人教A版高中数学必修二4.1.1圆标准方程导学案.docx

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人教A版高中数学必修二《圆的一般方程》教学设计

《4.1.2圆的一般方程》教学设计一、教材分析《圆的一般方程》安排在高中数学必修2第四章第一节第二课时.圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都有着深远的意义，所以本课内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.二、目标分析知识与技能：(1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点(2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径(3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；(2)加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用，认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。

(3)增强学生应用数学的意识.情感，态度与价值观：(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识；(2)培养学生勇于思考，探究问题的精神。

(3)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.教学重点： (1)．圆的一般方程。

(2)．待定系数法求圆的方程。

教学难点： (1)．圆的一般方程的应用。

(2)．待定系数法求圆的方程及选用合适的圆方程。

三、教学内容与过程一、复习引入圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=把圆的标准方程展开，并整理得220x y Dx Ey F ++++=思考：此方程都能表示圆么？二、课堂探究观察下列各式，先将它们分别配方，然后分析它们是否表示圆？（设计意图）通过对这两个问题的探究，.一方面引导学生22(1)2410+-++=x y x y 22(2)2460+--+=x y x y回顾了旧知，另一方面，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到研究圆的方程上来，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移。

高一数学必修2人教A导学案4.1.1圆的标准方程

4. 1.1 圆的标准方程【教学目标】１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．【教学重难点】教学重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．教学难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．【教学过程】（一）情景导入、展示目标前面，大家学习了圆的概念，哪一位同学来回答？1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)．2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．（二）检查预习、交流展示求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点；图2-9(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；(4)化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．（三）合作探究、精讲精练探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C 是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．2．写点集根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．3．列方程由两点间的距离公式得：4．化简方程将上式两边平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．当圆心在原点即C(0，0)时，方程为 x2+y2=r2．教师指出：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．例1 写出下列各圆的方程：(请三位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；解析：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．解：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；点评：圆的标准方程与圆心坐标、半径长密切相关，应熟练掌握．变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+ y2=4答案：(1) 圆心是(3,2),半径是5；(2) 圆心是(－４,－３),半径是7；(3) 圆心是(－２,０),半径是２．例２ (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？解析：分析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决；分析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决．解：(1) 解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：∴所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10 解法二：(给出板书)∵直径上的四周角是直角，∴对于圆上任一点P(x，y)，有PP1⊥PP2．化简得：x2+y2-10x-12y+51=0．即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程．解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．点评：1．求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定a，b，r；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法．2．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外d＞r；(3)点在圆内d＜r．变式训练２：求证：以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0．证明：略．（四）反馈测试导学案当堂检测（五）总结反思、共同提高1．圆的方程的推导步骤；2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．【板书设计】探究一：圆的标准方程1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式特点例1变式训练１例２变式训练２课堂小结【作业布置】导学案课后练习与提高4.１.1 圆的标准方程课前预习学案一．预习目标回忆圆的定义，初步了解用方程建立圆的标准方程．二．预习内容1：圆的定义是怎样的？2：圆的特点是什么？三．提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中课内探究学案一．学习目标１．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题．２．通过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力．３．通过圆的标准方程，解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既来源于实践，又服务于实践，可以适时进行辩证唯物主义思想教育．学习重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据具体条件正确写出圆的标准方程．学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题．二．学习过程探究一：如何建立圆的标准方程呢？1．建系设点2．写点集3．列方程4．化简方程探究二：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？例1 写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；变式训练１：说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2 +(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2 =7；(3)(x+2)2+ y2=4例２ (1)已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？变式训练２：求证：以A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x-x 1)(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0．１．圆(x ＋1)2+(y －2)2=4的圆心、半径是（） A ．(1,－2),4 B ．(1,－2),2 C ．(－1,2),4 D ．(－1,2),2２．过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点 B(2,1)．则圆C 的方程为 .3．一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．参考答案:１．Ｄ２．22(3)2x y -+=课后练习与提高１．圆2)1()1(22=++-y x 的周长是（）Ａ．π2 Ｂ．π2 Ｃ．２π2 Ｄ．π4 ２．点Ｐ（5,2m ）与圆2422=+y x 的位置关系是( )Ａ．在圆外Ｂ．在圆内Ｃ．在圆上Ｄ．不确定３．已知圆Ｃ与圆1)1(22=+-y x 关于直线x y -=对称，则圆Ｃ的方程为（）Ａ．1)1(22=++y x Ｂ．122=+y xＣ．1)1(22=++y x Ｄ．1)1(22=-+y x４．已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切。

