利用切比雪夫不等式估计
切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式估计概率引言在概率论中，切比雪夫不等式是一种用于估计随机变量偏离其均值的可能程度的工具。
它是由俄罗斯数学家切比雪夫在19世纪末提出的，被广泛应用于统计学、机器学习和数据分析等领域。
切比雪夫不等式的核心思想是通过测量随机变量与其均值之间的差异，来估计随机变量落在某个范围内的概率。
该不等式提供了一个上界，使我们能够以较小的信息量对概率进行估计。
本文将详细介绍切比雪夫不等式的原理和应用，并通过实例演示如何使用切比雪夫不等式来估计概率。
切比雪夫不等式原理假设X是一个随机变量，E(X)表示X的期望值（均值），Var(X)表示X的方差。
根据切比雪夫不等式，对于任意正数ε（ε > 0），有以下不等式成立：P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^2换句话说，随机变量X偏离其期望值E(X)超过ε的概率不会超过Var(X)/ε^2。
切比雪夫不等式的推导过程相对简单，这里不再详述。
需要注意的是，切比雪夫不等式是一个上界估计，给出了随机变量落在某个范围内的概率的最大可能值。
切比雪夫不等式应用切比雪夫不等式在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 数据分析与异常检测在数据分析中，我们经常需要评估数据点与其均值之间的偏差程度。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计数据点落在某个范围内的概率，并进一步判断是否存在异常值。
例如，假设我们有一组电子商务网站用户的购物金额数据。
我们可以计算该数据集的均值和方差，并使用切比雪夫不等式来估计购物金额高于平均值两倍标准差的概率。
如果这个概率很小，我们可以将这些高额购物金额视为异常值。
2. 统计推断与抽样在统计推断中，我们经常需要对总体参数进行估计。
通过使用切比雪夫不等式，我们可以估计总体参数落在某个范围内的概率，并计算置信区间。
例如，假设我们想要估计一组学生的平均身高。
我们可以从这组学生中随机抽取一部分样本，并通过样本均值和样本方差来估计总体均值和总体方差。
习题五
习题五 大数定律与中心极限定理一、填空题1．设随机变量~[0,1]X U ，由切比雪夫不等式可得(12P X -≥≤ 0.25 ； 2．设()1,()4,E X D X ==则由契比雪夫不等式有(57)P X -<<=98； 3．设12,,...,,...n X X X 是相互独立的随机变量序列，且2(),()0i i E X D X μσ==≠(1,2,...)i =，则对10,lim ()ni n i P X n εμε→∞=∀>-≥=∑ 0 ；4．设随机变量,X Y ，已知()2,()2,()1,()4,0.5,E X E Y D X D Y ρ=-====- 则由契比雪夫不等式有(6)P X Y +≥≤ 1/12 ；5．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均是7300，标准差是700。
利用契比雪夫不等式估计每毫升血液中的白细胞数在5200至9400之间的概率p =98； 6．设n ξ是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，p 为A 在每次试验中出现的概率，则对0,lim ()nn P p nξεε→∞>-≥= 0 ；7．假设某一年龄女童的平均身高为130厘米，标准差是8厘米。
现在从该年 龄段的女童中随机地选取五名儿童测其身高，估计它们的平均身高在120至140 厘米的概率为259改； 8．设12,,...,,...n X X X 是相互独立的随机变量序列，且都在[-1,1]服从均匀分布，则1lim (ni n i P X →∞=≤=∑0.5改；二、选择题1．设随机变量X 的方差()D X 存在，0a >，则()(1)X E X P a->≤（ C ）A ．()D X B. 1 C.2()D X aD. 2()a D X . 2. 设(),()E X D X 都存在,则对于任意实数,()a b a b >,可以用契比雪夫不等式估计出概率( D ).A ．()P a X b << B. (())P a X E X b <-<C. ()P a X a <<D. ()P X b a ≥-3. 设随机变量2~(,)X N μσ，随σ的增大()P X μσ-<（ C ）A ．单调增大 B. 单调减小 C. 保持不变 D. 增减不变. 4．设随机变量X 的方差存在，并且满足不等式2(()3)9P X E X -≥≤，则一定有（ D ）A ．()2D X = B. 7(()3)9P X E X -<<C. ()2D X ≠D. 7(()3)9P X E X -<≥5．设X 为连续型随机变量，且方差存在，则对任意常数C 和0ε>，必有（ C ）A ．()E X CP X C εε--≥=B. ()E X CP X C εε--≥≥C. ()E X CP X C εε--≥≤D. 2()E X CP X C εε--≥≤6. 已知129,,...,X X X 是独立同分布的随机变量序列，且()1,()1,i i E X D X ==则对0,ε∀>下列式子成立的是（ B 改 ）A ．