5.第五讲(随机变量、离散型随机变量的分布)
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离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。
在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。
离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。
概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。
一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。
概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。
2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。
通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。
例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。
则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。
累积分布函数也需要满足概率的基本要求。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。
以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。
第五讲(随机变量、离散型随机变量的分布)
1 1 C3C2 1 P ( AB ) 1 1 C10C 9 15
P ( B ) P ( AB AB ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) 3 2 7 3 3 10 9 10 9 10 P ( AB ) 1 15 2 P( A | B) P( B) 3 10 9
4
k4
当 p 0.4 k 0 pk ] ] • x 0
1
2 0.420.6
3 0.430.6
4 0.44 x
0.6 0.40.6
F (x)
• • ]• ] • 4 2 3 1 0, 0.6, 0.6 0.6 0.4, 2 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 , 2 3 0.6(1 0.4 0.4 0.4 ), 1
或 P{ X 2} 1 P{ X 2}
1 F ( 2) 0.064
P{ X 2} 0.096
对离散型随机变量用分布律比用分布函数 计算这些概率更方便
例6 一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须 被击中r 次才能被摧毁。若每次击中目标的 概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独立， 一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需 轰击次数 X 的概率分布。 解 P { X = k } = P { 前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标} 1 Ckr1 p r 1 (1 p) k r p
{0,1, 2, 3,} X ( ) ( 0,1, 2, 3,)
例2 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以 用变量X来描述
{正，反}
1, 表示正面向上 X ( ) 0, 表示反面向上
P ( B ) P ( AB AB ) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) 3 2 7 3 3 10 9 10 9 10 P ( AB ) 1 15 2 P( A | B) P( B) 3 10 9
4
k4
当 p 0.4 k 0 pk ] ] • x 0
1
2 0.420.6
3 0.430.6
4 0.44 x
0.6 0.40.6
F (x)
• • ]• ] • 4 2 3 1 0, 0.6, 0.6 0.6 0.4, 2 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 , 2 3 0.6(1 0.4 0.4 0.4 ), 1
或 P{ X 2} 1 P{ X 2}
1 F ( 2) 0.064
P{ X 2} 0.096
对离散型随机变量用分布律比用分布函数 计算这些概率更方便
例6 一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须 被击中r 次才能被摧毁。若每次击中目标的 概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独立， 一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需 轰击次数 X 的概率分布。 解 P { X = k } = P { 前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标} 1 Ckr1 p r 1 (1 p) k r p
{0,1, 2, 3,} X ( ) ( 0,1, 2, 3,)
例2 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以 用变量X来描述
{正，反}
1, 表示正面向上 X ( ) 0, 表示反面向上
离散型随机变量的分布列 课件
一个箱子里装有 5 个大小相同的球，有 3 个白球，2 个红球，从中摸出 2 个球．
(1)求摸出的 2 个球中有 1 个白球和 1 个红球的概率； (2)用 X 表示摸出的 2 个球中的白球个数，求 X 的分布列． [思路导引] (1)从 5 个球中摸出两个球的结果为 C25＝10 种．(2)中 X 可取 0,1,2.
题型二 离散型随机变量分布列的性质 思考 1：离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小 于 1 吗？ 提示：不可以．由离散型随机变量的含义与分布列的性质可 知不可以． 思考 2：离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互 斥的吗？ 提示：是．离散型随机变量的各个可能值表示的事件不会同 时发生，是彼此互斥的．
[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故 X 的取
值只有 0 和 1 两种情况． P(X＝1)＝CC11140＝140＝25， 则 P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.
