材料力学作业参考题解_扭转教学教材
材料力学习题册_参考答案(1-9章)
第一章 绪 论一、选择题1．根据均匀性假设，可认为构件的（ C ）在各处相同。
A．应力B． 应变C．材料的弹性系数D． 位移2．构件的强度是指（ C ），刚度是指（ A ），稳定性是指（ B ）。
A．在外力作用下构件抵抗变形的能力B．在外力作用下构件保持原有平衡 状态的能力C．在外力作用下构件抵抗强度破坏的能力3．单元体变形后的形状如下图虚线所示，则 A 点剪应变依次为图(a) （ A ），图(b)（ C ），图(c) （ B ）。
A． 0B． 2rC． rD．1.5 r4.下列结论中( C )是正确的。
A．内力是应力的代数和； B．应力是内力的平均值； C．应力是内力的集度； D．内力必大于应力； 5. 两根截面面积相等但截面形状和材料不同的拉杆受同样大小的轴向拉力，它们的应 力是否相等（ B ）。
A．不相等； B．相等； C．不能确定； 6．为把变形固体抽象为力学模型，材料力学课程对变形固体作出一些假设，其中均匀性假设是指（ C ）。
A. 认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积； B. 认为沿任何方向固体的力学性能都是相同的； C. 认为在固体内到处都有相同的力学性能； D. 认为固体内到处的应力都是相同的。
二、填空题1.材料力学对变形固体的基本假设是 连续性假设 ， 均匀性假设 ， 各向同性假设 。
2．材料力学的任务是满足 强度 ， 刚度 ， 稳定性 的要求下，为设计经济安全的构-1-件提供必要的理论基础和计算方法。
3．外力按其作用的方式可以分为 表面力 和 体积力 ，按载荷随时间的变化情况可以分为 静载荷 和 动载荷 。
4．度量一点处变形程度的两个基本量是 （正）应变ε 和 切应变γ。
三、判断题1．因为构件是变形固体，在研究构件平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
（ × ）2．外力就是构件所承受的载荷。
（×）3．用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。
材料力学-扭转问题解读
d1 86.4mm
4.直径d2的选取 按强度条件:
3 3
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
16T 16 4580 d2 π[ ] π 70106 69.3 103 m 69.3mm
4580 N m 7640 N m
按刚度条件 :
32T 180 32 4580 180 3 d2 76 10 m 76mm 2 9 2 Gπ [ ] 80 10 π 1
§3.7 非圆截面杆扭转 矩形截面杆扭转
变 形 特 征
T Wt
T
12100
x
max
Wt
D 3
16
T [ ]
-1590
D3
16 Mn
58.7 mm
刚度条件：
T 180 G Ip
D 4 T 180 Ip 32 G
32 Mn 180 D4 49mm G
4
圆轴扭转的强度条件:
max
T T T R I Ip Wt p R Wt 抗扭截面系数
Wt Wt
D 3
16 16
实心圆
4
D 3
1
d 空心圆 D
d
对阶梯轴，因各段的Wt不同 ,最大切应 力不一定在最大T所在截面，须综合考 虑T和Wt，确定T/ Wt极值。
1 G1 2 G2
2) 在下述三种情况下的切应力分布情况： （1）G1 > G2; （2） G1=G2 ; （3） G1<G2
G2Ip2
R2
G1Ip1
材料力学 扭转答案
3—1 一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，从动轮,Ⅰ,Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。
试作轴的扭矩图。
解:kNkNkNkN返回3—2(3-3)圆轴的直径，转速为。
若该轴横截面上的最大切应力等于，试问所传递的功率为多大？解：故即又故返回3—3（3—5）实心圆轴的直径mm，长m，其两端所受外力偶矩，材料的切变模量。
试求:（1)最大切应力及两端截面间的相对扭转角；（2)图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向；（3）C点处的切应变。
解：=返回3-4(3—6)图示一等直圆杆，已知，，，。
试求:（1）最大切应力；（2）截面A相对于截面C的扭转角。
解：(1）由已知得扭矩图（a）(2)返回3-5(3—12)长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴,两者材料相同,受力情况也一样。
实心轴直径为d;空心轴外径为D，内径为，且。
试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力），扭矩T相等时的重量比和刚度比。
解：重量比=因为即故故刚度比==返回3—6(3-15）图示等直圆杆，已知外力偶矩,，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模量。
试确定该轴的直径d。
解:扭矩图如图（a)(1)考虑强度，最大扭矩在BC段,且(1）(2）考虑变形（2）比较式（1）、(2），取返回3-7(3—16) 阶梯形圆杆,AE段为空心,外径D=140mm，内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。
外力偶矩，，。
已知：，,。
试校核该轴的强度和刚度。