【精准解析】高中数学人教A版必修2一课三测：4.1.1+圆的标准方程+Word版含解析byde

答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
9．已知半径为 3 的圆的圆心到 y 轴的距离等于半径，圆心在直线 x－3y＝0 上，则此圆
的方程为________．解析：依题意设圆心为(3b，b)，半径为 r，由已知得 r＝|3b|＝3，所以 b＝±1.所以圆的方
程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
解得 a＝3，r2＝25，所以圆 E 的方程为
x－3 4
2＋y2＝25.故选
C.
4
16
16
答案：C
7．如果实数 x，y 满足 x2＋(y－3)2＝1，那么y的取值范围是( ) x
只要坚持梦想终会实现
-5-
高中学习讲义
A．[2 2 2，2 2 ]
D．(－∞，－2 2 ]∪[2 2，＋∞)
4．1.1 圆的标准方程
高中学习讲义
填一填 1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径． 2．圆的标准方程
3．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点 M 与圆心 C 的距离跟半径 r 比较：若|CM|＝r，则点 M 在圆上；若|CM|>r，则点 M 在圆外；若|CM|<r，则点 M 在圆内． (2)代数法：可利用圆 C 的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 来确定：点 M(m，n)在圆 C 上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点 M(m，n)在圆 C 外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；点 M(m，n)在圆 C 内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.
知识点一
点与圆的位置关系

高中数学《圆的标准方程》教案11 新人教A版必修2

4.1.2 圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.备选例题例1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径.（1）x 2 + y 2+ x + 1 = 0；（2）x 2 + y 2 + 2ac + a 2= 0 (a ≠0)；（3）2x 2 + 2y 2+ 2ax – 2ay = 0 (a ≠0). 【解析】（1）因为D ＝ 1，E ＝ 0，F ＝ 1，所以D 2 + E 2– 4F ＜0 方程（1）不表示任何图形；（2）因为D ＝ 2a ，E ＝ 0，F ＝ a 2，所以D 2 + E 2 – 4F ＝ 4a 2 – 4a 2= 0，所以方程（2）表示点(–a ，0)；（3）两边同时除以2，得x 2 + y 2+ ax – ay = 0，所以D = a ，E = – a ，F = 0. 所以D 2 + E 2– 4F ＞0，所以方程（3）表示圆，圆心为(,)22a a -，半径|r a =. 点评：也可以先将方程配方再判断.例2 已知一圆过P (4，–2)、Q (–1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为. 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之.【解析】法一：设圆的方程为： x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ① 将P 、Q 的坐标分别代入①得4220310D E F D E F -+=-⎧⎨--=⎩令x = 0，由①，得y 2+ Ey + F = 0 ④②③由已知|y 1 – y 2| = y 1，y 2是方程④的两根.∴(y 1 – y 2)2 = (y 1 + y 2) – 4y 1y 2 = E 2– 4F = 48 ⑤ 解②③⑤联立成的方程组，得2012D E F =-⎧⎧⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=-⎩⎩D=-10或E=-8F=4 故所求方程为：x 2 + y 2 – 2x – 12 = 0或x 2 + y 2– 10x – 8y + 4 = 0. 法二：求得PQ 的中垂线方程为x – y – 1 = 0 ①∵所求圆的圆心C 在直线①上，故设其坐标为(a ，a – 1)，又圆C的半径||r CP == ②由已知圆C 截y轴所得的线段长为C 到y 轴的距离为|a|.222r a =+ 代入②并将两端平方，得a 2– 5a + 5 = 0，解得a 1 = 1，a 2 = 5.∴12r r ==故所求的圆的方程为：(x – 1)2+ y 2= 13或(x – 5)2+ (y – 4)2= 37.【评析】(1)在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y 轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多.（2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算.例3 已知方程x 2 + y 2 – 2(t + 3)x + 2(1 – t 2)y + 16t 4+ 9 = 0表示一个圆，求（1）t 的取值范围；（2）该圆半径r 的取值范围.【解析】原方程表示一个圆的条件是D 2 +E 2 – 4F = 4(t + 3)2 + 4(1 – t 2)2 – 4(16t 4 + 9)＞0即7t 2– 6t – 1＜0，∴117t -<<（2）2222224224(3)(1)(169)76143167()77D E F r t t t t t t +-==++--+=-++=--+∴2160,07r r <≤<<。

