拉普拉斯变换的定义 收敛域
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【实用】拉普拉斯变换PPT文档
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收
敛。 2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激
函数。 3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微
分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。 4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元件模型。 6.深入理解系统函数的定义及物理意义。 7.熟练掌握系统零极点分布与其时域特征的关系。
一、拉普拉斯的产生和发展
Laplace 2h(t)绝对可积，极限为0 Transform）。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
拉本氏章变 重换点与在十傅于氏，九变以换拉的氏世关变系换纪；为工末具对系，统进英行复国频域分工析。程师亥维赛德(O.Heaviside,
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力 Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严密的数学定义。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
H(s)极点都在s域左半平面
用
便
受到一
定
的
限制，
其
次
，求取
傅
里叶反变换 留数定理法（含留数和定理）
拉氏变换收敛域的定义
有
时
也是比
较
困
难的，
此
处
尤其
要
指
出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 3.
线性、原函数积分、原函数微分、域的定义 3.
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收
敛。 2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激
函数。 3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微
分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。 4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元件模型。 6.深入理解系统函数的定义及物理意义。 7.熟练掌握系统零极点分布与其时域特征的关系。
一、拉普拉斯的产生和发展
Laplace 2h(t)绝对可积，极限为0 Transform）。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
拉本氏章变 重换点与在十傅于氏，九变以换拉的氏世关变系换纪；为工末具对系，统进英行复国频域分工析。程师亥维赛德(O.Heaviside,
虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
1850~1925)发明了算子法，很好地解决了电力 Laplace，1749~1825)在著作中对这种方法给予严密的数学定义。
线性、原函数积分、原函数微分、延时、S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
H(s)极点都在s域左半平面
用
便
受到一
定
的
限制，
其
次
，求取
傅
里叶反变换 留数定理法（含留数和定理）
拉氏变换收敛域的定义
有
时
也是比
较
困
难的，
此
处
尤其
要
指
出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 3.
线性、原函数积分、原函数微分、域的定义 3.
第三章拉普拉斯变换
则 L f (at) 1 F( s ) a 0
aa 36
5、时域微分
3.6 拉普拉斯变换的基本性质
若 L f (t) F(s)
则
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
L
d
2 f (t d t2
)
s2F (s) sf
(0 )
f (0 )
L
d
n f (t)
dtn
snF
返3回3
3.6 拉普拉斯变换的基本性质
1、线性性质
若 L f1(t) F1(s) , L f2(t) F2(s)
则 L a1 f1(t) a2 f2(t) a1F1(s) a2F2(s)
2、时间平移
若 L f (t) F(s)
则 L f (t t0)u(t t0) F(s) est0
e 4. 指数函数 t 只有当 时，才有
lim ea te t 0
t
所以其收敛域为s平面上
的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
5、冲激函数(t)
L (t) (t)estdt 1 0
即 L (t) 1
同理 L (t t0) est0
返回18
3.5 拉普拉斯反变换
利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
拉普拉斯变换
j t F ( ) e d 1
1 f (t ) 2
原函数 逆LT
t jt F ( ) e e d 1
s j
1 f (t ) 2j
j
j
F ( s )e st ds
ds jd
6
FT: 实频率 LT: 复频率S
是振荡频率 是振荡频率，
收敛坐标： 0
收敛边界
8
收敛域 lim f (t )e
t
t
0 ( 0 )
j
• 有始有终信号和能量有 整个平面 限信号时限信号 （如单个矩形脉冲） • 等幅振荡信号和增长信号
j
0 0
•
或 0 a
以 0 为界
u(t)，tn 的收敛域：S右半平面 不收敛信号 除非
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
第四章 拉普拉斯变换
F ( s a)
1 s F a a
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0 ) s s
t
f ( ) d
12
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f ( t ) f ( 0 ) lim SF ( s )
n! s n 1 1
s2 1
e
st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
线性
k i f i (t )
i 1
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
时移 尺度变换
f (t t0 )u(t t0 )
e
st 0
F ( s)
f (at)
f (t )e
at
频移
微分 积分
例：衰减余弦的拉氏变换
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
S F (S ) 2 2 (S )
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t ) sin t[u(t ) u(t 1)]
f (0
)
S
lim S F ( S ) lim
S F( S )
S
1 S 1 sa
f ( )
lim
S 0
lim
S
S 0
1 0 sa
注意：f(t)=e-at u(t),
若a>0,则终值为0 若a<0,则终值不存在 如果原信号是等幅震荡或增长的， 则其终值不存在。
拉普拉斯变换公式总结材料..
