湖南省长沙市名校联盟_学年高一数学上学期暑假测试试卷(含解析)【含答案】

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湖南省长郡中学、雅礼中学等长沙名校联盟高一数学暑假第一次阶段性测试试题

2015年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学（湖南卷版）本试卷包括三个大题，共6页，总分150分，考试时量120分钟注意事项：1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3. 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；5. 答题卡上不准使用涂改液涂改。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知数列}{n a 是等差数列，且48111032=+++a a a a ，则76a a +等于（） A. 12 B. 18 C. 24 D. 302. 下列命题中，错误的个数有________个①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行.③一个平面与两个平行平面相交，交线平行.④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 3.已知圆:C x y x y +++-=2212880与圆:C x y x y +---=2224420相交，则圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程为（）A ．210x y ++=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y --=4. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（）A ．90B ．60C ．45D ．305. 设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是（）A.()f π＞(3)f -＞(2)f -B.()f π＞(2)f -＞(3)f -C.()f π＜(3)f -＜(2)f -D.()f π＜(2)f -＜(3)f -6. 1sin 22y αα=+的最大值为（） A. 12B.2C. 1D. 27. 若任取[]12121212()(),,,,()22x x f x f x x x a b x x f ++∈≠>且都有成立，则称()f x 是[],a b 上的凸函数．试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（）8. 已知n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0，用秦九韶算法求f (x 0)的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）A ．n ，nB ．2n ，nC ．21＋)(n n ，n D ．n ＋1，n ＋19. 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若()()3,1,1,3a b =--=，则a b ⨯=（）A ．2B ．C ．D ．410. 已知等比数列｛n a ｝中，n a =2×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和nS 的值为（）A ．3n－B ．3(3n－C ．419-n D ．4)19(3-n二、填空题（每小题5分，共25分）11．函数213log log y x=（）的定义域为_______________． 12．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积AABCD D BAC与长方体的体积之比为_______________．13．按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是_______________． 14．已知函数()sin()cos()f x x x =+θ++θ是偶函数，且[0,]2πθ∈，则θ的值为_______________．15．在ABC ∆中，0601,,A b ==a b cA B C++=++sin sin sin _______________．三、解答题（共75分） 16．（本小题满分12分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面PAC . （Ⅱ）求证：AB ⊥PB ；（Ⅲ）若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．ACPBDE (第17题)18．（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．19．（本小题满分13分）已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+．（Ⅰ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值；（Ⅱ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．20．（本小题满分13分）设关于x 的一元二次方程n a 2x -1n a +x 1+0= (n N *∈)有两根α和β，且满足6263ααββ-+=.（Ⅰ）试用n a 表示1n a +；（Ⅱ）求证：数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（Ⅲ）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式，并求数列}{n na 的前n 项和n T .21.（本小题满分13分）已知()()()f x x x a x b =--，点A(s, f(s)), B(t, f(t)) （Ⅰ）若1a b ==,求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若函数()f x 的导函数()f x '满足：当|x |≤1时，有|()f x '|≤23恒成立，求函数()f x 的解析表达式；（Ⅲ）若0<a<b, 函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且a b +=证明：与不可能垂直.2015年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学参考答案1C 2B 3B 4C 5A 6C 7C 8A 9A 10D11．（0，1） 12． 1：3 13．5 14．4π 15．15o 或75o16．112cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．17． (1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以DE ∥PA ．因为PA ⊂平面PAC ，且DE ⊄平面PAC ，所以DE ∥平面PAC ． (2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ．所以AB ⊥平面PBC ．又因为PB ⊂平面PBC ，所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角．ACPBDE(第17题)因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°，所以∠PBC ＝45°，所以二面角P —AB —C 的大小为45°．18．解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y .用(x ，y )表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4). (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则A ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}．事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P (A )＝164＝41． (2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P (A )＝167. 19．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭，当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1π31313cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．20．解：（1）根据韦达定理，得1n na a αβ++=， 1n a αβ⋅=,由6263ααββ-+=得 1263n n na a a +⋅-=，故11123n n a a +=+（2）证明：121112()32323n n n a a a +-=-=-，若203n a -=，则1203n a +-=，从而123n n a a +==，这时一元二次方程n a 2x -1n a +x 1+0=无实数根，故1203n a +-≠，所以1213223n n a a +-=-，数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列．（3）设23n n b a =-，则数列{}n b 是公比12q =的等比数列，又1127213632b a =-=-=，所以111111222n nn n b b q--⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2132nn a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．n n n n na 232+=则由错位相减法可得=n T n n n n 22232+-++． 21．解：(I) f (x)=x 3-2x 2+x, f '(x)=3x 2-4x+1,因为f(x)单调递增，所以f '(x )≥0，即 3x 2-4x +1≥0,解得，x ≥1, 或x ≤31, 故f(x)的增区间是(-∞，31)和 (II) f '(x)=3x 2-2(a+b)x+ab.当x ∈时，恒有|f '(x)|≤23 故有23-≤f '(1)≤23，23-≤f '(-1)≤23，23-≤f '(0)≤23即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+++-++--③.23 ≤ab ≤23②,23 ≤ ab )b a (23 ≤23①,23 ≤ ab )b a (23 ≤23①+②，得29-≤ab ≤23-，又由③，得 ab=23-，将上式代回①和②，得 a+b=0,故f(x)=x 323-x (III) 假设OA ⊥OB ,即OA OB ⋅=))(,())(,(t f t s f s ⋅ = st+f(s)f(t)=0, (s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1, =-1,由s ，t 为f '(x)=0的两根可得， s+t=32(a+b), st=31, (0<a<b),从而有ab(a-b)2=9这样(a+b)2=(a-b)2+4ab =ab9+4ab ≥236=12，即 a+b≥23,这样与a+b<23矛盾故与不可能垂直.。

湖南长郡中学、雅礼中学等长沙名校联盟学高一数学暑假一次阶段性测试试题

2０1５年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学（湖南卷版）本试卷包括三个大题,共6页,总分150分,考试时量120分钟注意事项：１.ﻩ答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;2．必须在答题卡上答题,在草稿纸、试题卷上答题无效; 3．ﻩ答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示;４.ﻩ请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁; 5.ﻩ答题卡上不准使用涂改液涂改。

一、选择题（每小题5分，共50分)1．已知数列}{n a 是等差数列，且48111032=+++a a a a ，则76a a +等于（）Ａ. 12 ﻩﻩB ． 18 ﻩﻩC. 24 ﻩﻩD. 302. 下列命题中,错误的个数有_____＿_＿个①平行于同一条直线的两个平面平行. ﻩ②平行于同一个平面的两个平面平行. ③一个平面与两个平行平面相交，交线平行.④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．Ａ. ０个 ﻩﻩＢ. 1个 ﻩﻩC. 2个 D. 3个3.已知圆:C x y x y +++-=2212880与圆:C x y x y +---=2224420相交,则圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程为（ )Ａ．210x y ++= ﻩB.210x y +-=Ｃ.210x y -+= ﻩ D.210x y --=4. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ )A.90 Ｂ.60 C ．45D.305. 设偶函数f(x ）的定义域为Ｒ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是( )A.()f π＞(3)f -＞(2)f - ﻩﻩB.()f π>(2)f -＞(3)f -C.()f π＜(3)f -＜(2)f -ﻩﻩD.()f π<(2)f -＜(3)f -6. 31cos sin 22y αα=+的最大值为( ) A. 12 ﻩﻩＢ. 32ﻩﻩC. 1 ﻩＤ. ２7. 若任取[]12121212()(),,,,()22x x f x f x x x a b x x f ++∈≠>且都有成立,则称()f x 是[],a b 上的凸函数．试问:在下列图像中，是凸函数图像的为（）8. 已知n 次多项式f （ｘ）＝a n x n +a n -1x n -1＋…＋a 1x ＋a 0,用秦九韶算法求f (x 0)的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（ )Ａ．n ,nB ．2n ，n ﻩﻩC ．21＋)(n n ，n ﻩ D ．ｎ＋1，n +1 9. 设向量a 与b 的夹角为θ,定义a 与b 的“向量积”:a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=⋅⋅,若()()3,1,1,3a b =--=,则a b ⨯=( )ﻩA.2 B ．3C ． 23 ﻩD ．410. 已知等比数列｛n a }中，n a ＝２×31-n ,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和nS 的值为（ )A.3n－1 B.3（3n -１) ﻩC ．419-n D.4)19(3-n二、填空题（每小题５分，共２５分)11．函数213log log y x=（）的定义域为__＿_＿＿_＿____＿__. 12．如图，在长方体ＡB ＣD —A １B 1C １D 1中,棱锥Ａ1——A ＢCD 的体积yaxb yaxb yaxb yaAxb ABCD D BAC。

湖南省长沙市高一上学期期末数学试题(解析版)