高中数学必修二《圆的标准方程》优秀教学设计

4.1.1圆的标准方程教学设计1．内容和内容解析：内容：圆的标准方程。

内容解析：解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想方法。

其中圆的标准方程的教学目标主要是：一是经历通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，在这个过程中进一步体会坐标法研究几何问题的思想和步骤；二是用两种方法求解圆的方程。

圆是解析几何中一类重要的曲线，在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，处于直线与方程和点，直线与圆的关系的结合点和交汇点上。

学好圆的方程可以为圆锥曲线的学习奠定基础，有利于学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数法解决几何问题的能力。

也是培养学生运用能力和运算能力的重要素材。

从知识的结构和内容上都起到相当重要的作用。

2．教学目标：知识与技能（1）在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；（2）能根据圆心坐标、半径及其特殊情况熟练地写出圆的标准方程；（3）会根据条件选择并求出圆的方程；过程与方法（1）通过平面直角坐标系建立圆的代数方程的过程，让学生进一步体会坐标法在研究几何问题的思想和步骤；（2）通过类比直线方程的学习，发现并理解圆的方程与直线方程学习中相同的知识结构，进一步体会类比的思想；（3）通过求解圆标准的方程，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想；情感态度与价值观通过与直线方程的对比，体会类比思想的应用，让学生学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互联系与转化；3．教学重难点：重点：（1）类比直线方程的学习，掌握圆的标准方程；难点：（1）圆的代数方程的建立过程；（2）圆的标准方程的灵活应用；落实的途径：（1）通过表格，建立直线与方程，圆与方程的结构图，在复习旧知的同时帮助学生经历坐标法建立圆的代数方程的如下过程：首先将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。

高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2

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答案: ±2
题型一圆的标准方程
课堂探究
【教师备用】 1.确定圆的标准方程的条件是什么? 提示:圆心坐标和半径,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗?
提示:不一定.当m=0时表示点(a,b),当m≠0时表示圆.
【例1】已知一个圆经过两个点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y3=0上,求此圆的方程.
解:法一设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
(2 a)2 (3 b)2 r2,
a 1,
由已知条件得
(2

a)2

(5
b)2

r2,
解得
b

2,
a 2b 3 0,
r2 10.
所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
b 0,
则 (5 a)2 (2 b)2 r2,
(3 a)2 (2 b)2 r2.
解得
a 4, b 0, r 5.
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5.
法二因为圆过 A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上.
由题意得
(2

a)2

(6

b)2

r2,
解得
a=2,b=-3,r=5,
(6 a)2 (0 b)2 r 2.
故外接圆方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
(2)设圆心为 O′,
因为|O′M|= 2 32 3 32 =5,|O′N|= (2 5)2 (3 2)2 = 34 >5,

