概率论与数理统计课程报告：泊松分布及其在实际中的应用

泊松分布及其在实际中的应用
摘要：本文从泊松分布的定义和基本性质出发，举例讨论了泊松分布在实际中的重要应用。

关键字：泊松分布；应用；运筹学；分子生物学；核衰变
泊松分布是法国数学家泊松于1837年引入的，是概率论中的几大重要分布之一。

作为一种常见的离散型随机变量的分布，其在实际中有着非常广泛的应用。

1泊松分布的定义及基本知识
1.1定义：
（1）若随机变量X 的分布列为 ），
⋯=>=
=-,2,1,0(0,!
)(k k e k X P k λλλ
则称X 服从参数为λ的泊松分布，并用记号X~P(λ)表示。

（2）泊松流：
随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构成的序列。

若质点流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该质点流为泊松事件流(泊松流)。

例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可以看作泊松流。

1.2有关泊松分布的一些性质
（1）满足分布列的两个性质：P(X=k)≥0(k=0,1,2,…）， 且有
1!!
)(0
=⋅====-
∞
=-∞=∞
=-∑∑∑
λλλ
λ
λλe e k e
k e k X P k k
k o
k k .
（2）若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的期望和方差分别为：E （X)=λ; D(X)=λ.
（3）以n ，p 为参数的二项分布，当n →∞，p →0时，使得np=λ保持为正常数，则
λλ--→
-e k p p C k
k
n k k n
!
)
1(对于k=0,1,2，…一致成立。

由如上定理的条件λ=np 知，当n 很大时，p 很小时，有下面的近似公式
λλ--→
-=e k p p C k P k
k
n k k n
n !
)
1()(
2泊松分布的应用
对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程, 都可以很自然的应用于泊松分布的理论。

在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ，减少了对参数的确定与修改工作量, 模型构建比较简单, 具有很重要的实际意义。

以下具体举例说明泊松分布在实际中的重要应用。

（1）泊松分布在经济生活中的应用：
泊松分布是经济生活中的一种非常重要的分布形式，尤其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。

如物料订单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港发
货船期的调度等等都需要用到泊松分布。

例1：下面讨论一个泊松分布在商场现代化管理中的应用。

某商场一天内来的顾客数、一天内顾客购买的商品数等均服从或近似服从泊松分布 实例：若商场一天内来k 个顾客的概率服从参数为λ的泊松分布，而且每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其概率为p 。

讨论一天内有顾客买东西的概率
设k A =“商场一天内来k 个顾客”（0,1，…r ，…），B=“商场一天内有r 个顾客购买商品”， 则!
)(k e A P k k λ
λ-=（k=0,1,…，r ，…）； P(r
k r r k k p p C B A --=)1()|(k=r,…）
则
=
-==--∞
=∞=∑
∑r k r r k k r
k k k k p p C k e A B P A P B P )1(!
)|()()(0
λ
λ=-=+-=+-=-+∑∑∑∑
∞
=-∞
=+-∞
=-++∞
=-+00
00
!)]1([!)()!()]1([)()!()]1([)()1()!(i i
r i i r r i r i i r r r i i
r
r
r
i i r l i p r e p r i P C e p r i e p p C p P C r i e λλλλλλλλλ
λλ
!
)(!)()1(r e p e r e p p
r p r λλλλλ---=
讨论一天内买东西的顾客数的数学期望：
设商场内一天购买东西的顾客为X ，则!
)()(r e p r X P p
r λλ-==，（r=0,1,…），
即X ～)(p P λ，所以p X E λ=)(，所以商场一天内购买商品的平均顾客数为：p λ．
例2：接下来讨论泊松分布在事故发生预测的应用。

通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p =0.0001,假设在某路段时间内有1000辆汽车通过此路口，则求在此时间段内发生事故次数X 的概率分布。

通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可以看成n =1000次伯努利试验，所以X 服从二项分布，由于n =1000很大，且p =0.0001很小，且np =0.1，所以X 服从泊松分布，
),,1,0(!
)
1()(n m e m np p p C m X P np m m
n m n
m n =≈-==--。

