椭圆与双曲线离心率专题
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中 何泉清解几是高考重点考查的内容，故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点．一、求离心率的值 求解椭圆、双曲线离心率的值的方法：一是直接利用其定义；二是利用直线与其位置关系，转化到一个关于离心率e 的方程来求解．例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点，1PF ·2PF =0，且tan ∠P F 1F 2=21，则此双曲线的离心率e = ． 解：如图1，∵1PF ·2PF =0，∴△P F 1F 2为直角三角形．∵tan ∠P F 1F 2=21，∴12PF PF =21，即| P F 1|=2| P F 2|． 又| PF 1|-| PF 2|=2a ，| PF 1|2+| PF 2|2=（2c ）2， 图１∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2， ∴22ca =5，则e =c a =5．例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点，CD 是过F 1的弦，且与x 轴成α角（0＜α＜)π，若△F 2CD 的周长为20，则椭圆的离心率e =．解：如图2，∵| CF 1|+| CF 2|=2a ，|DF 1|+|DF 2|=2a ，∴两式相加，得：| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a ．∴a =5，又b =3，∴c =4, 则e =a c =54． 图２ 点评：例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的．例3 设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（b ，0）两点．已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．2或332 解：由l ： by a x -=1，得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ，又a 2+b 2=c 2， ∴ab =43c 2，∴a 2b 2= 163c 4，即a 2c 2-a 4=163c 4，两边同除以a 4，则e 2-1=163e 4，解得e =2或e =332． 又b ＞a ＞0，∴ab ＞1，即e 2-1＞1，e 2＞2． ∴e =2．故选A ．例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2，则椭圆的离心率e 的（ ）A ．21B ．22C ．23D ．2-1解：设半焦距为c ，则F 2（c ,0）．∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2，∴M （c , 22c ）． ∴22a c +22)22(bc =1，又a 2-c 2=b 2， ∴22ac +)(2222c a c -=1， 整理得，2c 4-52a c 2+2a 4=0，即2e 4-5e 2+2=0．∴e 4=21，故选B ． 点评：例3、例4求离心率的方法是有相同的特点：先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式，然后等式两边同除以a 的方幂，得到一个关于离心率的方程，解出e 并注意条件即得到所求．二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围，直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件，图形的直观性，实数的非负性或已知变量的取值范围（隐含条件的不等关系）等来确立含离心率e 的不等式，从而获解．例5 已知椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 、B ，如果椭圆上存在点P ，使得∠APB =1200，求椭圆的离心率e 的取值范围．解法一：设P （x 0，y 0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x 0＜a , 0＜y 0≤b ．∵A （-a ，0），B （a ，0）， ∴PA k =a x y +00，PB k =ax y -00． ∵∠APB =1200，∴tan ∠APB =-3，又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+， ∴2202002a y x ay -+=-3，……① 而点P 在椭圆上，∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -．∵0＜y 0≤b ，∴0＜)(32222b a ab -≤b ．∵a ＞b ＞0，∴2ab ≤3（a 2-b 2），即4 a 2b 2≤3 c 4，整理得，3e 4+4e 2-4≥0．考虑0＜e ＜1，可解得36≤e ＜1． 解法二：以AB 为弦，含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个，至少有一个，所以上顶点D （0，b ）在弓形内，即∠ADB ≥0120， ∴∠ODB ≥600（点O 为坐标原点），∴ba ≥3，即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2)， 则e 2≥32． ∴33≤e ≤1． 点评：椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式．解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式，简化了求解过程．下面再看例6对这一方法漂亮的应用．例6 已知椭圆2222by a x +=1（a ＞b ＞0）上有点P ，使∠F 1PF 2为直角，求椭圆离心率的取值范围．解：依题意知，以F 1F 2为直径的圆Ｃ与椭圆必有公共点P ，则椭圆短轴上端点B 必在圆Ｃ的内部或圆上，即|OB |≤r =c （r 为圆Ｃ的半径），∴b ≤c ，∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2，则22≤e ＜1． 点评：本题还有其他多种解法，请同学们试试．例7 过双曲线2222by a x -=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点．求双曲线离心率的取值范围．解：设F （c ,0），则直线AB 的方程为y =x -c ，且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222，消去y ，得2222)(b c x a x --=1， 即（a 2- b 2）x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0．∵直线AB 与双曲线有两个交点，∴a 2- b 2≠0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2222b a c a -，x 1x 2=22222)(ba cb a -+． 又∵A 、B 分别在双曲线的右支上， ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ，即a 2＞ b 2，a 2＞c 2- a 2， ∴e 2＜2，则1＜e ＜2．点评：本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式，亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解．