学案3：4.1.1 圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程课标要求1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系．核心扫描1．由已知条件求圆的标准方程．(重点)2．圆的几何性质的应用．(难点)3．准确判断点与圆的位置关系．(易混点)新知探究新知导学1．圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径．(2)圆的标准方程温馨提示(1)在圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就确定了．因此确定圆的方程，需要三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定量条件．(2)求圆的标准方程常用的性质①圆的弦的垂直平分线过圆心；②两条弦的垂直平分线的交点为圆心；③圆心与切点的连线垂直于切线；④圆心到切点的距离等于圆的半径；⑤圆的半径、半弦长、弦心距构成直角三角形；⑥直径所对圆周角为直角等．2．点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在；若|CM| ＞r，则点M在；若|CM|＜r，则点M在．(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在⇔(m－a)2＋(n－b)2＞r2；点M(m，n)在⇔(m－a)2＋(n－b)2＜r2.温馨提示(1)不共线三点确定一个圆．(2)证四点共圆的方法：①证其中一点在另外三点确定的圆上；②证四边形一组对角互补．互动探究探究点1 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆的条件是什么？当表示圆时，圆的半径是多少？探究点2 (1)任意三个点能确定一个圆吗？(2)四个点一定共圆吗？题型探究类型一点与圆的位置关系例1 已知点A(1,2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[规律方法](1)当圆的标准方程的右端含有字母时，不能忽略隐含条件．(2)判定点与圆的位置关系时，即用点到圆心的距离d与圆的半径r作比较，也可用圆的标准方程来判断．活学活用1 (1)点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是() A．(0,1) B．[0,1)C．(1，＋∞) D．{1}(2)点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是()A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．与a的值有关类型二直接法求圆的标准方程例2 求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．[规律方法]常利用圆的几何性质先求出圆心坐标和半径，再代入标准方程．活学活用2 (1)已知圆的圆心为(2，－3)，一条直径的两个端点分别落在x轴，y轴上，求此圆的方程．(2)求圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线y＝－x＋1相切于点(2，－1)的圆的方程．类型三待定系数法求圆的方程例3 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[规律方法]待定系数法求圆的标准方程的一般步骤：①设：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②列：由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解：解方程组，求出a，b，r；④代：将a，b，r代入所设方程，得所求圆方程．活学活用3 一圆过原点O和点P(1，3)，圆心在直线y＝x＋2上，求此圆的方程．方法技巧与圆有关的范围(或最值)问题此类问题，根据我们现在所学的知识一般利用数形结合的方法解决：(1)看作圆上动点到定点的距离或定直线的距离；(2)看作圆上动点与圆外一定点连线的斜率．示例 (1)如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值． (2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求(x －2)2＋(y －3)2的取值范围． [思路分析] (1)看作(x ，y )与(0,0)连线的斜率；(2)看作(x ，y )与(2,3)两点间的距离．【解】(1)法一如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切于上方时y x最大，过圆心A (2，0)作切线l 的垂线交于B ，在Rt △ABO 中，OA ＝2，AB ＝ 3.∴切线l 的倾斜角为60°，∴y x 的最大值为 3.类似地容易求得y x 的最小值为－ 3. 法二令y x＝n ，则y ＝nx 与(x －2)2＋y 2＝3，联立消去y 得(1＋n 2)x 2－4x ＋1＝0,Δ＝(－4)2－4(1＋n 2)≥0，即n 2≤3，∴－3≤n ≤3,即y x 的最大值、最小值分别为3、－ 3.(2)(x －2)2＋(y －3)2可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离．圆心C (0,1)到A (2,3)的距离为d ＝(0－2)2＋(1－3)2＝2 2.由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2,3)的距离的范围是⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12. 所以 (x －2)2＋(y －3)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤22－12，22＋12. [题后反思] 与圆有关的范围(或最值)问题我们现在有两类基本方法(1)数形结合：能化为完全平方式的多项式转化为圆上动点到圆外点的距离；求圆上动点到定直线的距离最小值，利用圆心到直线的距离公式；分式的最值转化为切线的斜率．(2)利用函数思想：通过整体代入，最后化为关于x或y的函数求解．但要注意x、y的取值范围.感悟提升课堂达标1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)，22．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x－2)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝53．已知点(2,0)和(x－2)2＋(y＋1)2＝3，则点与圆的位置关系是________．4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．5．