材料力学作业参考题解_扭转.
材料力学 扭转2 习题及参考答案
扭转 第二次 作业1. 已知图示实心圆轴的直径d = 100mm 。
材料的剪切弹性模量G = 80GPa 。
（1）求1-1横截面上A 、B 、C 三点的切应力；（2）求1-1横截面上A 点的切应变；（3）整个圆轴上最大的切应力。
2kN·m6kN·m10kN·m2kN·m1-1截面2kN·m4kN·m10kN·m解：由圆轴的扭矩图可知，1-1截面的扭矩T 1 = 4kN·m ，最大扭矩T max = 10kN·m圆截面的极惯性矩 4464π 3.140.19.8110m 3232P d I -⨯===⨯扭矩截面系数 3343π 3.140.1 1.9610m 1616P d W -⨯===⨯（1） 3714410 2.0410Pa 20.4MPa 1.9610A B P T W ττ-⨯====⨯=⨯ 1110.2MPa 2C A P T I ρττ=== （2）由剪切胡克定律 Gτγ=得63920.4100.255108010AA G τγ-⨯===⨯⨯ （3）对于等截面圆轴，最大切应力出现在扭矩最大截面的最外缘37max max41010 5.1010Pa 51.0MPa 1.9610P T W τ-⨯===⨯=⨯ 2. 阶梯状圆轴如图所示，AE 段为空心，外直径D = 140mm ，内直径d = 100mm ；BC 段为实心，直径d = 100mm 。
外力偶矩M A = 18kN·m ，M B = 32kN·m ，M C = 14kN·m 。
已知许用切应力[τ ] = 80MPa 。
试校核该轴的强度。
18kN·m14kN·m解：由扭矩图可知T AB = 18kN·m ， |T BC | =14kN·mAE 段()4334431π 3.140.1410011 3.9810m 1616140P D W α-⎛⎫⨯⎛⎫=-=-=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]36max41181045.210Pa 45.2MPa<3.9810AB P T W ττ-⨯===⨯=⨯ BC 段33432π 3.140.1 1.9610m 1616P d W -⨯===⨯ []36max 42141071.410Pa 71.4MPa<1.9610BC P T W ττ-⨯===⨯=⨯ 故，该轴安全。
材料力学 扭转答案
3—1 一传动轴作匀速转动，转速，轴上装有五个轮子，主动轮Ⅱ输入的功率为60kW，从动轮,Ⅰ,Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。
试作轴的扭矩图。
解:kNkNkNkN返回3—2(3-3)圆轴的直径，转速为。
若该轴横截面上的最大切应力等于，试问所传递的功率为多大？解：故即又故返回3—3（3—5）实心圆轴的直径mm，长m，其两端所受外力偶矩，材料的切变模量。
试求:（1)最大切应力及两端截面间的相对扭转角；（2)图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向；（3）C点处的切应变。
解：=返回3-4(3—6)图示一等直圆杆，已知，，，。
试求:（1）最大切应力；（2）截面A相对于截面C的扭转角。
解：(1）由已知得扭矩图（a）(2)返回3-5(3—12)长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴,两者材料相同,受力情况也一样。
实心轴直径为d;空心轴外径为D，内径为，且。
试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力），扭矩T相等时的重量比和刚度比。
解：重量比=因为即故故刚度比==返回3—6(3-15）图示等直圆杆，已知外力偶矩,，许用切应力，许可单位长度扭转角，切变模量。
试确定该轴的直径d。
解:扭矩图如图（a)(1)考虑强度，最大扭矩在BC段,且(1）(2）考虑变形（2）比较式（1）、(2），取返回3-7(3—16) 阶梯形圆杆,AE段为空心,外径D=140mm，内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。
外力偶矩，，。
已知：，,。
试校核该轴的强度和刚度。
解:扭矩图如图（a)（1)强度=，BC段强度基本满足=故强度满足。
（2）刚度BC段：BC段刚度基本满足.AE段：AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足.返回3—8(3-17）习题3—1中所示的轴,材料为钢,其许用切应力，切变模量，许可单位长度扭转角。
试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。
解:由3—1题得：故选用.返回3-9(3-18）一直径为d的实心圆杆如图，在承受扭转力偶矩后，测得圆杆表面与纵向线成方向上的线应变为。
刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-扭转(圣才出品)
（1）一般矩形截面( h 10) b
分布特点：周边各点切应力与周边相切，没有垂直于周边的切应力分量，顶点处切应力 等于零，切应力变化情况如图 3-3（a）所示。
横截面上的最大切应力 max 发生在长边中点处
短边上切应力最大值发生在中点处
矩形截面扭转时，相对扭转角
7 / 44