例8 已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |，点E 满足=λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线e 的取值范围． 解：以AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图3，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称．设A （-c ,0）， C （2c ,h ）， E （x 0,y 0）,其中c =21|AB |，h 是梯形的高． ∵=λ， 图３∴（x 0+c ，y 0）=λ（2c -x 0，h -y 0）， ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h ． 设双曲线方程为2222by a x -=1， ∵C 、E 在双曲线上，并考虑e =a c ， ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1，代入(2)，得42e （4-4λ）=1+2λ， ∴λ=1-132+e ，由32≤λ≤43，得32≤1-132+e ≤43， 解得7≤e ≤10． 故双曲线离心率的取值范围为[7，10]．点评：本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解．―――原载《广东教育》2005年第18期。
求椭圆及双曲线的离心率的习题
求椭圆的离心率1、已知F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率． e ＝53.2、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ＝2FD ，则C 的离心率为________．解析：答案：333、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF＝2FD ，则C 的离心率为________．如图，设椭圆的标准方程为22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)不妨设B为上顶点，F 为右焦点，设D (x ，y )．由BF ＝2FD ，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，即2()2c x c b y =-⎧⎨-=⎩，解得322c x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，D (32c ，－2b )．由D 在椭圆上得：22223()()22b c a b -+＝1， ∴22c a＝13，∴e ＝ca.4、设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.椭圆C 的离心率 ；解：设1122(,),(,)Ax y B x y ，由题意知1y ＜0，2y＞0.直线l 的方程为)y x c =-，其中c =联立2222),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)30a b y cy b ++-=解得12y y ==因为2AFFB =，所以122y y -=. 即2= 得离心率 23c e a ==.5．已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于________．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，M为线段AB 的中点，若∠MOA ＝30°，则该椭圆的离心率为________． 答案：637．已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )A.15B.25C.45D.215，故选B. 8、设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．e ＝33.9．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为F 、2F ，以1F 、2F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e 为 （ B ）A B 1 C ．4(2- D 10、已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A.22B.24C.12D.3211、如图所示，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1P A 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．易知直线B 2A 2的方程为bx ＋ay －ab ＝0，直线B 1F 2的方程为bx －cy －bc ＝0.联立可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ac a ＋c ，b （a －c ）a ＋c .又A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，所以PB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ac a ＋c ，－2ab a ＋c ，P A 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a （a －c ）a ＋c ，－b （a －c ）a ＋c . 因为∠B 1P A 2为钝角，所以P A 2→·PB 1→<0， 即－2a 2c （a －c ）（a ＋c ）2＋2ab 2（a －c ）（a ＋c ）2<0.化简得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1>0即e 2＋e －1>0，. 而0<e <1，所以5－12<e <1求双曲线的离心率1、已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．由三角形相似或平行线分线段成比例定理得26＝a c ，∴ca ＝3，即e ＝32、已知F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为( )A.3＋1B.2＋1 C ．2 3 D ．22 选B 3、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±12x ，则该双曲线的离心率e 等于( )A ．5 B.5 C.52 D.54选C 2.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( )A B C D 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因此222,4,ABBC a b e =∴=∴= C4、设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5 D ．2 3 如图，设P 为右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，最小角∠PF 1F 2＝30°， 由余弦定理得：(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ·cos 30°， 解得e ＝ca＝ 3.5、过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________． 解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，。
椭圆和双曲线离心率
椭圆和双曲线离心率
椭圆和双曲线是数学中常见的曲线形状，它们在几何学和物理