求下列圆的标准方程(1)与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)，半径为5；(2)一条直径的两个端点为(2,0)，(2，－2)．课堂小结1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．3．与圆有关的范围(或最值)问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解.参考答案新知探究新知导学2．(1)圆上圆外圆内(2)圆C 上圆C 外圆C 内互动探究探究点1 提示 m ≠0 |m |探究点2 提示 (1)不一定．当三点不共线时能确定一个圆，否则不能确定一个圆．(2)不一定．当四个点到一个定点的距离都相等或四个点都满足同一个圆的方程或四个点构成的四边形对角互补时共圆，否则四点不共圆.题型探究类型一点与圆的位置关系例1 【解】由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－52，0∪(0，＋∞)．活学活用1 (1)B (2)A【解析】(1)由于点在圆的内部，所以(5a ＋1－1)2＋(a )2＜26，即26a ＜26，又a ≥0，解得0≤a ＜1.(2)把点P (a,10)代入方程的左端，得(a －1)2＋(10－1)2＝(a －1)2＋92＞2，∴点P 在圆外．类型二直接法求圆的标准方程例2 【解】法一设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a,2－a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.活学活用2 【解】(1)设直径的两个端点为(a,0)，(0，b )，则a ＋02＝2，0＋b 2＝－3， ∴a ＝4，b ＝－6.∴圆的半径长为 (4－2)2＋(0＋3)2＝13，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.(2)因为圆心在直线2x ＋y ＝0上，故设圆心为(a ，－2a )，又圆与y ＝－x ＋1相切点(2，－1)，所以|a －2a －1|2＝(a －2)2＋(－2a ＋1)2，解得a ＝1. 所以圆心为C (1，－2)，半径r ＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2.故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.类型三待定系数法求圆的方程例3 【解】法一如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝|AC |2－|AO |2＝52－42＝3.设点C 坐标为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25.法二由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25.∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25.活学活用3 【解】法一 ∵圆心在直线y ＝x ＋2上，∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2，∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(0－a )2＋(0－a －2)2＝r 2，(1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝－14，r 2＝258，∴所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 法二由题意，圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，32，∴弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋3y －5＝0， ∵圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x ＋3y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－14，y ＝74.即圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫－14，74，又圆的半径r ＝|OC |＝ ⎝⎛⎭⎫－142＋⎝⎛⎭⎫742＝258， ∴所求的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －742＝258. 感悟提升课堂达标1．D【解析】由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.2．C【解析】已知圆的圆心(－2,0)关于原点的对称点为(2,0)，故所求对称圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.3．点在圆的内部【解析】把点(2,0)代入圆的方程的左端得(2－2)2＋(0＋1)2＝1＜3，∴点(2,0)在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝3的内部．4．x 2＋(y －2)2＝1【解析】设圆心(0，b )，设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝1，把(1,2)代入得12＋(2－b )2＝1，∴b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.5．【解】(1)法一设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5.∵点A ，B 在圆上，∴A ，B 坐标满足方程(x －a )2＋(y －b )2＝5.把A ，B 坐标代入该方程得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(0－b )2＝5，(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝±1.∴圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5. 法二由A ，B 两点在圆上可知线段AB 是圆的一条弦，∴该圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可设圆心为C (3，b )．又|AC |＝5，即(3－1)2＋b 2＝5，解得b ＝1或b ＝－1，因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.(2)圆心坐标为(2，－1)，圆的半径为(2－2)2＋(－1－0)2＝1，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.。