此段时间内发生2次以上事故的概率为：
0045.0!
11.0!01.01)2(1
.01.00=--=≥--e e x P
（2）泊松分布在生物学中的应用：
在生物学研究中, 服从泊松分布的随机变量是常见的，如每升饮水中大肠杆菌数, 计数器小方格中血球数, 单位空间中某些野生动物或昆虫数等都是服从泊松分布的。

泊松分布在生物学领域中有着广阔的应用前景，对生物学中所涉及到的概率研究起到了重要的指导作用。

例：泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应用 判断基因克隆过程的分布情况：由于基因组DNA 是从大量细胞中提取的, 每个细胞中均含有全部基因组DNA, 那么每一种限制性片段的数目是大量的, 因此可以说各限制性片段的数目是相等的。

在基因克隆中,基因组DNA 用限制性酶切割后与载体混合反应以及随后的过程均是随机的生化反应过程。

一, 对克隆来说一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有这两种结果;第二, 由于总体限制性片段是大量的, 被克隆的对总体影响很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的概率为f( f 较小) , 不被克隆的概率为1- ,f 且克隆时这两种概率都不变。

综上所述, 基因克隆过程符合泊松分布。

设p 为基因被克隆的概率; N 为要求的克隆的概率为p 时一个基因文库所需含有重组DNA 的克隆数; f 为限制性片段的平均长度与基因组DNA 总长度之比, 若基因组DNA 被限制性酶切割成n 个DNA 片段,f 即
n
1。

则在克隆数为N 时，任一段被克隆一次或一次以上的概率为Nf e p p --=-=1)0(1，可推出
f
p N )
1ln(-=
,一般要求目的基因序列出现的概率p 的期望值定为99%，那么n n p n N 4605)99.01ln()1ln(=--=--=。

在分子生物学中，上述一个完整的基因文库所需克隆数的估计对基因克隆实验方案的设
计具有重要意义。

（3)泊松分布在物理学中的应用：
泊松分布在物理学中的应用十分广泛，如热电子的放射，某些激光场的分布等等都服从泊松分布。

例：
对某一放射性物质而言, 各相邻原子群体之间, 其中一个原子核的衰变, 对相邻的原子核而言, 可视为外界的变化, 而这种外界的变化, 不会影响相邻原子核的衰变过程。

即在某一放射性物质中, 各个原子核的衰变过程, 互不影响, 相互独立。

因此衰变过程满足独立性。

放射性原子核的衰变过程是一个相互彼此无关的过程，所以放射性原子核衰变的统计计数可以看成是一种伯努利试验问题。

若在一个原子核体系中，单位时间原子核发生衰变的概率为t
e
p λ--=1，则没有发生衰变的概率为t
e
p q λ-=-=1。

由二项分布得到，在t 时间内
的核衰变数为n 的概率为n
N n N N p p C n P --=00
)1()(。

（1）
由于在放射性衰变中，原子核数目0N 很大，而p 相对很小，并且满足1<<t λ，所以
上式可以近似化为泊松分布，因为此时00N p N m <<=，对于m 附近的n 值可得到：
000
)()1()1()2)(1(0
0000pN n N p n N n
n N e e p N n N N N N C ----=≈-≈+---=
带入（1)式中得到：0!
)(0pN
n n
e p n N n p -=
令p N m 0=，得到:m
n e n m n p -=!
)(,即为泊松分布。

并且有m m n E ==2,)(σ。

综上，泊松分布作为概率论中最重要的几个分布之一，具有很多特殊的性质和作用，在实际中有着广泛的应用。

通过此次对泊松分布的性质及其应用的讨论，我深刻体会到，我们在学习概率论与数理统计这门课的过程中，不仅要注重相关公式的推导和理解，更要学会了解相关知识在现实生活和其他学科中的应用。

参考文献：
【1】王勇，田波平.概率论与数理统计.北京：科学出版社. 【2】赵瑛.关于泊松分布及其应用.辽宁省交通高等专科学校学报. 【3】庄军，林奇英.泊松分布在生物学中的应用.激光生物学报。