921(1)1i i P X εε=-<≥-∑ B ．9211(1)19i i P X εε-=-<≥-∑C ．921(1)1i i P X εε-=-<≥-∑ D ．9211(1)19i i P X εε-=-<≥-∑D 改291911)191(-=-≥<-∑εεi i X P7．已知121000,,...,X X X 是独立同分布的随机变量，且~(1,)(1,...,1000)i X B p i =则下列不正确的是（ C ）A ．1000111000i i X p =≈∑ B ．10001~(1000,)i i X B p =∑ C.10001()()()i i P a X b b a φφ=<<≈-∑D．10001()i i P a X b φφ=<<≈-∑8．设 12,,...,n X X X 相互独立，12,...,n n S X X X =+++，则根据列维——林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要12,,...,n X X X （ B ）A ．有相同的数学期望 B. 有相同分布C. 服从同一指数分布D. 服从同一离散型分布.三、解答题1．每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为1.5 ，求在100次 射击中有180到达220发炮弹命中目标的概率． 解：设X 为在100次射击中炮弹命中目标的次数 由林德伯格—列维定理知)1,0(~5.11002100N X ⨯⨯-)5.110021002205.110021005.11002100180()220180(⨯⨯-<⨯⨯-<⨯⨯-=<<X P X P )63.15.1100210063.1(<⨯⨯-<-=X P 1)63.1(2)63.1()63.1(-Φ=-Φ-Φ=0.89682．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件 能正常工作的概率为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件正常工作，求整个系统能正常运行的概率． 解：设X 为正常工作的部件数 由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理知)85(≥X P )1.09.01009.0100851.09.01009.0100(⨯⨯⨯-≥⨯⨯⨯-=X P -=1)1.09.01009.0100851.09.01009.0100(⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-X P )35(1-Φ-=)35(Φ==0.95153．设有 30 个同类型的某电子器件1230,,...,X X X ，若(1,...,30)i X i =的寿命服从参数为0.1λ=的指数分布，令T 为 30 个器件正常使用的总计时间，求(350)P T >解：由林德伯格—列维定理知(350)P T >=)10030300350100301030(⨯->⨯⨯-T P =)30/53010300(1≤--T P =)30/5(1Φ-=0.18144．在天平上重复称量一重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N μ，若以n X 表示n 次称量结果的平均值，问n 至少取多大，使得(0.1)0.5n P X μ-≥<．解：由林德伯格—列维定理知(0.1)0.5n P X μ-≥< 5.0)/2.01.0/2.0(___<≥-nnX P n μ5.0)/2.01.0/2.0(1___<≤--nnX P n μ[])/2.01.0()/2.01.0(1nn -Φ-Φ-=)/21(22n Φ-5.0< 2≥n5．某单位设置一电话总机，共有 200 门电话分机，每门电话分机有 5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用． 解：用X 表示200个分机中同时需要使用外线的台数。
概率论与数理统计课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)3040303020()4020(-<-<-=<<X P X P )103010(<-<-=X P )1030(<-=X P 709.0101.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有100)(=X E ，50)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)10012010010080()12080(-<-<-=<<X P X P )2010020(<-<-=X P )20100(<-=X P 87205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X P ．解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则61)(==k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，1235)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，故有14)(=X E ，335)(=X D ．