山东省临沂高一数学新人教A版必修二4.1《圆的方程》学案(1)

圆的方程●知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*）将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E ），半径r =21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0， B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF=0，仅当（A D ）2+（A E ）2－4·AF＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF＞0.●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21 （θ为参数）. ① （θ为参数）. ②C.－71<t <1 D .1<t <2 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1. 答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜131 C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔ ｜a ｜＜131. 答案：D3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）. 答案：（－1，2）5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.解析：Rt △OMC 中，|MP |=21|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0. 答案：x 2+y 2－x －2y －2=0 ●典例剖析【例1】（2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由||||PB PA =a （a >0）得2222)()(yc x y c x +-++=a ，化简，得（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.当a =1时，方程化为x =0.当a ≠1时，方程化为（x －1122-+a a c ）2+y 2=（122-a ac）2.所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1122-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac|为半径的圆.评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.【例2】一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.【例3】已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系.设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC |.∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O .由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|， ∴922++y x =|y +3|.化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. ●闯关训练夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =0 解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：2 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·OQ =0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程. 解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0. Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32.由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵OP ·OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.解：原方程为（x +1）2+（y －3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为x =－1+2cos θ，y =3+2sin θ 22sin （θ+4π），当θ=4π5，即x =－1－2，y =3－2时，x +y 的最小值为3－1－22.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设x y=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（也可由平面几何知识，有OC =2，OP =3，∠POC =60°，直线OP 的倾斜角为60°，（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =3－1+2（sin θ+cos θ）=3－+1直线OP ′的倾斜角为120°解之）（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6.（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1， AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组x －y +1=0，y =0 半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外. （理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程；（2）求半径最小时圆M 的方程. 解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N （－1，－1）为弦AB 的中点，在Rt △AMN 中，|AM |2=|AN |2+|MN |2，∴（m +1）2=－2（n +2）.（*）的解，即圆心坐标为（－1，0）.故动圆圆心M 的轨迹方程为（x +1）2=－2（y +2）. （2）由（*）式，知（m +1）2=－2（n +2）≥0，于是有n ≤－2.而圆M 半径r =12 n ≥5，∴当r =5时，n =－2，m =－1，所求圆的方程为（x +1）2+（y +2）2=5.探究创新9.（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 解：（1）∵P 点斜坐标为（2，－2）， ∴OP =2e 1－2e 2.∴|OP |2=（2e 1－2e 2）2=8－8e 1·e 2=8－8×cos60°=4. ∴|OP |=2，即|OP |=2.（2）设圆上动点M 的斜坐标为（x ，y ），则OM =x e 1+y e 2.∴（x e 1+y e 2）2=1. ∴x 2+y 2+2xy e 1·e 2=1. ∴x 2+y 2+xy =1.故所求方程为x 2+y 2+xy =1. ●思悟小结1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.●教师下载中心教学点睛1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握.拓展题例【例1】圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠P AQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.分析：先求出PQ 中点E 的轨迹方程为x 2+y 2－21x －83=0.再求切点弦PQ 所在直线的方程.解：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则过P 、Q 的切线方程分别是 x 1x +y 1y =1，x 2x +y 2y =1.又M （m ，n ）在这两条切线上，有mx 1+ny 1=1，mx 2+ny 2=1，∵P 、Q 两点的坐标满足方程mx +ny =1，又两点确定唯一一条直线， ∴PQ 所在直线的方程是mx +ny =1.又∵E 为直线OM 与PQ 之交点，解方程组 mx +ny =1 y =mn x ⇒x =22n m m +，y =22nm n+. 将（22n m m +，22nm n +）代入中点E 的轨迹方程得x 2+y 2+34x －38=0. 这就是要求的过P 、Q 两点的切线交点M 的轨迹方程.【例2】如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.解：设P （x ，y ），圆O 1：x 2+（y －1）2=1与直线y =2切于点A ，连结AQ ，易知|AQ |=|AR |=|x |，又|PQ |=|PR |=2－y ，∴在Rt △OQA 中，|OA |2=|AQ |2+|OQ |2，即22=|x |2+［22y x －（2－y ）］2，化简整理得x 2（x 2+y 2－4）=0， ∴x =0或x 2+y 2=4为所求的轨迹方程.。