解:扭矩图如图（a)（1)强度=，BC段强度基本满足=故强度满足。
（2）刚度BC段：BC段刚度基本满足.AE段：AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足.返回3—8(3-17）习题3—1中所示的轴,材料为钢,其许用切应力，切变模量，许可单位长度扭转角。
试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。
解:由3—1题得：故选用.返回3-9(3-18）一直径为d的实心圆杆如图，在承受扭转力偶矩后，测得圆杆表面与纵向线成方向上的线应变为。
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-扭转(圣才出品)
（1）一般矩形截面( h 10) b
分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力 等于零，切应力变化情况如图 3-3（a）所示。
横截面上的最大切应力 max 发生在长边中点处
短边上切应力最大值发生在中点处
矩形截面扭转时，相对扭转角
7 / 44
；R 为弹簧圈平均半径， 。
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五、非圆截面杆扭转的概念 1．基本概念 （1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。 （2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切 应力。 （3）约束扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲受到限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截 面上有切应力和正应力。
WP
=
D3 16
式中， = d 。 D
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。 （2）强度条件 对于等直杆
对于变截面杆件需综合考虑 T 和 Wt，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核
Tmax [ ] Wt
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②截面选择
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G
=
E
2(1+
)
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
=
1 2
=
2 2G ， v
= 1 2
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
材料力学_陈振中_习题第三章扭转
第三章 扭转3．1 作图示各杆的扭矩图。
（a ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1+m+m=0得T 1= -2m ， 所以其实际为负。
2)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2 +m=0得T 2= -m ， 所以其实际为负。
（b ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1+m =0得T 1= -m ， 所以其实际为负。
2)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2+m-3m=0 得T 2= 2m ， 所以其实际为正 （c ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1-10-15-20+30=0得T 1= 15KN.m ， 所以其实际为正。
T 1T 2（a2（b ）mTT 12)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2-15-20+30=0得T 2= 5KN.m ， 所以其实际为正。
3)求 3-3截面上的扭矩 假设T 3为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 3-20+30=0得T 3= -10KN.m ， 所以其实际为负。
4)求 4-4截面上的扭矩假设T 4为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 4 +30=0得T 4= -30KN.m ， 所以其实际为负。
3.2 T 为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的剪应力分布图。
解：3.5 D=50mm 直径的圆轴，受到扭矩T=2.15KN .m 的作用。
试求在距离轴心10mm 处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。
T 230kN.m T 3T 4（题3.2图（a ） （b ）解：求距离轴心10mm 处的剪应力， 由 I P =πD 4/32=π×0.054/32=6.13×10-7 m 4 W t = I P /R=6.13×10-7/0.025=2.454×10-5 m 3τρ=Tρ/ I P =2.15×103×10×10-3/(6.13 ×10-7 ) =35MPa求轴横截面上的最大剪应力τmax =T/ W t =2.15×103/(2.454 ×10-5 ) =87.6MPa3.8 阶梯形圆轴直径分别为d 1=40mm ，d 2=70mm ，轴上装有三个皮带轮，如图所示。
