切比雪夫不等式切比雪夫不等式
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式切比雪夫不等式是数学中的一种重要的不等式，它是由俄罗斯数学家切比雪夫（Chebyshev）在19世纪末提出的。
它在概率论、统计学、数论等领域都有广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫不等式的定义、证明、以及应用实例。
一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是概率论中的一种不等式，它描述了随机变量与其期望值之间的关系。
假设X是一个随机变量，其期望值为μ，方差为σ^2，则对于任意大于0的k，切比雪夫不等式可以表示为：P(|X-μ| ≥ kσ) ≤ 1/k^2其中，P表示概率，|X-μ|表示X与μ的差的绝对值，kσ表示标准差的k倍。
二、切比雪夫不等式的证明切比雪夫不等式的证明可以通过马太郎夫不等式（Markov's inequality）来完成。
根据马太郎夫不等式，对于任意一个非负的随机变量Y和大于0的a，有以下不等式成立：P(Y ≥ a) ≤ E(Y)/a其中，E(Y)表示随机变量Y的期望值。
我们可以将切比雪夫不等式的右边改写为P(|X-μ|^2 ≥ k^2σ^2)。
由于方差的定义为σ^2 = E((X-μ)^2)，我们可以将其代入，得到：P((X-μ)^2 ≥ k^2σ^2) ≤ E((X-μ)^2)/(k^2σ^2)化简可得：P(|X-μ|^2 ≥ k^2σ^2) ≤ 1/k^2再引入开方运算，即可得到切比雪夫不等式。
三、切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
以下简要介绍几个例子。
1. 样本估计切比雪夫不等式可以用于样本估计。
在统计学中，我们经常需要根据一部分样本数据来估计总体的参数。
切比雪夫不等式可以帮助我们估计一个随机变量离其期望值的距离有多远。
2. 异常检测在异常检测中，我们需要判断一个数据点是否是异常值。
利用切比雪夫不等式，我们可以根据样本数据的均值和方差，估计一个数据点离期望值的距离，从而判断是否为异常。
3. 统计推断切比雪夫不等式可以用于统计推断。
第45讲 切比雪夫不等式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式1第五章大数定律及中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式3第五章大数定律及中心极限定理§0切比雪夫不等式§1 大数定律§2中心极限定理四川大学第45讲切比雪夫不等式4§5.0 切比雪夫不等式四川大学第45讲切比雪夫不等式5第45讲切比雪夫不等式四川大学牟尼沟四川大学第45讲切比雪夫不等式6切比雪夫(1821~1894)ЧебышёвChebyshev俄罗斯数学家、力学家。
他一生发表了70多篇科学论文，内容涉及数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面。
他证明了贝尔特兰公式，自然数列中素数分布的定理，大数定律的一般公式以及中心极限定理。
四川大学第45讲切比雪夫不等式15例子四川大学第45讲切比雪夫不等式16-四川大学第45讲切比雪夫不等式24例5 证明方差的性质4 ( 教材103页(第41讲) )：设()0{()}1D X P XE X =⇔==证充分性（教材103页）{()}1P X E X ==则22[()]{}1P X E X ==2()X 2]E X=⨯2[()]E X =22()()[()]D X E X E X =-0=四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式26例6 设某电网有10000盏电灯，夜间每一盏灯开灯的概率都是0.7。
假设电灯开、关时间彼此独立，试估计夜晚同时开着的电灯数在6800与7200盏之间的概率。
解用X 表示在夜晚开着的电灯的盏数，则X 服从参数n =10000, p =0.7的二项分布。
(k =0, 1, …, n ){}P X k =(1)kk n k n C p p -=-{68007200}P X <<100007199100006801(0.7)(0.3)k k k k C -==∑计算量太大。
下面用切比雪夫不等式估计概率四川大学四川大学四川大学第45讲切比雪夫不等式28例7 一机床加工长为50cm 的零件，由于随机扰动，零件长度有一定误差。
3-8切比雪夫不等式
概率论与数理统计教程（第四版）
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
[例] 从某工厂生产的产品中任取 200 件来检查， 是否相信该工厂的产品 结果发现其中有 6 件次品， 的次品率 p ≤ 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p ≤ 1%, 则检查 200 件产品 发现其中次品数 X ≥ 6的概率
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
小结
D X) ( [ 1. 切比雪夫不等式： P X −E(X) ≥ε] ≤ 2 .