；R 为弹簧圈平均半径， 。
6 / 44
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五、非圆截面杆扭转的概念 1．基本概念 （1）翘曲：扭转变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。 （2）自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲不受任何限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化；横截面上只有切 应力。 （3）约束扭转：等直杆两端受扭转力偶作用，且翘曲受到限制的扭转。 变形和受力特点：各横截面的翘曲程度不同，相邻两截面间纵向纤维的长度改变；横截 面上有切应力和正应力。
WP
=
D3 16
式中， = d 。 D
上述公式只适用于等直杆和线弹性范围。 （2）强度条件 对于等直杆
对于变截面杆件需综合考虑 T 和 Wt，以求得切应力的最大值。
强度条件的应用：
①强度校核
Tmax [ ] Wt
4 / 44
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②截面选择
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G
=
E
2(1+
)
4．剪切应变能
在应力小于剪切比例极限的情况下，单位体积内的剪切应变能密度为
=
1 2
=
2 2G ， v
= 1 2
上述公式主要用于线弹性范围内纯剪切应力状态下剪切应变能密度的计算。
材料力学-扭转-计算公式及例题
求 AB段Mn（1-1剖面）
K N·m 4.50 背向剖切面为正
求 BC段Mn（2-2剖
面） K N·m
-4.50
求 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.50
D>=103mm
已知 CD段Mn（3-3剖面）
K N·m -1.5
求
IP m4 1.19E-05
求 φB-A
° 0.216
求 ΦC-B
K N·m
K N·m
K N·m
K N·m
数值
0.62
2.05
1.43
0.62
横截面上的力偶矩的方向，为外力偶矩（如T1,T2,T3）指向剖切面为负，背向剖切面为正
校核AC段 的强度(实
数据状态
代号
单位
数值 校核DB段 的强度(实
数据状态
代号
单位
已知 d1 mm 40
已知 d2 mm
已知 Mn(AC) K N·m 0.62
°/m
m4
1.05E+01 5.00E-01 1.50E-08
，试设 计截面的内
求 D0 mm 63.38
求 d mm 60.44
求 A1/A2
mm 0.51
d2=70mm。 。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
。材料的许用切应 轴的强度和刚度。
求 CD段Mn（2-2剖面）
K N·m 0.62 背向剖切面为正
° -0.270
求 φD-C
° -0.108
强度计算 序号
名称
代号
单位
max
M n max Wp
[ ]
1
横截面上的最大扭 矩
Mn max
《材料力学》第3章 扭转 习题解
第三章扭转 习题解[习题3-1] 一传动轴作匀速转动，转速min /200r n =，轴上装有五个轮子，主动轮II 输入的功率为60kW ，从动轮，I ，III ，IV ，V 依次输出18kW ，12kW ，22kW 和8kW 。
试作轴的扭图。
解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩） nN T ke 55.9= 外力偶矩计算(kW 换算成kN.m)题目编号 轮子编号轮子作用 功率(kW) 转速r/minTe （kN.m ） 习题3-1I 从动轮 18 200 0.859 II 主动轮 60 200 2.865 III 从动轮 12 200 0.573 IV 从动轮 22 200 1.051 V从动轮82000.382(2) 作扭矩图[习题3-2] 一钻探机的功率为10kW ，转速min /180r n =。
钻杆钻入土层的深度m l 40=。
如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ，并作钻杆的扭矩图。
解：（1）求分布力偶的集度m)(5305.018010549.9549.9m kN n N M k e ⋅=⨯== 设钻杆轴为x 轴，则：0=∑xMe M ml =)/(0133.0405305.0m kN l M m e ===（2）作钻杆的扭矩图T 图(kN.m)x x lM mx x T e0133.0)(-=-=-=。
]40,0[∈x 0)0(=T ； )(5305.0)40(m kN M T e ⋅-==扭矩图如图所示。
[习题3-3] 圆轴的直径mm d 50=，转速为120r/min 。
若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa ，试问所传递的功率为多大？ 解：（1）计算圆形截面的抗扭截面模量：)(245445014159.3161161333mm d W p =⨯⨯==π （2）计算扭矩2max /60mm N W Tp==τ )(473.1147264024544/6032m kN mm N mm mm N T ⋅=⋅=⨯=（3）计算所传递的功率 )(473.1549.9m kN nN M T ke ⋅=== )(5.18549.9/120473.1kW N k =⨯=[习题3-4] 空心钢轴的外径mm D 100=，内径mm d 50=。
