人教版数学九年级上册第二十二章 二次函数达标测试卷(含答案)
人教版(2024)数学九年级上册第二十二章 二次函数 单元测试(含答案)
第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。
第二十二章 二次函数 单元测试(含答案) 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十二章 二次函数一、选择题（每题3分，共24分）1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．y =1x 2B ．y =x 2+1x +1C ．y =2x 2−1D ．y =x 2−12．下列抛物线中，与y =−3x 2+1抛物线形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为(−1,2)的是（ ）A ．y =−3(x +1)2+2B ．y =−3(x−1)2+2C ．y =3(x +1)2+2D ．y =−3(x +1)2+23．在平面直角坐标系中，将二次函数y =3x 2的图象向下平移3个单位长度，所得函数的解析式为（ ）A ．y =3x 2−1B ．y =3x 2+1C ．y =3x 2−3D ．y =3x 2+34．若A (−1,y 1)，B (1,y 2)，C (4,y 3)三点都在二次函数y =−(x−2)2+k 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 1<y 2D ．y 3<y 2<y 15．二次函数y =−x 2−2x +c 2−2c 在−3≤x ≤2的范围内有最小值为−5，则c 的值（ ）A ．3或−1B ．−1C ．−3或1D ．36．已知二次函数y =x 2−3x +m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x 2−3x +m =0的两实数根是（ ）A ．x 1=0，x 2=−1B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=0D ．x 1=1，x 2=37．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m ，水面宽6m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）A ．y =−13x 2B ．y =13x 2C ．y =−3x 2D ．y =3x 28．如图，已知经过原点的抛物线y =a x 2+bx +c(a ≠0)的对称轴是直线x =−1，下列结论中：①ab >0，②a +b +c >0，③当−2<x <0时y <0.正确的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（每题4分，共20分）9．抛物线y=−3(x−1)2−2的对称轴是直线 ．10．若y=(m−2)x m2−2+x−3是关于x的二次函数．则m的值为 ．11．抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点为(3,0)，对称轴为直线x=1，则当y≤0时，x的取值范围是 ．12．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为6m，则水管的长度OA是 m．13．如图，在平面直角坐标中，抛物线y=a x2+bx(a>0)和直线y=kx(k>0)交于点O和点A，则不等式a x2 +bx<kx的解集为 ．三、解答题（共56分）14．如图所示，二次函数y=a x2+bx+c(a≠0)的图保与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(−1，0)，M(2，9)为抛物线的顶点.（1）求抛物线的函数表达式.（2）求△MCB的面积.15．如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=a x2+4x−3的图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0).（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后的图象所对应的二次函数的表达式. 16．已知，一个铝合金窗框如图所示，所使用的铝合金材料长度为18m．设AB长为xm，窗户的总面积为Sm2．（1）求S关于x的函数表达式．（2）若AB的长不能低于2m，且AB＜BC，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．17．第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=−10x+900．（1）设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．（2）销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？（3）若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．18．如图，二次函数y=a x2+bx+c的图象交x轴于A(−1，0)，B(2，0)，交y轴于C(0，−2).（1）求二次函数的解析式；（2）若点M为该二次函数图象在第四象限内一个动点，求点M运动过程中，四边形ACMB面积的最大值；（3）点P在该二次函数图象的对称轴上，且使|PB−PC|最大，求点P的坐标。
初中数学人教版九年级上册 第二十二章 二次函数 单元试卷(含答案)
第二十二章二次函数单元试卷一、单选题1．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x−2B．y=x2C．y=x2−(x+1)2D．y=2x22．抛物线y=−x2−2x一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+4分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是（ ）A．y=(x+2)2+2B．y=(x−2)2−2C．y=(x−2)2+2D．y=(x+2)2−24．已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为（ ）A．﹣2B．﹣4C．2D．45．如图，已知y1=ax2+bx+c(a≠0)与y2=kx+b(k≠0)相交于A(−1，0)、B(−4，3)两点，则y1>y2的x的取值范围是（）A．x<−4B．−4<x<−1C．x>−1D．x<−4或x>−1 6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ）A．