由切比雪夫不等式，得)1418141410()1810(-<-<-=<<X P X P )4144(<-<-=X P )414(<-=X P 271.0433512=-≥．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g ，标准差为10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率．解：设i X 为一袋袋装茶叶的净重，X 为一盒茶叶的净重，由题可知∑==2001i i X X ，100)(=i X E ，100)(=i X D ，200,,2,1 =i ．因为1X ，2X ，…，200X 相互独立，则20000)()(2001==∑=i i X E X E ，20000)()(2001==∑=i i X D X D ．)()(20500)()(()20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)1020020000205001020020000(⋅->⋅-=X P )2251020020000(>⋅-=X P 由独立同分布的中心极限定理，1020020000⋅-X 近似地服从)1,0(N ，于是0002.0)5.3(1)2251020020000(=Φ-≈>⋅-X P ．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m ．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设X 为100根木桩中短于3m 的根数，则由题可知X ～)2.0,100(B ，有20)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率．解：设i X 为第i 只电器元件的寿命，由题可知i X ～)01.0(E ，16,,2,1 =i ，且1X ，2X ，…，16X 相互独立，则100)(=i X E ，10000)(=i X D ．记∑==161i i X X ，则1600)()(161==∑=i i X E X E ，160000)()(161==∑=i i X D X D ．))()(1920)()(()1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ，由独立同分布的中心极限定理，4001600-X 近似地服从)1,0(N ，于是2119.0)8.0(1)8.04001600(=Φ-=>-X P ．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--⨯⨯-上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．解：设i X 为每个数值的误差，则i X ～)105,105(55--⨯⨯-U ，有0)(=i X E ，1210)(8-=i X D ，1200,,2,1 =i ．从而0)()(12001==∑=i i X E X E ，61200110)()(-===∑i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，X 近似地服从)10,0(6-N ，于是)03.0(<X P ))()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=12101200003.0121012000(44--⋅-≤⋅-=X P 9974.01)3(2=-Φ=．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数，(1)由题可知X ～)8.0,100(B ，则80)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=．(2)由题可知X ～)7.0,100(B ，则70)(=X E ，21)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 217075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=．8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X678910P 05.005.01.03.05.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？(2)超过950环的概率是多少？解：设X 为100次射击中所得的环数，i X 为第i 次射击的环数，则∑==1001i i X X ，15.9)(=i X E ，95.84)(2=i X E ，2275.1)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，100,,2,1 =i ．