一、单选题1．下列结论正确的是（） A ．若，则 B ．若，则 ac bc >a b >22a b >a b >C ．若，，则 Da b >0c <ac bc <<a b >【答案】C【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.【详解】A 选项，，如，而，所以A 选项错误. ac bc >()()()()2111-⨯->-⨯-21-<-B 选项，，如，而，所以B 选项错误.22a b >()2210->10-<C 选项，，则，所以，所以C 选项正确. ,0,0a b a b c >-><()0ac bc a b c -=-<ac bc <D ，而，所以D 选项错误. <<12<故选：C2．等于（） sin 2022 A ． B ． C ． D ．sin 42 sin 42- sin 48 sin 48- 【答案】B【分析】利用诱导公式化简可得结果.【详解】.()()sin 2022sin 5360222sin 18042sin 42=⨯+=+=-故选：B.3．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）()22()log 3f x x ax a =-+[2,)+∞a A ． B ． C ． D ．(,4]-∞(,2]-∞(4,4]-(4,2]-【答案】C【分析】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则x 2﹣ax+3a ＞0且f （2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围．【详解】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则当x ∈[2，+∞）时，x 2﹣ax+3a ＞0且函数f （x ）=x 2﹣ax+3a 为增函数即，f （2）=4+a ＞0 22a≤解得﹣4＜a≤4故选C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a 的不等式，是解答本题的关键．4．设函数f （x ）=log2x +2x -3，则函数f （x ）的零点所在的区间为（） A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】B【详解】因为函数，所以f （1）==﹣1＜0，f （2）==2()2log 23x f x x =+-12log 123+-22log 223+-＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B ．点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.5．已知集合，．若是的充分不必要条{}2230A x x x =--<()(){}10B x x m x m =---≥x A ∈x B ∈件，则实数的取值范围（） m A ． B ． ()(),23,-∞-⋃+∞(),2-∞-C ． D ．[)3,+∞(][),23,-∞-+∞ 【答案】D【分析】求出集合、，分析可知，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，解A B A B m 之即可.【详解】因为，{}{}223013A x x x x x =--<=-<<或，()(){}{10B x x m x m x x m =---≥=≤}1x m ≥+因为是的充分不必要条件，则，则或， x A ∈x B ∈A B 3m ≥11m +≤-解得或. 2m ≤-3m ≥故选：D.6．设是定义域为R 的奇函数，且.若，则（） ()f x ()()1f x f x +=-1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．53-13-1353【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.53f ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】由题意可得：，522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而，21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故.5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.7．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的()f x R [)0x ∈+∞，()f x ()1f -()f π()3f -大小关系是（） A ． B ． ()()()13f f f π>->-()()()31f f f π>->-C ． D ．()()()31f f f π<-<-()()()13f f f π<-<-【答案】B【解析】根据偶函数可得，，再根据单调性即可判断. ()()11f f -=()()33f f -=【详解】是偶函数，，，()f x ()()11f f ∴-=()()33f f -=当时，是增函数，且，[)0x ∈+∞，()f x 31π>>， ()()()31f f f π∴>>. ()()()31f f f π∴>->-故选：B.8．若，则 tan 0α>A ． B ． C ． D ．sin 0α>cos 0α>sin 20α>cos 20α>【答案】C 【分析】由及即可得解. tan sin cos ααα=sin 22sin cos ααα=【详解】由，可得. tan 0sin cos ααα=>sin 220sin cos ααα=>故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系及二倍角公式，属于基础题.二、多选题9．已知集合，且，则实数的取值不可以为（）{}20,,32A m m m =-+2A ∈m A ． B ． C ． D ．2302-【答案】ACD【分析】根据可得出或，解出的值，然后对集合中的元素是否满足2A ∈2m =2322m m -+=m A 互异性进行检验，综合可得结果.【详解】因为集合，且，则或，解得.{}20,,32A m m m =-+2A ∈2m =2322m m -+={}0,2,3m ∈当时，集合中的元素不满足互异性；0m =A 当时，，集合中的元素不满足互异性； 2m =2320m m -+=A 当时，，合乎题意. 3m ={}0,3,2A =综上所述，. 3m =故选：ACD.10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．B ．C ．D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭2y x =-2y x -=3y x =-【答案】BD【分析】利用函数奇偶性的定义以及指数函数、幂函数、一次函数函数的单调性逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A ：既不是奇函数也不是偶函数，故选项A 不正确；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭对于B ：，故是奇函数，且在上单调递减，故选项()()()22f x x x f x -==--=-2y x =-2y x =-R B 正确；对于C ：的定义域为，关于原点对称，，所以2y x -={}|0x x ≠()()()22211f x x f x xx --====-是偶函数，故选项C 不正确；2y x -=对于D ：定义域为，关于原点对称，，所以是奇函3y x =-R ()()()33f x x x f x -=--==-3y x =-数，因为在上单调增，所以在上单调递减，故选项D 正确； 3y x =R 3y x =-R 故选：BD.11．心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，120140mmHg :6090mmHg :读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压12080mmHg ()sin p t a b t ω=+()p t ，t 为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（）．()mmHg ()minA ．B ．收缩压为 80πω=120mmHgC ．舒张压为D ．每分钟心跳80次70mmHg 【答案】BCD【分析】由正弦型函数的图像，即可求出周期与最值，进而求出频率，即可判断正误. 【详解】由题图知，，所以，可得，故选项A 不正确； 11128016080T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2π180ω=160πω=所以，由题图知在一个周期内最大值为120，最小值为70， ()sin160πp t a b t =+()p t 所以收缩压为，舒张压为，故选项BC 正确； 120mmHg 70mmHg 每分钟心跳数为频率，故选项D 正确. 180f T==故选：BCD.12．已知函数，则下列说法正确的是（）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．的最小正周期是π ()f x B ．在区间上单调递增()f x 0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象2sin 2y x =3π()f xD ．若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2,-【答案】AD【分析】利用三角函数的知识逐一判断即可.【详解】因为函数，所以的最小正周期是，故A 正确； ()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 22ππ=当时，，所以在区间上不单调递增，故B 错误；0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,33x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故C 错误； 2sin 2y x =3π22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭当时， ,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以若方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是()f x m =,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2,-，故D 正确故选：AD三、填空题 13．若，则__________． 1sin 3α=cos 2=α【答案】79【详解】2217cos 212sin 12().39αα=-=-⨯=14．第24届冬季奥林匹克运动会简称“北京—张家口冬奥会”，将于2022.2.4～2022.2.20在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行.某公司为迎接冬奥会的到来，设计了一款扇形的纪念品，扇形圆心角为2，弧长为12cm ，则扇形的面积为______. 2cm 【答案】36【分析】首先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：依题意、 cm ，所以，即 cm ，所以2α=12l =l r α=6r =116123622S lr ==⨯⨯=；2cm 故答案为：3615．函数的最小值是__________． 2cos sin 2y x x =-+【答案】1【分析】化简可得，根据的范围结合二次函数的性质，即可求出函数的2113sin 24y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭sin x 最小值.【详解】，22cos sin 21sin sin 2y x x x x =-+=--+2113sin 24x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为，，根据二次函数的性质可知， 1sin 1x -≤≤当时，函数有最小值为.sin 1x =2min1131124y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭故答案为：1.16．已知实数a ，b 满足，若关于x 的不等式的解集中有且仅有01b a <<+()222120a x bx b -+-<3个整数，则实数a 的取值范围是_________；【答案】()1,3【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和1a >-a ()1,1a ∈-1a =三种情况，求出符合要求的实数a 的取值范围.1a >【详解】可变形为，()222120a x bx b -+-<()()110a x b a x b +-⋅-+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦因为，所以， 01b a <<+011ba <<+其中，1a >-当时，开口朝下，不合题意；()1,1a ∈-()22212y a x bx b =-+-当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去； 1a =220bx b -<2bx <当时，开口朝上，1a >()22212y a x bx b =-+-因为，所以不等式解集为，01b a <-11b a bx x a⎧⎫⎨<+-⎩<⎬⎭此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2，则必有，所以，结合， 321ba-≤<--()()2131a b a -<≤-01b a <<+所以，所以， ()211a a -<+13a <<综上： ()1,3a ∈故答案为：.()1,3四、解答题 17．计算(1)()266661log 3log 2·log 18log 4-+(2)，，1214-⎛⎫⎪⎝⎭0a >0b >【答案】(1)1；(2). 85【分析】（1）根据对数运算的性质，化简求解即可得出答案；（2）根据指数幂的运算性质，化简求解即可得出答案. 【详解】（1）()()226666666636log 2log 2log 1log 3log 2log 182log 42log 2⎛⎫+⋅ ⎪-+⋅⎝⎭=.()()26666log 2log 22log 212log 2+⋅-==（2）. 1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭()()12312233224210ab a b ----=⋅⎛⎫⨯⋅ ⎪⎝⎭33332222828105a b⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⨯÷⋅⋅=18．已知函数f （x ）=log2（x +1）–2．（1）若f （x ）>0，求x 的取值范围；（2）若x ∈（–1，3]，求f （x ）的值域．【答案】（1）x >3．（2）f （x ）的值域为（–∞，0]．【分析】(1)根据对数函数单调性解不等式得结果，(2) 根据对数函数单调性确定函数值域. 【详解】（1）函数f （x ）=log 2（x +1）–2， ∵f （x ）>0，即log 2（x +1）–2>0， ∴log 2（x +1）>2， ∴log 2（x +1）>log 24， ∴x +1>4， ∴x >3．（2）∵x ∈（–1，3]， ∴x +1∈（0，4]，∴log 2（x +1）∈（–∞，2]， ∴log 2（x +1）–2∈（–∞，0]． ∴f （x ）的值域为（–∞，0]．【点睛】本题考查对数函数单调性以及值域，考查基本求解能力. 19．已知是锐角，且．α()()()()()()sin cos 2tan tan sin f παπααπαπαπα----=+--（1）化简；()f α（2）若，求的值，31cos 25απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f α【答案】（1）；（2） cos α-【分析】（1）直接利用诱导公式和同角三角函数间的关系进行化简即可；（2）利用诱导公式化简，得，从而得31cos 25απ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1sin 5α=cos α=【详解】（1）．()()sin cos tan cos sin tan f a αααααα-==-（2），31cos sin 25παα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∴，∴1sin 5α=cos α=()cos f a α=-=【点睛】此题考查诱导公式和同角三角函数间的关系的应用，属于基础题 20．已知函数是上的奇函数，当时，. ()f x R 0x ≥2()2f x x x =+(1)当时，求解析式；0x <()f x (2)若，求实数的取值范围. (1)(21)0f a f a -++<a 【答案】(1) 2()2f x x x =-+(2) (),2-∞-【分析】（1）根据奇函数性质求解即可；()()f x f x =--（2）先判断函数在上的增减性，再由奇函数性质得到， ()f x R ()(1)21f a f a -<--根据单调性解抽象不等式即可.【详解】（1）因为函数是上的奇函数，当时，， ()f x R 0x ≥2()2f x x x =+所以当时，，所以， 0x <0x ->22()2()()2f x x x x x -=-+-=-因为，所以， ()()f x f x =--2()2f x x x =-+故当时， .0x <2()2f x x x =-+（2）由（1）知，， ()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩当时，，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，0x ≥2()2f x x x =+当时，也单调递增，所以函数是上的增函数， 0x <()f x ()f x R 因为，所以， (1)(21)0f a f a -++<()(1)(21)21f a f a f a -<-+=--即，又因为函数是上的增函数， ()(1)21f a f a -<--()f x R 所以，解得. 121a a -<--2a <-故实数的取值范围为：. a (),2-∞-21．已知函数. ()44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数在区间上的最值；()f x 3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)若，，求的值.4cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) (2) 3150【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性()7n 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭求得的最值；()f x （2）先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正3sin 5θ=-sin 2,cos 2θθ弦的和差公式求得.23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为 ()1sin 42444f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦， 74312x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又，所以，故， 3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦711,12312x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦7sin 12x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦所以， 712x π⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣所以函数在区间；()f x 3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）因为，，所以，4cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3sin 5θ==-所以，， 24sin 22sin cos 25θθθ==-221697cos 2cos sin 252525θθθ=-=-=所以 722231234f ππππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)sin 2cos cos 2sin cos 2sin 424ππθθθθ⎫=-=-⎪⎭. 1724312522550⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22．已知函数为上的奇函数，且，． ()22x x f x a b -=⋅+⋅R ()13f =()13cos 2π2sin π22g x x t x =++(1)若不等式有解，求实数m 的取值范围； ()24x f x m >⋅+(2)若对于，，使得成立，求实数t 的取值范围．[]10,1x ∀∈[]21,2x ∃∈()()12f x g x ≤【答案】(1)(),2m ∈-∞(2)(],1t ∈-∞-【分析】（1）由条件先求出的值，由不等式有解，分离参数可得,a b ()24x f x m >⋅+，再求出的最大值即可. 2122122x x m ⎡⎤⎛⎫<-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2122122x x ⎡⎤⎛⎫-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）由题意，得,然后分别求出的最大值即可.()()max max f x g x ≤()(),f x g x 【详解】（1）∵为上的奇函数，∴，又， ()f x R ()00f a b =+=()11232f a b =+=∴，，∴．2a =2b =-()1122x x f x +-=-∵， ()()()()111122220x x x x f x f x -+++--+=-+-=∴为上的奇函数，，满足题意，即． ()1122x x f x +-=-R 2a =2b =-()1122x x f x +-=-∵，即，()24x f x m >⋅+112224x x x m +-->⋅+∴． 2122122x x m ⎡⎤⎛⎫<-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又∵， 22121212122222x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=-+-<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴．(),2m ∈-∞（2）由题意，得．()()max max f x g x ≤易知是增函数，是减函数，则在上单调递增，∴． 12x y +=12x y -=()f x []0,1()max 3f x =，． ()213cos 2π2sin πsin π2sin π222g x x t x x t x =++=-++[]1,2x ∈设，设．[]sin π1,0q x =∈-()()222222h q q tq q t t =-++=--++①当时，，得，又， 1t <-()()max 1213h q h t =-=-+≥1t ≤-1t <-∴．1t <-②当时，，得或，∴．10t -≤≤()()2max 23h q h t t ==+≥1t ≥1t ≤-1t =-③当时，，无解．0t >()()max 023h q h ==≥综上可得，． (],1t ∈-∞-。