4.25分钟B．4.00分钟C．3.75分钟D．3.50分钟7．已知函数y =3x 2−6x +k （k 为常数）的图象经过点A (0.8,y 1)，B (1.1,y 2)，C(2,y 3)，则有（ ）．A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1>y 2>y 3C ．y 3>y 1>y 2D ．y 1>y 3>y 28．用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是( )A ．6425m 2B ．43m 2C ．83m 2D ．4m 29．下表给出了二次函数y =ax 2+bx +c 的自变量x 与函数值y 的部分对应值：x …1 1.1 1.2 1.3 1.4…y…−1−0.67−0.290.140.62…那么关于x 的方程ax 2+bx +c =0的一个根的近似值可能是（ ）A ．1.07B ．1.17C ．1.27D ．1.3710．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，c ＜﹣1，其对称轴为直线x ＝﹣1，与x 轴的交点为（x 1，0）、（x 2，0），其中0＜x 1＜1，有下列结论：①abc ＞0；②﹣3＜x 2＜﹣2；③4a ﹣2b +c ＜﹣1；④a ﹣b ＞am 2+bm （m ≠﹣1）；其中，正确的结论个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数y =(x +1)(x−3)，则该二次函数的对称轴为 .12．若一条抛物线的顶点在y 轴上，则这条抛物线的表达式可以是（只需写一个）13．若函数y ＝x 2＋2x ﹣b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是 ．14．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的函数关系式为ℎ=30t−5t 2，则小球高度为40m 时，t= ．15．已知抛物线y=a(x+2)2+k(a>0)，当x≥时，y随x的增大而增大．16．定义{a,b,c}为函数y=ax2+bx+c的“特征数”如：函数y=x2+3x+2的“特征数”是{1,3,2}，函数y=x2−4的“特征数”是{1,0,−4}，在平面直角坐标系中，将“特征数”是{2,0,4}的函数的图象向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是.(a>0)与y轴交于点A，过点A作x 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax+83轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB 的中点，则a的值为．三、解答题18．已知二次函数y=kx2+(k+1)x+1(k≠0).(1)求证：无论k取任何实数，该函数图像与x轴总有交点；(2)若图像与x轴仅有一个交点，当−2≤x≤1时，求y的取值范围.19．如图，小明站在点O处练习发排球，将球从O点正上2m的A点处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x−ℎ)2+k．已知球与O点的水平距离ON为6m时，达到最高3m，球场的边界距O点的水平距离为18m．(1)请确定排球运行的高度y(m)与运行的水平距离满足的函数关系式；(2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由．20．某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x （元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；(3)若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．21．已知二次函数的图象如图所示．(1)求这个二次函数的表达式；(2)观察图象，当−2<x<1时，y的取值范围为______；(3)若将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点(−2,0)，求m的值．x2+bx+c与y轴交于点A(0,2)，与x轴交22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−23于B(−3,0)、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标．23．我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？24．如图，二次函数y=x²−2x−3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点.(1)求A,B两点的坐标；(2)求△MBC的面积；(3)对称轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：题号12345678910答案B A A B D C C C C B11．直线x=112．y=2x213．b＞﹣1且b≠014．2s或4s15．−216．{2,−4,3}17．218．（1）解：令y=0，则kx2+(k+1)x+1=0，∵Δ=(k+1)2−4k=k2+2k+1−4k=k2−2k+1=(k−1)2⩾0，∴无论k取任何实数，方程kx2+(k+1)x+1=0总有实数根，∴无论k取任何实数，该函数的图象与x轴总有交点；（2）解：∵该函数的图象与x轴只有一个交点，∴Δ=(k−1)2=0.解：k=1，∴y=x2+2x+1=(x+1)2.∴该二次函数开口向上，对称轴为x=−1∴当x=−1，函数取得最小值0；当x=1时，函数取得最大值4∴y的取值范围为0⩽y⩽4.19．（1）解：由题意可知：该抛物线顶点为M(6,3)，∴y=a(x−6)2+3，把A(0,2)的坐标代入解析式，得a(0−6)2+3=2，解得a=−136，∴排球运行的高度y(m)与运行的水平距离满足的函数关系式为y=−136(x−6)2+3；（2）解：设第一次落地点为B，令y=0，则−136(x−6)2+3=0，解之得：x1=6−63（舍），x2=6+63，∵6+63<18，∴排球第一次落地没出界．20．（1）设AB段的解析式为：y=kx+b，由图可知：图象经过(25,200),(35,100)，则：{25k+b=20035k+b=100，解得：{k=−10 b=450，∴y=−10x+450；设BC段的解析式为：y=mx+n，由图可知：图象经过(50,40),(35,100)，则：{50m+n=4035m+n=100，解得：{m=−4 n=240，∴y=−4x+240∴y={−10x+450(25≤x≤35)−4x+240(35≤x≤50)．