2. 大数定律及其含义. 3. 小概率事件的实际不可能性原理. .
ε
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
D X) ( ≥1− 2 .
ε
切比雪夫不等式给出了离差与方差的关系， 可用它 注： 来估计 [ X − E ( X ) < ε ] 的概率.
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§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
2.大数定律 .
[定义 对随机变量序列 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯, 若存在 定义] 定义 常数 a , 使得对于任意的 正数 ε ,
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第三章 随机变量的数字特征
§3.8 切比雪夫不等式与大数定律
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系 列定理统称为大数定律.
切比雪夫不等式
不等式的其它形式
例1 估计
的概率
解
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。
≤
| x− |≥
∫ε µ
1
2
|x − µ |
2
ε
2
f ( x)dx
2
≤∫
|x − µ |2
≤
ε
∫ (x − µ)
f ( x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f ( x)dx
2
是 于 P{| X − µ |< ε} ≥ 1−σ / ε
2
2
P{| X − µ |≥ ε } ≤ σ 2 / ε 2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε
2 2
称此式为切比晓夫不等式. 称此式为切比晓夫不等式.
P{| X − µ |≥ ε } ≤σ 2 / ε 2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε
2
2
证明：设X为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x). 证明： 为连续性（离散型类似），其密度为 ），
P{| X − µ |≥ ε }
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 EX = µ, 方 DX = σ 2 差 对任意 ε > 0 , 不等式
P{| X − µ |≥ ε } ≤ σ 2 / ε 2
或 成立， P{| X − µ |< ε } ≥ 1−σ / ε 成立，
两个随机变量切比雪夫不等式
两个随机变量切比雪夫不等式（实用版）目录1.切比雪夫不等式的定义和背景2.切比雪夫不等式的应用3.切比雪夫不等式的举例说明正文【1.切比雪夫不等式的定义和背景】切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种概率论中的基本不等式，用于估计一个随机变量的偏差。
切比雪夫不等式可以告诉我们，在给定的概率分布下，某个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。
这个不等式的名字来源于 19 世纪俄国数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）。
设随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ，则切比雪夫不等式可以表示为：P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k其中，k 为常数，称为切比雪夫常数。
【2.切比雪夫不等式的应用】切比雪夫不等式在概率论和统计学中有广泛应用，例如：- 估计随机变量的偏差：切比雪夫不等式可以用来估计一个随机变量的取值偏离其数学期望的程度。
- 风险管理：在金融领域，切比雪夫不等式可以用来估计投资组合的风险，帮助投资者制定合理的风险管理策略。
- 统计推断：在统计学中，切比雪夫不等式可以用来估计样本均值的置信区间，从而对总体均值进行估计。
【3.切比雪夫不等式的举例说明】假设有一个随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，数学期望为μ，方差为σ。
现在我们想要知道，在给定的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度。
根据切比雪夫不等式，我们可以计算出切比雪夫常数 k，然后得到 X 的取值偏离μ的置信区间。
例如，若置信水平为 95%，则 k=1.96（查表可得）。
假设我们要估计 X 的取值偏离μ的程度，可以计算：P(|X - μ| ≥ 1.96σ) ≤ 1/(1.96) = 0.05这意味着，在 95% 的置信水平下，X 的取值偏离μ的程度不会超过1.96σ。
切比雪夫不等式公式
切比雪夫不等式公式
《切比雪夫不等式公式》是数学中一个非常重要的概念，它可以用来分析和证明各种概率论和统计学问题。
切比雪夫不等式是由十九世纪波兰数学家Joseph Chebyshev于1867年提出的。