材料力学复习题第三章 扭 转
第三章 扭 转一、判断题1．圆杆受扭时，杆内各点均处于纯剪切状态。
（ ） 2．非圆截面杆不能应用圆杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平面假设”不能成立。
（ ） 3．当剪应力超过材料的剪切比例极限时，剪应力互等定律亦成立。
（ ） 4．一点处两个相交面上的剪应力大小相等，方向指向（或背离）该两个面的交线。
（ ） 5．直径和长度相同，材料不同的两根轴，受相同的扭转力偶矩作用，它们的最大剪应力和最大扭转角都相同。
6. 杆件受扭时，横截面上最大切应力发生在距截面形心最远处。
（ ）7. 薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。
（ ）8. 圆杆扭转变形实质上是剪切变形。
（ ）9. 横截面的角点处的切应力必为零。
（ ） 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.×（非圆截面） 7.× 8.√ 9.× 二、单项选择题1. 图示圆轴曲面C 左、右两侧的扭矩MC+和M C-的（ ）。
A ．大小相等，正负号相同；B ．大小不等，正负号相同； C ．大小不等，正负号不同；D ．大小相等，正负号不同。
2. 直径为D 的实心圆轴，两端受扭转力矩作用。
轴内最大剪应力τ，若轴的直径改为D/2，则轴内的最大剪应力变为（ ）。
A ．2τ； B ．τ； C ． 8τ； D ．16τ。
3. 阶梯圆轴的最大切应力发生在（ ）。
A ．扭矩最大的截面；B ．直径最小的截面；C ．单位长度扭转角最大的截面；D ．不能确定。
4.空心圆轴的外径为D ，内径为d,α=d/D 。
其抗扭截面系数为（ ）。
A ．()απ-=1163D W P ；B 。
()23116απ-=D W P ；C 。
()33116απ-=D W PD ．()43116απ-=D WP5.扭转的切应力公式ρτρPPI M =适用于（ ）杆件。
A ．任意截面； B ．任意实心截面；C ．任意材料的圆截面； D ．线弹性材料的圆面。
材料力学典型例题及解析 3.扭转典型习题解析
的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？
A M
B
A
M
B
C
z
D
A
(a)
C
dρ
ρ
R
(c)
D
题2图
BC Dx
(b)
θ dθ
(d)
解题分析：由切应力互等定理可知截面ABCD上的切向内力分布及其大小。该截面上切向内
力形成一个垂直向上的力偶矩。在图b中，左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直
于截面ABCD的竖直向下的力偶矩，正好与截面ABCD上切向内力的合力偶矩平衡。
应力相等的条件下，试确定空心轴的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。
解题分析：用空心轴代替实心轴，须保证二者强度相同。根据强度条件可求出D值，再用面
积比得出重量比。
解：1、根据两轴切应力相等的条件，确定空心轴外径
Tmax = Tmax = [τ ] WP实 WP空
πd 3 = πD3 (1 − α 4 ) 16 16
解得 D = 107.7 ×10−3 m = 107.7 mm
δ = D − d = 107.7mm −100mm = 3.85 mm
2
2
比较可知，两种设计的结果非常接近。
讨论: 当 δ ≤ R0 /10 时，即认为是薄壁圆管，可以直接使用薄壁管扭转公式。
2 图示受扭圆杆，沿平面ABCD截取下半部分为研究对象，如图b所示。试问截面ABCD上
4
即在强度相同条件下，空心轴可以节约近30％的材料。
讨论：在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴，在保障安全运行的前提下，可以节约材料。
5 已知钻探机杆的外径D = 60 mm，内径d = 50 mm，功率P = 7.46 kW，转速n =180 r/min， 钻杆入土深度l = 40 m，G = 80 GPa，[τ]= 40 MPa。设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布 的，试求：(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M；(2) 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； (3) 求A、B两截面相对扭转角。 解题分析：根据题意，为圆轴扭转问题。土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上，并沿
材料力学作业参考题解(2)
1 1
F F
(d) 如图取隔离体，有： 如图取隔离体， FN1 = F FN2 = F-qa -2F = F-F -2F = -2F 可由受力与轴力图的特点，检查内力图： 轴力图在集中载荷作用处有突变， 轴力图在集中载荷作用处有突变，突变 值与集中力的大小相等； 值与集中力的大小相等； 在分布载荷作用处轴力图斜率的值等于 该处分布载荷的分布集度大小， 该处分布载荷的分布集度大小，则分布 载荷的起点和终点处为轴力图折点。 载荷的起点和终点处为轴力图折点。
