三角函数的图像与性质

π ＋ ]，k∈Z. 2
栏 目 链 接
考点探究
变式探究
1．(1)(2013· 江苏泰州调研)函数y＝lg(sin x)＋ π 2kπ ， ＋2kπ (k∈Z) 3 定义域为________ ． (2)函数y＝tan 1 cos x－ 的 2
π π － ＋kπ ， ＋kπ (k∈Z) x(－1＜y＜1)的定义域是________ ．4 4
栏 目 链 接
所以f(x)的值域为[2，1＋ 3]． 点评：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期和最值的求解，注意最小 2π 正周期公式T＝ 的使用，容易忽略分母的绝对值；求最值时，要结合角的 |ω | 范围，利用三角函数的单调性求解．
考点探究
变式探究
3．(1)当函数y＝sin x－ 3cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝ 5π ________ ． 6 π (2)已知函数f(x)＝3sin(ωx－ )(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图 6
4π π 11π ＝－1， ＋φ＝2kπ－ ，k∈Z，φ＝2kπ－ ，k∈Z，因为 3 2 6 π π 0<φ< ，所以k＝1，解得φ＝ . 2 6
π 函数的解析式为：f(x)＝2sin2x＋ ＋1. 6
栏 目 链 接
考点探究
π (2)因为x∈ 0， ， 12 π π π π 所以2x∈0， ，2x＋ ∈ ， ， 6 6 6 3 π 1 π 3 sin 2x＋ ∈ ， ，∴2sin 2x＋ ∈[1， 3]， 6 6 2 2 π 2sin2x＋ ＋1∈[2，1＋ 3]， 6
ω的符号，若ω<0，则通过诱导公式先将ω化为正数再求．
考点探究
1 π 2x 1 2x π 解析：(1)∵y＝ sin － ＝－ sin － ，且函数y＝sin x的单调 2 4 2 3 4 3 π π π 3π 2 k π＋ ， 2 k π＋ 递增区间是 2kπ－ ，2kπ＋ ，单调递减区间是 2 2 2 2 (k∈Z)． π 2x π π 3π 9π ∴由2kπ－ ≤ － ≤2kπ＋ 3kπ－ ≤x≤3kπ＋ 2 2 8 8 3 4 (k∈Z)， π 2x π 3π 9π 21π 由2kπ＋ ≤ － ≤2kπ＋ 3kπ＋ ≤x≤3kπ＋ ( k∈ 2 2 8 8 3 4 Z)， 3π 9π 即函数的单调递减区间为[3kπ－ ，3kπ＋ ](k∈Z)，单调递增区间为 8 8 9π 21π [3kπ＋ ，3kπ＋ ]（k∈Z）. 8 8
π π 0<x< 或π≤x≤4，所以函数的定义域是0， ∪[π，4]． 2 2 π π ②sin(cos x)≥0 0≤cos x≤1 2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈ 2 2 π π Z，所以函数的定义域是x2kπ－2≤x≤2kπ＋2，k∈Z. ③由sin(cos x)＞0 2kπ＜cos x＜2kπ＋π(k∈Z)，
3 － ，3 π 2 ． 象完全相同，若x∈0， ，则f(x)的取值范围是________ 2
栏 目 链 接
考点探究
π 解析：(1)函数为y＝sin x－ 3cos x＝2sinx－ ，当0≤x＜2π 3
π π 5π π π 时，－ ≤x－ ＜ ，由三角函数图象可知，当x－ ＝ ，即x 3 3 3 3 2 5π 5π ＝ 时，函数取得最大值，所以x＝ . 6 6 (2)由已知，两函数周期相同，所以ω＝2.所以f(x)＝
【例1】 (1)求下列函数的定义域：①y＝ 2＋log1x 2 ＋ tan x ； ②y ＝
sin（cos x）；③y＝lg sin(cos x)． (2)已知f(x)的定义域为[0，1)，求f(cos x)的定义域． 思路点拨：对于(1)，转化为解不等式(组)问题来解决；对于(2)，要使0≤cos x<1. 自主解答：
考点探究
考点2 求三角函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间：
π 1 π 2x (1)y＝ sin － ； (2)y＝－sinx＋ . 2 4 4 3
π 1 2 思路点拨：对于(1)，要将原函数化为y＝ － sin( x－ )，再求 2 3 4
栏 目 链 接
考点探究
π π (2)已知函数y＝tan ωx在－ ， 内是减函数，则( 2 2
B )
A．0＜ω≤1 B．－1≤ω≤0 C．ω≥1 D．ω≤－1
π 解析：(1)∵函数f(x)＝sin πx＋ ＝cos πx，故函数为偶函数，故 2
排除C、D. 当x∈[0，1]时，πx∈[0，π]，函数y＝cos πx是减函数，故选A. π π (2)∵y＝tan ωx在－ ， 内是减函数，必有ω＜0， 2 2
π π 当|ω|＞1时，图象的周期小于π，则不能保证在 － ， 内是减函数， 2 2
栏 目 链 接
故－1≤ω≤0.故选B.