学中有着广泛的应用。
其中，离心率是描述这两种曲线形状的重要
参数之一。
首先，让我们来看看椭圆。
椭圆是一个闭合曲线，其形状类似
于圆形，但在一个方向上被拉长。
离心率是描述椭圆形状的一个重
要参数，它表示椭圆的偏离程度。
当离心率为0时，椭圆退化成为
一个圆；而当离心率接近于1时，椭圆的偏离程度越大。
离心率的
大小决定了椭圆的形状，对于行星轨道、椭圆运动等现象有着重要
的物理意义。
接下来，我们来谈谈双曲线。
双曲线是另一种常见的曲线形状，其形状类似于两个分离的开口。
与椭圆类似，双曲线也有离心率这
一重要参数。
离心率描述了双曲线的形状，当离心率为1时，双曲
线的两支曲线将无限延伸；而当离心率小于1时，双曲线的形状更
加紧凑。
椭圆和双曲线的离心率不仅在数学中有着重要的意义，而且在
物理学和工程学中也有着广泛的应用。
例如，在天体运动研究中，
椭圆轨道描述了行星和卫星的运动规律；在通信工程中，双曲线的
形状被用来描述信号的传播特性。
因此，离心率作为描述椭圆和双
曲线形状的重要参数，对于理解和应用这些曲线形状具有重要意义。
总之，椭圆和双曲线离心率是描述这两种曲线形状的重要参数，它们在数学、物理和工程学中都有着广泛的应用。
通过对离心率的
理解，我们可以更深入地理解和应用椭圆和双曲线这两种曲线形状，为我们的学习和工作带来更多的启发和帮助。
《椭圆的离心率公式》专题
《椭圆的离心率公式》专题椭圆的离心率公式专题简介本文档将重点介绍椭圆的离心率公式以及其应用。
椭圆是一种特殊的曲线，其形状在数学和物理学中具有重要的意义。
离心率是描述椭圆形状的一个关键参数，它决定了椭圆的偏心程度。
椭圆的定义椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个焦点的距离之和保持不变。
椭圆由两个主要的特性定义：焦点和长轴。
焦点是确定椭圆形状的关键点，长轴是连接两个焦点的直线段，通过椭圆的中心。
离心率的定义椭圆的离心率（eccentricity）是一个无单位的常数，通常用字母e表示。
离心率的值介于0和1之间，其中0表示圆形，1表示完全扁平的曲线。
离心率决定了椭圆的形状，离心率越大，椭圆越扁平。
离心率的计算公式椭圆的离心率可以使用以下公式计算：e = √(1 - (b^2 / a^2))其中，e表示离心率，a表示椭圆的长轴长度，b表示椭圆的短轴长度。
离心率的应用离心率是椭圆的一个重要参数，它在许多领域有广泛的应用。
以下是一些离心率的应用场景：- 天体轨道：离心率可以描述行星或其他天体的轨道形状，可用于确定行星与太阳的距离关系。
- 椭圆轨道：离心率可以描述卫星的轨道形状，对于卫星通信和导航系统设计非常重要。
- 工程设计：离心率可以用于设计椭圆形的建筑物或其他结构，以满足特定的视觉和功能要求。
- 数学研究：离心率是椭圆研究中的重要参数，涉及到许多数学定理和公式的推导。
总结椭圆的离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它决定了椭圆的偏心程度。
离心率可以使用特定公式计算，并在许多领域中有广泛的应用。
理解离心率的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解和应用椭圆相关的知识。
圆锥曲线系统班11、 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式
第11讲椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式知识与方法1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212121221sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF PF PF F PF F ∠====+∠+∠2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比.公式：1212122112sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF F PF F PF PF ∠====∠-∠-.典型例题【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（）A.1B.21【解析】解法1：如图，12PF PF ⊥，2160PF F ∠=︒，故可设122F F =，则1PF =，21PF =，所以C的离心率12121F F e PF PF ==+.解法2：如图，2112126030PF F PF F PF PF ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 901sin sin sin 30sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===∠+∠︒+︒.【答案】D 变式1设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 在C 上且1PF x ⊥轴，若1230F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，1230F PF ∠=︒且1PF x ⊥，故可设22PF =，则13PF =，121F F =，所以椭圆C 的离心率121212323F F e PF PF ===-++.解法2：如图，12211123060F PF PF F PF F F ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 3023sin sin sin 90sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===-∠+∠︒+︒【答案】23变式2在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，不妨设3AB =，1AC =，则10BC =104BC e AB AC ==+.解法2：如图，110310tan sin sin 31010ABC ABC ACB ∠=⇒∠=∠=sin 10sin sin 4BAC e ABC ACB ∠⇒==∠+∠.【答案】变式3过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若2ABF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1121AF F F ==，则2AF =所以椭圆的离心率12121F F e AF AF ==+.解法2：如图，由题意，121245F AF F F A ∠=∠=︒，所以椭圆的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.【答案】1-变式4过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，122212121211cos cos 212sin sin 88AF AF B AF F AF F AF F AF ∠=∠=⇒-∠=⇒∠∠==不妨设1AF =24AF =，则123F F =，所以1212F F e AF AF ==+.解法2：如图，2211cos cos 28AF B AF F ∠=∠=221211712sin sin 84AF F AF F ⇒-∠=⇒∠=12213sin cos 4F AF AF F ⇒∠=∠=1212213sin 474sin sin 3F AF e AF F AF F ∠∠==∠+∠.变式5在ABC 中，2AB =，1BC =，且6090ABC ︒≤∠≤︒，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.