三角函数图象与性质的综合问题含解析

全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 1 三角函数图象与性质的综合问题 1．(优质试题·漯河高级中学二模)已知函数y＝sinπ3x＋π6在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9

解析：选B 函数y＝sinπ3x＋π6的周期T＝6，当x＝0时，y

＝12，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝sin( π3x＋π6 )在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.

2．(优质试题·合肥高三调研)已知函数f(x)＝sinωx＋π6的

图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则ω的最小正值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4

解析：选B 将函数f(x)＝sinωx＋π6的图象向右平移π3个单

位长度后得到函数g(x)＝sinωx－ωπ3＋π6的图象，因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以－ωπ3＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝－3k－1.易知当k＝－1时，ω取最小正值2，故选B. 3．(优质试题·东北五校协作体模考)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 2 若|a－b|的最小值是1，则f16＝( ) A．2 B．－2 C.32 D．－32 解析：选B 因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0奇函数，所以cos φ＝0(0ωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin

πx，所以f16＝－4sin π6＝－2，故选B.

4．(优质试题·武昌调研)已知函数f(x)＝2sinωx＋π6－1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A．3 B.32

C.43 D.23 解析：选A 将f(x)的图象向右平移2π3个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sinωx－2π3＋π6－1＝2sinωx－2ωπ3＋π6－1，由题意知2ωπ3＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z，因为ω>0，所以ω的最小值为3，故选A. 全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 3 5．(优质试题·衡水中学月考)将函数f(x)＝sin 2x图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象．若g(x)在区间[0，a]上单调递增，则a的最大值为( ) A.π8 B.π4

C.π6 D.π2 解析：选D f(x)的图象向右平移π4个单位长度得到g(x)＝sin[ 2x－π4 ]＝－cos 2x的图象．根据余弦函数的图象可知，当0≤2x≤π，即0≤x≤π2时，g(x)单调递增，故a的最大值为π2. 6．(优质试题·郴州一中月考)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0,0

0，π

2

时，方程f(x)＝2a－3有两个不等的实根，则实数a的取值范围是( )

A．[3，2] B.12，3

C．[1,2] D.334，3 解析：选D ∵点－π12，0在函数图象上，∴Asin[ 2×－π12＋φ ]＝0.∵0Asin2×π12＋π6＝32，∴A＝3，∴f(x)＝3sin2x＋π6.∵x∈全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 4 0，π2，∴2x＋π6∈π6，7π6，当方程f(x)＝2a－3有两个不等的

实根时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a－3有两个不同的交点，由图象可知32≤2a－3<3，∴334≤a<3.故选D. 7．(优质试题·湖北部分重点中学第一次联考)已知函数f(x)＝1x＋a，若存在φ∈π4，π2，使f(sin φ)＋f(cos φ)＝0，则实数

a的取值范围是( )

A.12，22 B.－22，－12

C.0，12 D.－12，0 解析：选B 由题意，1sin φ＋a＋1cos φ＋a＝0有解，∴sin φ＋a＋cos φ＋a＝0，∴－2a＝sin φ＋cos φ＝2sinφ＋π4.∵φ∈π4，π2，∴φ＋π4∈π2，34π，∴sin( φ＋π4 )∈22，1，∴2sinφ＋π4∈(1，2)，∴－2a∈(1，2)，∴a∈－22，－12.当－2222，∴sin φ＋a≠0.又∵(sin φ＋a)＋(cos φ＋a)＝0，∴cos φ＋a≠0.故当a∈－22，－12时，方程1sin φ＋a＋1cos φ＋a＝0有解．故选B.

8．(优质试题·广雅中学、东华中学、河南名校第一次联考)已全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 5 知函数f(x)＝(1－2cos2x)sin3π2＋θ－2sin xcos xcos( π2－θ )|θ|≤π2在－3π8，－π6上单调递增．若fπ8≤m恒成立，则实数m的取值范围为( ) A.32，＋∞ B.12，＋∞

C．[1，＋∞) D.22，＋∞ 解析：选C ∵f(x)＝(1－2cos2x)sin3π2＋θ－2sin x·cos xcosπ2－θ＝－cos 2x(－cos θ)－sin 2xsin θ＝cos(2x＋θ)，

当x∈－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x＋θ≤－π3＋θ，∴由函数

递增知 －π≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤0，解得－π4≤θ≤π3.∵fπ8＝cosπ4＋θ，0≤π4＋θ≤7π12，∴fπ8≤1.∵fπ8≤m恒成立，∴m≥1.故选C. 9．(优质试题·江西师大附属中学月考)已知函数f(x)＝

sinωx＋π6，其中ω>0.若|f(x)|≤fπ12对x∈R恒成立，则ω的最小值为________． 解析：由题意得π12ω＋π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝24k＋4(k全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 6 ∈Z)，由ω>0知，当k＝0时，ω取到最小值4. 答案：4

10．(优质试题·新余一中模拟)已知函数f(x)＝2sin

ωx＋π

4

(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为________．

解析：由0≤x≤1得π4≤ωx＋π4≤ω＋π4，若函数f(x)＝

2sinωx＋π4(ω>0)的图象在区间[0,1]上恰有3个最高点，根据正弦函数图象可知，应满足4π＋π2≤ω＋π4<6π＋π2，解得17π4

≤ω<25π4.

答案：17π4，25π4 11．(优质试题·山东、湖北部分重点中学联考)已知函数f(x)＝cos2ωx－π6＋3sinωx－π6cosωx－π6－12(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值．

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．求函数g(x)在[－π，π]上的单调递减区间和零点．

解：(1)f(x)＝cos2ωx－π6＋3sinωx－π6cos( ωx－π6 )全国名校高考数学复习优质课时训练汇编（附详解） 7 －12＝12[ cos2ωx－π3＋3sin( 2ωx－π3 ) ]＝sin2ωx－π6，由T＝2π2ω＝π得ω＝1. (2)∵f(x)＝sin2x－π6，∴g(x)＝sinx＋π6， g(x)在[－π，π]上的单调递减区间为( －π，－2π3 )，

π3，π，零点为x0＝kπ－π6(k∈Z)．

又∵x0∈[－π，π]，∴g(x)在[－π，π]上的零点是－π6，5π6. 12．(优质试题·阳江调研)已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)＝－2(sin x＋cos x)＋b，g(x)＝asin xcos x＋a2＋1a＋2.

(1)若x∈(0，π)，f(x)＝－255＋b，求sin x－cos x的值； (2)若不等式f(x)≤g(x)对任意的x∈R恒成立，求b的取值范围．

解：(1)依题意得sin x＋cos x＝105，∴sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝25，即2sin xcos x＝－35，∴1－2sin xcos x＝85，即sin2x＋cos2x－2sin xcos x＝(sin x－cos x)2＝85，由2sin xcos x＝－35<0，x∈(0，π)，得x∈π2，π，∴sin x>0，cos x<0，∴sin x－cos x>0，∴sin x－cos x＝2105.