（2）设销售利润为W元，则①当25≤x≤35时，W=(x−25)(−10x+450)=−10(x−35)2+1000，∴x=35时，W max=1000元．②当35≤x≤50时，W=(x−25)(−4x+240)=−4(x−42.5)2+1225，∵x为整数，∴x=42或43时，W取最大值，W max=1224．∵1224>1000，∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元．（3）由（2）知，当25≤x≤35时，该商品每天的最大销售利润为1000元；∴只有在35≤x≤50时，每天的销售利润才可能不低于1200元；∴−4(x−42.5)2+1225≥1200，当−4(x−42.5)2+1225=1200，解得：x1=40,x2=45，∵−4<0，∴−4(x−42.5)2+1225≥1200的解集为40≤x ≤45．21．（1）解：根据图象可知，二次函数的顶点为(−1,−4)，设二次函数的表达式为y =a (x +1)2−4，且图象过点(1,0)，∴0=a ×(1+1)2−4，解得：a =1，∴二次函数的表达式为y =(x +1)2−4，（2）由（1）得：二次函数的表达式为y =(x +1)2−4，∴当x =−1时，y 有最小值−4，当x =1或x =−2时，y =0，∴当−2<x <1时，y 的取值范围为−4≤y <0，（3）由题意得：平移后的解析式为y =(x +1)2−4+m ，∵过点(−2,0)，∴0=(−2+1)2−4+m ，解得：m =3．22．（1）由题意得：{c =20=−6−3b +c，解得：{b =−43c =2，∴抛物线解析式为：y =−23x 2−43x +2=−23(x +1)2+83，∴顶点D 坐标(−1,83)；（2）∵由（1）得y =−23x 2−43x +2，当y =0时，y =−23x 2−43x +2=0，解得：x 1=1，x 2=−3，∴点C (1,0)，设点E (m,−23m 2−43m +2)，则点P (m,0)，∵PE =PC ，∴−23m 2−43m +2=1−m ，∴m 1=1（舍去），m 2=−32，∴点E(−32,52)．23．略24．(1)A(−1，0)，B(3，0)(2)3(3)存在；N1(1，−3+172)，N2(1，−3−172)，N3(1，−4)，N4(1，2).。
第22章 二次函数 初中数学人教版九年级上册单元检测(含答案)
检测内容：第二十二章二次函数得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是( C )A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝1 x2C．y＝50＋x2D．y＝(x＋2)(2x－3)－2x22．将二次函数y＝x2－2x－2化成y＝a(x－h)2＋k的形式为( B )A．y＝(x－2)2－2 B．y＝(x－1)2－3C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x－2)2－33．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是( D )A．－3 B．－1 C．2 D．34．将抛物线y＝2x2－1向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( D )A．y＝2x2＋8x＋9 B．y＝2x2－8x＋9C．y＝2x2＋8x＋8 D．y＝2x2－8x＋85．对于二次函数y＝x2－6x＋11的图象，下列叙述正确的是( B )A．开口向下B．对称轴为直线x＝3C.顶点坐标为(－3，2) D．当x≥3时，y随x增大而减小6．已知函数y＝3x2－6x＋k(k为常数)的图象经过点A(0.8，y1)，B(1.1，y2)，C( 2 ，y3)，则有( C )A．y3>y2>y1B．y1>y2>y3C．y3>y1>y2D．y1>y3>y27．在平面直角坐标系中，直线y＝ax＋h与抛物线y＝a(x－h)2的图象不可能是( C )A B C D8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，点C距灯柱AB的水平距离为1.6 m，点C距水平地面的距离为2.5 m，灯罩D距灯柱AB的水平距离为3.2 m，灯柱AB＝1.5 m，则灯罩D到水平地面的距离为( A )A．1.5 m B．1 m C．1.2 m D．1.4 m第8题图第9题图第10题图9．如图①，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图②所示，则边BC的长是( A )A ．33B ．30C ．35D ． 610．(遂宁中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b 2＜4ac ；③2c ＜3b ；④a ＋b ＞m(am ＋b)(m ≠1)；⑤若方程|ax 2＋bx ＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的结论有( A )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每小题3分，共18分)11．如果抛物线y ＝(a －3)x 2－2有最低点，则a 的取值范围为____a ＞3____．12．(兰州中考)点A(－4，3)，B(0，k)在二次函数y ＝－(x ＋2)2＋h 的图象上，则k ＝__3__．13．已知二次函数y ＝－14(x －2)2＋5，y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围__x ≥2__． 14．如图，过点(0，1)且平行于x 轴的直线与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)图象的交点坐标为(1，1)，(3，1)，则不等式ax 2＋bx ＋c －1＞0的解集为__x ＜1或x ＞3__．第14题图 第15题图 第16题图15．(沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长度为900 m (篱笆的厚度忽略不计)，当AB ＝__150__m 时，矩形土地ABCD 的面积最大．16．(黔东南州中考)如图，抛物线L 1：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴只有一个公共点A(1，0)，与y 轴交于点B(0，2)，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L 2，则图中两个阴影部分的面积和为__2__．