他的本意是为了证明概率中的概率均匀性，即每一个样本都有相同的概率出现。
在数学上，切比雪夫不等式公式定义如下：若在一组数的样本中，P(X>a)>=1/k^2，其中a为所有数的平均值，k为样本中最大值减去最小值的值，即k=max(X)-min(X)；则该样本中至少有1/k^2个值大于a。
切比雪夫不等式非常有用，可用于多种应用。
在概率论和统计学中，它可以用来证明概率的均匀性，即所有样本的概率值的分布应该是均匀的。
基于切比雪夫不等式的定义，可以推导出概率分布中的概率值与其均值的相对差距不应大于1/k^2，从而证实了概率均匀性的原理。
此外，切比雪夫不等式还可以用于数学分析中证明几何图形的性质。
例如，当我们想要对正多边形的边求和，我们可以使用切比雪夫不等式来证明正多边形有多少条边。
除了应用于数学分析，切比雪夫不等式还可以用于实际工程中的计算，特别是在预测分析中。
例如，能够使用切比雪夫不等式来计算生产过程中机器的缺陷比例，从而对缺陷进行估计，并有效地使用质量控制的方法来改善生产过程。
总之，切比雪夫不等式是数学中一个重要的概念，它可以用来证
明概率均匀性，分析几何图形，以及用于实际工程计算中。
它可以极大地提高我们对数学知识的理解，并且在实际应用中也有着重要的作用。
概率论与数理统计 五大数定理
[注]： X n P → a 注： 推论(辛钦大数定律) 推论(辛钦大数定律)
X n − a P → 0
设独立随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 服从同一分布 并且有数学 服从同一分布, 期望 µ 及方差 σ 2， X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 的算术平均值当 n → ∞ 则 时，按概率收敛于µ， 即对于任何正数 ε，恒有 按概率收敛于 ，
第五章 大数定理与中心极限定理
“大数定律”: 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理 大数定律” 用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理. 大数定律
一、切比雪夫不等式
切比雪夫不等式: 切比雪夫不等式: 设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX， ， 下列不等式成立： 则对于任何正数 则对于任何正数 ε，下列不等式成立：
2 i
n
则：E(Yn ) =
2 µi , D(Yn ) = ∑σi2 = sn . ∑
n i =1
n
i =1
i =1
∴ Z n = Yn
1 = sn
∗
n Y n − EY n 1 n = = ∑ X i − ∑ µ i sn i =1 DY n i =1
∑ (X
i =1
n
i
− µ i ), 则有：E ( Z n ) = 0 , D ( Z n ) = 1 . 则有：
概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定 随机变量的和的极限分布是正态分布 是独立随机变量， 设 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅ , X n ,⋅ ⋅ ⋅ 是独立随机变量，并各有
EX i = µ i , DXi = σ , i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n,⋅ ⋅ ⋅. 设 n = ∑Xi , Y
5.1 切比雪夫不等式
DX
2
切比谢夫不等式给出了随机变量落在以期望 EX 为中心的对称区间（ EX , EX ）之外（以内） 的概率的上（下）界．
例1
若 DX 0 ，试证 P ( X EX ) 1 ．
证 由切比谢夫不等式知， 对于任意的 0 均有
P ( X EX )
5.1
切比谢夫不等式
切比谢夫不等式
一、切比谢夫不等式
定理1 设随机变量 X 的方差存在， 则对任意的 0 有 P ( X EX ) 证
DX
2
如果 X 是连续型随机变量， ~ p( x ) ，则 X
P ( X EX )
1
x EX
p( x )dx
EX np 200 0.5 100, DX npq 200 0.5 0.5 50 P (80 X 120 ) P ( X 100 20)
50 1 2 0.875. 20
x EX
( x EX )2
2
p( x )dx
DX
( x EX ) p( x )dx 2
2 2
当 X 是离散型随机变量，只需将上述证明中的概率 密度换成分布列，积分号换成求和号即可． 切比谢夫不等式可写成如下形式
P ( X EX ) 1
即 因此
DX
2
0
P ( X EX ) 0
P ( X EX ) 0 P ( X EX ) 1
即
例2 200个新生婴儿中，估计男孩多于80个且少于120
个的概率（假定生男孩和女孩的概率均为0.5）． 解 设 X 表示男孩个数，则 X ~ B( 200,0.5). 用切比谢夫不等式估计：
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或
P X 1 Xi (n ) n i 1 n
辛钦大数定律以严格的数学形式表明：当 n无限增大 时, 独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的期
望. 这为数理统计的矩估计奠定了理论基础.
