湖北省光谷第二高级中学高三物理 难点8 揭开卫星变轨及多星系统的神秘面纱

难点8揭开卫星变轨及多星系统的神秘面纱近年来随着我国神舟系列、嫦娥系列及北斗系列等卫星的不断升空，卫星变轨问题也常常出现在高考试卷中，而从单一星体绕着中心天体运动的问题也延伸到多星系统。

卫星变轨问题的难点都指向卫星变轨的过程中速度、加速度、动能、势能、周期等一些列物理量如何变化；而多星系统的难点都指向受力的变化与多星体之间的相同物理量的理解。

为此我们通过提供典型的问题，以达到揭开卫星变轨与多星系统的神秘面纱。

卫星发射中的变轨【调研1】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图所示。

则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是： A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C 、卫星在轨道1上经过Q 点时加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。

【解析】轨道3比轨道1较高，根据高轨道线速度小、角速度小，可知A 错B 对；根据牛顿第二定律可得2rGMm F a ==，即卫星的加速度a 只与卫星到地心的距离r 有关，故C 错D 对。

【答案】BD【误点警示】本题属于易错型的问题。

关于轨道上运动的物理量的大小关系一定要记住并理解一个轨道确定后，其半径、加速度、速度、角速度、周期全部确定，即轨道定量化；而对于本题中C 、D 选项提到的在P 处的加速度的解释，切忌不要使用向心加速度公式，原因是向心加速度公式中的半径是圆周运动的轨道半径，而本题是椭圆轨道，且椭圆轨道的半长轴无法确定。

X 星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r 1圆轨道上运动，周期为T 1，总质量为m 1。

随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r 2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m 2，则A 、X 星球的质量为M ＝4π2r 1GT 12B 、X 星球表面的重力加速度为g X ＝4π2r 1T 12C 、登陆舱在r 1与r 2的轨道上运动时的速度大小之比是v 1v 2＝m 1r 2m 2r 1D 、登陆舱在r 1与r 2的轨道上做圆周运动的周期为T ＝T 1r 23r 13【解析】高轨道时：G Mm 1r 12＝m 14π2r 1T 12，故X 星球的质量M ＝4π2r 1GT 12，A 对；由于不清楚星球的半径，故无法求取星球的重力加速度g X ，B 错；G Mm 1r 12＝m 1v 12r 1，G Mm 2r 22＝m 2v 22r 2，可得v 12v 22＝r 2r 1，C 错；由v 1T 1＝2πr 1，v 2T 2＝2πr 2，可得T 2＝T 1r 23r 13，D 对。

【答案】AD【方法技巧】本题是卫星运行中的变轨问题，但实际上问题的本质依然是一旦轨道半径定位后，其他物理量（线速度、加速度、角速度、周期）均被唯一确定。

因此变轨前后的稳定状态下的问题与常规的人造卫星完全可以进行类比。

卫星追及相遇问题【调研3】如图，三个质点a 、b 、c 质量分别为m 1、m 2、M （M 远大于m 1及m 2），在c 的万有引力作用下，a 、b 在同一平面内绕c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a ：r b ＝1：4。

则下列正确的有 A 、a 、b 运动的周期之比为T a ：T b ＝1：8B 、a 、b 运动的周期之比为T a ：T b ＝1：4C 、从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线12次D 、从图示位置开始，在b 转动一周的过程中，a 、b 、c 共线14次【解析】根据开普勒第三定律周期的平方与半径的三次方成正比，则周期之比为1：8，A 对；设图示位置夹角为θ＜0.5π，b 转动一周圆心角为2π过程的时间为t ＝T b ，则相距最远时2πT a T b －2πT bT b ＝(π－θ)＋n ·2π，（n ＝0,1,2,3……），得n ＝6.75，即n可取7个值；相距最近时2πT a T b －2πT bT b ＝(2π－θ)＋m ·2π，（m ＝0,1,2,3……），得m ＝6.25，即m 可取7个值，故n ＋m 可取14个值，D 对。

【答案】AD【方法技巧】某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但他们都处在同一条直线上。

由于他们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理。

而是通过卫星运动的圆心角来恒量，若他们在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近与最远的时刻，而本题中a 、b 、c 三个天体初始位置不在一条直线上，故在列式时要增加初始角度差。

揭开多星系统问题的神秘面纱 【调研4】如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家成为“罗盘座T 星”系统的照片，最新观测标明“罗盘座T 星”距离太阳系只有3260光年，比天文学家此前认为的距离要近得多。

该系统是由一颗白矮星和它的类日伴星组成的双星系统，由于白矮星不停地吸收由类日伴星抛出的物质致使其质量不断增加，科学家预计这颗白矮星在不到1000万年的时间内会完全“爆炸”，从而变成一颗超新星，并同时放出大量的γ射线，这些γ射线到达地球后会对地球的臭氧层造成毁灭性的破坏。