三、解答题(共72分)17．(6分)用配方法把二次函数y ＝12x 2－4x ＋5化为y ＝a(x ＋m)2＋k 的形式，并指出该函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y ＝12 x 2－4x ＋5＝12(x －4)2－3，∴抛物线开口向上，对称轴是直线x ＝4，顶点坐标是(4，－3)18．(8分)(宁波中考)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标；(2)若点Q(m ，n)在该二次函数的图象上，则：①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围．解：(1)把点P(－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3中，得a ＝2，∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∴顶点坐标为(－1，2)(2)①当m ＝2时，n ＝11；②点Q 到y 轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴－2＜m ＜2，∴2≤n ＜1119．(9分)已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋2m －1.(1)求证：二次函数的图象与x 轴总有交点；(2)若二次函数的图象与x 轴的一个交点为原点，求方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解． 解：(1)证明：∵Δ＝4m 2－4(2m －1)＝4m 2－8m ＋4＝4(m －1)2≥0，∴二次函数的图象与x 轴总有交点(2)把(0，0)代入y ＝x 2－2mx ＋2m －1得2m －1＝0，解得m ＝12，方程化为x 2－x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，即方程x 2－2mx ＋2m －1＝0的解为x 1＝0，x 2＝120．(10分)如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0， 3 )，以点C 为顶点的抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1) 求A ，B ，C 三点的坐标；(2) 求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式；(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点D ，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位长度．解：(1)A ，B ，C 三点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2， 3 )(2)设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋ 3 ，代入点A 的坐标(1，0)，得a ＝－ 3 ，∴抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋ 3(3)设平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋k ，代入点D 的坐标(0， 3 )，得k ＝5 3 ，∴平移后的抛物线的解析式为y ＝－ 3 (x －2)2＋5 3 ，∴平移了5 3 － 3 ＝4 3 个单位长度21．(12分)(营口中考)某超市销售一款免洗洗手液，这款免洗洗手液的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价)，若设这款免洗洗手液的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？解：(1)由题意，得y ＝80＋20×20－x 0.5，∴y ＝－40x ＋880(x ＞16) (2)设每天的销售利润为w 元，则w ＝(－40x ＋880)(x －16)＝－40(x －19)2＋360，∵a ＝－40＜0，∴二次函数图象开口向下，∴当x ＝19时，w 有最大值，最大值为360元．答：当销售单价为19元时，销售这款免洗洗手液每天的销售利润最大，最大利润为360元22．(12分)(衢州中考)如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24 m ，在距离点D6 m 的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O 离水面的距离；(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．解：(1)根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为y1＝a1x2.将F(6，－1.5)代入y1＝a1x2有－1.5＝36a1，解得a1＝－124，∴y1＝－124x2，当x＝12时，y1＝－124×122＝－6，∴桥拱顶部O离水面高度为6 m(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y2＝a2(x－6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有4＝a2(0－6)2＋1，解得a2＝112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为y2＝112(x－6)2＋1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为y3＝112(x＋6)2＋1；②设彩带的长度为L m，则L＝y2－y1＝112(x－6)2＋1－(－124x2)＝18x2－x＋4＝18(x－4)2＋2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m23．(15分)(眉山中考)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，3).(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图②，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)y＝－x2＋2x＋3(2)∵点B(3，0)，点C(0，3)，∴直线BC解析式为y＝－x＋3，如图，过点P作PH⊥x 轴于点H，交BC于点G,设点P(m ，－m 2＋2m ＋3)，则点G(m ，－m ＋3)，∴PG ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ，∵S △PBC ＝12 ×OB ×PG ＝12 ×3×(－m 2＋3m)＝－32 (m －32 )2＋278.