湖南省长沙市第一中学_学年高一数学暑期综合检测(1)(PDF)【含答案】

A.
B.
C. 2
D.-2
6. 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料．已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、2 万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲 A(吨) B(吨) A.12 万元 B．16 万元 3 1 乙 2 2 C．17 万元原料限额 12 8 D．18 万元
D． (1,1]
N 为（
）
A．
B． {0,1}
C． {1,1} )
2．已知 a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是( A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 a b C．若＞，则 a＞b c c
1 1 B．若 a3＞b3 且 ab＜0，则＞ a b 1 1 D．若 a2＞b2 且 ab＞0，则＜ a b )
2
n 3n1 an , n N . 3
（1）求数列 {a n } 的通项；（2）设 bn
n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn. an
20．(本题满分 12 分) “城市呼唤绿化” ，发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形 ABC 形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙 BC，长度为 100 3 米，另外两边 AB,AC 使用某种新型材料围成，已知 BAC 120 , AB x, AC y （ x, y 单位均为米）. （1）求 x, y 满足的关系式（指出 x, y 的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使公园的面积最大，最大值是多少？
.
1 n
三、解答题（共 6 小题，共 70 分，解答过程应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上。） 17．(本题满分 10 分) 已知两条直线 l1： ax－by＋4＝0 和 l2： (a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的 a， b 的值： (1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

湖南省长郡中学雅礼中学等长沙名校联盟高一数学暑假第一次阶段性测试试题

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知数列«Skip Record If...»是等差数列，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»等于（）A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. «Skip Record If...»D. «Skip Record If...»2. 下列命题中，错误的个数有________个①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行.③一个平面与两个平行平面相交，交线平行.④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.已知圆«Skip Record If...»与圆«Skip Record If...»相交，则圆«Skip Record If...»与圆«Skip Record If...»的公共弦所在的直线的方程为（）A．«Skip RecordIf...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直4. 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以,,,线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90 B．60C．45D．305.设偶函数f（x）的定义域为R，当«Skip Record If...»时f（x）是增函数，则«Skip Record If...»的大小关系是（）A.«Skip Record If...»＞«Skip Record If...»＞«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»＞«Skip Record If...»＞«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»＜«Skip Record If...»＜«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»＜«Skip Record If...»＜«Skip Record If...» 6. «Skip Record If...»的最大值为（）A. «Skip Record If...»B. «Skip Record If...»C. 1D. 27. 若任取«Skip Record If...»成立，则称«Skip Record If...» 是«Skip Record If...»上的凸函数．试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（）8. 已知n 次多项式f (x )＝a n x n ＋a n －1x n －1＋…＋a 1x ＋a 0，用秦九韶算法求f (x 0)的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）A ．n ，nB ．2n ，nC ．«Skip Record If...»，nD ．n ＋1，n ＋19. 设向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角为«Skip Record If...»，定义«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的“向量积”：«Skip Record If...»是一个向量，它的模«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（）A ．2B ． «Skip Record If...»C ． «Skip Record If...»D ．4 10. 已知等比数列｛«Skip Record If...»｝中，«Skip Record If...»=2×3«Skip Record If...»,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和«Skip Record If...»的值为（）A ．3«Skip Record If...»－1B ．3(3«Skip Record If...»－1)C ．«Skip Record If...»D ．«Skip Record If...» 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．函数«Skip Record If...»的定义域为_______________． 12．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________．13．按照程序框图(如右图)执行，第3个输出的数是_______________． 14．已知函数«Skip Record If...»是偶函数，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为_______________．15．在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»面积为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»_______________．三、解答题（共75分） 16．（本小题满分12分）yaBxb yaCxb yaDxb yaAxb A BC DD BA C已知函数«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）的最小正周期为«Skip Record If...»．（Ⅰ）求«Skip Record If...»的值；（Ⅱ）求函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的取值范围． 17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面PAC . （Ⅱ）求证：AB ⊥PB ；（Ⅲ）若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．18．（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率． A C P B DE(第17题)19．（本小题满分13分）已知函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．（Ⅰ）设«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»图象的一条对称轴，求«Skip Record If...»的值；（Ⅱ）求函数«Skip Record If...»的单调递增区间．20．（本小题满分13分）设关于«Skip Record If...»的一元二次方程«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» («Skip Record If...»)有两根«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，且满足«Skip Record If...».（Ⅰ）试用«Skip Record If...»表示«Skip Record If...»；（Ⅱ）求证：数列«Skip Record If...»是等比数列；（Ⅲ）当«Skip Record If...»时，求数列«Skip Record If...»的通项公式，并求数列«SkipRecord If...»的前«Skip Record If...»项和«Skip Record If...».21.（本小题满分13分）已知«Skip Record If...»，点A(s, f(s)), B(t, f(t))（Ⅰ）若«Skip Record If...»,求函数«Skip Record If...»的单调递增区间；（Ⅱ）若函数«Skip Record If...»的导函数«Skip Record If...»满足：当|x|≤1时，有|«Skip Record If...»|≤«Skip Record If...»恒成立，求函数«Skip Record If...»的解析表达式；（Ⅲ）若0<a<b, 函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»处取得极值，且«Skip Record If...»,证明：«Skip Record If...»与«Skip Record If...»不可能垂直.2015年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学参考答案1C 2B 3B 4C 5A 6C 7C 8A 9A 10D11．（0，1） 12． 1：3 13．5 14．«Skip Record If...»15．«Skip Record If...»或«Skip Record If...»16．(x)«Skip Record If...»«Skip Record If...»．因为函数«Skip Record If...»的最小正周期为«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»．（Ⅱ）由（Ⅰ）得«Skip Record If...»．因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，因此«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»的取值范围为«Skip Record If...»．17． (1)证明：因为D，E分别是AB，PB的中点，所以DE ∥PA ．因为PA «Skip Record If...»平面PAC ，且DE «Skip RecordIf...»平面PAC ，所以DE ∥平面PAC ．(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB «Skip Record If...»平面ABC ，所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ．所以AB ⊥平面PBC ．又因为PB «Skip Record If...»平面PBC ，所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角．因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°，所以∠PBC ＝45°，所以二面角P —AB —C 的大小为45°．18．解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y .用(x ，y )表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4). (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，则A ＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)}．事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P (A )＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，则B ＝{(1，3)，(3，1)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P (A )＝«Skip Record If...». 19．解：（I ）由题设知«Skip Record If...»．因为«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»图象的一条对称轴，所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．所以«Skip Record If...»． ACPBDE(第17题)当«Skip Record If...»为偶数时，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»为奇数时，«Skip Record If...»．（II）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）时，函数«Skip Record If...»是增函数，故函数«Skip Record If...»的单调递增区间是«Skip Record If...»（«Skip Record If...»）．20．解：（1）根据韦达定理，得«Skip Record If...»，«Skip Record If...», 由«Skip Record If...»得«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»（2）证明：«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，这时一元二次方程«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»无实数根，故«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»是公比为«Skip Record If...»的等比数列．（3）设«Skip Record If...»，则数列«Skip Record If...»是公比«Skip Record If...»的等比数列，又«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．«Skip Record If...»则由错位相减法可得«Skip Record If...»«Skip Record If...»．21．解：(I) f(x)=x3-2x2+x, «Skip Record If...»(x)=3x2-4x+1,因为f(x)单调递增，所以«Skip Record If...»(x)≥0，即 3x2-4x+1≥0,解得，x≥1, 或x≤«Skip Record If...»,故f(x)的增区间是(-∞，«Skip Record If...»)和(II) «Skip Record If...»(x)=3x2-2(a+b)x+ab.当x∈时，恒有|«Skip Record If...»(x)|≤«Skip Record If...»故有«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»(1)≤«Skip Record If...»，«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»(-1)≤«Skip Record If...»，«Skip Record If...»≤«Skip Record If...»(0)≤«Skip Record If...»即«Skip Record If...»①+②，得«Skip Record If...»≤ab≤«Skip Record If...»，又由③，得ab=«Skip Record If...»，将上式代回①和②，得a+b=0,故f(x)=x3«Skip Record If...»x(III) 假设«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...» = st+f(s)f(t)=0,(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1,=-1,由s，t为«Skip Record If...»(x)=0的两根可得，s+t=«Skip Record If...»(a+b), st=«Skip Record If...», (0<a<b), 从而有ab(a-b)2=9这样(a+b)2=(a-b)2+4ab= «Skip Record If...»+4ab≥2«Skip Record If...»=12，即 a+b≥2«Skip Record If...»,这样与a+b<2«Skip Record If...»矛盾故«Skip Record If...»与«Skip Record If...»不可能垂直.。

2020-2021学年湖南省名校联考联合体高一上学期大联考数学试题(解析版)