因此 X 的分布列为
X
0
1
P
3 5
2 5
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的 2 张奖券 中有 1 张中奖或 2 张都中奖．
(1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数 X 的分 布列；
(2)顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张， ①求顾客乙中奖的概率； ②设顾客乙获得的奖品总价值为 Y 元，求 Y 的分布列．
[思路导引] (1)从 10 张奖券中任意抽取 1 张，只有中奖与不 中奖两种情况，X 的取值只有 1 和 0，故属于两点分布．(2)从 10 张奖券中任意抽取 2 张，属于超几何分布．
Y 0 10 20 50 60
P
1 3
2 5
1 15
5离散型随机变量
P{X = k} = Cn p (1− p) , (k = 0,1,...,n)
k k
n−k
概率论与数理统计
从某大学到火车站途中有6 例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个 从某大学到火车站途中有 个交通岗, 交通岗是否遇到红灯相互独立, 交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率 都是1/3. 都是1/3. (1)设 为汽车行驶途中遇到的红灯数, 的概率分布. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的概率分布. (2)求汽车行驶途中至少遇到 次红灯的概率. 求汽车行驶途中至少遇到5 (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率 例4. 某人射击的命中率为 某人射击的命中率为0.02，他独立射击 ，他独立射击400 试求其命中次数不少于2的概率 的概率。 次，试求其命中次数不少于 的概率。 泊松定理* 设随机变量X 泊松定理* 设随机变量 n~B(n, p), (n＝0, 1, 定理 ＝ 2,…), 且n很大，p很小，记λ=np，则 很大， 很小 很小， 很大 ，
概率论与数理统计
一房间有3扇同样大小的窗子,其中只有一扇是 一房间有3扇同样大小的窗子, 打开的.房间里有一只鸟, 打开的.房间里有一只鸟,试图从开着的窗 子飞出房间. 子飞出房间. 以X表示鸟为了飞出房间试飞 的次数. 的次数. (1)假定鸟是没有记忆的 假定鸟是没有记忆的, (1)假定鸟是没有记忆的,鸟飞向各窗子是随机 的.求X的分布律. 的分布律. (2)假定鸟是有记忆的 假定鸟是有记忆的, (2)假定鸟是有记忆的,它飞向任一窗子的尝试 不多于一次, 的分布律. 不多于一次,求X的分布律.
X X~ Pk p1 p2 … pk … x1 x2 … xK …
概率论与数理统计
2. 分布律的性质 (1) pk ≥ 0, k＝1, 2, … ; (2)
离散型随机变量及其分布规律
量。
离散型随机变量的取值
02 离散型随机变量的取值可以是整数、分数或任何可以
明确区分的数值。
离散型随机变量的概率
03
离散型随机变量的概率是指该随机变量取某个特定值
的概率，可以通过概率分布表或概率函数来描述。
性质
离散性
离散型随机变量的取值是离散的，可以一一列举出来。
有限性
离散型随机变量的取值范围通常是有限的，也可以是 无限的但可以划分为若干个有限区间。
Excel、SPSS、SAS等统计软件都提供了模 拟实验的功能。
操作步骤
在软件中设置离散型随机变量的分布参数， 运行模拟实验，并输出结果。
结果分析
根据软件提供的统计量，对模拟实验结果进 行分析和解释。
实验结果分析
数据整理
将模拟实验结果整理成表格或图形，以便更直观地展示。
对比分析
将不同实验条件下的结果进行对比，分析离散型随机变量的分布 规律。
结论总结
根据实验结果和分析，总结离散型随机变量的分布规律，并给出 实际应用的建议。
感谢观看
THANKS
概率性
离散型随机变量具有概率性，即其取每个特定值的概 率是确定的。
例子
01
投掷一枚骰子，出现1、2、3、4、5、6点数中的任何一个点数 都是一个离散型随机变量。
02
从一副扑克牌中抽取一张牌，出现红桃、黑桃、梅花、方块中
的任何一种花色都是一个离散型随机变量。
一个人的身高，由于可以明确区分不同的身高值，因此也是一
分布函数具有归一性，即P(X=x)在所有可能取值上的概率之和为1，即 P(X=x)从-∞到+∞的积分值为1。
对于任意实数x1<x2，P(X=x1)>=P(X=x2)。
离散型随机变量及其分布列课件
4
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…， xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形 式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列．有
根据分布列的性质，得 0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]
18
2．设随机变量 X 的分布列为 PX＝5k＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求 a； (2)求 PX≥35； (3)求 P110＜X≤170.
19
[解] (1)由分布列的性质，得 PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋ PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
23
已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测 将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件 次品或检测出 3 件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的 分布列．
所以 a＝115.
20
(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115 ＝45.
(3)P110＜X≤170＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋125＋135＝165 ＝25.
21
由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和 为 1 求参数值时，务必要检验．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…， xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形 式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列．有
根据分布列的性质，得 0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]
18
2．设随机变量 X 的分布列为 PX＝5k＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求 a； (2)求 PX≥35； (3)求 P110＜X≤170.
19
[解] (1)由分布列的性质，得 PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋ PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
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已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测 将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件 次品或检测出 3 件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的 分布列．
所以 a＝115.