(轴力图 轴力图) 轴力图
FN1 FN2
2 2
1 1
2F
FN ：
+
即: 指定截面上轴力的大小等于该截面任一侧所 有轴向力(包括支反力 的代数和。 包括支反力)的代数和 有轴向力 包括支反力 的代数和。 轴力图画在与受力图对应的位置， 轴力图画在与受力图对应的位置，注意标注出 特征位置内力大小。 特征位置内力大小。可用正负标记表示基线某 一侧的内力值的正负。对水平放置的杆件， 一侧的内力值的正负。对水平放置的杆件，习 惯上将正值轴力画在基线以上。 惯上将正值轴力画在基线以上。
FN 1 = F ρgA1 x
FN 2 = F ρgA1l1 ρgA2 ( x l1 )
混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为： 混凝土柱各段危险截面分别为柱中截面和柱底截面，其轴力分别为： FN 1max = F + ρgA1l1 FN 2 max = F + ρg ( A1l1 + A2l2 ) ( 受压 )
(拉)
求各杆变形(伸长 ： 求各杆变形 伸长)： 伸长
F
FNAC l AC 25.622 × 103 ×1.6 l AC = = = 1.104mm EAAC 210 ×109 × π × 0.0152 / 4 FNAB l AB 18.117 ×103 × 2 l AB = = = 1.078mm 9 2 EAAB 210 ×10 × π × 0.012 / 4
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m1a xW T p AA C C 6 2 .0 7 .0 0 134 64.4 9 M P []a m2 a xW T D pD B B 1 4 0 .4 .0 3 1 37 2 62.3 1 M P []a
m a G T x A pA C I 1 C 8 8 0 3 1 0 9 6 2 0 . 7 2 0 .1 00 4 8 4 1 0 .7 /m 7 []
解：一次超静定：
由平衡条件： TATBT
由变形协调条件： AB
T AlT Bl
G pA IG pB I
T A T B TIG plB A p IA p I IpB lB A
3-16 如图所示，将空心圆杆（管）A套在实心圆杆B的一端。两杆在同一横截面处有一直径 相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一β角，现在杆B上施加扭力偶使之扭转，将杆A和B的 两孔对齐，装上销钉后卸去所施加的扭力偶。试问两杆横截面上的扭矩为多大？已知两杆的 极惯性矩分别为 IpA和 IpB，且材料相同，切变模量为G。
389.9
解：求扭力矩
M095 47 19 .385 038.99Nm
-
（1）设阻力矩分布集度为 m0，由钻杆的平衡条件：
x
m 0l M 0 m 0 M l0 3 4.9 8 0 9 9 .7N 5 /m m
（2）作扭矩图，危险截面为 A 截面：
T：(Nm)
m aT W x m p ax 0 .0 13 6 6 3 [1 .8 ( 9 5 /6 9 )4 ] 1.7 7 M 6 P []a
3-1 试作图示各轴的扭矩图(单位: kNm)。
2 + T:
-
2
1
+
T:
-
2பைடு நூலகம்
1
+ 0.5
T:
-
1
2
moa +
T:
3-2圆轴的直径d=100mm，承受扭矩T=100kNm，试求距圆心 d/8、d/4及d/2处的切应力，并绘 出横截面上切应力的分布图。
解：由扭转切应力公式：
d/8IT pd 83 d 2 T 4 d 838 2 1 0 0 .1 13 030 12 M 7Pa
T
d/4IT pd 43 d 2 T 4 d 434 2 1 0 0 .1 10 330 25 M 5Pa
d/2ma x W Tp1 d T 6 3 1 6 1 0.0 13 10 30 50 M9Pa
d 横截面上切应力的分布如图
3-11 图示阶梯形圆轴，装有三个皮带轮，轴径d1=40mm、d2=70mm。已知由轮3输入的功率 P3=30kW，由轮1和轮2输出的功率分别为P1=13kW 和P2=17kW，轴的转速n=200r/min，材料 的许用切应力[τ]=60MPa，切变模量G=80GPa，许用扭转角[θ ]=2º/m，试校核该轴的强度与
该轴满足强度与刚度要求
3-13 已知钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻 杆入土深度l=40m，材料的G=80GPa，[ τ ]=40MPa。假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布， 试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）A、B两截面的相对扭转角。
刚度。
解：计算扭力矩：
-
620.7
M 195P n 1 49 954 2 19 0 3 6 02 .7N 0m
M 29
5P 2 49 954 19 7 81 .7N 1m
n
200
M 395P n 34 9 952 4 30 9 0 104.4N 32 m
作扭矩图，危险截面在 AC 段或 DB 段：
1432.4 T: (Nm)
（3）如图取坐标系，有：
T(x)m0x
AB 0 lT G (xp )d IxG m 0pI0 lxdx2 m G 0l2 p I2 M G 0lpI
2 8 1 0 9 3 0 3 2 0 .0 .9 8 4 4 6 [ 9 1 0 (5 /6 )4 ] 0 .1弧 4 8 8 .4 度 8