中学二模)下面是关于复数z＝2－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中假命题为( )A．|z|＝ 2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－113．(2020·陕西西安中学高三下学期仿真考试(一))已知复数z满足z－＋i i＝－1＋i，则复数z＝( )A．－1－2i B．－1＋2iC．1－2i D．1＋2i14．(2020·贵州贵阳高三6月适应性考试二)已知复数z满足z(1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z的共轭复数为( )A．－1＋i B．－1－iC．1＋i D．1－i15．(2020·山西太原五中高三3月模拟)已知复数z＝23－i，则|z|＝( )A．1 B．2C． 3 D． 216．(2020·陕西咸阳三模)设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为( )A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝117．(2020·吉林长春高三质量监测二)若z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，则a＝( )A．0或2 B．0C．1或2 D．118．下面四个命题中，①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线；③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2；④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1.正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3二、填空题19．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．20．(2020·广州高三综合测试一)已知复数z＝22－22i，则z2＋z4＝________.21．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数z1－2i的共轭复数是________．22．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝________.一、选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)若z－(1＋i)＝1－i，则z＝( )A．1－i B．1＋iC．－i D．i2．(2020·吉林东北师大附中第四次模拟)在复平面内，复数z对应的点与3＋i对应的点关于实轴对称，则zi＝( )A．－1－3i B．－3＋iC．－1＋3i D．－3－i3．(2020·山西太原一模)已知i是虚数单位，复数m＋1＋(2－m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是( )A．(－∞，－1) B．(－1,2)C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)4．(2020·河南洛阳第三次统一考试)已知复数z满足|z|＝1，则|z－1＋3 i|的最小值为( )A．2 B．1C． 3 D． 25．(2020·辽宁丹东二模)已知复数z＝a2＋1＋i1－i－ai－1为纯虚数，则实数a＝( )A．0 B．±1C．1 D．－16．(2020·山西大同模拟)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，若z1＝zz2，则z的共轭复数z－＝( )A.12＋32i B．12－32iC．－12＋32i D．－12－32i7．(2020·广州综合测试)若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3＝( )A．±2 2 B．－2 2C．－22i D．±22i8．(2020·吉林长春质量监测四模)设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，下列说法正确的是( )A．z的虚部是y iB．z2＝|z|2C．若x＝0，则复数z为纯虚数D．若z满足|z－i|＝1，则z在复平面内对应点(x，y)的轨迹是圆二、填空题9．(2020·河南开封3月模拟)若z＝1＋2i，则4iz z－－1＝________.10．若2－i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则bc＝________.11．(2020·浙江杭州高三下学期仿真模拟)复数z满足：z1＋i＝a－i(其中a>0，i为虚数单位)，|z|＝10，则a＝________；复数z的共轭复数z－在复平面上对应的点在第________象限．12．定义复数的一种新运算z1@z2＝|z1|＋|z2|2(等式右边为普通运算)．若复数z＝x＋y i，i为虚数单位，且实数x，y满足x＋y＝22，则z－@z的最小值为________．三、解答题13．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝513＋1213i，求cos(α＋β)的值．14．设z＋1为关于x的方程x2＋mx＋n＝0，m，n∈R的虚根，i为虚数单位．(1)当z＝－1＋i时，求m，n的值；(2)若n＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数2＋4i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围．考点三复数一、选择题1．(2020·新高考卷Ⅰ)2－i1＋2i＝( )A．1 B．－1 C．i D．－i 答案 D解析2－i1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i 1－2i＝－5i5＝－i ，故选D. 2．(2020·云南昆明三模)在复平面内，复数z ＝2i1＋i所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A 解析 ∵z ＝2i1＋i＝2i 1－i 1＋i 1－i＝1＋i ，∴复数z 所对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限．故选A.3．(2020·青海西宁检测(一))已知a ＋b i(a ，b ∈R )是1－i1＋i的共轭复数，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．