∵0<m<3，∴当m ＝32 时，S △PBC 有最大值，此时点P(32 ，154) (3)存在N 满足条件，理由如下：∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，∴点A(－1，0).∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴顶点M 为(1，4).∵点M 为(1，4)，点C(0，3)，∴直线MC 的解析式为y ＝x ＋3.如图，设直线MC 与x 轴交于点E ，过点N 作NQ ⊥MC 于点Q, ∴点E(－3，0)，∴DE ＝4＝MD ，∴∠NMQ ＝45°.∵NQ ⊥MC ，∴∠NMQ ＝∠MNQ ＝45°，∴MQ ＝NQ ＝22MN.设点N(1，n)，∵点N 到直线MC 的距离等于点N 到点A 的距离，∴NQ ＝AN ，∴NQ 2＝AN 2，∴(22 MN)2＝AN 2，∴(22|4－n|)2＝4＋n 2，∴n 2＋8n －8＝0，∴n ＝－4±2 6 ，∴存在点N 满足要求，点N 的坐标为(1，－4＋2 6 )或(1，－4－2 6 )。
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数 》测试卷-带参考答案
人教版九年级数学上册《第二十二章二次函数》测试卷-带参考答案一、单选题1．将二次函数化为顶点式正确的是（）A．B．C．D．2．若将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．B．C．D．3．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．4．如图，小强在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮筐底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m5．函数，当时，此函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是（）A．B．C．D．6．二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．7．如图，抛物线与轴交于点，点的坐标为，在第四象限抛物线上有一点，若是以为底边的等腰三角形，则点的横坐标为（）A．B．C．D．或8．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．抛物线的顶点在轴上，则.10．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加m．11．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是m．12．已知点、和都在函数的图象上，则、和的大小关系为（用“”连接）．13．如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D 在抛物线上，当轴时，．三、解答题14．如图，一辆宽为米的货车要通过跨度为米，拱高为米的单行抛物线隧道从正中通过，抛物线满足表达式保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有米的距离，求货车的限高应是多少．15．电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？16．教科书中例1：有一个窗户形状如图①所示，上部是一个半圆，下部是一个矩形．如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05 m2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形(如图②)，材料总长仍为6 m，利用图②，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积．（2）与教科书中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17．某杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板的右端处弹跳起经过最高点后下落到右端的椅子处，其身体看成一点运动的路线是一条抛物线的一部分，如图，已知，演员起跳点的高度，演员离开地面的最大高度是，此时，演员到起跳点的水平距离为．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知人梯高，为了成功完成此次表演，那么人梯到起跳点的水平距离应为多少18．如图，抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值.（3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．B2．A3．A4．D5．C6．C7．A8．B9．2510．2 ﹣411．60012．13．414．解：当时米．答：货车的限高应是米．15．（1）解：设y与x之间的函数关系式为由已知得解得因此y与x之间的函数关系式为（其中，且x为整数）；（2）解：设每周销售这款玩具所获的利润为W由题意得W关于x的二次函数图象开口向上，且x为整数当时，W取最大值，最大值为1800即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．16．（1）解：由已知可得：AD==则S=1×=；（2）解：设AB= xm，则AD=（3-x）m，AF=（3-x）m∵AB＞0，AD＞0，AF＞0∴0<x<设窗户的面积为S由已知可得：S= AB×AD= x(3-x)=-x2+3x=-（x-）2+当x=时，S有最大值，为∵＞1.05∴现在窗户透光的最大值变大.17．（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为把代入得：解得：抛物线的解析式为（2）解：当时解得：不符合题意，舍去答：人梯到起跳点的水平距离应为．18．（1），和（2）解：如图，连接设点当时，即点P的坐标为时，有最大值；（3）解：存在.①如图，当四边形为时抛物线对称轴为直线的坐标为②如图，当四边形为时，作于点G和和综上所述，点F的坐标为或或。
第22章 二次函数 人教版数学九年级上册单元测试卷(含答案)