概率统计（ZYH）
概率统计（ZYH）
6.1 大数定律
定理1 （切比雪夫大数定律） 设X1, X2, … 相互独立且 分别有数学期望EXi 及有公共上界的方差 DX i K (k 1,2, ) 1 n 作算术平均值 Yn X i ,则 对 0, 有 n i 1 lim P Yn EYn 1 n 或
2
1
K n 2
如果把定理1中的Xi看成 n重伯努利试验中第 i 次试验 时A发生的次数（即Xi 服从0-1分布）并记 P(A)=p, 则 1 n nA EX i p, DX i p(1 p) , Yn X k , EYn p n k 1 n
于是定理1可表现为如下的定理 2的形式
证 EX 0
EX 2
0
x n1 x xn x x e dx e n! n!
0
( n 1)
0
xn x e d x n1 n!
n n 2 n1 x x x x 2 e x d x e x 0 ( n 2) e x d x ( n 1)( n 2) 0 n! n! n!
P X EX DX （切比雪夫不等式）
2
或
P X EX 1
DX
2
（切比雪夫不等式）
2
证（只就连续型证明）设密度为 f (x), 则有
P X EX
概率统计（ZYH）
x EX
f( x ) d x
概率统计（ZYH）
定理1的证明 这时,对任意的正整数n, 有
1 n 1 EYn EX i，DYn 2 n i 1 n
D比雪夫不等式知,对 0, 有
P Yn EYn 1 DYn
P Yn EYn 1，这就证明了定理1 令n , 即知 lim n
所以 DX EX 2 ( EX )2 ( n 2)( n 1) ( n 1)2 n 1 从而 P {0 X 2( n 1)} P {| X EX | n 1}
n1 n 1 (这里 n 1) 2 ( n 1) n1
化定义提供了理论支持.
概率统计（ZYH）
由伯努利大数定律可知，如果事件A的概率很小, 则事 件A发生的频率也很小 . 因此, 在实际问题中我们常采用
实际推断原理（小概率事件的实际不可能原理）
概率很小的事件在个别试验中几乎是不会发生的
概率很大的事件在个别试验中几乎一定会发生
如果概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，那 我们就有理由怀疑“概率很小”这一假定的正确性． 当然,无论事件概率多么小, 总是可能发生的. 因此, 所谓小概率事件的实际不可能原理仅仅适用于个别的或 次数极少的试验, 当试验次数较多时就不适用了．
节目录
第六章 大数定律与中心极限定理
6.1 大数定律
6.2 中心极限定理
概率统计（ZYH）
本章理论： 大量客观现象
大数定律 中心 极限 定理
随机事件频率的稳定性 大量测量
抽象
公理化体系
值的算术
平均值也 是稳定的
随机事件的概率
基础
大量随机
变量服从
正态分布
概率论的结论 (前5章)
为数理统计 奠定基础
数理统计
概率统计（ZYH）
定理2 （伯努利大数定律） 设nA是n重伯努利试验中A 发生的次数, p=P(A), 则对 0, 有
nA limP p 1 n n
或
nA P n p ( n ) (称频率 A 依概率收敛于p) n n
伯努利大数定律以严格的数学形式表明：当试验在不 变的条件下重复进行很多次时, 事件的频率稳定于它的概率. 因此, 在实际应用中可用频率代替概率 . 这也为概率的公理
概率统计（ZYH）
大数定律 是概率论中用来阐明大量随机现象平均结果 稳定性和事件频率稳定性的一系列定理, 条件较弱的还有 定理 3 （辛钦大数定律）设随机变量序列 {Xn} 相互独 立, 服从同一分布, 且 E( Xn )= , 则对任意的ε>0 , 有
1 n lim P X i 1 n n i 1
P Yn EYn 0 (n ) (称Yn EYn 依概率收敛于0)
1 n 其中 EYn EX i n i 1
切比雪夫大数定律以严格的数学形式表明：随着n的增 大, 大量随机变量的算术平均值Yn稳定于它的期望值EYn
概率统计（ZYH）
为了证明切比雪夫定理，先证明切比雪夫不等式： 引理1 （切比雪夫不等式）设随机变量 X 有数学期望EX 及方差DX, 则 对 0, 有
x EX
x EX
2
f ( x) d x
1
2
( x EX )2 f ( x ) d x
DX
2
xn x e , x 0, f ( x ) 用切比雪夫不等式证明 n! 例1 设X~ 0 , x 0,
n P{0 X 2( n 1)} n1