－12C ．12D ．1答案 D 解析 1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i＝－2i2＝－i ，∴a ＋b i ＝－(－i)＝i ，∴a＝0，b ＝1，∴a ＋b ＝1.故选D.4．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2答案 D解析 z 2＝(1＋i)2＝2i ，则z 2－2z ＝2i －2(1＋i)＝－2，故|z 2－2z |＝|－2|＝2.故选D.5．(2020·陕西咸阳一模)设z ·i＝2i ＋1，则z ＝( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋i D ．－2－i 答案 B解析 ∵z ·i＝2i ＋1，∴z ＝2i ＋1i ＝2i －i 2i＝2－i.故选B.6．(2020·浙江宁波二模)已知复数z 是纯虚数，满足z (1－i)＝a ＋2i(i 为虚数单位)，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 C解析 设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z (1－i)＝b i(1－i)＝b ＋b i ＝a ＋2i ，所以⎩⎨⎧b ＝a ，b ＝2，解得a ＝2.故选C.7．(2020·江西6月大联考)若复数z ＝1＋2i1－i ，则|z －|＝( ) A.10 B ． 5 C ．105D ．102答案 D解析 因为z ＝1＋2i1－i ＝1＋2i 1＋i 1－i1＋i＝1＋i ＋2i ＋2i 22＝－1＋3i 2，所以z －＝－12－3i 2，则|z －|＝14＋94＝102.故选D. 8．(2020·北京高考)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i·z ＝( )A ．1＋2iB ．－2＋iC ．1－2iD ．－2－i答案 B解析 由题意得z ＝1＋2i ，∴i·z ＝i －2.故选B.9．(2020·湖南师大附中高三摸底考试)满足条件|z ＋4i|＝2|z ＋i|的复数z 对应点的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z＋4i|＝|x＋(y＋4)i|＝x2＋y＋42，|z＋i|＝|x＋(y＋1)i|＝x2＋y＋12，结合题意有x2＋(y ＋4)2＝4x2＋4(y＋1)2，整理可得x2＋y2＝4.即复数z对应点的轨迹是圆．故选B.10．(2020·湖南长沙长郡中学高三下学期第一次高考模拟)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．－1－i B．1－iC．1＋i D．－1＋i 答案 D解析由题意得z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝2i＋22＝1＋i，在复平面内对应的点为(1,1)，关于虚轴对称的点为(－1,1)，所以其对应的复数为－1＋i.故选D.11．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知i是虚数单位，复数z 满足(1－i)z＝2i，则复平面内与z对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵(1－i)z＝2i，∴z＝2i1－i＝2i1＋i2＝－1＋i，∴复平面内与z对应的点在第二象限，故选B.12．(2020·湖南长沙长郡中学二模)下面是关于复数z＝2－1＋i(i为虚数单位)的命题，其中假命题为( )A．|z|＝ 2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1 答案 C解析因为z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－2－2i2＝－1－i，所以|z|＝2，A为真命题；z2＝2i，B为真命题；z的共轭复数为－1＋i，C为假命题；z的虚部为－1，D为真命题．故选C.13．(2020·陕西西安中学高三下学期仿真考试(一))已知复数z 满足z －＋i i＝－1＋i ，则复数z ＝( )A ．－1－2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．1＋2i答案 B解析 已知复数z 满足z －＋i i＝－1＋i ，则z －＝i(－1＋i)－i ＝－1－2i ，故z ＝－1＋2i ，故选B.14．(2020·贵州贵阳高三6月适应性考试二)已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝－12＋32＝2，得z ＝21＋i＝21－i1＋i 1－i＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.15．(2020·山西太原五中高三3月模拟)已知复数z ＝23－i，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 2答案 A 解析 因为z ＝23－i＝23＋i 3－i 3＋i＝3＋i 2＝32＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1.故选A. 16．(2020·陕西咸阳三模)设复数z 满足|z －1＋i|＝1，z 在复平面内对应的点为P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝1答案 D解析由题意得z＝x＋y i，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即x－12＋y＋12＝1, 则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.故选D.17．(2020·吉林长春高三质量监测二)若z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，则a＝( )A．0或2 B．0C．1或2 D．1答案 A解析因为z＝1＋(1－a)i(a∈R)，|z|＝2，所以12＋1－a2＝2，解得a＝0或a＝2.故选A.18．下面四个命题中，①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部、虚部分别是a，b；②复数z满足|z＋1|＝|z－2i|，则z对应的点构成一条直线；③由向量a的性质|a|2＝a2，可类比得到复数z的性质|z|2＝z2；④i为虚数单位，则1＋i＋i2＋…＋i2020＝1.