第二十二章 二次函数一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.函数y=-13x 2+3与y=-13x 2-2的图象的不同之处是( )A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状2.(2022·浙江湖州期中)已知抛物线y=(x-3)2+c 经过点A (2,0),则该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为( )A.(3,0)B.(-4,0)C.(-8,0)D.(4,0)3.(2022·湖北鄂州梁子湖区期中)根据表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0(a ≠0,a ,b ,c 为常数)的一个解x 的范围是( )x 00.511.52y=ax 2+bx+c-1-0.513.57A .0<x<0.5 B.0.5<x<1C.1<x<1.5D.1.5<x<24.(2022·北京西城区期中改编)若A (-1,y 1),B (1,y 2),C (4,y 3)三点都在二次函数y=-(x-2)2+k 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系为( )A.y 1<y 2<y 3 B.y 1<y 3<y 2C.y 3<y 1<y 2 D.y 3<y 2<y 15.(2022·浙江温州期中)小杰把压岁钱500元按一年期存入银行,已知年利率为x ,一年到期后银行将自动把本金和利息再转存一年.设两年到期后,本利和为y 元,则y 与x 之间的函数关系式为( )A.y=500(x+1)2B.y=x 2+500C.y=x 2+500xD.y=x 2+5x6.(2021·广东广州番禺区期中)若二次函数y=x 2-6x+5,当2≤x ≤6时的最大值是n ,最小值是m ,则n-m=( )A.3B.5C.7D.97.[与一元二次方程综合]若二次函数y=ax 2-1的图象经过点(-2,0),则关于x 的方程a (x-2)2-1=0的根为( )A.x 1=0,x 2=4B.x 1=-2,x 2=6C.x 1=32,x 2=52D.x 1=-4,x 2=08.新风向新定义试题(2022·河南驻马店期中)定义:若两个函数图象与x 轴存在共同的交点,则这两个函数为“共根函数”.如y=x 2-4与y=(x+1)(x-2)的图象与x 轴的共同交点为(2,0),那么这两个函数就是“共根函数”.若y=2x 2-4x 与y=x 2-3x+m-1为“共根函数”,则m=( )A.1B.1或2C.1或3D.2或39.(2022·浙江绍兴期中)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是( )A .abc>0B .b-a>c C.3a>-cD.a+b<m (am+b )(m ≠1)10.(2021·河南模拟)如图,△ABC 和△DEF 都是边长为2的等边三角形,它们的边BC ,EF 在同一条直线l 上,点C ,E 重合.现将△ABC 沿着直线l 向右移动,当点B 与F 重合时停止移动.在此过程中,设点C 移动的距离为x ,两个三角形重叠部分的面积为y ,则y 随x 变化的函数图象大致为( )二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.(2022·北京西城区期中)已知y=(m+2)x |m|+2是y 关于x 的二次函数,那么m 的值为 .12.(2022·浙江湖州段考)将二次函数y=x 2的图象平移,使它经过点(2,0),则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 .(写出一个即可)13.(2022·吉林长春宽城区期末)在平面直角坐标系中,将二次函数y=-x 2+2x+3的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折,所得新函数的图象如图所示(实线部分).若直线y=b 与新函数的图象恰有3个公共点,则b 的值是 .(第13题) (第15题)14.(2022·安徽皖东南四校联考)飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)与滑行时间t (单位:s)之间的函数解析式为y=60t-32t 2.则在飞机着陆滑行过程中,最后2s 滑行的距离是 m .15.(2021·四川绵阳涪城区)如图,抛物线y=53x 2-203x+5与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,在其对称轴上有一动点M ,连接MA ,MC ,AC ,则当△MAC 的周长最小时,点M 的坐标是 . 三、解答题(共6小题,共55分)16.(7分)(2022·江苏苏州姑苏区期中)把抛物线C 1:y=-x 2-2x+3先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C 2.(1)求抛物线C 2的解析式.(2)点P (a ,1)是否在抛物线C 2上?请说明理由.17.(8分)(2022·安徽安庆期中)某小区计划建一个矩形花圃,花圃的一边利用长为a 米的墙,另三边用总长为79米的篱笆围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,并在BC边上留有一扇1米宽的门.设AD边的长为x米,矩形花圃的面积为S米2.(1)求S与x之间的函数关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)(2)若a=30,求S的最大值.18.(9分)新风向探究性试题(2022·河南南阳市第十二中学校月考)某班“数学兴趣小组”对函数y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:x…-3-52-2-1012523…y (35)4m-10-10543…其中,m= .(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.(3)观察函数图象,写出两条函数的性质.(4)进一步探究函数图象发现:①函数图象与x轴有 个交点,所以对应的方程x2-2|x|=0有 个实数根;②方程x2-2|x|=2有 个实数根.19.(10分)新风向探究性试题如图,在小明的一次投篮中,球出手时离地面高2米,与篮筐中心的水平距离为7米,当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米.篮球运行的轨迹为抛物线,篮筐中心距离地面3米,通过计算说明此球能否投至篮筐中心.(不考虑篮球大小和篮球的反弹)探究一:若出手的角度、力度和高度都不变,则小明朝着篮球架再向前移动多少米后投篮能将篮球投至篮筐中心?