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析基本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、 收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。
能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。
能根据系统函数的零、极点分 布情况分析、判断系统的时域与频域特性。
理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉 斯变换与傅里叶变换的关系。
会判定系统的稳定性。
知识要点1. 拉普拉斯变换的定义及定义域(1) 定义 单边拉普拉斯变换：st正变换 [f(t)] F(s) 0 f(t)e dt双边拉普拉斯变换:的收敛域。
0与函数f(t)的性质有关。
2. 拉普拉斯变换的性质逆变换[F(s)] f(t)stF(s)e正变换F B(S )f(t)edt1 jst逆变换 f(t)2 jjF B(s)eds(2)定义域若0 时，lim f (t)et0则St 「 ” ”t ”f(t)e 在0的全部范围内收敛，积分0就是f(t)的单边拉普拉斯变换st[f2(t)] F2(S) , 1 , 2 为常数(2 ) 原函数微分若[f (t)] F(s)则[響]sF(s) f(0 ) dt[d df>] s n F(s) n1s nr1f(r)(0 ) dt r 0r式中f⑴(0 )是r阶导数在0时刻的取值。
dt r(3)原函数积分(4)延时性F (s)，则[f(t t°)u(t t。
)] e st0F(s)(5)s域平移at若[f (t)] F (s)，则[f(t)e ] F(s a)(6)尺度变换1 s若[f (t)] F (s)，则[f (at)] F( )( a 0)a a(7)初值定理lim f (t) f(0 ) limsF(s)to s(8)终值定理lim f (t) lim sF(s)t s(9)卷积定理若[f1(t)] F1(s)，[f2(t)] F2(S)，则有[f1(t) f2(t)] F1(S)F2(S) (1) 线性性［仏“⑴］1 1肓[h(s) F2(s)] = ^-j.h(p)F2(s p)dpj[i f l(t) 2f2(t)] 1F1(S) 2F2(S)t若[f (t)] F (s)，则[f(t)dt] F(s)s3 式中f(D(0)s f(t)dt若[f (t)]3.拉普拉斯逆变换(1 ) 部分分式展开法首先应用海维赛展开定理将F (s)展开成部分分式，然后将各部分分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数 f (t)。
4.拉普拉斯变换
24
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
1 1 1 F (S ) ( ) S j S j 2 S 2 2 S
拉 普 拉 斯 变 换
例：衰减余弦的拉氏变换
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
S F0 ( S ) LT [cos t ] 2 2 S
f (t ) e
t
cost
频移特性
)
12
(0 t T )
拉 普 拉 斯 变 换
拉普拉斯变换收敛域性质
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
X（S）的ROC在S平面内由平行于jw轴的带状区域组成。 对有理拉普拉斯变换来说，ROC内不包括任何极点。 如果x（t）是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就 是整个S平面。 如果x（t）是右边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＞ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是左边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么Re{s} ＜ 0 的全部s值都一定在ROC内。 如果x（t）是双边信号，而且如果Re{s}= 0 这条线位于 ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成， 直线Re{s}= 0 位于带中。
通 信 与 信 息 系 统 学 科 组
.
变换等于 f(t)ε(t)的双边拉普拉斯变换，所以，单边拉普拉 斯变换的收敛域与因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域相同， 即单边拉普拉斯变换的收敛域为平行于jω轴的一条直线的右边
区域，可表示为
Re[s] 0
17
拉 普 拉 斯 变 换
常用信号的拉氏变换
该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收
(完整版)拉普拉斯变换
t
Re(s) 0
4)卷积特性（convolution）
若 则有
f1 (t) L F1 (s) f 2 (t) L F2 (s)
Re( s) s 1 Re( s) s 2
f1 (t) f 2 (t) L F1 (s)F2 (s) Re( s) max( s 1,s 2 )
L[ f1(t) f2 (t)] 0
F
(
s)
1 s2
e - s 1
Re(s) -
例：单边周期信号的Laplace变换。 f(t)
单边周期信号的定义：
f(t)=f(t+nT); t0, n=0,1,2,...
0 T 2T 3T
t
定义：f1
(t)
f 0
(t
)
0t T 其它
单边周期信号
f (t)
k 0
f1(t - kT)u(t - kT)
L[ f (t)]
k 0
e-skT F1(s)
F1(s) 1- e-sT
Re(s) 0
例：求如图所示周期方波的Laplace变换。
f(t) 1
01
2345 周期方波信号
L[u(t) - u(t -1)] 1- e-s s
F(s) 1- e-s s
1 1- e-2s
1 s(1 e-s )
若
f (t) L F (s) Re( s) s 0
则有 f (at) L 1 F ( s ) aa
a 0, Re( s) as 0
L[ f (t)]
0-
f (at)e-st dt
1 a 0-
f
-st
(t)e a dt
1
F(
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LT[sin(
t)]
s2
2
LT[cos(t)]
s2
s
2
12
4 1 求下列各函数的拉氏变换
(2) sin t 2cost
LT[sin
t
2cos t]
1 s2 1
2s s2 1
2s s2
1 1
(10) cos2 (t)
cos2 (t) 1 [cos(2t) 1] 2
F(s)
1 2
LT[cos(2t)]
st
ds
2j j
s j d 1 ds
j
2
对于不满足绝对可积条件的f (t), 即: lim f (t) t
则其傅里叶变换不存在. [ f (t)为因果信号]
寻找一衰减函数 et 使得 : lim f (t)et 0 t
则其傅里叶变换 : f (t)ete jtdt 存在. 0
s
j
F() FT[ f (t)]
F(s) LT[ f (t)]
f (t)e jt dt
0
f (t)estdt
0
3
单边拉普拉斯变换对
F (s) LT [ f (t)] f (t)estdt 0
象函数
f (t) LT 1[F (s)] 1
j
F
(s)e
st
ds
2j j
f (t) f (t)u(t)
0
0
LT[ (t)] 1
9
P2504 3 求下列函数的拉氏变换, 注意阶跃函数
的跳变时间.