正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析①复数z＝a＋b i(a，b∈R)的实部为a，虚部为b，故正确；②设z＝a＋b i(a，b∈R)，由|z＋1|＝|z－2i|计算得2a＋4b－3＝0，故正确；③设z＝a ＋b i(a，b∈R)，当b≠0时，|z|2＝z2不成立，故错误；④1＋i＋i2＋…＋i2020＝1，故正确．二、填空题19．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．答案 3解析∵复数z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，∴复数z的实部为3.20．(2020·广州高三综合测试一)已知复数z ＝22－22i ，则z 2＋z 4＝________.答案 －1－i解析 ∵z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 2＝12－i －12＝－i ，∴z 4＝(z 2)2＝(－i)2＝－1，∴z 2＋z 4＝－1－i.21．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 1－2i的共轭复数是________．答案 －i解析 由题图可得z ＝2＋i ，复数z1－2i ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i＝i ，其共轭复数为－i.22．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3＋i ，则|z 1－z 2|＝________.答案 2 3解析 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝2， ∴a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，∵z 1＋z 2＝a ＋b i ＋c ＋d i ＝3＋i ， ∴a ＋c ＝3，b ＋d ＝1，∴(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋2ac ＋b 2＋d 2＋2bd ＝4， ∴2ac ＋2bd ＝－4，∵z 1－z 2＝a ＋b i －(c ＋d i)＝a －c ＋(b －d )i ， ∴|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2＝a 2＋c 2－2ac ＋b 2＋d 2－2bd ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－2ac ＋2bd＝4＋4－－4＝2 3.解法二：∵|z 1|＝|z 2|＝2，可设z 1＝2cos θ＋2sin θ·i，z 2＝2cos α＋2sin α·i， ∴z 1＋z 2＝2(cos θ＋cos α)＋2(sin θ＋sin α)·i＝3＋i ， ∴⎩⎨⎧2cos θ＋cos α＝3，2sin θ＋sin α＝1.两式平方作和，得4(2＋2cos θcos α＋2sin θsin α)＝4， 化简得cos θcos α＋sin θsin α＝－12.∴|z 1－z 2|＝|2(cos θ－cos α)＋2(sin θ－sin α)·i| ＝4cos θ－cos α2＋4sin θ－sin α2＝8－8cos θcos α＋sin θsin α＝8＋4 ＝2 3.一、选择题1．(2020·全国卷Ⅲ)若z －(1＋i)＝1－i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i答案 D解析 因为z －＝1－i 1＋i＝1－i 21＋i 1－i＝－2i2＝－i ，所以z ＝i.故选D. 2．(2020·吉林东北师大附中第四次模拟)在复平面内，复数z 对应的点与3＋i 对应的点关于实轴对称，则zi＝( )A ．－1－3iB ．－3＋iC ．－1＋3iD ．－3－i答案 A解析 ∵复数3＋i 在复平面内对应的点为(3，1)，复数z 在复平面内对应的点与3＋i 对应的点关于实轴对称，∴复数z 在复平面内对应的点为(3，－1)，∴z ＝3－i ，∴zi ＝3－ii＝3－i·ii 2＝－1－3i.故选A.3．(2020·山西太原一模)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案 A解析 因为复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限，所以⎩⎨⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.所以实数m 的取值范围为(－∞，－1)．故选A.4．(2020·河南洛阳第三次统一考试)已知复数z 满足|z |＝1，则|z －1＋3i|的最小值为( )A ．2B ．1C ． 3D ． 2答案 B解析 设z ＝x ＋y i(x ∈R ，y ∈R )，由|z |＝1得x 2＋y 2＝1，又|z －1＋3i|＝x －12＋y ＋32表示定点(1，－3)与圆上任一点(x ，y )间的距离．则由几何意义得|z －1＋3i|min ＝0－12＋[0－－3]2－1＝2－1＝1，故选B.5．(2020·辽宁丹东二模)已知复数z ＝a 2＋1＋i 1－i －ai－1为纯虚数，则实数a ＝( )A ．0B ．±1C ．1D ．－1答案 C解析 ∵z ＝a 2＋1＋i 1－i －ai －1＝a 2＋1＋i 21－i 1＋i－a i i2－1＝a 2－1＋(a ＋1)i 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.故选C.6．(2020·山西大同模拟)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，若z 1＝zz 2，则z 的共轭复数z －＝( )A.12＋32i B ．12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i答案 A解析 由题图可知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋2i －1＋i＝1＋2i －1－i －1＋i－1－i＝1－3i 2，所以z －＝12＋32i.故选A. 7．(2020·广州综合测试)若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3＝( ) A ．±2 2 B ．－2 2 C ．－22i D ．±22i答案 D解析 z 2＋2＝0，即z 2＝－2，解得z ＝±2i.所以z 3＝z ·z 2＝(±2i)·(－2)＝±22i ，故选D.8．(2020·吉林长春质量监测四模)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，下列说法正确的是( )A ．