2021-2022学年人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案：4.1圆的方程 Word版含答案

4.1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．确定圆的几何要素有哪些？2．圆的标准方程是什么？3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去推断？[新知初探]1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系推断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│<r⇔点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2点在圆外│MA│>r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2[小试身手]1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2肯定表示圆( )(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径肯定是a( )答案：(1)×(2)×2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定解析：选A ∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝4预习课本P118～120，思考并完成以下问题求圆的标准方程[典例] 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程． [解] [法一待定系数法]设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. [法二几何法]由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝42＋－32＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[活学活用]已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．解：法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由于A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋5－b 2＝r 2，1－a 2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.法二：由于A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长r ＝－3－02＋1－52＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.点与圆的位置关系[典例] 已知圆C 的圆心为C (－3，－4)，且过原点O ，求圆C 的标准方程，并推断点M 1(－1,0)，M 2(1，－1)，M 3(3，－4)与圆C 的位置关系．[解] 由于圆C 过原点O ，圆心为C (－3，－4) ，所以圆C 的半径长r ＝|OC |＝－3－02＋－4－02＝5，因此圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.由于(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M 1(－1,0)在圆C 内；由于(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M 2(1，－1)在圆C 上；由于(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M 3(3，－4)在圆C 外．推断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)将点的坐标代入代数式(x －a )2＋(y －b )2，比较代数式的值与r 2的大小关系．(3)下结论：若(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，表示点在圆上；若(x －a )2＋(y －b )2＞r 2，表示点在圆外；若(x －a )2＋(y －b )2＜r 2，表示点在圆内．此外，也可以利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系来推断．当d ＞r 时，点在圆外；当d ＝r 时，点在圆上；当d <r 时，点在圆内．[活学活用]已知M (2,0)，N (10,0)，P (11,3)，Q (6,1)四点，试推断它们是否共圆，并说明理由．解：设M ，N ，P 三点确定的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋b 2＝r 2，10－a 2＋b 2＝r 2，11－a 2＋3－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3，r 2＝25.∴过点M ，N ，P 的圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝25.将点Q 的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， ∴点Q 不在圆(x －6)2＋(y －3)2＝25上， ∴M ，N ，P ，Q 四点不共圆.与圆有关的最值问题[典例] 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.求y x的最大值和最小值．[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故yx的最大值为3，最小值为－ 3. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值．解：设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.2．[变设问]在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何学问知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－ab x ＋l b截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．层级一学业水平达标1．方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116解析：选B 圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝126＋42＋－1＋52＝29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.故选B.4．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)．由于直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.故选D.5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3D. 2解析：选B x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 解析：∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2. 答案：±27．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝2－02＋4－02＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝208．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________________．解析：由于已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝2＋12＋－3－12＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝259．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程．解：设圆心为(a,0)，则a －12＋16＝a －22＋9，所以a ＝－2.半径r ＝a －12＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.10．求过点A (－1,3)，B (4,2)，且在x 轴，y 轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－a 2＋3－b 2＝r 2，4－a2＋2－b2＝r 2.消去r 2，得b ＝5a －5.①令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r 2－a 2， ∴在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r 2－b 2， ∴在x 轴上的截距之和是2a .∴2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，∴b ＝56.∴r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－562＝16918.∴圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －562＝16918.层级二应试力量达标1．点P (a,10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．不确定解析：选C ∵(a －1)2＋(10－1)2＝81＋(a －1)2>2，∴点P 在圆外．2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．3．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.由于圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.4．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：选C 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ba －1·－1＝－1，－a ＋12＝b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.5．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________________．解析：圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________．解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为2－32＋3－42＋5＝5＋ 2.答案：5＋ 27．已知圆C 的圆心为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2)． (1)求圆C 的标准方程．(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？求出此时圆C 的标准方程．解：(1)设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∵圆C 过定点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∴r 2＝2x 20－12x 0＋20.∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20. (2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20＝2(x 0－3)2＋2， ∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小．此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.8．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程．解：设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．由于直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.4．1.2 圆的一般方程1．圆的一般方程是什么？有什么特点？2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？3．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？4．圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？[新知初探] 圆的一般方程1．圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为12 D 2＋E 2－4F .[点睛] 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D ，E ，F 为常数)具有以下特点：(1)x 2，y 2项的系数均为1；(2)没有xy 项； (3)D 2＋E 2－4F ＞0. [小试身手]1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2＋y 2＋x ＋1＝0表示圆( )(2)方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆( ) 答案：(1)× (2)√2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)预习课本P121～123，思考并完成以下问题解析：选D 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－42，－62，即(2，－3)．3．若方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则a 的取值范围是________________．解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则2a 2－4a ＞0，∴a 2－2a ＞0，∴a ＜0或a ＞2. 答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)圆的一般方程的辨析[典例] 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0，解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ，故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .推断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D 2＋E 2－4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．[活学活用]1．若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：法一：方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0，即为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ，它表示圆，需满足1－a ＞0，故a ＜1.法二：要使方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，需满足(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得a ＜1.答案：(－∞，1)2．已知曲线C ：x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上．证明：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， ∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 又m ≠2，∴(m －2)2＞0，∴D 2＋E 2＋4F ＞0，即曲线C 是一个圆．设圆心坐标为(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝－m 消去m ，得x ＋2y ＝0，即圆心在直线x ＋2y ＝0上.求圆的一般方程 [典例] 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程． [解] [法一待定系数法]设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0， ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， ③由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.联立①②④解得，⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. [法二几何法]由题意得线段PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径长r ＝|CP |＝a －42＋a ＋12. ①由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |. ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4322，代入①并将两端平方得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5，∴r 1＝13，r 2＝37. 故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)假如由已知条件简洁求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般接受圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)假如已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般接受圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .[活学活用]求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.∵圆心在直线2x －y －3＝0上， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.① 又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上， ∴52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0. ② 32＋(－2)2＋3D －2E ＋F ＝0. ③解①②③组成的方程组，得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5. ∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.代入法求轨迹方程[典例] 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上． (1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程． [解] (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0得圆心C (－3，－2)，则半径r ＝|CA |＝－3－12＋－2－12＝5，所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)．由于点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动，所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25，即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.用代入法求轨迹方程的一般步骤[活学活用]已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．解：以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ② 将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．层级一学业水平达标1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(2，－3)D ．(－2，－3)解析：选C 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0配方，得(x －2)2＋(y ＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C. 2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b )．4．假如方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，故D ＝E .5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)．∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|PA |2＋1＝|PB |2， ∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－22，－－42，即(1,2)，故圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 答案：39．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2＋m －1)．x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，所以m ＝－3或m ＝1.①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝－32，不合题意，舍去；②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2＝114，表示以原点为圆心，以1414为半径的圆．综上，m ＝－3时满足题意．10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程．解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )，由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 层级二应试力量达标1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆． 2．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( ) A ．2或1 B ．－2或－1 C ．2D ．1解析：选C ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足x －82＋y 2＝2x －22＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.4．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝124＋16＋12＝22，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝22＝ 2.∴共有3个点．5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)6．假如圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线相互平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.8．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在其次象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在其次象限，∴－D2＜0，即D ＞0. 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.。