【解析】解析：如图，设()6090ABC θθ∠=︒≤≤︒则2222cos 54cos AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-，160900cos 2AC θθ︒≤≤︒⇒≤≤⇒≤而12BC e AB AC AC==++22e ≤≤-.【答案】2,2-【反思】从上面几道题可以看出，焦点三角形下求椭圆的离心率，要么研究焦点三角形的三边长之比，要么研究焦点三角形的内角正弦值之比.【例2】已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，点P 在C 上，12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设21PF =，则1PF =，122F F =，所以12121F FePF PF==-.解法2：如图，由题意，2160PF F∠=︒，1290F PF∠=︒，所以121221sin1sin sinF PFePF F PF F∠==∠-∠.【答案】1+变式1（2016·新课标Ⅱ卷）已知1F、2F是双曲线2222:1x yEa b-=的左、右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=，则E的离心率为（）B.32D.2【解析】解法1：如图，不妨设11MF=，23MF=，则12F F=，所以1212222F FePF PF===-.解法2：21121sin sin33MF F F MF∠=⇒∠=12122122sin31sin sin13F MFeMF F MF F∠⇒===∠-∠-.【答案】A变式2已知1F、2F是双曲线2222:1x yCa b-=的左、右焦点，过1F且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1121AF F F ==，则2AF =双曲线C的离心率12211F F e AF AF ==-.解法2：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒ 也是等腰直角三角形，所以121221sin sin 451sin sin sin 90sin 45F AF e AF F AF F ∠︒===∠-∠︒-︒.【答案】1+变式3在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线的离心率为_______.【解析】如图，不妨设1AC =，则3AB =，BC =所以双曲线的离心率1010312BC e AB AC ===--.【答案】变式4已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 在C 上，1230PF F ∠=︒，212PF F F =，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，121230PF F F PF ∠=∠=︒，12120F PF ∠=︒，所以121221sin sin sin F PF e PF F PF F ∠==∠-∠.【答案】12+强化训练1.（★★★）在PAB 中，PA AB ⊥，12tan PBA ∠=，则以A 、B 为焦点，且经过点P 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，由题意，不妨设1PA =，则2AB =，PB =512AB e PA PB-===+.2.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在C 上，且1245PF F ∠=︒，214cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，212143cos sin 55PF F PF F ∠=⇒∠=，12122121180135F PF PF F PF F PF F ∠=︒-∠-∠=︒-∠，所以()1221212172sin sin 135sin135cos cos135sin 10F PF PF F PF F PF F ∠=︒-∠=︒∠-︒∠=，故121221sin 5sin sin F PF e PF F PF F ∠==-∠+∠【答案】5-3.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 在C 上，1PF x ⊥轴，且211tan 2PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，不妨设11PF =，122F F =，则2PF =双曲线C的离心率122112F F e PF PF +==-.4.（★★★）在ABC 中，30ABC ∠=︒，AB =，1BC =，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率为_______.【解析】2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=1AC ⇒=⇒椭圆的离心率12BC e AB AC ==+.【答案】312-5.（★★★）过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，设椭圆C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1AF OF ==，则12FF =，1AF =，所以椭圆C的离心率121F F e AF AF ==+.解法2：ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒ 也是等腰直角三角形，⇒22b AF OF c b ac a=⇒=⇒=2222210102a c ac c ac a e e e ⇒-=⇒+-=⇒+-=⇒=.6.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，过1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若2ABF 是正三角形，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】解法1：如图，2ABF 是正三角形，不妨设11AF =，则22AF =，12F F =离心率1221F F e AF AF ==-.解法2：如图，2ABF 是正三角形1260F AF ⇒∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290AF F ∠=︒，所以双曲线C的离心率121221sin sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠-∠.7.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b-=的左焦点1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，C 的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，2221211cos cos 22cos 18AF B AF F AF F ∠=∠=∠-=1221233cos 44F F AF F AF ⇒∠=⇒=，不妨设123F F =，24AF =，则1AF ==所以离心率1221F F e AF AF ==-.8.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b-=的左焦点F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若ABO是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒ 也是等腰直角三角形，不妨设1AF FO ==，则12FF =，1AF =，所以C的离心率1112FF e AF AF+==-.【答案】5129.