20
(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115 ＝45.
(3)P110＜X≤170＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋125＋135＝165 ＝25.
21
由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和 为 1 求参数值时，务必要检验．
离散型随机变量及其分布
因此X的分布律为
k P( X k ) C7 0.6k 0.47k , k 0,1,2,...,7 所求概率为P( X 4) P( X 4) P( X 5) P(X 6) P( X 7)
k C7 (0.6) k (0.4) 7 k 0.7102 k 4 7
X ~ p( ), 且P X 1 P( X 0) P( X 1) 3e
2
e e 3e 2
2
P( X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2)
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
k
k!
e , k 0,1,2,...
例2.9可用泊松定理计算。
取 =np=400×0.02＝8, 近似地有
P(X2)＝1－ P(X＝0)－P(X＝1) ≈1－(1＋8)e－8＝0.996981
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极 限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布。
4、几何分布 设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且 P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，… , 其中0<p<1是参数，则称随机变量X服从参数 p为的几何分布。 几何分布背景：
随机试验的可能结果只有2种，A与 A
试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次 试验，前k-1次失败，第k次成功。
2、概率分布（分布律或概率函数） 设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1, x2, …, xi, …, 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pi, …, 即 P(X=xi)=pi (i=1, 2, … ) 而且满足（1）P(X=xi)=pi≥0 (i=1, … ) 2,
离散型随机变量及其分布教案
离散型随机变量及其分布教案一、引言随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验中的各种可能结果与相应的概率分布之间的关系。
离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列无限个离散值的随机变量。
本教案将介绍离散型随机变量及其分布。
二、离散型随机变量的概念离散型随机变量可以理解为能够取到离散值的随机变量。
例如，抛掷一个骰子出现的点数就是一个离散型随机变量，因为它只能取到1、2、3、4、5、6这几个离散值之一。
三、离散型随机变量的分布律离散型随机变量可以通过分布律来描述其各个取值的概率。
1. 定义离散型随机变量的分布律是指在给定取值情况下的概率分布。
对于离散型随机变量X，其分布律可以表示为P(X=x)，其中x表示X的某个取值。
2. 性质离散型随机变量的分布律必须满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0；（2）归一性：所有可能的取值情况的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
四、常见离散型随机变量及其分布1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型随机变量分布之一，它描述了一个随机试验只有两个可能结果的情况。
例如，投掷硬币的结果只能是正面或反面。
2. 二项分布二项分布是描述n个独立的伯努利试验中成功次数的离散型随机变量的分布。
例如，投掷一枚硬币n次，正面朝上的次数就是一个满足二项分布的离散型随机变量。
3. 泊松分布泊松分布是描述在给定时间段或空间范围内某事件发生次数的离散型随机变量的分布。
例如，单位时间内到达某一地点的车辆数量就可以用泊松分布来描述。
4. 几何分布几何分布是描述在一系列独立的伯努利试验中，首次获得成功所需要的试验次数的离散型随机变量的分布。
例如，第一次抛掷正面朝上的硬币所需要的抛掷次数就可以用几何分布来描述。
五、总结离散型随机变量及其分布是概率论中的重要概念，通过分布律可以准确描述随机变量的取值情况和相应的概率分布。
常见的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布，它们在实际问题中具有广泛应用。
N5离散型随机变量及其分布律FF
x1 x2 xk
例1(续) 设盒中有5个球 (2白3红), 从中任抽3个, 以X表
示取得白球的个数, 试求随机变量X的分布律.
解 随机变量X 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
0 3 C2 C3 1 P{ X 0} 3 C5 10 1 2 C2 C3 6 P{ X 1} 3 C5 10 2 1 C2 C3 3 P{ X 2} 3 C5 10
是一个离散型随机变量. X 的所有可能取值为: 0, 1, 2.
例2 设某狙击手每次击中目标的概率是0.8, 现该 狙击手共射击30次, 则
X (e) “射中目标的次数” ,
是一个离散型随机变量.
X 的所有可能取值为: 0, 1, …, 30.
一、离散型随机变量的分布律
1. 离散型随机变量 2. 离散型随机变量的分布律 设xk (k=1,2,…)为离散型随机变量X的所有可能 取值, 事件{X=Xk}发生的概率为pk , 即
第五讲 离散型随机变量及其分布律
• 离散型随机变量的分布律 • 几种常见离散型分布
一、离散型随机变量的分布律
1. 离散型随机变量 如果随机变量X所有的可能取值为有限 个或可列无限多个 , 则称随机变量 X为 离散型随机变量。
例1 设盒中有5个球 (2白3红),从中任抽3个,则
X (e) “抽得的白球的个数” ,
如果随机变量 X 的分布律为
P{ X k } C p (1 p)
k n k
n k
, k 0,1, , n.