由1X ，2X ，…，100X 相互独立，得915)()(1001==∑=i i X E X E ，75.122)()(1001==∑=i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，75.122915-X 近似地服从)1,0(N ，于是(1))930900(≤≤X P ))()(930)()()()(900(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=75.12291593075.12291575.122915900(-≤-≤-=X P )75.1221575.122915(≤-=X P 823.01)35.1(2=-Φ≈．(2))950(>X P ))()(950)()((X D X E X D X E X P ->-=75.122915950)()((->-=X D X E X P 001.0)1.3(1=Φ-≈．9．设有30个电子元件1A ，2A ，…，30A ，其寿命分别为1X ，2X ，…，30X ，且且都服从参数为1.0=λ的指数分布，它们的使用情况是当i A 损坏后，立即使用1+i A (29,,2,1 =i )．求元件使用总时间T 不小于350h 的概率．解：由题可知i X ～)1.0(E ，30,,2,1 =i ，则10)(=i X E ，100)(=i X D ．记∑==301i i X T ，由1X ，2X ，…，30X 相互独立，得300)()(301==∑=i i X E T E ，3000)()(301==∑=i i X D T D ．))()(350)()(()350(T D T E T D T E T P T P ->-=>30103003503010300(⋅->⋅-=T P )91.03010300(>⋅-≈T P ，由独立同分布的中心极限定理，3010300⋅-T 近似地服从)1,0(N ，于是1814.0)91.0(1)91.03010300(=Φ-=>⋅-T P ．10．大学英语四级考试，设有85道选择题，每题4个选择答案，只有一个正确．若需要通过考试，必须答对51道以上．试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大？解：设X 为该学生答对的题数，由题可知X ～41,85(B ，则25.21)(=X E ，9375.15)(=i X D ，85,,2,1 =i ．由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，近似地有9375.1525.21-X ～)1,0(N ，得)8551(≤≤X P ))()(85)()()()(51(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(-≤-≤-=X P 0)45.7()97.15(=Φ-Φ=．即学生靠运气能通过四级考试的概率为0．。
线性代数与概率统计
1、每张奖券中尾奖的概率为，某人购买了20张号码杂乱的奖券，则中尾奖的张数服从( )分布。
A. 二项正确:【A】2、设随机变量的方差，利用切比雪夫不等式估计（）A.B.C.D.正确:【A】3、下列矩阵中，不是二次型矩阵的是（）A.B.C.D.正确:【D】4、实二次型的矩阵，若此二次型的正惯性指数为3，则（）A.B.C.D.正确:【C】5、在假设检验中，设服从正态分布，未知，假设检验问题为，则在显著水平下，的拒绝域为（）A.B.C.D.正确:【B】6、矩阵（）合同于A.B.C.D.正确:【A】7、设总体，是总容量为2的样本，为未知参数，下列样本函数不是统计量的是（）A.B.C.D.正确:【D】8、设随机变量的，用切比雪夫不等式估计（）A. 1B.C.D.正确:【D】9、A. 0B.C.D.正确:【C】10、A.B.C.D.正确:【D】11、某人打靶的命中率为0.4，现独立的射击5次，那么5次中有2次命中的概率为（）A.B.C.D.正确:【C】12、A.B.C.D.正确:【D】13、设服从参数为的泊松分布，则下列正确的是（）A.B.C.D.正确:【D】14、已知和是线性方程组的两个解，则系数矩阵是（）A.B.C.D.正确:【C】15、A.B.C.D.正确:【B】16、若都存在，则下面命题正确的是（）A. 与独立时，B. 与独立时，C. 与独立时，D.正确:【C】17、下列各函数中是随机变量分布函的为（）A.B.C.D.正确:【B】18、设为二维连续随机变量，则和不相关的充分必要条件是（）A. 和相互独立B.C.D.正确:【C】19、设是三阶方阵的三个特征值，对应特征向量分别为，且存在可逆矩阵，使得，则（）A.B.C.D.正确:【B】20、设是的两个不同的特征值，又与是属于的特征向量，则与（）正确:【B】21、设是从正态总体中抽取的一个样本，记则服从（）分布A.B.C.D.正确:【C】22、设总体服从两点分布：为其样本，则样本均值的期望（）A.B.C.D.正确:【A】23、设随机变量和的密度函数分别为若与相互独立，则（）B.C.D.正确:【D】24、设总体，其中已知，为来自总体的样本，为样本均值，为样本方差，则下列统计量中服从分布的是（）A.B.C.D.正确:【D】25、设二维随机变量，则（）A.B. 3C. 18D. 36正确:【B】26、A. 2B.C.D.正确:【D】27、已知是阶方阵，且，则的个行向量中（）A. 任意个行向量线性无关B. 必有个行向量线性无关C. 任一行向量都可由其余个行向量线性表出D. 任意个行向量都为极大无关组正确:【B】28、齐次线性方程组的自由未知量为（）A.B.C.D.