2020-2021学年湖南省名校联考联合体高一上学期大联考数学试题一、单选题 1．计算()tan 330-=（）A ．B ．-C D ．【答案】A【分析】利用正切的诱导公式即可求解. 【详解】()()3tan 330tan 330360tan 303-=-+==，故选：A.2．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B B =，则实数a 值集合为A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,0,2}-【答案】D【分析】A B B ⋂=,可以得到B A ⊆，求出集合A 的子集，这样就可以求出实数a 值集合.【详解】A B B B A ⋂=⇒⊆,{}2,1A =-的子集有{}{}{},2,1,2,1φ--，当B φ=时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =时，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，不存在a ，符合题意，实数a 值集合为{}1,0,2-，故本题选D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论. 3．若a ，b ，c ，满足23a =，2log 5b =，32c =，则（） A ．c a b << B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A【分析】把对数写成指数25b =，根据指数函数的单调性可判断,,1a b 的大小，再根据指数函数的单调性得到1c <，从而可得三者的大小关系.【详解】因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>；又323c =<，故1c <.综上，b a c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了指数对数互化，以及利用指数函数的单调性比较大小的问题.属于较易题.4．已知函数2()lg(45)f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．(5,)+∞ D ．[5,)+∞【答案】D【分析】首先求出()f x 的定义域，然后求出2()lg(45)f x x x =--的单调递增区间即可.【详解】由2450x x -->得5x >或1x <- 所以()f x 的定义域为(),1(5,)-∞-⋃+∞ 因为245y x x =--在(5,)+∞上单调递增所以2()lg(45)f x x x =--在(5,)+∞上单调递增所以5a ≥ 故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.5．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 6．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===（其中30.8662≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A ．3π B ．4π C ．2π D ．23π 【答案】A【分析】由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196sin 0.8667θ==．于是可得θ，进而得出结论．【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=．则 5.196sin 0.8666θ==≈． 3πθ∴=，223πθ=．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α．则2αθπ+=，3πα∴=．故选：A ．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的是（） A ．cos y x = B ．2sin y x =C ．cos 2x y =D ．tan y x =【答案】B【分析】利用正弦、余弦函数、正切函数的周期公式求出周期可排除选项A 、D ，利用单调性可排除选项C ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：由于cos y x =的周期为2π，故选项A 不正确；对于选项B ：由于2sin y x =以π为最小正周期，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，故选项B 不正确；对于选项C ：故由于cos 2xy =的周期为2412ππ=，故选项C 不正确；对于选项D ：由于tan y x =在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，故选项D 不正确. 故选：B8．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin()13,02()390e14,2x x x f x x π-⎧+≤<⎪=⎨⎪⋅+≥⎩．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n (n N *∈)小时才可以驾车，则n 的值为（参考数据：ln15≈2.71，ln 30≈3.40）（）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL) 饮酒驾驶[)20,80醉酒驾驶 [)80,+∞A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【分析】可结合分段函数建立不等式0.5901420x e -+<，利用指数不等式的求解即可【详解】由题意可知当酒精阈值低于20mg/100mL 时，才可以开车，则可结合分段函数建立不等式0.5901420x e -+<，即0.5115xe -<，两边取自然对数可得0.51ln ln 15xe-<，即0.5ln15x -<-，则ln15 2.715.420.50.5x >≈=，取整数可得为6h 故选：B【点睛】关键点睛：利用指数函数的性质求解不等式即可，属于基础题二、多选题9．给出下面四个结论﹐其中正确的是（） A ．设正实数a ，b 满足1a b +=，则11a b+有最大值4 B ．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<” C ．方程3log 30x x +-=的零点所在区间是()2,3D ．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()(2)f x f x =-+，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则()2019f 2=-【答案】BCD【分析】A.根据1a b +=，利用“1”的代换转化为112b a a bab +=++，再利用基本不等式求解判断；B.利用含有一个量词的命题的否定的定义求解判断；C.设()3log 3f x x x =+-，利用零点存在定理判断；D. 由()(2)f x f x =-+，得到函数的周期为4，再结合()f x 在R 上是奇函数求解判断. 【详解】A.因为1a b +=，所以()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭, 当且仅当1a b b a a b+=⎧⎪⎨=⎪⎩,即11,22a b ==时取等号，所以有最小值4，故错误；B.命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2,210x R x x ∃∈-+<”，故正确；C. 设()3log 3f x x x =+-，因为()()332log 210,3log 30f f =-<=>，所以函数的零点所在区间是()2,3，故正确；D. 因为()(2)f x f x =-+，即(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数的周期为4，又()f x 在R 上是奇函数，所以(2019)(20163)(3)(1)(1)2f f f f f =+==-=-=-，故正确；故选：BCD 10．已知243fx =-，则下列结论错误的是（）A ．()11f =B ．2()21f x x =-C ．()f x 是偶函数D ．()f x 有唯一零点【答案】BC【分析】利用换元法求得函数的解析式，再一一判断选项即可. 【详解】t =，则2()21(0)f t t t =-≥. 所以()11f =，即A 正确；由2()21(0)f x x x =-≥，即B 错；因为定义域为()0,∞+不关于原点对称，故不是偶函数，C 错；由()2()210,0f x x x =-=≥得2x =，即D 正确故选：BC11．给出下面四个结论，其中正确的是（） A ．函数()tan 2f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭是奇函数，且()f x 的最小正周期为2 B ．函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()f x 为偶函数C ．函数()tan()f x x =-的单调增区间是,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．函数1()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]2,2x ππ∈-的单调减区间是5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，可判断A 正确，利用正弦函数的知识可判断B 正确，()tan()tan f x x x =-=-，该函数无单调增区间，可判断C 错误，11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解出不等式1222232k x k πππππ-≤-≤+，可判断D 正确.【详解】因为()tan tan 22f x x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以其是奇函数，最小正周期为22ππ= 故A 正确函数()2sin(2),f x x x R ϕ=-+∈的最大值为2，当且仅当,2k k Z πϕπ=+∈时()2cos 2f x x =±为偶函数故B 正确()tan()tan f x x x =-=-，其单调递减区间为,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，无单调增区间故C 错误11()sin sin 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1222232k x k πππππ-≤-≤+解得54433k x k ππππ-≤≤+，与[]2,2x ππ∈-的公共部分为5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故D 正确故选：ABD12．给出下面四个结论，其中不正确的是（）A ．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定，则若n 次（2n ≥）购买同一物品，用第一种策略比较经济B ．若二次函数2()2441(0)f x ax x a =+-≠在区间()1,1-内恰有一个零点﹐则实数a 的取值范围是15,00,824⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则32b a +的取值范围是)⎡+∞⎣D ．设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把ABC 沿AC 向ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB x =，则ADP △的面积是关于x 的函数且最大值为108-【答案】BCD【分析】利用基本不等式可判断AD 的正误，对于B ，利用参变分离可得参数a 的取值范围，从而可判断B 的正误，利用对勾函数的性质可判断C 的正误. 【详解】对于A ，设两次购买此种商品的单价分别为1p ，2p （都大于0），第二种方案每次购买这种物品数量为0x >；第一种方案每次购买这种物品的钱数为0y >.可得：第二种方案的平均价格为：121222xp xp p p x ++=；第一种方案的平均价格为1212121212121222222p p p p p p y p p yy p p p p p p +=≤=≤++.当且仅当12p p =时取等号，故A 正确.对于B ，因为2()2441(0)f x ax x a =+-≠在区间()1,1-内恰有一个零点，所以224410ax x +-=在()1,1-内恰有一个根，且此根不为零，故21424xa x -=在()1,1-内恰有一个根，令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，故2244a t t =-在()(),11,-∞-+∞内恰有一个根，24y t t =-的图象如图所示：故()(){}243,00,54a ∈--即a 的取值范围是151,00,8246⎛⎫⎛⎫⎧⎫--⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，故B 错误.对于C ，由()lg f x x =，0a b <<，()() f a f b =知1ab =，且01a <<，所以3232a b a a+=+，又01a <<，函数3()2g a a a=+在()0,1上是减函数， ∴32(1)5a g a+>=，325b a +>，故C 错误.对于D ，由题意可知，矩形()ABCD AB CD >的周长为24，AB x =，即12AD x =-，因为0AB AD >>，故612x <<.设PC a =，则DP x a =-，AP a =，而ADP △为直角三角形， ∴222(12)()x x a a -+-=， ∴7212a x x =+-，∴7212DP x =-，其中612x <<， ∴1172(12)1222ADPSAD DP x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭ 43243210861086x x x x=--≤-⋅108722=-当且仅当4326x x=，即62x =时取等号，即62x =ADP △取最大面积为108722-. 故选：BCD. 【点睛】易错点睛：（1）利用基本不等式求最值时，注意检验等号成立的条件；（2）对于含参数的二次方程有解问题，利用参变分离求参数的取值范围，注意换元时变量范围的相应的变化.三、填空题13．若幂函数()y f x =的图象经过函数()()1log 34a g x x =++（0a >且1a ≠）图象上的定点A ，则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭__________.【答案】4【分析】令31+=x 求出函数()g x 的图象所过定点A 的坐标，设()af x x =，将点A 的坐标代入函数()f x 的解析式，求出a 的值，进而可求得12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】令31+=x ，可得2x =-，则()112log 144a g -=+=，所以，点12,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设()af x x =，则()()1224af -=-=，解得2a =-，()2f x x -∴=，因此，211422f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：4.14．计算：3sin 2cos25212log 253log 6434πππ-⎛⎫-+⨯+= ⎪⎝⎭__________.【答案】1-【分析】利用指数、对数的运算性质以及特殊角的的三角函数值即可求解. 