z 的虚部是y iB ．z 2＝|z |2C ．若x ＝0，则复数z 为纯虚数D ．若z 满足|z －i|＝1，则z 在复平面内对应点(x ，y )的轨迹是圆 答案 D解析 z 的实部为x ，虚部为y ，所以A 错误；z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，|z |2＝x 2＋y 2，所以B 错误；当x ＝0，y ＝0时，z 为实数，所以C 错误；由|z －i|＝1得|x ＋y i －i|＝1，所以|x ＋(y －1)i|＝1，所以x 2＋(y －1)2＝1，所以D 正确．故选D.二、填空题9．(2020·河南开封3月模拟)若z ＝1＋2i ，则4iz z －－1＝________. 答案 i 解析4iz z －－1＝4i1＋2i1－2i－1＝i.10．若2－i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则bc ＝________.答案 －20解析 把复数根2－i 代入方程中，得(2－i)2＋b (2－i)＋c ＝0，即3＋2b ＋c －(4＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧3＋2b ＋c ＝0，4＋b ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝5，故bc ＝－20.11．(2020·浙江杭州高三下学期仿真模拟)复数z 满足：z 1＋i＝a －i(其中a >0，i 为虚数单位)，|z |＝10，则a ＝________；复数z 的共轭复数z －在复平面上对应的点在第________象限．答案 2 四 解析 由z 1＋i＝a －i 可得，z ＝(a －i)(1＋i)＝a ＋1＋(a －1)i ，所以|z |＝a ＋12＋a －12＝10，左右同时平方得，a 2＋2a ＋1＋a 2－2a ＋1＝10，所以a 2＝4.又因为a >0，所以a ＝2.所以z ＝3＋i ，z －＝3－i ，所以z －在复平面上对应的点为(3，－1)，位于第四象限．12．定义复数的一种新运算z 1@z 2＝|z 1|＋|z 2|2(等式右边为普通运算)．若复数z ＝x ＋y i ，i 为虚数单位，且实数x ，y 满足x ＋y ＝22，则z －@z 的最小值为________．答案 2解析 z －@z ＝|z －|＋|z |2＝2|z |2＝|z |＝x 2＋y 2.因为x ＋y ＝22，所以z －@z ＝ 2x －22＋4，故当x ＝2时，z －@z 取最小值2. 三、解答题13．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β，且z 1－z 2＝513＋1213i ，求cos(α＋β)的值．解 ∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β， ∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋1213i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝513， ①sin α＋sin β＝1213. ②由①2＋②2，得2－2cos(α＋β)＝1. ∴cos(α＋β)＝12.14．设z ＋1为关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，m ，n ∈R 的虚根，i 为虚数单位． (1)当z ＝－1＋i 时，求m ，n 的值；(2)若n ＝1，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数2＋4i 所对应的点为Q ，试求|PQ |的取值范围．解 (1)因为z ＝－1＋i ，所以z ＋1＝i ， 则i 2＋m i ＋n ＝0，易得⎩⎨⎧m ＝0，n ＝1.(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋1＋b i)2＋m (a ＋1＋b i)＋1＝0，于是⎩⎨⎧a ＋12－b 2＋m a ＋1＋1＝0， ①2a ＋1b ＋mb ＝0， ②因为z ＋1为虚数根，所以b 不为零，所以由②得m ＝－2(a ＋1)，代入①得，(a ＋1)2＋b 2＝1，则点P 是以(－1,0)为圆心，1为半径的圆(去掉b ＝0对应的两点)上任意一点．又复数2＋4i 对应的点为Q ，所以|PQ |的最大值为2＋12＋42＋1＝6，|PQ |的最小值为4.所以|PQ |的取值范围是[4,6]．。
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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复数高考考点解析（文科）
目录
题型1：复数的乘法 .................................................................................................................................................. 1 题型2：复数方程 ...................................................................................................................................................... 1 题型3：复数的概念 .................................................................................................................................................. 2 题型4：复数的几何意义 .......................................................................................................................................... 2 题型5：复数的模 (3)
题型1：复数的乘法
【例1】【2013年高考浙江卷（文）】已知i 是虚数单位，则()()23i i ++=（ ） A ．5-5i B ．7-5i C ．5+5i D ．7+5i
【答案】C
【解析】()()2236555i i i i i ++=++=+。
【练习1】【2013年高考天津卷（文）】i 是虚数单位，复数()()312i i +-=______.