考点探究
考点3 求三角函数的最小正周期、最值(值域)
【例3】 (2013· 惠州一模)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋
2 π 1x∈R，其中A>0，ω>0，0<φ< 的周期为π，且图象上一个最低点为M3π，－1. 2
第三章 三角函数与解三角形
第五节 三角函数的图像与性质
考纲要求
1. 能画出y＝sin x，y=cos x,y=tan x的图像。 2. 理解正弦函数、余弦函数在区间 [0，2π] 上的性质（如值
域、单调性、奇偶性、最大值和最小值以及与 x轴交点等，）理解正 切函数在区间(－
π
2
,
π
2
)上的性质，了解三角函数的周期性。
课前自修
基 础 回 顾
一、正弦函数、余弦函数、正切函数 的性质（表格中各式的k∈Z）
栏 目 链 接
课前自修
栏 目 链 接
课前自修
二、研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的方法
类比于研究 y ＝ sin x 的性质，只需将 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 中
的ωx＋φ看成y＝sin x中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区 间时，要特别注意 A和 ω的符号，通过诱导公式先将 ω化为正 数．研究函数 y ＝ Acos(ωx ＋ φ) ， y ＝ Atan(ωx ＋ φ) 的性质的方 法与其类似，也是类比、转化． 栏 目 链 接
考点探究
变式探究
π 2．(1)(2013· 江门二模)函数f(x)＝sinπx＋ ，x∈[－1，1]，则 2
( A ) A．f(x)为偶函数，且在[0，1]上单调递减 B．f(x)为偶函数，且在[0，1]上单调递增 C．f(x)为奇函数，且在[－1，0]上单调递增 D．f(x)为奇函数，且在[－1，0]上单调递减
π ∴函数的定义域为x2kπ<x≤ ＋2kπ，k∈Z. 3
栏 目 链 接
π π π π (2)当x∈ － ， 时，y＝tan x(－1＜y＜1)的解是 － ， ，利用正 2 4 2 4
切函数的周期性得函数的定义域为 (－
π π ＋kπ， ＋kπ)(k∈Z)． 4 4
栏 目 链 接
考点探究
sin x>0， 解析：(1)要使函数有意义必须有 1 cos x－2≥0， sin x>0， 即 1 cos x≥ ， 2 2kπ<x<π＋2kπ， 解得 π (k∈Z)， π － 3 ＋2kπ≤x≤ 3 ＋2kπ
π ∴2kπ<x≤ ＋2kπ，k∈Zπ 3 1 1 π＋ ω＝2k＋2，k∈Z .又ω>0，令k＝0，得ω＝2(如k>0， 2 则ω≥2，T≤π与已知矛盾)．
4π 4πω π 解析：由题意f ＝sin － ＝1 6 3 3
栏 目 链 接
考点探究
考点1 求与三角函数有关的函数的定义域
(1)求f(x)的解析式；
π (2)当x∈0， 时，求f(x)的值域． 12
栏 目 链 接
思路点拨：(1)通过函数的周期求出ω，利用函数图象上一个最低点求出 A，列出关系 式求出φ，推出函数的解析式． (2)利用函数的解析式，通过x的范围，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函 数的值域即可．
π 2．(2014· 广州测试)若函数y＝cos wx＋ (w∈N*)的一 6 π 个对称中心是 ，0，则w的最小值是( 6
B ) 栏 目 链 接
A．1 B．2 C．4 D．8
课前自修
3. (2014· 江苏卷)已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，
栏 目 链 接
点评：函数的定义域就是使函数解析式各部分有意义的自变量的取值范围，因此 转化为求不等式(组)的解集问题来解决．要解三角不等式，常用的方法有：(1)利用图 象；(2)利用三角函数线．
考点探究
解析：(1)①
tan x≥0， x>0
2＋log1x≥0， 2
0<x≤4， π kπ≤x<kπ＋ 2 ，k∈Z，
栏 目 链 接
又∵－1≤cos
x≤1，∴0＜cos
x≤1，∴所求定义域为
π π 2kπ－ ，2kπ＋ ，k∈Z. 2 2
考点探究
(2)0≤cos x＜1 (k∈Z)，
π ∴所求函数的定义域为 2kπ－2，2kπ ∪(2kπ，2kπ
π π 2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，且x≠2kπ 2 2
π 之；对于(2)，可画出y＝－sinx＋ 的图象，进而求之． 4
栏 目 链 接
自主解答：
考点探究
点评：(1)熟练掌握正、余弦函数y＝sin x，y＝cos x的 单调区间是迅速正确求解正、余弦型函数单调区间的关 键．特别提醒，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z. (2)在求 y＝ Asin(ωx＋ φ)的单调区间时，要特别注意 A和 栏 目 链 接