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过1F且斜率为的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，212AF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】解法l ：如图，直线AB的斜率为1260AF F ⇒∠=︒，又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒，不妨设121F F =，则12AF =，2AF =，所以椭圆C的离心率12122F F e AF AF ==-+解法2：如图，直线AB1260AF F ⇒∠=︒，又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒，故椭圆C的离心率121221sin 2sin sin F AF e AF F AF F ∠==-∠+∠【答案】210.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆的4个交点和1F 、2F 恰好构成一个正六边形，则椭圆E 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，21ABF CDF 是正六边形，所以1260AF F ∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290F AF ∠=︒，故椭圆E的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.【答案】1-11.（★★★★）已知P 、Q 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 在第一象限，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，2OP OF =，若1133QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______.【解析】如图，2121212OP OF OP F F PF PF =⇒=⇒⊥显然四边形12PF QF 是矩形，所以12QF PF =，由题意，1133QF PF ≥，所以2133PF PF ≥，设12PF F α∠=，则21tan PF PF α=≥30α≥︒，又点P 在第一象限，所以21PF PF <，故tan 1α<，即45α<︒，所以3045α︒≤<︒，椭圆C 的离心率()121221sin 11sin sin sin sin 90sin cos F PF e PF F PF F αααα∠====∠+∠+︒-+，由3045α︒≤<︒可得754590α︒≤+︒<︒，所以()62sin 4514α≤+︒<，故212e <≤-.【答案】212⎤-⎥⎝⎦。
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线共焦点离心率结论
椭圆双曲线：
1. 定义：椭圆双曲线是一种数论对象，它可以用$y^2=x^3+ax+b$的形
式表示，又称做Weierstrass椭圆双曲线，其中a、b是常数。
2. 特点：和椭圆类似，椭圆双曲线也具有两个焦点和长短轴，但与传
统的椭圆不同，它由一系列点组成，而不是单一点。
3. 离心率：椭圆双曲线的离心率常用$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$来表示，其中a、b、c是椭圆双曲线的长短轴、重心距等参数，它的取值范围在
1到无穷大之间，如果离心率e=1，则该椭圆双曲线称为椭圆形椭圆双
曲线，1<e<无穷大时，椭圆双曲线称为双曲线椭圆双曲线。
4. 共焦点：椭圆双曲线有两个焦点，对称轴有两个共焦点，即它们之
间的距离相等，可以用公式$2c^2=a^2+b^2$来表示。
5. 结论：椭圆双曲线的参数a、b、c以及离心率e与共焦点之间存在特定关系，即$2c^2=a^2+b^2$,$e=\frac{2c^2}{a^2+b^2}$，离心率的值可
以用来判断这类椭圆双曲线是否为椭圆形双曲线或双曲线椭圆双曲线。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
求椭圆、双曲线离心率
2
2 2 c c ,
2
e 2e 1 0
2
e 2 -1
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
（2）e的范围：
c>a>0
2 2
e >1
2
（3）e的含义：
e
c 2 a
2
a b b 1 2 2 a a
椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： c 叫做椭圆的离心率。 e [1]离心率的取值范围： 因为 a > c > 0，所以0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响：
c e a a 2 b2 a b 2 1 ( ) , a
4、椭圆的离心率
a
y
O
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就 越扁 2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就 越圆 3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合， 椭圆方程变为（？）
x 2 y2 B. 1 9 8 y2 x 2 D. 1 9 8
【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小. 点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),设点P为直 线与椭圆的公共点,则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|
双曲线的一个焦点到一条渐近 线的距离等于其虚半轴长
x y 1、过双曲线 2 2 1的一个焦点F作它的渐近线 a b 的垂线，垂足为 A，延长FA交y轴于点B, 若A为 FB的中点，则双曲线的离 心率是
2
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一、直接利用椭圆、双曲线的方程式和离心率公式计算。
二、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）
三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
三、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系
余弦定理：
四、利用圆锥曲线中、x y 的范围建立不等关系
例1：双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点为12,F F ，若P 为其上一点，且122PF PF =，则
双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3,)+∞
D ．[3,)+∞
归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点P 在双曲线1b y a x 2222=-的左支上则a x -≤；若点p 在双曲线1b y a x 22
22=-的右支上则a x ≥。
五、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系
例2、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在
点P 使
1221sin sin PF F a
PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
六、利用判别式建立不等关系