【答案】55i -
【练习2】【2013年高考大纲卷（理）
】()
3
=（ ）
A ．
B ．8
C ．8i -
D ．8i 【答案】A 【练习3】【2013年高考浙江卷（理）】已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i i （ ） A ．i +-3 B ．i 31+-
C ．i 33+-
D ．i +-1
【答案】B
题型2：复数方程
【例2】【2013年高考新课标Ⅱ卷（理）】设复数满足，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】(1)2i z i -=21i z i ⇒=-2(1)
(1)(1)i i i i +=
-+2211
i -=+1i =-+。
【例3】【2013年高考山东卷（理）】若复数z 满足(3)(2)5z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为
（ ）
A ．2i +
B ．2i -
C ．5i +
D ．5i -
【答案】D
【解析】(3)(2)5z i --=532z i ⇒-=
-5(2)
(2)(2)
i i i +=
-+2i =+5z i ⇒=+5z i ⇒=-。
【例4】【2013年高考安徽卷（理）】设i 是虚数单位，_
z 是复数z 的共轭复数，若22z zi z ⋅+=，则z =（ ）
A ．1+i
B ．1i -
C ．1+i -
D ．1-i - 【答案】A
【解析】设z a bi =+，则z a bi =-，因为22z zi z ⋅+=，所以()()22()a bi a bi i a bi +⋅-+=+，解得
1,1a b ==，所以1z i =+。
【练习4】【2013年高考江西卷（理）】已知集合12{}M zi =,
,，i 为虚数单位，}4{3N =，，{4}M N =，
则复数z =（ ）
8-
A ．-2i
B ．2i
C ．-4i
D ．4i
【答案】C 【练习5】【2013年高考天津卷（理）】已知a b R ∈,，i 是虚数单位.若()()1a i i bi ++=，则a b i +
=______. 【答案】12i +
题型3：复数的概念
【例5】【2013年高考新课标1（理）】若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为（ ）
A ．4-
B ．4
5
-
C ．4
D ．
45
【答案】D
【解析】因为(34)|43|i z i -=+|43|34i z i +⇒=-5(34)
(34)(34)i i i +=
-+3455
i =+，所以z 的虚部为45。
【练习6】【2013年高考上海卷（理）】设m R ∈，22
2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 【答案】2m =-
题型4：复数的几何意义
【例6】【2013年高考广东卷（理）】若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）
A ．()2,4
B ．()2,4-
C ．()4,2-
D ．()4,2
【答案】C
【解析】因为24iz i =+2
4z i
⇒=+24i =-+42i =-，所以z 对应的点的坐标是()4,2-。
【练习7】【2013年高考湖南卷（理）】复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【练习8】【2013年高考湖北卷（理）】在复平面内，复数21i
z i
=
+(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D 【练习9】【2013年高考四川卷（理）】如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图
中表示z 的共轭复数的点是（ ） A ．A B ．B C ．C D ．D 【答案】B
【练习10】【2013年高考福建卷（理）】已知复数z 的共轭复数12z i =+(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【练习11】【2013年高考北京卷（理）】在复平面内，复数()2
2i -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D
题型5：复数的模
【例7】【2013年高考辽宁卷（理）】复数的1
1
z i =
-模为（ ） A ．
12
B
．
2
C
D ．2
【答案】B
【解析】11z i =-1
(1)(1)i i i +=
-+1122i =+，11||||22z i =
+2
==。
【练习12】【2013年高考上海卷(理)】复数23i +(i 是虚数单位)的模是_______________
【练习13】【2013年高考重庆卷（理）】已知复数(是虚数单位)，则
【练习14】【2013年高考江苏卷（理）】设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为_________.
【答案】5
512i
z i
=+i _________z =。