则称X服从参数为n, p 的二项分布.
记作 X ~ B(n, p)
(0–1) 分布是 n = 1 的二项分布.
二项分布的取值情况 设 X ~ B( 8, X 0 1
离散型随机变量的分布列 课件
离散型随机变量的分布列
1．两点分布，如果随机变量 X 的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称离散型随机变量 X 服从 两点分布 ．
2．一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，
随机的，可能是一红一白，两红，两白三种情况，为此我们定 ∴ 义则P随X(X机显＝变然0)量服＝如从1－下两37：点＝X分47＝，布，01， ，且两 两P球 球(X非 全＝全 红1)＝红CC2121，05＝37， ∴X 的分布列为
X0
1
43
P7
7
小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题 时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的 知识，给予解决．
问题 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
答 不一定．如随机变量 X 的分布列由下表给出
X
2
5
P 0.3 0.7
X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.
例 1 袋中有红球 10 个，白球 5 个，从中摸出 2 个球，如果只
关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量 X，才能使 X 满足两点分布，并求分布列． 解 从含有 10 个红球，5 个白球的袋中摸出 2 个球，其结果是
故 X 的分布列为
小结
X 0 10 20 50 60 1 2 121
P 3 5 15 15 15
此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问
题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男
1．两点分布，如果随机变量 X 的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称离散型随机变量 X 服从 两点分布 ．
2．一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…， m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，
随机的，可能是一红一白，两红，两白三种情况，为此我们定 ∴ 义则P随X(X机显＝变然0)量服＝如从1－下两37：点＝X分47＝，布，01， ，且两 两P球 球(X非 全＝全 红1)＝红CC2121，05＝37， ∴X 的分布列为
X0
1
43
P7
7
小结 两点分布中只有两个对应的结果，因此在解答此类问题 时，应先分析变量是否满足两点分布的条件，然后借助概率的 知识，给予解决．
问题 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
答 不一定．如随机变量 X 的分布列由下表给出
X
2
5
P 0.3 0.7
X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.
例 1 袋中有红球 10 个，白球 5 个，从中摸出 2 个球，如果只
关心摸出两个红球的情形，问如何定义随机变量 X，才能使 X 满足两点分布，并求分布列． 解 从含有 10 个红球，5 个白球的袋中摸出 2 个球，其结果是
故 X 的分布列为
小结
X 0 10 20 50 60 1 2 121
P 3 5 15 15 15
此类题目中涉及的背景多数是生活、生产实践中的问
题，如产品中的正品和次品，盒中的白球和黑球，同学中的男
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C C
r 1 k 1 r 1 k 1
p (1 p) p r k r p (1 p) k r , r 1,
r 1
k r
例7 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001， 独立射击6000次，试求至少击中两次的概率。
解：设击中的次数为 X ， X ~ b(6000,0.001) 则
x0 0 x 1 1 x 2 2 x3 3 x 4 x4
即
0,
x0 0 x 1
1 x 2 2 x 3 3 x4
0.6,
F (x) 0.84,
0.936, 0.9744,
1
x4
F( x) 1 • • o
• o
• o
• o
o • 0
• 1
• 2
• 3
2 3
0.4 0.6 0.4 0.6 0.1344 或 P{1 X 3} F (3) F (1) 0.4 0.6 0.4 0.6 0.1344
2 3
P{1 X 3} P{ X 1} P{ X 2} P{ X 3}
出发地 解
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目的地
P{ X k } p (1 p), k 0,1,2,3
P{ X 4} p ,
4
k4
当 p 0.4 k 0 pk ] ] • x 0
1
2 0.420.6
3 0.430.6
4 0.44 x
0.6 0.40.6
F (x)
• • ]• ] • 4 2 3 1 0, 0.6, 0.6 0.6 0.4, 2 0.6 0.6 0.4 0.6 0.4 , 2 3 0.6(1 0.4 0.4 0.4 ), 1
P ( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)
0 1 1 C6000 (0.999) 6000 C6000 (0.001)(0.999) 399 0.98269
另解：由于 np 6000 0.001 6 根据泊松定理
