切比雪夫不等式思考题及练习题ppt
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设Xα（α >0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：
任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：
所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫定理的这一推论，使我们关于算术平均值的法则有了
理论根据．设测量某一物理量a，在条件不变的情况下重复测量n次，得到的结果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，这些测量结果可看作是n个独立随机变量X1，X2，…，Xn的试验数值，并且有同一数学期望a。
于是，按大数定理j可知，当n足够大时，下式成立，即切比雪夫定理
设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，数学期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)<C(i=l，2，…)，则对任意给定的ε>0。
概率论与数理统计51切比雪夫不等式和大数定律课件
目录
• 切比雪夫不等式 • 大数定律 • 切比雪夫不等式与大数定律的联系 • 案例分析 • 习题与解答
01
切比夫不等式
Chapter
切比雪夫不等式简介
01
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它提供了在一定条件下，一个随 机变量的概率分布的上界和下界。
注意事项
使用切比雪夫不等式时，应注意其适用条件，特 别是随机变量的方差必须存在。
大数定律
要点一
总结词
大数定律描述了当试验次数趋于无穷时，随机事件的相对 频率趋于其概率的规律。
要点二
详细描述
大数定律表明，当试验次数n趋于无穷时，随机事件的相 对频率将以概率收敛于该事件的概率。具体来说，对于任 意小的正数ε，有$lim_{n to infty} P(| frac{X_n}{n} - p| < varepsilon) = 1$，其中$X_n$是n次试验中事件A发生的 次数，p是事件A的概率。
切比雪夫不等式的限制
虽然切比雪夫不等式在许多情况下都 很有用，但它也有一些限制。例如， 当随机变量的分布不是对称的或者偏 斜度较大时，切比雪夫不等式的估计 可能会不准确。
VS
因此，在使用切比雪夫不等式时，需 要考虑到这些限制，并根据具体情况 进行适当的调整和修正。
02
大数定律
Chapter
大数定律的定义
大数定律
定义
大数定律是指在独立同分布随机变量 序列中，当样本量趋于无穷大时，样 本均值的概率分布趋近于真实均值。
应用
大数定律在统计学中有着重要的应用 ，例如在样本均值的分布、置信区间 估计和假设检验等领域。
切比雪夫不等式与大数定律的联系
切比雪夫不等式练习题
切比雪夫不等式练习题第一章习题一1.4证由切比雪夫不等式及E|?|?0P?1?P?1?nE|?|?1故P?P?limP?1。
n?1n由切比雪夫不等式P?E|?|/n及E|?|??，得P?P与有相同的n阶自协方差矩阵。
故由平稳序列{Xt}的n阶自协方差矩阵退化知，对任给整数k?1，存在非零实向量b?使得 var[Tn?k?1i?k?{|?|?n})?limP?0。
n?1nbi?k?1]?0。
不妨假设bn?0，则有对任给整数k?1，Xn?k可由Xk,Xk?1,?,Xn?k?1线性表出。
对m?n?1，Xn可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，Xn?1可由X2,X2,?,Xn线性表出，故Xn?1可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
假设对所有n?m?n?k，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
则对m?n?k?1，由于Xn?k?1可由Xk?1,Xk?2,?,Xn?k线性表出，由假设，Xn?k?1也可由X1,X2,?,Xn?1线性表出。
根据，，对任何m?n，Xm可由X1,X2,?,Xn?1线性表出，即存在常数a0,a1,?,an?1，使得Xm?a0??aiXn?i,i?1n?1a.s.。
习题四 .3解显然服从二维正态分布，且EXt?EXs?0。
记t?12k?l,s?12m?n,其中0?l?11,0?n?11，则Xt12i?l,Xs12j?n，这里?0?0。
i?0j?0km由于{?t}是正态白噪声WN，故当l?n，即t?s时， ?t,s?cov?0；当l?n?0，即t?s,t?12k 时， ?t,s?cov?min?2?[min2]?； 1212),t?12k时，当l?n?0，即t?s?min?所以2?]?1)?2。
12t,tt,s?~N，其中??T,Σ。
?s,s??t,s??第二章习题二1X2. tt?t?1,Xt??t?a?t?1习题三3. 提示：当{Xt}与{Yt}的特征多项式满足A?B时，是AR序列。
切比雪夫定理不等式45页PPT
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
切比雪夫定理不等式
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
5-1切比雪夫不等式
4n(n 1)(2n 1) 2 2(2n 1) 2 2 2 3n(n 1) 6n (n 1)
从而对任意给定的 0，由切比谢夫不等式得
D( Yn ) 0 P{| Yn | } 2
2(2n 1) 2 0 2 3n(n 1)
(n )
因此Yn .
P
四、小结
伯努利大数定理 四个大数定理 泊松大数定理 辛钦定理
契比雪夫大数定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
第 五 章
大 数 定 律 和 中 心 极 限 定 理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种: 大数定律 与 中心极限定理
1 n 则 对 于 任 意 正 数, 有 limP X k 0. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理5.1相比, 不要求方差存在; (2) 贝努利定理是辛钦定理的特殊情况.
例如要估计某地区的平均亩产量，要 收割某些有代表性的地块，例如n 块. 计 算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它 作为整个地区平均亩产量的一个估计.