正确:【C】29、对于正态分布，抽取容量为10的样本，算得样本均值，样本方差，给定显著水平，检验假设 .则正确的方法和结论是（）A. 用检验法，查临界值表知，拒绝B. 用检验法，查临界值表知，拒绝C. 用检验法，查临界值表知，拒绝D. 用检验法，查临界值表知，拒绝正确:【C】30、A.B.C.D.正确:【B】31、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则（）A. 0.5B.C.D.正确:【B】32、A.B.C.D.正确:【A】33、设随机事件A与B相互独立，，则（）A. 0.6正确:【D】34、为任意两事件，若之积为不可能事件，则称与（）A. 相互独立B. 互不相容C. 互为独立事件D. 为样本空间的一个部分正确:【B】35、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法正确的是（）A. 是的无偏估计B. 是的矩估计C. 是的矩估计D. 是的矩估计正确:【D】36、已知为阶方阵，以下说法正确的是（）A.B. 的全部特征向量为的全部解C. 若有个互不相同的特征值，则必有个线性无关的特征向量D. 若可逆，而矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵属于特征值的特征向量正确:【B】37、设总体，为样本均值，为样本方差，样本容量为，则以下各式服从标准正态分布的是（）A.B.C.D.正确:【A】38、A.B.C.D.正确:【A】39、A.B.C.D.正确:【A】40、设，则（）A.B.C.D.正确:【D】1、下列矩阵是正定矩阵的是（）A.B.C.D.正确:【C】2、从一批产品中随机抽两次，每次抽1件。
几何图形的切比雪夫不等式
几何图形的切比雪夫不等式在数学中，我们常常遇到需要估计几何图形之间距离的问题。
而切比雪夫不等式（Chebyshev's inequality）为我们提供了一种有效的估计方法。
本文将介绍切比雪夫不等式的定义和应用，并通过实例来说明其实用性。
一、切比雪夫不等式的定义切比雪夫不等式是由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）于1867年提出的。
该不等式描述了一维实数集合中数值距离的分布情况。
而在几何图形中，我们可以将其应用到二维平面上的点集之间的距离估计。
定义：对于在平面上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离d满足以下不等式：d ≤ max(|x1 - x2|, |y1 - y2|)其中max为取两个数中的较大值的函数。
二、切比雪夫不等式的应用1. 距离估计切比雪夫不等式为我们提供了一种简便的方式来估计两点之间的距离。
通过计算两点在x和y方向上坐标差的绝对值，我们可以得到一个上界，在平面上任意一点与这两点之间的真实距离d一定小于等于这个上界。
这在实际应用中有很多用途，比如在地理信息系统中计算两个地点之间的地面距离等。
2. 图像处理在图像处理领域，切比雪夫不等式可以用来估计图像中不同像素之间的差异。
通过比较像素之间在RGB或灰度空间的数值差异，我们可以得到一个上界，该上界可以用来判断两个像素是否相似。
例如，当两个像素的RGB数值差异小于某个阈值时，我们可以认为它们是相似的。
通过切比雪夫不等式的应用，我们可以更加高效地进行图像相似性的判断。
三、切比雪夫不等式的实例应用为了更好地理解切比雪夫不等式的应用，我们以图形距离估计的实例来说明。
假设我们有一个平面上的正方形ABCD，其中A(0, 0)、B(0, 2)、C(2, 2)、D(2, 0)。
现在我们需要估计任意一点P(x, y)与这个正方形之间的最短距离。
根据切比雪夫不等式的定义，我们可以计算点P与正方形ABCD的四个顶点之间的距离，并取最大值作为距离的上界。
切比雪夫不等式估计概率
切比雪夫不等式估计概率摘要：1.引言2.切比雪夫不等式的定义和公式3.切比雪夫不等式在概率论中的应用4.举例说明切比雪夫不等式的实用性5.总结与展望正文：【引言】在概率论和统计学中，我们常常需要估计一个随机变量落在某个区间内的概率。
切比雪夫不等式（Chebyshev"s inequality）是一种常用的概率估计方法，它能帮助我们估算随机变量偏离均值的概率。
【切比雪夫不等式的定义和公式】切比雪夫不等式是一种基本的不等式，它的定义如下：对于任意实数k > 0，随机变量X的数学期望为μ，方差为σ^2，则有P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1 / k^2其中，P(A)表示事件A发生的概率。
【切比雪夫不等式在概率论中的应用】切比雪夫不等式在概率论中有广泛的应用，例如：1.检验随机变量是否服从正态分布；2.估计均值和方差未知的情况下，随机变量落在某个区间内的概率；3.评估风险和可靠性。
【举例说明切比雪夫不等式的实用性】假设一家公司员工的工资呈正态分布，已知平均工资为5000元，标准差为1000元。
现在我们想要估计工资在4000元至6000元之间的员工所占比例。
根据正态分布的性质，我们知道工资偏离平均值5000元的程度与概率成反比。