【详解】3sinsin sin 1222ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，cos 02π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3sin 2cos25212log 253log 6434πππ-⎛⎫-+⨯+ ⎪⎝⎭21605212log 53log 234π-⎛⎫=-+⨯+ ⎪⎝⎭5222log 536log 2341=⨯-⨯+⨯+2236341=⨯-⨯+⨯+1=-故答案为：1-.15．已知函数10()2,0x f x x x -<<=≥⎪⎩，若实数a 满足()()1f a f a =-，则(())f f a -=__________.【分析】根据函数定义，求出a 值后再计算函数值．【详解】根据题意，10()2,0x f x x x -<<=≥⎪⎩，其定义域为(1,)-+∞，则函数()f x 在(1,0)-和区间[)0,+∞上都是增函数，当1a ≥时，有22(1)a a =-，无解；当10a -<<时，无解；若实数a 满足()()1f a f a =-，必有110a -<-<且10a >>，且有2a =解得14a =，所以(())f f a -=【点睛】思路点睛：本题考查分段函数求函数值，解题时需根据自变量范围确定选用的函数解析式．16．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段.某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n（单位：小时）大致服从的关系为0()n N t n n N <=≥（0t ，0N 为常数）.已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为__________小时. 【答案】647【分析】根据第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时，求得()t n ，然后将49n =代入求解.【详解】由第64天和第67天检测过程平均耗时均为8小时知，016N >，16=，解得064t =.8=，解得064N =，所以64()8,64n t n n <=≥⎩，所以当49n =时，64(49)7t ==.故答案为：647四、解答题17．已知(){}2:()ln ,p t A t f x x tx t x R ∈==++∈，{}:211q t B t a t a ∈=-<<+. （1）求集合A ；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围. 【答案】（1）{}04t t <<；（2）12a ≥. 【分析】（1）由题意，对于2,0x x tx t ∀∈++>R 恒成立，利用判别式列出不等式，解出t 的取值范围可得集合A ；（2）由p 是q 的必要不充分条件，可得B A ，分B φ=和B φ≠两种情况，列出不等式解出a 的取值范围．【详解】（1）由2,0x x tx t ∀∈++>R 恒成立， 240t t ∆=-<，得到04t <<，{}04A t t =<<，（2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，当B φ=，即211a a -≥+，所以2a ≥；当B φ≠，即211a a -<+，所以2a <，由210a -≥，得12a ≥，由14a +≤得3a ≤，所以122a ≤<，综上所述：12a ≥.18．已知3sin()cos cos 22()3sin()cos(2)sin tan()2f ππθπθθθππθπθθπθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+-- ⎪⎝⎭.（1）化简()fθ；（2）若()3f πθ-=-，求3sin 2cos 5cos 2sin θθθθ-+的值；（3）解关于θ的不等式：2f πθ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭【答案】（1）tan θ-；（2）3-；（3）212,2,3k k k Z ⎛⎤-+-+∈ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）运用诱导公式和同角三角函数关系进行化简，即可得到化简结果；（2）结合（1）得到的结果，将问题转化为齐次式进行求解，即可计算出结果；（3）结合（1）得到的结果，将其转化为不等式即可求出结果. 【详解】（1）因为sin()sin θπθ-=-，cos()sin 2πθθ+=-，3cos()sin 2πθθ-=-，sin()sin πθθ-=， cos(2)cos()cos πθθθ--=-=，3sin()cos 2πθθ+=-，tan()tan()tan πθθθ--=-=-，22(sin )(sin )(sin )sin ()tan sin sin cos (cos )(tan )cos cos f θθθθθθθθθθθθθ---∴==-=---⋅. （2）由（1）可知()tan ,f θθ=-()()tan tan 3f πθπθθ∴-=--==-，3sin 2cos 3tan 25cos 2sin 52tan θθθθθθ--∴=++3(3)252(3)⨯--=+⨯-=11（3）因为()tan f θθ=-，()2f πθ∴≥tan()2πθ-≥整理可得tan()2πθ≤ 则()223k k k Z ππθπππ-+<≤-+∈，解得2122()3k k k Z θ-+<≤-+∈，故不等式的解集为212,2()3k k k Z ⎛⎤-+-+∈⎥⎝⎦. 【点睛】关键点点睛：解答第一问时关键是需要熟练掌握诱导公式，对其进行化简，并能结合同角三角函数关系计算结果，解答第二问时可以将其转化为齐次式，即可计算出结果.19．已知函数()sin f x x =，()cos g x x =；用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()m x ={}min (),()f x g x . （1）求23y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的值域；（2）若()fθ，()g θ是关于x 的方程20()x ax a a R -+=∈的两个根，求a 的值；（3）若[]0,2x π∈，且方程()m x b =有两个实根，求实数b 的取值范围.【答案】（1）11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭；（2）1（3）{}20,12⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】（1）根据,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得到52,366x πππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质求解.（2）由题意得到sin cos sin cos aaθθθθ+=⎧⎨⋅=⎩，再利用平方关系得到212a a +=求解.（3）由最小函数得到()5sin ,0,,2445cos ,,44x x m x x x πππππ⎧⎡⎤⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，然后画出其图象，根据方程()m x b =有两个实根，利用数形结合法求解. 【详解】（1）因为,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以52,366x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以1sin 2[1,)32x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即23y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值域是1[1,)2-.（2）因为()fθ，()g θ是关于x 的方程20()x ax a a R -+=∈的两个根，所以sin cos sin cos aaθθθθ+=⎧⎨⋅=⎩，且240a a ->，所以222sin 2sin cos co s a θθθθ+⋅+=，即212a a +=，解得12a =-或12a =+（舍）.（3）由题意得：()5sin ,0,,2445cos ,,44x x m x x x πππππ⎧⎡⎤⎡⎤∈⋃⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，其图象如图所示：因为方程()m x b =有两个实根，由图象知：实数b 的取值范围是{}220,122⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点或方程根的个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用． 20．已知函数121()log 1axf x x -=-的图象过点(3,1)A -. （1）当(1,)x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，求k 的取值范围.【答案】（1）1m ≥-；（2）11k -≤≤.【分析】（1）代入即可求出函数()f x ，化简不等式，即可求出结果. （2）由121()log 1x f x x +=-在[]2,3上是增函数，12()log ()g x x k =+在[]2,3上是减函数，结合函数图象，列不等式组即可得到结果. 【详解】（1）由题可知1213(3)log 131af -==--，所以1322a-=，1a =-，所以121()log 1xf x x +=-. 当()1,x ∈+∞时，12()log (1)f x x m +-<恒成立，即11221log log (1)1xx m x ++-<-， ∴12log (1)x m +<在(1,)+∞恒成立，当(1,)x ∈+∞时，1122log (1)log 21=+<=-y x∴1m ≥-，即实数m 的取值范围是1m ≥-. （2）令12111x u x x +==+--，在[]2,3上单调递减，又1log2y u =单调递减. 所以121()log 1xf x x +=-在[]2,3上是增函数， 12()log ()g x x k =+在[]2,3上是减函数，∴只需要(2)(2)(3)(3)f g f g ≤⎧⎨≥⎩，即可保证关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解，下解此不等式组.代入函数解析式得11221122log 3log (2)log 2log (3)k k ≤+⎧⎪⎨≥+⎪⎩，解得11k -≤≤，即当11k -≤≤时关于x 的方程12()log ()f x x k =+在[]2,3上有解.【点睛】方法点睛：方程在区间上有解问题，结合函数图象列不等式组求解，是常用的方法.本题考查了计算能力和数形结合思想，属于一般题目.21．新冠肺炎疫情发生后，政府为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额x （万元）在[]4,8x ∈的小微企业做统一方案，方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x （万元）随企业原纳税额x （万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额的50%.经测算政府决定采用函数模型()44x mf x x=-+（其中m 为参数）作为补助款发放方案.（1）当使用参数13m =是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①②的参数m 的取值范围. 【答案】（1）不满足条件；答案见解析；（2）[]4,12-.【分析】（1）当13m =，求得()'0f x >，得到()f x 在[]4,8x ∈为增函数，又由(4)2f <，即可得到答案；（2）求得224'()4x m f x x +=，分类讨论求得函数的单调性，得到4m ≥-，再由不等式44x mx+≤在[]4,8上恒成立，求得12m ≤，即可求解. 【详解】（1）当13m =，函数()1344x f x x=-+，可得()211304'f x x =+>，所以()f x 在[]4,8x ∈为增函数满足条件①；又因为71(4)2442f =<=⨯，所以当13m =时不满足条件②. 综上可得，当使用参数13m =时不满足条件；（2）由函数()44x m f x x =-+，可得22214'()44m x mf x x x+=+=，所以当0m ≥时，()'0f x ≥满足条件①，当0m <时，由()'0f x =，可得x =当)x ⎡∈+∞⎣时，()'0f x ≥，()f x 单调递增，所以4≤，解得40m -≤<，综上可得，4m ≥-，由条件②可知，()2xf x ≥，即不等式44x m x +≤在[]4,8上恒成立，等价于22114(8)1644m x x x ≤-+=--+.当4x =时，21(8)164y x =--+取最小值12，所以12m ≤，综上，参数m 的取值范围是[]4,12-.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，以及导数在函数的中的应用，其中解答中正确理解题意，结合导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.22．已知函数3()()31x x af x a R -=∈+.（1）若函数()f x 为奇函数，求a 的值，并求此时函数()f x 的值域；（2）若存在120x x <<，使()()120f x f x +=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1a =，(1,1)-；（2）133a <<. 【分析】（1）利用(0)0f =可求1a =，分离常数后可求函数的值域.（2）由题设可得故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0-∞的取值集合有交集，考虑它们无公共元素时实数a 的取值范围，该范围在实数集上的补集即为所求的取值范围.【详解】（1）因为3()31x x af x -=+为奇函数，所以1(0)02a f -==，所以1a =，又当1a =时，31()31x x f x -=+，此时()3131()3131x x x x f x f x -----==-=-++，满足奇函数的定义，故1a =符合.此时312()13131x x xf x -==-++，又2231102()1(1,1)3131xx xf x +>⇒<<⇒=-∈-++，故函数()f x 的值域为(1,1)-.（2）3111()13131x x xa a f x +--+==-++. ①当10a +≤时，()1f a ≥，故不成立； ②当10a +>即1a ≥-时，因为存在120x x <<，使()()120f x f x +=，故()f x 在()0,∞+上的取值集合与()f x -在(),0-∞的取值集合有交集，因为()f x 在R 上为增函数，故()f x 在()0,∞+上的取值区间为1,12a -⎛⎫⎪⎝⎭， ()f x 在(),0-∞上的取值区间为1,2a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()f x -在(),0-∞上的取值区间为1,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭，若区间1,2aa-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭无公共元素，则12aa-≤或112a-≥，也就是13a≤或3a≥，故区间1,2aa-⎛⎫⎪⎝⎭与1,12a-⎛⎫⎪⎝⎭有公共元素时，必有133a<<.综上，13 3a<<.【点睛】方法点睛：（1）含参数的奇函数或偶函数，利用赋值法求出参数值后应加以检验；（2）多元方程解的存在性问题，一般转化为不同函数在对应范围中的值域的关系，注意合理转化.。