0 1 1 C6000 (0.999)6000 C6000 (0.001)(0.999)399
1 (1 0.0369) 0.1067 0.013459 故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！
3
i 1
0.24 0.096 0.0384 0.3744
P{ X 2} 1 P{ X 2} 1 [ P{ X 0} P{ X 1}] 1 (0.6 0.24) 0.16
P{ X 2} 1 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} 0.064 或 P { X 2} 1 P{ X 2} 1 F ( 2) 0.064
P {a X b}
F (b) F (a 0) F (b 0) F (a)
P {a X b}
P{a X b} F (b 0) F (a 0)
例3 盒中有12只晶体管，其中有2只次品，10 只正品，现从盒中任取3只，求取出的3只所 含次品数X 的分布率。 解： 的可能取值为0，1，2 X
P{ X 2} 0.096
对离散型随机变量用分布律比用分布函数 计算这些概率更方便
例6 一门大炮对目标进行轰击，假定此目标必须 被击中r 次才能被摧毁。若每次击中目标的 概率为p (0 < p < 1), 且各次轰击相互独立， 一次一次地轰击直到摧毁目标为止。求所需 轰击次数 X 的概率分布。 解 P { X = k } = P { 前 k –1次击中 r – 1次， 第 k 次击中目标}
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
P( X N )
k N 1
C
90
k 90
(0.01) (0.99)
k
N k
令 90 0.01 0.9
0.9 k P( X N ) e 0.9 则 k! k N 1 0.9 k 0.9 0.9 k e 0.9 e k! k 91 k! k N 1 k 0.9 0.9 0.01 e k! k N 1 查附表2得 N = 4
90
(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为 k 90 0.9 0.9 P( X 3) e k! k 4 0.9 k 0.9 0.9 k e 0.9 e k! k 91 k! k 4 k 0.9 0.9 e k! k 4
第五讲
随机变量及离散型 随机变量的分布
1
例1 电话总机某段时间内接到的电话次数，可用 变量 X 来描述
{0,1, 2, 3,} X ( ) ( 0,1, 2, 3,)
例2 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以 用变量X来描述
{正，反}
1, 表示正面向上 X ( ) 0, 表示反面向上
设商店在月底应进某种商品m件,
求满足 销售数
P{ X ≤ m }>0.95 的最小的m .
进货数
求满足 也即
P {X ≤ m }>0.95 的最小的m. P{X>m}≤ 0.05
5 k
或
e 5 1 k! 0.05 k m
5 k
查泊松分布表得
e 5 k! 0.032, k 10
• 4
x
分布律或分布函数可用来计算有关事件的概率
例5 在上例中，分别用分布律与分布函数计 算下述事件的概率：
P{1 X 3}, P{1 X 3},
解
P{ X 2}, P{ X 2}, P{ X 2} P{1 X 3} P{ X 2} P{ X 3}
于是得 m+1=10,
e 5 k! 0.068 k 9
m=9件
5 k
例
设同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备. (1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? (2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
利用分布函数可以计算
P {a X b} P { X b} P { X a } F (b) F (a )
] ] （ （ a b P{ X a } 1 P{ X a } 1 F (a )
P{ X a} P( X a) P( X a) F (a) F (a 0)
0.013459
设30台设备中发生故障的台数为 Y ~ B ( 30,0.01) 设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
P( Ai ) P(Y 2)
k 2
0.3k e 0.3 k!
0.0369 i 1,2,3 三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时 维修为事件 A1 A2 A3 3 P A1 A2 A3 1 P( Ai )
3 1 2 C10 6 C2C10 9 P ( X 0) 3 , p ( X 1) 3 C12 11 C12 22 2 1 C2 C10 1 P ( X 2) 3 C12 22
故，X 的分布率为
X
0 6/11
1 9/22
2 1/22
4
p
例4 设一汽车在开往目的地的途中需经过 4 盏 信号灯，每盏信号灯独立地以概率 p 允许 汽车通过。令 X 表示首次停下时已通过的 信号灯的盏数，求 X 的分布律与 p = 0.4 时的分布函数。
60 6 61 6 1 e e 0! 1!
1 0.00248 0.01487 0.98265
例8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售 记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数λ =5 的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不 脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 解: 设该商品每月的销售数为X, 已知X服从参数λ =5的泊松分布.