探究二:若出手的角度、力度和高度都发生改变,但是抛物线的顶点位置及球出手时与篮筐中心的水平距离不变,则小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投至篮筐中心?20.(10分)(2022·浙江杭州外国语学校月考)某产品每件成本为25元,经过市场调研发现,这种产品在未来20天内的日销售量m(单位:件)是关于时间t(单位:天)的一次函数,调研所获的部分数据如表.时间t/天231020日销售量m/件96948060这20天中,该产品每天的售价y (单位:元/件)与时间t (单位:天)的函数解析式为y=14t+30(t 为正整数).(1)求m 关于t 的函数解析式.(2)这20天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?(3)在实际销售的20天中,每销售一件商品就捐赠a 元(a<6)给希望工程,通过销售记录发现,这20天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大,求a 的取值范围.21.(11分)(2021·重庆大渡口区春招)如图,若抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴相交于A ,B两点,与y 轴相交于点C ,直线y=x-3经过点B ,C.(1)求二次函数的表达式.(2)点P 是直线BC 下方抛物线上一动点,过点P 作PH ⊥x 轴于点H ,交BC 于点M ,连接PC.①线段PM 是否有最大值?如果有,求出最大值;如果没有,请说明理由.②在点P 运动的过程中,是否存在点M ,恰好使△PCM 是以PM 为腰的等腰三角形?如果存在,请求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.第二十二章 二次函数答案1.C 对比函数y=-13x 2+3与y=-13x 2-2可知,两者的二次项系数相同,一次项系数均为0,所以两抛物线的开口方向相同、形状相同,对称轴也相同.因为抛物线y=-13x 2+3的顶点坐标为(0,3),抛物线y=-13x 2-2的顶点坐标为(0,-2),所以两者的顶点不同.2.D ∵抛物线y=(x-3)2+c 经过点A (2,0),∴(2-3)2+c=0,解得c=-1.∴抛物线的解析式为y=(x-3)2-1.令y=0,即(x-3)2-1=0.解得x=2或x=4.∴该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(4,0).优解：∵抛物线的对称轴为直线x=3,其中一个交点坐标为(2,0),∴由抛物线的对称性可知,另一个交点坐标为(4,0).3.B 4.B 二次函数y=-(x-2)2+k 的图象开口向下,对称轴为直线x=2,当抛物线开口向下时,到对称轴的距离越远的点对应的函数值越小.因为|-1-2|>|4-2|>|1-2|,所以y 1<y 3<y 2.故选B .另解：(直接代入法)将x=-1,1,4分别代入y=-(x-2)2+k ,得y 1=-9+k ,y 2=-1+k ,y 3=-4+k ,所以y 1<y 3<y 2.5.A6.D 原式可化为y=(x-3)2-4,可知二次函数的顶点坐标为(3,-4).因为2<3<6,所以最小值m=-4.当y=0时,x 2-6x+5=0,解得x 1=1,x 2=5.如图,当x=6时,y=36-36+5=5,即n=5.则n-m=5-(-4)=9.7.A 把(-2,0)代入二次函数y=ax 2-1,得4a-1=0,解得a=14,所以14(x-2)2-1=0,解得x 1=0,x 2=4.故选A .另解：因为二次函数y=ax 2-1的图象的对称轴为y 轴,所以根据二次函数图象的对称性,可得该图象也经过点(2,0),所以ax 2-1=0的根为-2或2.把二次函数y=ax 2-1的图象向右平移2个单位长度得到二次函数y=a (x-2)2-1的图象,所以关于x 的方程a (x-2)2-1=0的根为-2+2=0或2+2=4.8.C 令y=2x 2-4x=0,即2x (x-2)=0,解得x=0或x=2,∴函数y=2x 2-4x 与x 轴的交点为(0,0),(2,0).(分类讨论思想)当两个函数图象同时过点(0,0)时,则m-1=0,解得m=1;当两个函数图象同时过点(2,0)时,则4-6+m-1=0,解得m=3.9.B ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵对称轴为直线x=1,∴-b2a =1,∴b=-2a ,b>0.由图象可知c>0,∴abc<0,故A 选项错误.当x=-1时,y=a-b+c<0,∴b-a>c ,故B 选项正确.∵b=-2a ,a-b+c<0,∴a+2a+c<0,即3a<-c ,故C 选项错误.当x=1时,y 的值最大,此时y 最大=a+b+c ;当x=m 时,y=am 2+bm+c ,∴a+b+c>am 2+bm+c (m ≠1),故a+b>am 2+bm ,即a+【注意】m ≠1的条件b>m (am+b ),故D 选项错误.10.A (分类讨论思想)当0<x<2时,如图(1),设AC 与DE 的交点为G ,易知△CEG 是等边三角形,∴y=S △CEG =12·x ·3x 2=34x 2,该段抛物线开口向上,对称轴为y 轴.当2<x<4时,如图(2),设AB 与DF 的交点为H ,BF=CE-2(CE-EF )=-CE+2EF=4-x ,易知△BFH 是等边三角形,∴y=S △BFH =12·(4-x )·3(4-x )2=34(x-4)2,该段抛物线开口向上,对称轴为直线x=4.特殊地,当x=2时,△ABC 与△DEF 完全重合,y 的值最大,为12×2×3=3.当x=0或4时,y=0.故选A . 图(1) 图(2)11.2 ∵y=(m+2)x |m|+2是y 关于x 的二次函数,∴|m|=2且m+2≠0,解得m=2.【易错】易忽略二次函数解析式的二次项系数不为0的情况12.y=x 2-4(或y=x 2-4x+4,答案不唯一) 设二次函数y=x 2的图象沿y 轴平移后得到y=x 2+b.∵经过点(2,0),∴0=4+b ,解得b=-4,∴沿y 轴平移后所得图象对应的函数解析式是y=x 2-4.设二次函数y=x 2的图象沿x 轴平移后得到y=(x-a )2,将点(2,0)代入,解得a=2,∴沿x 轴平移后所得图象对应的函数解析式是y=(x-2)2=x 2-4x+4.13.-4图解：(数形结合思想)如图,原二次函数y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4,∴顶点C (1,4),翻折后点C 的对应点为D (1,-4).当直线y=b 与新函数的图象恰有3个公共点时,直线y=b 过点D ,此时b=-4.14.6 因为y=60t-32t 2=-32(t-20)2+600,所以当t=20时,飞机着陆后滑行600m 才能停下来, t 的取值范围是0≤t ≤20.