材料力学 扭转习题
Me
1 2
2
1
T1L T 2L G1I P1 G2 I P 2
T1 G1I P1 T2 G2 I P 2
d
D
D T1 2 1 I P1 TI D G 1 11 P 2 2 d T I d 2 T G2 P1 2 2 2 I P2
m1
d
（ ）
m2
d l/2
(c )
m2
d l/2 l/2
(b )
m1
l
(a)
l/2
答案：
一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实 心圆杆结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆 杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2， 假设两杆扭转变形时无相对转动，且均处于线弹性范围。 试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画 出沿半径方向的切应力变化规律。
2.圆截面杆扭转时，其变形特点是变形过程中横截面始 终保持（ ），即符合（ ）。非圆截面杆扭转时，其 变形特点是变形过程中横截面发生（ ），即不符合 （ ）。 答案：平面，平面假设，翘曲，平面假设。
扭转练习题 3.图（a）、图（b）所示两圆轴的材料、长度相同，扭 （即 a = b） 转时两轴表面上各点的剪应力相同 ，此时作用 a 于两端的扭转力偶之比 mx / mb ）。 y （
。
扭转练习题
二、选择
1.空心圆轴外径为D，内径为d，在计算最大剪应力时需要确定抗扭 截面系数Wt，以下正确的是（ ）。
D d 3 4 4 3 （A） ） （ （C） （D d ） （D） （D d ） 16 16 16D 16 答案： C
材料力学_陈振中_习题第三章扭转
第三章 扭转3．1 作图示各杆的扭矩图。
（a ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1+m+m=0得T 1= -2m ， 所以其实际为负。
2)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2 +m=0得T 2= -m ， 所以其实际为负。
（b ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1+m =0得T 1= -m ， 所以其实际为负。
2)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2+m-3m=0 得T 2= 2m ， 所以其实际为正 （c ）解：1)求 1-1截面上的扭矩假设T 1为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 1-10-15-20+30=0得T 1= 15KN.m ， 所以其实际为正。
T 1T 2（a2（b ）mTT 12)求 2-2截面上的扭矩假设T 2为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 2-15-20+30=0得T 2= 5KN.m ， 所以其实际为正。
3)求 3-3截面上的扭矩 假设T 3为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 3-20+30=0得T 3= -10KN.m ， 所以其实际为负。
4)求 4-4截面上的扭矩假设T 4为正，方向如上图所示。
由 ∑m=0 T 4 +30=0得T 4= -30KN.m ， 所以其实际为负。
3.2 T 为圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的剪应力分布图。
解：3.5 D=50mm 直径的圆轴，受到扭矩T=2.15KN .m 的作用。
试求在距离轴心10mm 处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。
T 230kN.m T 3T 4（题3.2图（a ） （b ）解：求距离轴心10mm 处的剪应力， 由 I P =πD 4/32=π×0.054/32=6.13×10-7 m 4 W t = I P /R=6.13×10-7/0.025=2.454×10-5 m 3τρ=Tρ/ I P =2.15×103×10×10-3/(6.13 ×10-7 ) =35MPa求轴横截面上的最大剪应力τmax =T/ W t =2.15×103/(2.454 ×10-5 ) =87.6MPa3.8 阶梯形圆轴直径分别为d 1=40mm ，d 2=70mm ，轴上装有三个皮带轮，如图所示。
材料力学复习题第三章 扭 转
第三章 扭 转一、判断题1．圆杆受扭时，杆内各点均处于纯剪切状态。
（ ） 2．非圆截面杆不能应用圆杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平面假设”不能成立。
（ ） 3．当剪应力超过材料的剪切比例极限时，剪应力互等定律亦成立。
（ ） 4．一点处两个相交面上的剪应力大小相等，方向指向（或背离）该两个面的交线。