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4.1.1圆的标准方程
学习目标：
知识与技能： 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会判断点和圆的位置关系。

过程与方法：进一步培养学生能用坐标法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问
题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情
和兴趣。

重点难点：
学习重点：圆的标准方程
学习难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

学习过程：
复习问题 1：二元一次方程与直线的关系？
复习问题 2：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？
【A 级】探究问题1：：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
结论 1 ：确定一个圆最基本的要素是：
【B 级】探究问题 2 ：如何用坐标法探求圆的方程（即圆上任意一点横、纵坐标间的关系）？
在直角坐标系中，圆心（点） A 的位置用坐标(a,b)表示，半径r的大小等于圆上任意点 M ( x, y) 与圆心 A(a,b) 的距离，圆心为A的圆就是集合
P M MA r 。

由两点间的距离公式，点M 的坐标适合的条件可以表示为
( x a) 2( y b) 2r
①
①式两边平方，得
( x a) 2( y b) 2r 2
结论 2 ：圆的标准方程
( x a) 2( y b) 2r 2
圆心为A(a,b)，半径为r。

思考：1：方程( x a) 2( y b) 2r 2与圆的关系是什么？
2：回顾推导过程，怎样推导出圆的标准方程？
3：当圆心为原点时，方程形式是什么？
4：由圆的标准方程，能否直接求出其圆心坐标和半径？
5：确定圆的标准方程需要什么条件？
四、【合作探究】
【B 级】探究问题3：点M0(x0 , y0 ) 在圆x2y 2r 2内的条件是什么？在圆x2y 2r 2外的条件是什么？若方程为(x a)2( y b) 2r 2呢？
例 1：写出圆心为A(2, 3) ，半径长等于 5 的圆的方程，并判断点M 1(5, 7) ，M 2 (5, 1) 是否在这个圆上。

结论 3 ：设点到圆心的距离为 d ，圆的半径为r ，则点在圆外 d r ;点在圆上
d r ；点在圆内d r
P(x0 , y0 ) 和圆 ( x a) 2( y b) 2r 2有：
(x0a) 2( y0b)2r 2
(x0a) 2( y0b)2r 2
(x 0a) 2( y0b)2r 2
【 B 级】探究问题4：求圆的标准方程的步骤。

例 2：ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1) ， B(7,3) ，C(2,8) ，求它的外接圆的
方程。

结论 4 ：用待定系数法求圆的标准方程的步骤：
例 3：已知圆心为 C 的圆经过点A(1,1) 和 B(2, 2) ，且圆心C在直线 l : x y 10 上，求圆心为 C 的圆的标准方程。

反馈练习：
1．圆( x2)2( y 3)2 2 的圆心和半径分别是（）
A．( 2,3)，1B．
(2,3)，3． (2,3)，
2
D．
(2,3)
，
2 C
2．过点A(1,1) 、 B( 1,1)且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是（）
A. ( x 3)2( y 1)24
B. ( x 3)2( y 1)24
C. ( x 1)2( y 1)24
D. ( x 1)2( y 1)24
3. 点M (a, a)与圆 ( x a2)( y2a)的2a 位置关系是
点M 在
圆.
4．写出下列圆的标准方程
（ 1）圆心在C ( 3,4)，半径长为 5 的圆的标准方程.
（ 2）圆心在C (8,3)，且过点 M (5,1) 的圆的标准方程.
（ 3）求以点A(1,2)为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程；
（ 4）已知两点P(4,9)，Q (6,3)，求以线段PQ为直径的圆的方程．
5 ．圆C：(x 5)2( y 4) 2
6 关于直线 x y 0对称的圆的方程.
6．求过两点A(0, 4)，B(4,6)，且圆心在直线x 2 y20 上的圆的标准方程．。