现假设类日伴星所释放的物质被白矮星全部吸收，并且两星间的距离在一段时间内不变，两星球的总质量不变，则下列说法正确的是A 、两星间的万有引力不变B 、两星的运动周期不变C 、类日伴星的轨道半径增大D 、白矮星的轨道半径增大【解析】图片下面的中间的亮点即为白矮星，上面的部分为类日伴星（中央的最亮的为类似太阳的天体），组成的双星系统的周期T 相同，设白矮星与类日伴星的质量分别为M 1和M 2，圆周运动的半径分别为R 1和R 2，由万有引力定律：GM 1M 2L 2＝M 14π2R 1T 2＝M 24π2R 2T 2，可得GM 1＝4π2R 2L2T 2，GM 2＝4π2R 1L 2T2，两式相加可得G (M 1＋M 2)T 2=4π2L 3（①式），M 1R 1＝M 2R 2(②式)。

由①式可知白矮星与类日伴星的总质量不变，则周期T 不变，B对；由②式可知双星运行半径与质量成反比，类日伴星的质量逐渐减小，故其轨道半径增大，C 对D 错；依题意两星间距离在一段时间内不变，由万有引力定律可知，两星的质量总和不变而两星质量的乘积必定变化，则万有引力必定变化，A 错。

【答案】BC 【调研7】宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统，如图所示，三颗质量均为m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R ，忽略其它星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，万有引力量为G ，则A 、每颗星做圆周运动的线速度为Gm RB 、每颗星做圆周运动的角速度为3GmR 3C 、每颗星做圆周运动的周期为2πR 33GmD 、每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关【解析】每颗星受到的合力为F ＝2×G m 2R 2×sin60°＝3G m 2R 2，轨道半径为r ＝33R ，由向心力公式F ＝ma ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T，解得v ＝GmR，ω＝3GmR 3，T ＝2πR 33Gm，显然加速度a 与m 有关，故A 、B 、C 均正确。

【答案】ABC【调研5】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对他们的引力作用。

设四星系统中每个星体质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分别在边长为a 的正方形的四个顶点上，其中a 远大于R 。

已知引力常量为G 。

关于四星系统，下列说法正确的是A 、四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B 、四颗星的线速度均为v ＝Gm a (2＋24) C 、四颗星表面的重力加速度均为G m R2D 、四颗星的周期均为2πa 2a (4+2)Gm【解析】四颗星均绕正方向的中心旋转。

每颗星受到三个力合成后的合力为F ＝2G m 2a2＋G m 22a 2，轨道半径为r ＝22a ，由向心力公式F ＝ma ＝m v 2r ＝m ω2r ＝m 4π2r T2，解得v ＝Gm a (1＋24)，T ＝2πa2a (4+2)Gm，故A 、D 对，B 错；对星体表面物体m 0受到的重力等于万有引力，则重力加速度m 0g ＝Gmm 0R 2，故g ＝G mR2，C 对。

【答案】ACD【拓展提升】从上述的双星、三星与四星系统来看，对于多星系统与单星系统最大的不同点在于在于万有引力定律中的R 与星体圆周运动轨道半径r 不同，受到的万有引力可能不在是唯一的万有引力。

另外双星系统有如下规律：①具有对称性；②他们的圆轨道的共同圆心就在双星的重心上；③双星系统的周期、角速度相同；④轨道半径之比以及线速度之比均与质量成反比；⑤双星系统的周期的平方与双星间距离的三次方之比只与双星的总质量有关，而与双星个体的质量无关。

【拓展训练】1、“嫦娥一号”探月卫星发动机关闭，轨道控制结束，卫星进入地月转移轨道，图中MN 之间的一段曲线表示转移轨道的一部分，P 是轨道上的一点，直线AB 过P 点且和两边轨道相切，下列说法中正确的是A 、卫星在此段轨道上，动能不变B 、卫星经过P 点时动能最小C 、卫星经过P 点时速度方向由P 向BD 、卫星经过P 点时加速度为01、BCD 【解析】发动机关闭后，只有地球和月球的万有引力作用，从关闭发动机开始向P 点运动过程中，由轨迹的弯曲方向可知，合力对卫星做负功，动能减小，过了P 点后合力对卫星做正功，动能增大，A 错B 对；曲线运动的速度为该处的切线方向，C 对；卫星经过P 点前后合力方向逐渐从指向轨迹左侧到指向轨迹右侧，因此P 点合力为零，D 对。

2、如图所示为2010年10月6日嫦娥二号在空间绕月运行轨迹图。

嫦娥二号最终稳定在离月球表面h 高度绕月球做匀速圆周运动。

月球的自转周期和公转周期相同，自转周期为T ，月球半径为R ，月球表面重力加速度为g 0，则嫦娥二号从P 到Q 处的运动时间为A 、TB 、4π2Rg 0C 、4π2(R ＋h )3g 0R 2D 、T 2(R ＋h )3R 32、C 【解析】嫦娥二号绕月球飞行的周期为T 0，由G mM (R ＋h )2=m 4π2(R +h )T 02，G mMR2=mg 0，在月球绕地球运动一个周期T 内，嫦娥二号从P 到Q 的时间为嫦娥二号绕月球运动的周期T 0，解月球 嫦娥二号PQ月球轨道奔月轨道 地球 地球月球PA B M N得T 0＝4π2(R ＋h )3g 0R 2。