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
定理5.2（贝努利大数定理）
伯努利
设 A 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件发 生 A 的 次 数 p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 率, , 概 则 对 于 任 意 正 数 0, 有 A A l i mP p 0 或 l i mP p 1. n n n n
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机，在系统运行期间，每台交切比雪夫不等式的习题…求解答一通讯系统拥有50台相互独立起作用的交换机，在系统运行期间，每台交换机能清晰接收信号的概率为0.90，系统工作时，要求能清晰接收信号的交换机至少40台。
估计该通信系统能正常工作的概率。
求用切比雪夫不等式解答…蟹蟹
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X 是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设X α（α>0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望。
切比雪夫不等式例题
切比雪夫不等式例题
切比雪夫定理（chebyshev's theorem；切比雪夫不等式），内容为设X 是一个随机变数取区间（0，∞）上的值，F(x)是它的分布函数，设X α（α>0）的数学期望M(Xα)存在，a>0，则不等式成立。
1公式提出编辑19世纪俄国数学家切比雪夫研究统计规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，这个不等式具有普遍的意义，被称作切比雪夫定理，其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1－1/m2，其中m为大于1的任意正数。
对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。
所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。
所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。
2基本内容编辑切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件概率作出估计。
基本定理设随机变量X具有数学期望，方差则对任意正数ε，不等式或成立。
注意：应用切比雪夫不等式必须满足E(X)和D(X)存在且有限这一条件。
若对于任意的ε>O，当n很大时，事件“”的概率接近于1，则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于a。
正因为是概率，所以不排除小概率事件“”发生。
所以，依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法，记为。
专题06 切比雪夫函数(解析版)
专题06 切比雪夫函数一．考情分析纵观近几年的高考真题，出现了一类题目。
看似是一道有关二次函数的题目；二次函数的定义域和值域相同。
大多数学生或老师，第一眼看过去，以为是定轴动区间或定区间动轴的问题，然后就进入讨论的误区。
深入讨论，就会发现，计算复杂，讨论纷扰。
最后就是不了了之。
然后，再次审视题目，就会发现我们陷入误区。
切比雪夫函数或切比雪夫不等式，在此时的应用，就可以让我们秒解这类题目。
数学的学习，就是要学习数学，领悟数学，秒杀数学。
二．经验分享1.切比雪夫不等式①马尔科夫不等式：()(),(X 0)E X P X αα≥≤≥；②切比雪夫不等式是马尔科夫不等式的特殊情况：()21|X |k P k μσ-≥≤()0,k μσ>其中是期望，是标准差. 2. 切比雪夫函数与切比雪夫不等式的意义马尔科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等数学中学习的内容，是概率与统计学中的一个定理。
主要意思：事情的大多会集中在平均值附近或者事情的发生大多在平均值上的概率最大。
也就说，马尔科夫不等式或者切比雪夫不等式只是对概率的一个估计，既然是估计，就有可能正确，也有可能不正确。
但是按照这两个不等式来看，在概率学的角度上。
发生的概率是最大。
但在高中数学学习初等函数，用这个两个不等式解题，就会有出奇制胜，秒杀的快感。
三、题型分析（一）切比雪夫函数的巧解 例 1.已知函数()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是 ． 【传统解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：()()R b a b a x x x f ∈++=,|-|212，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤ 对称轴为压轴，所以[]1,1a x =∈-，()()R b a b x x f ∈,2+=， 当1x =±，|(1)|=|1+b|1f ±≤,故此次1,b =-12a b +的最大值()111+122⨯-=- 【变式训练】已知函数)0()-2()(2>++=m n x m mx x f ，若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，则)32(f =【切比雪夫不等式解法】【解析】根据切比雪夫不等式：若[]1,1x ∈-时，()1f x ≤恒成立，也就是对称轴应该是0x =；2=02mx m-=-，解之得：m 2=，2(x)2x f n =+,故此|(1)||2n |1f =+≤恒成立； 故此1n =-,所以2(x)2x 1f =-.91-)32(=∴f .（二）其他类型函数的例2．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤，可得()2222364233a t t -≤++-≤，即()22436433a t t ≤++≤，由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【变式训练1】 【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)数学】已知函数()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， ()22g x x x =--，设b 为实数，若存在实数a ，使得()()2g b f a +=成立，则b 的取值范围为A ．[]1,2-B ．37,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3,42⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A【解析】因为()211,02,0x x x f x xx +⎧+-<⎪=⎨⎪≥⎩， 所以当0x ≥时，()12x f x +=单调递增，故()122x f x +=≥；当0x <时，()()21112x f x x x x x x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x-=-，即1x =-时，取等号，【变式训2】【高2017级资阳市高三第二次诊断性考试理科数学，12题】已知直线2y x =与曲线(x)ln(ax b)f =+相切，则ab 的最大值为（ ）A.4e B.2eC.eD.2e【答案】C【解析】由题意得：设切点为00(x ,y )A ，因为切点既在直线2y x =上，也在曲线(x)ln(ax b)f =+上，所以得到：002x ln(ax b)=+①；同时求导：'2y =和'ay ax b=+，切点在00(x ,y )A ，故此02a ax b =+②；联立①②得：01ln 22a x ⎛⎫=⎪⎝⎭再带入②整理得：1ln 222a aa b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简：22ln ln 222222a a a a a a b ab ⎛⎫⎛⎫=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0a >； 构造函数22(x)ln(),(x 0)222x x x H =->，'1(x)ln ,(x 0)22x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭ 故当(0,2x e ∈，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递增； 当()2,x e ∈+∞，'1(x)ln 022x H x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22(x)ln()222x x x H =-是单调递减。