例5、已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心
率的取值范围。
七、利用均值不等式建立不等关系
均值不等式：
练习2、已知点P 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上，双曲线两焦点为21F F 、，|
PF ||PF |221最
小值是a 8，则双曲线离心率的取值范围 。
八、利用二次函数的性质建立不等关系
例7、设1
a >，则双曲线2
2
22
1(1)x y a a -
=+的离心率e 的取值范围是（
） Ａ．2) Ｂ． Ｃ．(2,5) Ｄ．
1、设F 1，F 2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足∠F 1PF 2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．[
1) B.（，1) C.(0，2、设点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的右支上，双曲线两焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求
双曲线离心率的取值范围。
3、一个圆经过椭圆22
1164
x y +
=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 4、已知方程
x 2
m 2+n –
y 2
3m 2–n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
（ ）
（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3)
5、已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜
0，则y 0的取值范围是（ ）
（A ）（ （B ）（
（C ）（3-
，3） （D ）（3-，3
） 6、 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）
A B .3 C D .3m
7、已知双曲线E 1：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点
为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______ .
8、平面直角坐标系x O y 中，双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线
2
2:2(0)C x p y p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率
为 .
9、已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，
若4FP FQ =，则||QF =（ ）
A .72
B .5
2
C .3
D .2
10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，当k =0时，分
别求C 在点M 和N 处的切线方程；
11、已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1C 与2C 的离心率
之积为
2
，则2C 的渐近线方程为（ ）
（A ）0x = （B 0y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±=
12、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，
|DE|=C 的焦点到准线的距离为（ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
13、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线
的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A.22154x y -
= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22163
x y -= 14、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）
A 4-+3- C 4-+3-+
15、已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且
→
→=FD BF 2，则C 的离心率为 .
3、一个圆经过椭圆22
1164
x y +
=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为
4、已知方程x2
m2+n –
y2
3m2–n
=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
（）
（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)
5、已知M（x
0，y
）是双曲线C：
2
21
2
x
y
-=上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若1
MF∙
2
MF＜
0，则y
的取值范围是（）
（A）（（B）（
（C）（）（D）（）
6、已知F是双曲线C：223(0)
x my m m
-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）
A B.3 C D.3m
7、已知双曲线E 1：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点
为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______ .
8、平面直角坐标系x O y 中，双曲线22
122:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线与抛物线
2
2:2(0)C x p y p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率
为 .
9、已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，
若4FP FQ =，则||QF =（ ）
A .72
B .5
2
C .3
D .2
10、在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两点，当k =0时，分
别求C 在点M 和N 处的切线方程；
11、已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，1C 与2C 的离心率
2C 的渐近线方程为（ ）
（A ）0x = （B 0y ±= （C ）20x y ±= （D ）20x y ±=
12、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |=，
|DE|=C的焦点到准线的距离为（）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
13、已知双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的两条渐近线均和圆22
:650
C x y x
+-+=相切，且双曲线
的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）
A.
22
1
54
x y
-= B.
22
1
45
x y
-= C.
22
1
36
x y
-= D.
22
1
63
x y
-=。