湖南省长沙市名校联考联合体2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷含答案

名校联考联合体2024年秋季高一第一次联考数学（答案在最后）时量：120分钟满分：150分一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}22M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N = （）A.{1,0,1}-B.{0,1,2}C.{}12x x -<≤ D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】【分析】利用交集的定义直接求解即可.【详解】因为{}22M x x =-<<，{1,0,1,2}N =-，所以{1,0,1}M N ⋂=-，故A 正确.故选：A2.已知命题:p x ∀∈R ，11x +>，命题:0q x ∃>，3x x =，则（）A.p 是真命题，q 是假命题B.p 是假命题，q 是真命题C.p 和q 都是真命题D.p 和q 都是假命题【答案】B 【解析】【分析】举出反例得到p 为假命题，举出实例得到q 为真命题.【详解】对于命题p ：当0x =时，11x +=，故p 为假命题；对于命题q ：当1x =时，31x x ==，故q 为真命题.故选：B.3.使29x <成立的一个充分不必要条件的是（）A.3x <B.03x << C.33x -≤≤ D.0x >【答案】B 【解析】【分析】首先解不等式29x <得到33x -<<，根据题意找到{}33x x -<<的一个真子集即可.【详解】由29x <得33x -<<，对于A ，因为{}33x x -<<是{}3x x <的真子集，所以3x <是33x -<<的必要不充分条件，故A 错误；对于B ，因为{}03x x <<是{}33x x -<<的真子集，所以03x <<是33x -<<的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，因为{}33x x -<<是{}33x x -≤≤的真子集，所以33x -≤≤是33x -<<的必要不充分条件，故C 错误；对于D ，因为{}33x x -<<与{}0x x >不是包含关系，所以0x >是33x -<<的既不充分也不必要条件，故D 错误.故选：B.4.下列命题为真命题的是（）A.若a b >，则22a b >B.若a b >，则22ac bc >C.若a b >，则11a b< D.若0a b >>，则11b ba a+>+【答案】D 【解析】【分析】对A ，B ，C 举反例说明，对D ，作差法求解判断.【详解】若a b >，取0a =，1b =-，则22a b <，故A 错误；若a b >，当0c =时，则22ac bc =，故B 错误；若a b >，取1a =，1b =-，则11a b>，故C 错误；若0a b >>，则()()()()1110111b a a b b b a ba a a a a a +-++--==>+++，故D 正确.故选：D.5.已知集合{}101,2A x x B y y ⎧⎫=<<=>⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.()0,∞+ D.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由并集的概念即可直接得答案.【详解】因为{}1|01,2A x x B y y ⎧⎫=<<=⎨⎬⎩⎭，所以()0,A B ∞⋃=+.故选：C.6.已知集合A 满足{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}，且3A ∉，则满足条件的集合A 有（）A.2个B.4个C.8个D.16个【答案】B 【解析】【分析】根据子集和真子集的概念求解即可.【详解】由题意可知，集合A 中一定包含元素1，2，一定不包含元素3，且A 是{}1,2,3,4,5的真子集，所以{}1,2A =或{}1,2,4或{}1,2,5或{}1,2,4,5，即满足条件的集合A 有4个.故选：B.7.已知正实数,a b 满足3a b ab +=，则4a b +的最小值为（）A.9B.8C.3D.83【答案】C 【解析】【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式进行求解即可【详解】由条件知113a b+=，1111414(4)553333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21a b ==时取等号.故选：C8.设集合1,36k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则下列结论中正确的是（）A.A B= B.A B⊂C.A B ⊃D.A B =∅【答案】B 【解析】【分析】将两集合结构化为一致即可判断.【详解】1,36k A x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭21,6k x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭1,63k B x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭2,6k x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21k +代表所有奇数，2k +代表所有整数所以A B ⊂故选:B二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知不等式20ax bx c ++≤的解集为{1x x ≤-或}3x ≥，则下列结论正确的是（）A.0a >B.0a b c ++>C.420a b c -+< D.20cx bx a -+<的解集为113x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由条件可得1-和3为方程20ax bx c ++=的根，且0a <，进而结合韦达定理得到23b ac a =-⎧⎨=-⎩，进而判断ABC ；将不等式化简可得，求解即可判断D.【详解】由题意得，1-和3为方程20ax bx c ++=的根，且0a <，则−1+3=−−1×3=，即23b ac a =-⎧⎨=-⎩，故A 错误；2340a b c a a a a ++=--=->，故B 正确；4244350a b c a a a a -+=+-=<，故C 正确；由20cx bx a -+<，即2320ax ax a -++<，即23210x x --<，解得113-<<x ，故D 错误.故选：BC.10.已知0a >，0b >，且22a b +=，则下列说法正确的是（）A.12ab ≥B.1122a b+≥C.22a b +的最小值为25D.2≤【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式及其变形可判断A ；利用常值代换可判断B ；利用消元法可判断C ；根据重要不等式222ab a b ≤+得到a b +≤，代入即可判断D.【详解】对于A ，22212a b a b +⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12≤ab ，当且仅当2a b =，即1a =，12b =时等号成立，故A 错误；对于B ，因为()111111222222222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b =，即1a =，12b =时等号成立，故B 正确；对于C ，因为22a b +=，所以22a b =-，因为0a >，0b >，所以220b b ->⎧⎨>⎩，则01b <<，所以()2222224422584555a b b b b b b ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎭+⎝，当45b =时，22a b +取最小值45，故C 错误；对于D ，由222ab a b ≤+得()()2222a b a b+≤+，即a b +≤2+≤，=1a =，12b =时等号成立，故D 正确.故选：BD.11.对任意A ，B ⊆R ，记{},A B x x A B x A B =∈⋃∉⋂ ，并称A B 为集合A ，B 的对称差.例如：若{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则{}1,4A B =△.下列命题为真命题的是（）A.若{0}A x x =>，{2}B x x =<，则A B =△{2x x ≥或0x ≤}B.若A ⊆R ，且{}1,2,3A A ⊆△，则{}1,2,3A ⊆C.若A ，B ⊆R ，则()A B A B =R R△△痧D.若A ，B ，C ⊆R ，则()()A B C A B C =△△△△【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，求出,A B A B ⋃⋂，根据定义得到A 正确；B 选项，举出反例；CD 选项，可利用韦恩图进行说明.【详解】A 选项，A B ⋃=R ，{02}A B xx =<< ∣，故A B =△{2x x ≥或0x ≤}，A 正确；B 选项，{}1,2,3A A ⊆ ，不妨设{}1,2,3,4A =，则{}{}{}{}1,2,31,2,3,4,1,2,31,2,3A A ⋃=⋂=，故{}{}1,2,34A A =⊆ ，但不满足{}1,2,3A ⊆，B 错误；C 选项，当A B ⋂≠∅且A 与B 不是包含关系时，如图1，①为集合{x x A ∈且}x A B ∉⋂，②为集合{x x B ∈且}x A B ∉⋂，③为集合{}x x A B ∈⋂，④为集合(){}R x x A B ∈⋃ð，B R ð表示集合①④的并集，A B ⋃R ð表示集合①③④的并集，A B ⋂R ð为集合①，故A B R ð为集合③④的并集，A B 为集合①②的并集，故()A B R ð为集合③④的并集，故()A B A B =R R 痧；当A B ⋂=∅时，如图2，①为集合(){}R x x A B ∈⋃ð，B R ð表示集合①和集合A 的并集，A B ⋃R ð表示集合①和集合A 的并集，A B ⋂R ð为集合A ，故A B R ð为集合①，A B 为集合,A B 的并集，故()A B R ð为集合①，故()A B A B =R R 痧；如图3，当A B ⊆时，B R ð表示集合①，A B ⋂R ð为集合∅，故A B R ð为集合①和集合A 的并集，A B 为集合,A B 的并集去掉,A B 的交集，即集合②部分，故()A B R ð为集合①和集合A 的并集，故()A B A B =R R 痧；如图4，当B A ⊆时，②为{x x A ∈且}x A B ∉⋂，①为(){}R x x A B ∈⋃ð，B R ð表示集合①和②的并集，R A B ⋃=R ð，A B ⋂R ð表示集合②，故A B R ð为集合①和集合B 的并集，A B 为集合,A B 的并集去掉,A B 的交集，即集合②部分，故()A B R ð为集合①和集合B 的并集，故()A B A B =R R 痧.综上，C 正确；D 选项，画韦恩图，如下：情况较多，我们就第一个图进行说明，①为{x x A ∈且x A B ∉ 且}x A C ∉⋂，②为{x x B ∈且x A B ∉ 且}x B C ∉⋂，③为{x x A B ∈⋂且}x A B C ∉⋂⋂，④为(){}R x x A B C ∈⋃⋃ð，⑤为{x x A C ∈⋂且}x A B C ∉⋂⋂，⑥为{}x x A B C ∈⋂⋂，⑦为{x x B C ∈⋂且}x A B C ∉⋂⋂，⑧为{x x C ∈且x A C ∉ 且}x B C ∉⋂，A B 表示集合①⑤②⑦的并集，故()A B C 表示集合①②⑥⑧的并集，B C 表示集合②③⑤⑧的并集，()A B C 表示集合①②⑥⑧的并集，故()()A B C A B C = ，当,,A B C 满足其他关系时，经检验，也满足()()A B C A B C = ，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：当集合之间的关系较为复杂或解决容斥原理的题型时，常常使用韦恩图来进行求解，其直观易懂，可大大减少思维量.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知集合{}{}24,2,4,A m B m =-=，且A B =，则m 的值为_________.【答案】0【解析】【分析】根据集合相等，列出关于m 的方程，结合集合元素的互异性，即可得答案.【详解】因为A B =，所以22m m =-，解得0m =或2-，当2m =-时，224m m =-=，而集合的元素具有互异性，故2m ≠-，所以0m =，故答案为：013.若命题：“x ∀∈R ，不等式()21204x a x +-+>成立”为假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】{1a a ≤或3a ≥}【解析】【分析】由题可知命题的否定为真命题，根据一元二次不等式在R 上恒成立求解即可.【详解】由题意得：x ∃∈R ，不等式()21204x a x +-+≤成立为真命题，所以0≥ ，即()212404a --⨯≥，解得1a ≤或3a ≥.所以实数a 的取值范围是{1a a ≤或3a ≥}.故答案为：{1a a ≤或3a ≥}.14.设集合{}{}2680,10A x x x B x ax =-+≤=-=∣∣，若A B B = ，则实数a 的取值范围为__________.【答案】110,,24⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】先求出集合A ，结合A B B = 可得B A ⊆，进而分0a =和0a ≠两种情况讨论求解即可.【详解】{}{}26802,4A xx x =-+≤=∣，由A B B = ，得B A ⊆，当0a =时，B =∅，符号题意；当0a ≠时，{}110B xax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭∣，则12a =或14a =，解得12a =或14a =.综上所述，则实数a 的取值范围为110,,24⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：110,,24⎧⎫⎨⎬⎩⎭.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知集合{}121P x a x a =+≤≤+，{}25Q xx =-≤≤∣，其中实数0a >.（1）若3a =，求集合()Q P R ð；（2）若P Q =∅ ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){24}P Q xx =-≤<R ∣ð（2）{4}aa >∣.【解析】【分析】（1）根据集合的交集和补集运算求解；（2）根据集合的交集的定义及空集的概念求解.【小问1详解】当3a =时，集合{}47P xx =≤≤∣，P =R ð{4x x <或7x >}，又集合{}25Q xx =-≤≤∣，所以(){24}P Q x x =-≤<R ∣ð.【小问2详解】因为0a >，所以121a a +<+，则集合P 非空，因为P Q =∅ ，所以15a +>或212a +<-，解得4a >或32a <-，又0a >，所以4a >，故实数a 的取值范围是{4}aa >∣.16.已知集合{}2{121},560A xm x m B x x x =+<<-=--<∣∣.（1）若“命题:,p x A x B ∃∈∈”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|25m m <<（2）7|2m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由题意可知A B ≠∅ ，进而求解；（2）由题意可得A 是B 的真子集，分类讨论求解即可.【小问1详解】{}{}256016B x x x x x =--<=-<<∣，因为命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，则A B ≠∅ ，所以1211216m m m +<-⎧⎨-<-<⎩或121116m m m +<-⎧⎨-<+<⎩，解得25m <<，所以实数m 的取值范围为{}|25m m <<.【小问2详解】（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，当B =∅时，121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，有12111216m m m m +<-⎧⎪+≥-⎨⎪-<⎩或12111216m m m m +<-⎧⎪+>-⎨⎪-≤⎩，解得722<≤m .综上所述，m 的取值范围是7|2m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.17.如图，长沙湘江新区有一块半径为10米的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路.最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路.规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .设点A 到道路2的距离为a 米，点B 到道路1的距离为b 米.（1）当8a =，求b 的值；（2）求AOB V 面积的最大值，并求此时a ，b 的值.【答案】（1）103b =（2）最大值为300-20a b ==-.【解析】【分析】（1）根据题意分别设出切点坐标，利用切线长定理和勾股定理得到关系式()20020ab a b +=+，将8a =代入即可求出b 的值；（2）利用（1）中得到的关系式()20020ab a b +=+结合基本不等式求出ab 的范围即可求出面积的最大值以及此时a ，b 的值.【小问1详解】设圆C 与道路1、道路2、直线AB 的切点分为D ，E ，F ，连接CD ，CE ，CF ，由切线长定理可知BE BF =，AF AD =，则BE AD AB +=，由题知OD OE ⊥且10OD OE ==，OA a =，OB b =，即()()1010a b -+-=()20020ab a b +=+.①把8a =代入①，解得103b =；【小问2详解】由题有010a <<，010b <<，因为a b +≥，所以()20020ab a b +=+≥令)010t t =<<，则220040t t +≥，解得020t <≤-所以0600ab <≤-当且仅当a b =时等号成立，即220040a a +=，解得20a b ==-010a <<，010b <<，则13002AOB S ab =≤-△，所以AOB V 的面积的最大值为300-20a b ==-.18.已知函数()211y ax a x =-++，a ∈R .（1）若2a =，当1x >时，求2101y x z x -+=-的最小值；（2）求关于x 的不等式()()21100ax a x a -++>>的解集；（3）当0a <时，已知{}21A xx =-≤≤-∣，{0}B x y a =+>，若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）7（2）答案见解析（3）307a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）变形后，利用基本不等式求出最小值；（2）因式分解，得到()()11y ax x =--，分11a >，11a <和11a =三种情况，得到不等式的解集；（3）0y a +>化为()2110ax a x a -+++>，根据A B ⊆，转化为函数不等式恒成立问题，结合二次函数的开口方向，得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2a =时，()()2221182102511111x x y x x x z x x x ---+-+-+===---()8211171x x =-+-≥-=-，当且仅当()8211x x -=-，即3x =时取等号，故当1x >时，2111y x z x -+=-的最小值为7.【小问2详解】由题知()()()21111y ax a x ax x =-++=--，当11a >，即01a <<时，解原不等式得1x a >或1x <，当11a <，即1a >时，解原不等式得1x a <或1x >，当11a =，即1a =时，解原不等式得1x ≠.综上，当1a >时，原不等式解集为1{|<x x a或>1}x ；当01a <<时，原不等式解集为{|1x x <或1}x a>；当1a =时，原不等式解集为{}1xx ≠∣.【小问3详解】不等式0y a +>可化为()2110ax a x a -+++>，因为A B ⊆，所以不等式()2110ax a x a -+++>在21x -≤≤-时恒成立，又0a <，结合二次函数图象知，()()421101100a a a a a a a ⎧++++>⎪++++>⎨⎪<⎩，解得307a -<<.故a 的取值范围是307a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.19.已知二次函数21y ax bx =++，对x ∀∈R ，都有0y ≥，且当2x =-时，0y =.（1）求a ，b 的值；（2）存在t ∈R ，对任意{}x x t x m t ∈≤≤+，都有1y x t ≤-+，求正实数m 的最大值；（3）若()211,2i i i y ax bx i =++=，是否存在正整数12x x <，使得1212y y y -为正整数？【答案】（1）1,41.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）8（3）不存在，证明过程见解析【解析】【分析】（1）根据根的判别式和2x =-时，0y =，得到方程组，求出a ，b 的值；（2）结合二次函数的开口方向，只需10y x t -+-≤在x t =，x m t =+处都成立即可，从而得到不等式，求出40t -≤≤，t m t --≤≤-+，求出t -+8，从而得到答案；（3）反证法，假设1212y k y y =-为正整数，得到()2k k +也为完全平方数，但()()2221k k k k <+<+，即()2k k +介于两个相邻的完全平方数之间，得到矛盾，假设不成立，故不存在正整数12x x <，使得1212y y y -为正整数？【小问1详解】由题知4210a b -+=且240b a ∆=-=，解得1,41.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩【小问2详解】由（1）知2114=++y x x ，10y x t -+-≤在t x m t ≤≤+上恒成立，当t 确定时，2114t y x t x -+-+=表示开口向上的二次函数，当t x m t ≤≤+时，该函数的最大值必在端点处取到，则只需10y x t -+-≤在x t =，x m t =+处都成立即可.当x t =时，有2140t t +≤，解得40t -≤≤；当x m t =+时，有()2014m t t ++≤，解得t m t --≤≤-+；其中)211t -+=-在40t -≤≤上单调递减，故当4t =-时，t -+取得最大值，最大值为8，所以8m t ≤-+≤，所以当8m =，4t =-时满足上述不等式，则m 的最大值为8.【小问3详解】不存在，证明过程如下：假设存在，设1212y k y y =-为正整数，因为()22111244y x x x =++=+，所以()()()2122212222x k x x +=+-+为正整数，则()()()2212222k x k x ++=+，即()()()22212222k k x k x ++=+.而()212x +，()2222k x +均为完全平方数，()2k k +为正整数，所以()2k k +也为完全平方数，又()()2221k k k k <+<+，即()2k k +介于两个相邻的完全平方数之间，不为完全平方数，矛盾，所以当()211,2i i i y ax bx i =++=时，不存在正整数12x x <，使得1212y y y -为正整数.。