(1) etu(t 2) (3) e(t2)u(t)
(1) LT[etu(t 2)] etu(t 2)est dt etest dt
0
2
e(s1)t 1 e2(s1) s 1 s 1
双边拉普拉斯变换对
原函数
FB (s) LTB[ f (t)]
f (t)est dt
f
(t)
LT
1[FB F j B
(
s)e
st
ds
4
二、拉氏变换的收敛
lim f (t)et 0
t
( 0 )
收敛域 : Re[s] 0
例 : 求LT [eatu(t)]的收敛域
LT[eat ] eatest dt e(sa)t dt 1
0
0
sa
6
3. t 的幂函数 f (t) t n (n是正整数)
LT[t n ] t nest dt 1 t nd (est )
0
s0
1 t nest 1 nt e n1 st dt n LT[t n1]
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
F () f (t)e jtdt
f (t) 1 F ()e jtd
2
F() f (t)e jtdt 绝对可积条件 : f (t) dt
0
1
对于不满足绝对可积条 件的f (t), 求f (t)et的傅里叶变换
F(s), 则LT[ d dt
f (t)] sF (s)
f (0 )
d2
d
LT[ dt 2
f (t)] sLT[ dt
f (t)]
f '(0 )
s[sF (s) f (0 )] f '(0 )
s2F (s) sf (0 ) f '(0 )
dn LT[ dt n
f (t)] snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f '(0 )
f (n1) (0 )
15
若LT[ f (t)] F(s), 则LT[ d dt
f (t)] sF (s)
f (0 )
LT
[
d2 dt 2
f (t)] s2F (s) sf (0 )
1 2
LT[1]
1 2
[
s
2
s 42
1] s
13
求函数 f (t) cos(t ) 的拉氏变换
cos(t ) cost cos sin t sin
F (s) cos s sin
s2 2
s2 2
s cos
s2
sin 2
14
二、时域微分与复频域微分特性
1、时域微分特性
若LT[ f (t)]
s
0 s0
s
LT[t n ]
n s
LT[t n1]
n(n s
1)
2
LT[t
n2
]
n! sn LT[1]
n! s n1
LT[t n ]
n! s n 1
LT[t]
1 s2
LT[u(t)] LT[1] 1 s
7
应注意的几点
1、单边拉氏变换是从零点开始积分的， t<0区间的函数值与变换结果无关。
e at u (t )
eat
ea t
F(s) 1
LT 1[ 1 ] eatu(t)
sa
sa
8
2、当函数在t=0时刻出现跳变时，规定单 边拉氏变换定义式的积分下限从0-开始。
F(s) f (t)estdt 0
0-系统
4、冲激函数 f (t) (t)
LT[ (t)] (t)estdt (t)estdt 1
lim eatet 0
t
a 0 a
满足 lim f (t)et 0的函 t
数f (t)称为指数阶函数
轴收 敛
0
标收 敛 坐
收敛区
5
三、一些常用函数的拉氏变换
1、阶跃函数 f (t) u(t)
LT[u(t)] u(t)estdt estdt 1
0
0
s
2、指数函数 f (t) eat
2
(3) LT [e(t2)u(t)] e(t2)u(t)est dt 0
e2 etest dt e2 LT [et ] 1 e2
0
s 1
10
4.3 拉氏变换的基本性质
一、线性（叠加） 若LT[ f1(t)] F1(s), LT[ f2 (t)] F2 (s) 则: LT[k1 f1(t) k2 f2 (t)] k1F1(s) k2F2 (s)
FT[ f (t)et ] F1()
f (t)ete jt dt
0
s j
f (t)e( j)tdt f (t)est dt F (s)
0
0
f (t)et 1
2
F1
(
)e
jt
d
f (t) 1
2
F1()ete jt d
1
2
F1
(
)e
(
j
)t
d
1
j
F
(
s)e
11
例4 1 求f (t) sin( t)的拉氏变换F(s).
f (t) sin(t) 1 (e jt e jt )
2j
F (s) LT[sin(t)] LT[e jt e jt ]
2j
1 (LT[e jt ] LT[e jt ]) 1 [ 1 1 ]
2j
2 j s j s j