因此，我们可以使用切比雪夫不等式来估计：P(4000 ≤ X ≤ 6000) ≈ P(|X - 5000| ≤ 1000)由切比雪夫不等式，我们有：P(4000 ≤ X ≤ 6000) ≥ 1 - 1 / (1000^2) ≈ 0.9545这意味着工资在4000元至6000元之间的员工所占比例至少为95.45%。
【总结与展望】切比雪夫不等式是一种实用的概率估计方法，通过数学公式可以直接估算随机变量偏离均值的概率。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的参数k，以获得更精确的概率估计。
然而，切比雪夫不等式仅适用于具有特定分布的随机变量，对于其他类型的随机变量，我们需要采用其他概率估计方法。
概率论第四章-切比雪夫不等式
不等式的其它形式
例1 估计 解
的概率
例2一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 一电网有1万盏路灯， 晚上每盏灯开的概率为0.7. 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 求同时开的灯数在6800至7200之间的概率。 6800 之间的概率 解 为同时开的灯数。 设X 为同时开的灯数。 用二项分布
P | X − µ |≥ε}≤σ /ε {
2
2
P | X −µ |<ε}≥1−σ /ε {
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε =3 , 2 , σ σ
2 2
9 2 3 2 P{| X −µ |< 2 } ≥1−σ / ( 2 ) = = 0.75 σ σ 4
P{| X −µ |< 3 } ≥1−σ / ( 3 ) = 8 = 0.89 σ σ
≤
ε
∫(x−µ)
f (x)dx
σ = 2 ε
ε
2
f (x)dx
2
是 于 P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
P{| X −µ |≥ε}≤σ2 / ε2
P{| X −µ |<ε}≥1−σ / ε
2
2
切比雪夫不等式 证明切贝谢夫大数定律； 说明 （1）证明切贝谢夫大数定律； （2）表明D（X）描述了X偏离E（X）的离散程度； 表明D 描述了X偏离E 的离散程度； （3）给出X的分布未知时，事件 给出X的分布未知时， 概率的一个大致估计。 概率的一个大致估计。 大致估计 |X|X-E（X）|＜ε的
定理：（切比雪夫不等式） 定理：（切比雪夫不等式） ：（切比雪夫不等式
设随机变量X 设随机变量X 有数学期望 E = µ, 方 D =σ2 X 差 X 对任意 ε > 0, 不等式
切比雪夫不等式的应用
一、切比雪夫不等式的应用一
切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多是1/K^2。
在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。
这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少於50分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多於4个（=36*1/9）。
二、切比雪夫不等式的应用二
已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×10^9,标准差是0.7×10^9。
试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×10^9至9.4×10^9之间的概率下界
解：μ=7.3×10^9,σ=0.7×10^9.
P{5.2×10^9<x<9.4×10^9}=P{|x-7.3×10^9|<2.1×10^9}=P{|x-μ|<2.1×10^9}=
1-P{|x-μ|>=2.1×10^9}
利用切比雪夫不等式
P{|x-μ|>=2.1×10^9}<=σ^2/(2.1×10^9)^2=(0.7×10^9)^2/(2.1×10^9)^2=1/9
故
P{5.2×10^9<x<9.4×10^9}=1-P{|x-μ|>2.1×10^9}>=1-1/9=8/9。
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6.3 设在每次试验中事件 A 发生的概率
p=0.75, 试用下面两种方法估计n取多大时才能
以90％的把握保证n次重复独立试验中A发生的
频率在0.74~0.76之间: (1) 利用切比雪夫不等式估计; (2) 利用中心极限定理估计.
解答
返回
6.4 已知一本 300 页的书中每页印刷错误的
第六章 大数定律与中心极限定理
6 .1
6 .2
6 .3
6 .4
6 .5
6.1 为了确定事件A的概率p, 进行了10000
次的重复独立试验. 试用切比雪夫不等式估计: 用A在10000次试验中发生的频率作为概率的近似
值时, 误差小于0.01的概率.
解答
6.2 利用切比雪夫不等式估计随P(0.2), 求这本书的印刷错误不 多于70个的概率.
解答
6.5 某单位设计一台电话总机, 共200个分机.
设每个分机有5％的时间要使用外线通话, 并且每个
分机使用外线与否是相互独立的. 问该单位至少需
要多少根外线才能保证每个分机要用外线时可供使 用的概率达到90％？ 解答 返回