湖南省名校联盟2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题(含答案)

百年世范精准联考2024级高一新生人学考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在题卡上：2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效：3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁：5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸：6．本学科试卷共23个小题，考试时量90分钟，满分100分一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．的相反数是（）A ．B ．C．D ．20242．2017年11月29日，湖南博物院新馆正式对外开放，为公众提供“有温度有力度有速度”的参观体验，成为了湖南走向世界的“文化名片”和实至名归的“湖南文化地标”，到目前为止已累计接待国内外观众超1000万人次，数据1000万用科学记数法表示为（）A ．B ．C ．D ．3．下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．下列各式计算正确的是（）A ．B ．C ．D ．5．一个盒中有10枚黑棋子和若干枚白棋子，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中，不断重复上述过程，一共取了200次，其中有50次取到黑棋子，由此估计盒中白棋子的枚数约为（）A ．20B ．30C ．40D ．502024-12024-2024-1202480.110⨯7110⨯61010⨯6110⨯223a a a +=23622a a a ⋅=()324222a a a a -÷=()()22a b b a a b-+=-6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ A ．B ．C ．D ．7．如图，已知直线，E 、F 分别为直线AB 、CD 上的点，P 为直线AB 上方一点．若，，则的度数为（）A ．450B ．60°C ．65°D ．75°8．如图，是等边三角形，于点D ，于点E ．若，则的面积为（）ABC ．D ．9．某种品牌的汽车经过1、2季度连续两次降价，每辆售价由31万元降到了28万元，设平均每季度降低的百分率为x ，根据题意列出的方程是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，是的内接等边三角形，点D 在劣弧AB 上运动（不与点A ，B 重合），连接CD ．则下列结论不成立的是（）324523x x x x --<-+⎧⎪+⎨≤⎪⎩AB CD ∥135AEP ∠=︒30EPF ∠=︒PFD ∠ABC △AD BC ⊥DE AC ⊥AD =EDC △()228131x +=()228131x -=()231128x -=()231128x +=ABC △O eA ．点A 是的中点B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．因式分解：______．12有意义，则实数x 的取值范围是______．13．某班篮球兴趣小组甲、乙、丙三名队员进行投篮测试，每轮投10次，每人投10轮投中的平均数都是76次，方差分别为，，，则甲、乙、丙三名队员中投篮最稳定的队员是______．14．一个零件的形状如图所示，，，分别是20°和30°．则的度数为______．15．如图，用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．16．已知点是关于x 的反比例函数图象上的一点，其中a ，b 满足，则k 的取值范围为______．二、解答题（本大题共7小题，共52分，其中第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题9分，第23题每小题10分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1718．先化简，再求值：，其中19．某数学兴趣小组开展了测量学校国旗旗杆高度的实践活动，通过观察学校操场的主席台与国旗旗杆之间的相对位置，确定利用主席台的可测数据与在点A 、B 处测出点D 的仰角度数，来求出旗杆DE 的高，如图，AB 的长为5米，高BC 为3米，在点A 处测得点D 的仰角为45°，在点B 处测得点D 的仰角为34.3°，»BC120DBC ∠=︒ADC BDC∠=∠AD BD CD+=3327m m -=20.45S =甲20.56S =乙20.36S =丙90A ∠=︒B ∠D ∠BCD ∠(),a b ()31ky x x=-<<-22)440(a b a b a b -+-=≠()2024312sin 30--+-+︒21691236x x x x -+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭3x =A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，求旗杆DE 的高，（参考数据：，，，结果保留整数）20．2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日，全民国家安全教育日（英语：National Security Education Day ）是为了增强全民国家安全意识，维护国家安全而设立的节日，某中学为了解学生对全民国家安全教育日的了解程度，学校采用随机抽样的方式获取了若干名学生的进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，整理后得到下列不完整的图表：类别A 类B 类C 类D 类评价结果非常了解了解较多基本了解了解较少频数8mn4请根据图表中提供的信息解答下面的问题：（1）此次调查共抽取了______名学生，______，______；（2）扇形统计图中，B 类所对应的扇形的圆心角是______度；（3）已知在D 类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加国家安全教育培训活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．21．为丰富学生课外活动内容，光明中学组建了机器人兴趣小组，要购进甲、乙两种型号机器人，甲种型号机器人的单价比乙种型号机器人的单价贵0.3万元，已知用8万元购买甲种型号机器人的数量与用5万元购买乙种型号机器人的数量相同．（1）求甲、乙两种型号机器人的单价分别是多少？（2）因参与机器人兴趣小组学生人数增加，学校要再购买一些机器人，购买乙种型号机器人的数量是甲种型号机器人数量的2倍，总费用不超过15万元，则最多能购买甲种型号机器人多少台？22．如图，在等腰直角中，，D 是BC 边上任意一点（不与B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AE ，连接CE ，DE ，DE 交AC 于点F ．sin 34.30.564︒≈cos34.30.826︒≈tan 34.30.682︒≈m =n =ABC △90BAC ∠=︒（1）求证：；（2）若，，求DE 的长．23．如图，二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为，点、在这个二次函数图像上．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线MN 与直线平行，求的最小值；（3）如图，连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15°，求线段CP 的长．百年世范精准联考2024级高一新生人学考试数学试卷答案解析及评分细则一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1-5 DBCDB6-10 BDACB二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．12．且13．丙14．140°15．116．三、解答题（本大题共7小题，共52分．其中第17、18、19、20题每小题6分，第21、22题每小题9分，第23题10分。