（ ） 5．直径和长度相同，材料不同的两根轴，受相同的扭转力偶矩作用，它们的最大剪应力和最大扭转角都相同。
6. 杆件受扭时，横截面上最大切应力发生在距截面形心最远处。
（ ）7. 薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。
（ ）8. 圆杆扭转变形实质上是剪切变形。
（ ）9. 横截面的角点处的切应力必为零。
（ ） 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.× 6.×（非圆截面） 7.× 8.√ 9.× 二、单项选择题1. 图示圆轴曲面C 左、右两侧的扭矩MC+和M C-的（ ）。
A ．大小相等，正负号相同；B ．大小不等，正负号相同； C ．大小不等，正负号不同；D ．大小相等，正负号不同。
2. 直径为D 的实心圆轴，两端受扭转力矩作用。
轴内最大剪应力τ，若轴的直径改为D/2，则轴内的最大剪应力变为（ ）。
A ．2τ； B ．τ； C ． 8τ； D ．16τ。
3. 阶梯圆轴的最大切应力发生在（ ）。
A ．扭矩最大的截面；B ．直径最小的截面；C ．单位长度扭转角最大的截面；D ．不能确定。
4.空心圆轴的外径为D ，内径为d,α=d/D 。
其抗扭截面系数为（ ）。
A ．()απ-=1163D W P ；B 。
()23116απ-=D W P ；C 。
()33116απ-=D W PD ．()43116απ-=D WP5.扭转的切应力公式ρτρPPI M =适用于（ ）杆件。
A ．任意截面； B ．任意实心截面；C ．任意材料的圆截面； D ．线弹性材料的圆面。
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6)4 ]
0.148弧度
8.48
3-16 如图所示，将空心圆杆（管）A套在实心圆杆B的一端。两杆在同一横截面处有一直径 相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一β 角，现在杆B上施加扭力偶使之扭转，将杆A和B的 两孔对齐，装上销钉后卸去所施加的扭力偶。试问两杆横截面上的扭矩为多大？已知两杆的 极惯性矩分别为 IpA和 IpB，且材料相同，切变模量为G。
389.9
解：求扭力矩
M0
9549
7.35 180
389.9Nm
-
（1）设阻力矩分布集度为 m0，由钻杆的平衡条件：
x
m0 l M 0
m0
M0 l
389.9 40
9.75Nm / m
（2）作扭矩图，危险截面为 A 截面：
T：(Nm)
max
Tm a x Wp
16 389 .9 0.063 [1 (5 /
1.77 / m [ ]
该轴满足强度与刚度要求
3-13 已知钻探机钻杆的外径D=60mm，内径d=50mm，功率P=7.35kW，转速n=180r/min，钻 杆入土深度l=40m，材料的G=80GPa，[ τ ]=40MPa。假设土壤对钻杆的阻力沿长度均匀分布， 试求：（1）单位长度上土壤对钻杆的阻力矩；（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）A、B两截面的相对扭转角。
解：一次超静定：
由平衡条件： TA TB T
由变形协调条件： A B
TlA TlB
GI pA GI pB
TA
TB
T
GI pAI pB
I pBlA I pAlB
刚度。
解：计算扭力矩：
-
620.7
M1
9549
P1 n
9549
13 200
620.7Nm
M2
9549 P2 n
9549 17 200
811.7Nm
M3
9549 P3 n
9549 30 200
1432.4Nm
作扭矩图，危险截面在 AC 段或 DB 段：
1432.4 T: (Nm)
32 T
d 4
d 8
32100103
8 0.13
127MPa
T
d/4
T Ip
d 4
32 T
d 4
d 4
32100103
4 0.13
255MPa
d/2
max
T Wp
16 T
d 3
16
100103
0.13
509MPa
3-1 试作图示各轴的扭矩图(单位: kNm)。
2 + T:
-
2
1
+
T:
-
2
1
+ 0.5
T:
-
1
2
moa +
T:
3-2圆轴的直径d=100mm，承受扭矩T=100kNm，试求距圆心 d/8、d/4及d/2处的切应力，并绘 出横截面上切应力的分布图。
解：由扭转切应力公式：
d /8
T Ip
d 8
max1
TAC W pAC
620 .7 16
0.043
49.4MPa
[ ]
max2
TDB WpDB
1432 .416
0.07 3
21.3MPa
[ ]
max
TAC GI180
80109 0.044
d 横截面上切应力的分布如图
3-11 图示阶梯形圆轴，装有三个皮带轮，轴径d1=40mm、d2=70mm。已知由轮3输入的功率 P3=30kW，由轮1和轮2输出的功率分别为P1=13kW 和P2=17kW，轴的转速n=200r/min，材料 的许用切应力[τ]=60MPa，切变模量G=80GPa，许用扭转角[θ ]=2º/m，试校核该轴的强度与
6)4 ]
17.76MPa
[
]
（3）如图取坐标系，有：
T (x) m0 x
AB
l T (x) dx
m0
0 GI p
GI p
l
xdx
m0l 2
M 0l
0
2GI p 2GI p
2 80
32 389 .9 40
109 0.064 [1
(5 /