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2015-2016学年湖南省长沙市名校联盟高一（上）暑假测试数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知{a n}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（）A． 12 B． 16 C． 20 D． 242．下列命题中，错误的个数有（）个①平行于同一条直线的两个平面平行．②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个3．已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（）A． x+2y+1=0 B． x+2y﹣1=0 C． x﹣2y+1=0 D． x﹣2y﹣1=04．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90° B．60° C．45° D．30°5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A． f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B． f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C． f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D． f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）6．y=cosα+sinα的最大值为（）A． B． C． 1 D． 27．若任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f（）＞成立，则称f（x）是[a，b]上的凸函数．试问：在下列图象中，是凸函数图象的为（）A． B．α C． D．8．已知n 次多项式f（x）=a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，用秦九韶算法求当x=x0时f（x0）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）A． n，n B． 2n，n C．，n D． n+1，n+19．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A． B． 2 C． D． 410．已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n 的值为（）A． 3n﹣． 3（3n﹣1） C．．二、填空题（每小题5分，共25分）11．函数的定义域为．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱锥A1﹣ABCD的体积与长方体的体积之比为．13．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是．14．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，且θ∈[0，]，则θ的值为．15．在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则= ．三、解答题（共75分）16．（12分）（2008•北京）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．17．（12分）（2012•秦州区校级学业考试）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PB；（3）若PC=BC，求二面角P﹣AB﹣C的大小．18．（12分）（2012•秦州区校级学业考试）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．19．（13分）（2007•湖南）已知函数，．（Ⅰ）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．20．（13分）（2015秋•长沙月考）设关于x的一元二次方程a n x2﹣a n+1x+1=0（n∈N*）有两根α和β，且满足6α﹣2αβ+6β=3．（Ⅰ）试用a n表示a n+1；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）当a1=时，求数列{a n}的通项公式，并求数列{na n}的前n项和T n．21．（13分）（2008秋•长春期末）已知f（x）=x（x﹣a）（x﹣b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的导函数f'（x）满足：当|x|≤1时，有|f'（x）|≤恒成立，求函数f（x）的解析表达式；（Ⅲ）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且，证明：与不可能垂直．2015-2016学年湖南省长沙市名校联盟高一（上）暑假测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．已知{a n}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（）A． 12 B． 16 C． 20 D． 24考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的性质可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．解答：解：∵{a n}是等差数列，∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．又a2+a3+a10+a11=48，∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．故选D．点评：本题考查了等差数列的性质，属于基础题．2．下列命题中，错误的个数有（）个①平行于同一条直线的两个平面平行．②平行于同一个平面的两个平面平行．③一个平面与两个平行平面相交，交线平行．④一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交．A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．解答：解：对于①，平行于同一条直线的两个平面可能相交，故①错误．对于②，平行于同一个平面的两个平面根据面面平行的性质定理和判定定理可以得到平行，故②正确．对于③，一个平面与两个平行平面相交，交线平行；满足面面平行的性质定理，故③正确．对于④，一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交，故④正确．故选：B．点评：本题考查了面面平行的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理的条件是关键．3．已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为（）A． x+2y+1=0 B． x+2y﹣1=0 C． x﹣2y+1=0 D． x﹣2y﹣1=0考点：相交弦所在直线的方程．专题：计算题；直线与圆．分析：对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．解答：解：由题意，∵圆与圆相交，∴两圆的方程作差得6x+12y﹣6=0，即公式弦所在直线方程为x+2y﹣1=0故选B．点评：本题考查圆与圆的位置关系，两圆相交弦所在直线方程的求法，注意x，y的二次项的系数必须相同，属于基础题．4．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A．90° B．60° C．45° D．30°考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，计算可得答案．解答：解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBEcos∠DBE=，∴∠DBE=45°．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．5．设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时f（x）是增函数，则f（﹣2），f（π），f（﹣3）的大小关系是（）A． f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2） B． f（π）＞f（﹣2）＞f（﹣3） C． f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣2） D． f（π）＜f（﹣2）＜f（﹣3）考点：偶函数；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由偶函数的性质，知若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量﹣2，﹣3，π的绝对值大小的问题．解答：解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞）时f（x）是增函数则x∈（﹣∞，0）时f（x）是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|﹣2|＜|﹣3|＜π∴f（π）＞f（﹣3）＞f（﹣2）故选A．点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．6．y=cosα+sinα的最大值为（）A． B． C． 1 D． 2考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先，利用辅助角公式，得到y=sin（α+），然后，结合三角函数的最值确定其最大值即可．解答：解：y=cosα+sinα=sin（α+），故该函数的最大值为1，故选：C．点评：本题重点考查了辅助角公式、三角函数的最值等知识，属于基础题．7．若任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f（）＞成立，则称f（x）是[a，b]上的凸函数．试问：在下列图象中，是凸函数图象的为（）A． B．α C． D．考点：函数的图象与图象变化．专题：新定义．分析：由已知中凸函数的定义，结合四个答案中的图象，逐一分析任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2时，f（）与大小关系，比照定义可得答案．解答：解：∵任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f（）＞成立∴函数f（x）是[a，b]上的凸函数任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，则A中，f（）=成立，故A不满足要求；则B中，f（）＜成立，故B不满足要求；则C中，f（）＞成立，故C满足要求；则D中，f（）与大小不确定，故D不满足要求；故选C点评：本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中正确理解已知中凸函数的定义，是解答本题的关键．8．已知n 次多项式f（x）=a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，用秦九韶算法求当x=x0时f（x0）的值，需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是（）A． n，n B． 2n，n C．，n D． n+1，n+1考点：秦九韶算法．专题：规律型．分析：求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n﹣1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+a n﹣2，v3=v2x+a n﹣3…v n=v n﹣1x+a1这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．解答：解：f（x）=a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0=（a n x n﹣1+a n﹣1x n﹣2+…+a1）x+a0=（（a n x n﹣2+a n﹣1x n﹣3+…+a2）x+a1）x+a0=…=（…（（a n x+a n﹣1）x+a n﹣2）x+…+a1）x+a0．求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=a n x+a n﹣1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+a n﹣2，v3=v2x+a n﹣3…v n=v n﹣1x+a1这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值．∴对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法故选A．点评：秦九韶算法对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法．9．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）A． B． 2 C． D． 4考点：平面向量的综合题．专题：新定义．分析：设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．解答：解：设的夹角为θ，则cosθ==﹣，∴sinθ=，∴=2×2×=2．故选B．点评：本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．10．已知等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S n 的值为（）A． 3n﹣． 3（3n﹣1）．．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：求出等比数列{a n}中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．解答：解：等比数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，即有a2=6，a4=54，则新数列的公比为9，即有S n==．故选：D．点评：本题考查等比数列的求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．函数的定义域为（0，1）．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：现根据对数函数定义得到＞0，然后根据x＞0和＞0=，根据＜1得对数函数为减函数，所以得到x＜1，即可得到函数的定义域．解答：解：由对数函数的定义得到：＞0，有意义；首先x＞0，然后根据＜1得对数函数为减函数，因为＞0=，根据单调性得到x＜1，所以函数的定义域为（0，1）故答案为（0，1）点评：考查学生会根据对数函数的定义求定义域，会根据对数函数的单调性求函数的定义域．讨论对数函数增减性的时候要注意先考虑底数a的取值是a＞1还是0＜a＜1，情况不一样．12．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱锥A1﹣ABCD的体积与长方体的体积之比为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由棱锥A1﹣﹣ABCD的体积，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD×AA1，，能求出棱锥A1﹣﹣ABCD的体积与长方体的体积之比．解答：解：∵棱锥A1﹣﹣ABCD的体积，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积V ABCD﹣A1B1C1D1=S ABCD×AA1，∴棱锥A1﹣ABCD的体积与长方体的体积之比==．故答案为：．点评：本题考查棱柱和棱锥的体积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是 5 ．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．解答：解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是1+2=3第三个输出的数字是3+2=5故答案为：5点评：本题考查循环结构，本题解题的关键是读懂框图，看出在每一步循环中，要完成的任务，本题是一个基础题．14．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，且θ∈[0，]，则θ的值为．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由偶函数的定义可得，f（x）=f（﹣x），可取x=，代入函数式，应用诱导公式和同角三角函数的关系式，化简即得，注意θ的范围．解答：解：∵f（x）是偶函数∴f（x）=f（﹣x）∴f（）=f（﹣）即sin（+θ）+cos（+θ）=sin（﹣+θ）+cos（﹣+θ）∴cosθ﹣sinθ=﹣cosθ+sinθ∴cosθ﹣sinθ=0∴tanθ=1，∵θ∈[0，]，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查函数的奇偶性及应用，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，属于基础题．15．在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则= ．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，b，以及已知面积相等求出c的值，利用余弦定理求出a的值，利用正弦定理求出所求式子的值即可．解答：解：∵△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，∴bcsinA=，即c•=，解得：c=4，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，即a=，则由正弦定理==得：===．故答案为：点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．三、解答题（共75分）16．（12分）（2008•北京）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=，进而求得ω（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．解答：解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．17．（12分）（2012•秦州区校级学业考试）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D，E分别是AB，PB的中点．（1）求证：DE∥平面PAC；（2）求证：AB⊥PB；（3）若PC=BC，求二面角P﹣AB﹣C的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由D，E分别是AB，PB的中点，结合三角形中位线定理和线面平行的判定定理可得DE∥平面PAC；（2）由线面垂直的性质，可得PC⊥AB，结合AB⊥BC和线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，再由线面垂直的性质可得AB⊥PB；（3）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，故∠PBC即为二面角P﹣AB﹣C的平面角，解△PBC可得答案．解答：证明：（1）∵D，E分别是AB，PB的中点∴DE∥PA又∵PA⊂平面PAC，DE⊄平面PAC∴DE∥平面PAC；（2）∵PC⊥底面ABC，AB⊂底面ABC，∴PC⊥AB又∵AB⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC⊂平面PBC∴AB⊥平面PBC又∵PB⊂平面PBC∴AB⊥PB；解：（3）由（2）知，AB⊥PB，AB⊥BC，∴∠PBC即为二面角P﹣AB﹣C的平面角∵PC=BC，∠PCB=90°∴∠PBC=45°∴二面角P﹣AB﹣C的大小为45°点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，解答（1）（2）的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质，解答（3）的关键是求出二面角的平面角．18．（12分）（2012•秦州区校级学业考试）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题．分析：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求解答：解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（4分）（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（8分）（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．（12分）点评：本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用，解题的关键是准确求出每种情况下事件的个数．19．（13分）（2007•湖南）已知函数，．（Ⅰ）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x0）的值；（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间．考点：余弦函数的对称性；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）先对函数f（x）根据二倍角公式进行化简，再由x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴求出x0的值后代入到函数g（x）中，对k分奇偶数进行讨论求值．（Ⅱ）将函数f（x）、g（x）的解析式代入到h（x）中化简整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，得到h（x）=，然后令求出x的范围即可．解答：解：（Ⅰ）由题设知．因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，所以=kπ，即（k∈Z）．所以．当k为偶数时，，当k为奇数时，．（Ⅱ）==．当，即（k∈Z）时，函数是增函数，故函数h（x）的单调递增区间是（k∈Z）．点评：本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣单调性、对称性．考查二倍角公式的运用．20．（13分）（2015秋•长沙月考）设关于x的一元二次方程a n x2﹣a n+1x+1=0（n∈N*）有两根α和β，且满足6α﹣2αβ+6β=3．（Ⅰ）试用a n表示a n+1；（Ⅱ）求证：数列是等比数列；（Ⅲ）当a1=时，求数列{a n}的通项公式，并求数列{na n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过根据韦达定理可知、，代入6α﹣2αβ+6β=3整理即得结论；（2）通过对变形可知a n+1﹣=（a n﹣），通过一元二次方程a n x2﹣a n+1x+1=0（n∈N*）有两根可排除，进而可知数列是公比为的等比数列；（3）通过记，利用等比数列的通项公式可知，进而利用错位相减法计算即得结论．解答：（1）解：根据韦达定理，得，，∵6α﹣2αβ+6β=3，∴，整理得：；（2）证明：∵，∴，若，则，从而，这时一元二次方程x2﹣x+1=0无实数根，故，∴，即数列是公比为的等比数列；（3）解：设，则数列{b n}是公比的等比数列，又∵，∴，∴，∴，，由错位相减法可得T n=．点评：本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（13分）（2008秋•长春期末）已知f（x）=x（x﹣a）（x﹣b），点A（s，f（s）），B（t，f（t））．（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的导函数f'（x）满足：当|x|≤1时，有|f'（x）|≤恒成立，求函数f（x）的解析表达式；（Ⅲ）若0＜a＜b，函数f（x）在x=s和x=t处取得极值，且，证明：与不可能垂直．考点：利用导数研究函数的极值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）由题意可得：f'（x）=3x2﹣4x+1，令f'（x）≥0即可得到函数的单调递增区间．（Ⅱ）由题可得：故有≤f'（1）≤，≤f'（﹣1）≤，及≤f'（0）≤，结合不等式的有关性质可得：ab=，进而得到a+b=0，即可得到函数的解析式．（Ⅲ）假设⊥，即=st+f （s ）f （t ）=0，即有﹣1[st ﹣（s+t ）a+a 2][st ﹣（s+t ）b+b 2]=﹣1，结合题中条件s+t=（a+b ），st=，可得ab （a ﹣b ）2=9，再利用基本不等式推出矛盾，进而得到答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f （x ）=x 3﹣2x 2+x ，、所以f'（x ）=3x 2﹣4x+1，令f'（x ）≥0得3x 2﹣4x+1≥0，解得故f （x ）的增区间和[1，+∞）（4分）（Ⅱ）由题意可得：f'（x ）=3x 2﹣2（a+b ）x+ab ，并且当x ∈[﹣1，1]时，恒有|f'（x ）|≤．（5分）故有≤f'（1）≤，≤f'（﹣1）≤，及≤f'（0）≤，（6分）即…（8分）①+②，得≤ab≤，…（8分）又由③，得ab=，将上式代回①和②，得a+b=0，故．（10分）（Ⅲ）假设⊥，即=（s ，f （s ））•（t ，f （t ））=st+f （s ）f （t ）=0（11分）所以有：（s ﹣a ）（s ﹣b ）（t ﹣a ）（t ﹣b ）=﹣1[st ﹣（s+t ）a+a 2][st ﹣（s+t ）b+b 2]=﹣1，…（11分）由s ，t 为f'（x ）=0的两根可得，s+t=（a+b ），st=，（0＜a ＜b ）从而有ab （a ﹣b ）2=9．…（12分）这样即 a+b≥2，这与a+b ＜2矛盾．…（14分）故与不可能垂直．…（16分）点评：本题考查导数的应用，以及不等式的有关解法与性质，并且此题也考查了向量的数量积与根与系数的关系、基本不等式等知识点，是一道综合性较强的题型，属于难题．对学生分析问题，解决问题的能力要求较高．。