当t=18时,y=594,600-594=6(m),故在飞机着陆滑行过程中,最后2s 滑行的距离是6m .15.(2,53) (转化思想)如图,易知点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称,连接CB 交抛物线的对称轴于点M ,则点M 即为所求点令53x 2-203x+5=0,解得x=1或3.令x=0,则y=5,故A (1,0),B (3,0),C (0,5),所以抛物线的对称轴为直线x=12(1+3)=2.设直线BC的解析式为y BC =kx+b ,则0=3k +b ,b =5,解得k =―53,b =5,故直线BC 的解析式为y BC =-53x+5.当x=2时,y BC =53,所以点M (2,53).16.【参考答案】(1)∵y=-x 2-2x+3=-(x+1)2+4,∴把抛物线C 1:y=-x 2-2x+3先向右平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度得到抛物线C 2:y=-(x+1-4)2+4-5,即y=-(x-3)2-1,(3分)∴抛物线C 2的解析式为y=-(x-3)2-1.(4分)(2)不在.(5分)理由:∵抛物线C 2的解析式为y=-(x-3)2-1,∴函数的最大值为-1.(6分)∵点P 的纵坐标为1>-1,∴点P (a ,1)不在抛物线C 2上.(7分)17.【参考答案】(1)AB 边长为79+1―x 2=(40-12x )米,根据题意得S=(40-12x )x=-12x 2+40x ,(3分)∴S 与x 之间的函数关系式为S=-12x 2+40x.(4分)(2)由(1)知,S=-12x 2+40x=-12(x-40)2+800,(5分)∵-12<0,∴当x ≤40时,S 随x 的增大而增大.∵x ≤a ,a=30,∴当x=30时,S 有最大值,最大值为750.(8分)18.【参考答案】(1)0(2分)解法提示:把x=-2代入y=x 2-2|x|,得y=0,所以m=0.(2)如图所示.(4分)(3)①函数y=x 2-2|x|的图象关于y 轴对称;②当x>1时,y 随x 的增大而增大.(答案不唯一)(6分)(4)①3 3(8分)②2(9分)19.【参考答案】∵抛物线的顶点坐标为(4,4),∴设抛物线的表达式为y=a (x-4)2+4.(2分)∵抛物线过点(0,2),∴2=16a+4,∴a=-18,∴y=-18(x-4)2+4,当x=7时,y=-98+4=238≠3,∴此球不能投至篮筐中心.(4分)探究一:设向前移动h 米,由题意可得y=-18(x-4-h )2+4,代入点(7,3),得3=-18(7-4-h )2+4,解得h 1=3-22,h 2=3+22(不合题意,舍去).即向前平移(3-22)米,可投至篮筐中心.(7分)探究二:设y=m (x-4)2+4.投至篮筐中心,即代入点(7,3),得3=m (7-4)2+4,解得m=-19,∴y=-19(x-4)2+4,当x=0时,y=209,209-2=29,即小明出手的高度要增加29米,可将篮球投至篮筐中心.(10分)20.【参考答案】(1)设m=kt+b (k ≠0),将(2,96)和(3,94)代入,得2k +b =96,3k +b =94,解得k =―2,b =100,(2分)∴m 关于t 的函数解析式为m=-2t+100.(3分)(2)设日销售利润为w 元,根据题意得w=(14t+30-25)(-2t+100).(4分)化简,得w=-12t 2+15t+500.(5分)∵-12<0,对称轴为直线t=-152×(―12)=15,∴当t=15时,w 最大,此时w=-12×152+15×15+500=612.5.答:第15天的日销售利润最大,为612.5元.(6分)(3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为n 元.根据题意,得n=(14t+30-25-a )(-2t+100)=-12t 2+(15+2a )t+100(5-a ),(7分)∵-12<0,∴抛物线开口向下,对称轴为直线t=-15+2a2×(―12)=15+2a.∵要使每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大,∴15+2a ≥20,解得a ≥2.5.又a<6,∴2.5≤a<6.(9分)答:a 的取值范围是2.5≤a<6.(10分)21.【思路导图】【参考答案】(1)∵直线y=x-3经过点B ,C ,当x=0时,y=-3,当y=0时,x=3,∴B (3,0),C (0,-3).将B ,C 两点的坐标代入y=x 2+bx+c ,得9+3b +c =0,c =―3,解得c =―3,b =―2,故二次函数的表达式为y=x 2-2x-3.(3分)(2)设M (x ,x-3),则P (x ,x 2-2x-3).①线段PM 有最大值.(4分)PM=(x-3)-(x 2-2x-3)=-(x-32)2+94.∵-1<0,∴PM 有最大值.当x=32时,PM 最大为94.(6分)②存在.(7分)PM 2=(x-3-x 2+2x+3)2=(-x 2+3x )2,PC 2=x 2+(-3-x 2+2x+3)2=x 2+(2x-x 2)2,MC 2=(x-3+3)2+x 2=2x 2.当PM=PC 时,(-x 2+3x )2=x 2+(2x-x 2)2,解得x 1=2,x 2=0(舍去),∴P(2,-3).(8分)当PM=MC时,(-x2+3x)2=2x2,解得x1=3-2,x2=0(舍去),x3=3+2(舍去),∴P(3-2,2-42)综上,点P的坐标为(2,-3)或(3-2,2-42).(11分)。
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷(含答案)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷（含答案）题号一二三总分19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每题3分，共30分)1.抛物线的对称轴是（）A.直线B.直线C.轴D.直线2.如果二次函数的最小值为负数，则的取值范围是（）A. B. C. D.3.二次函数的图象如图所示，对称轴，下列结论中正确的是（）A. B.C. D.4.已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：①；②；③；④其中正确的结论有（）A.个B.个C.个D.个5．将抛物线y＝x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x﹣4）2+4 C．y＝（x+2）2+6 D．y＝（x﹣4）2+66．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（）A．y＝x+3 B．y＝ax2+bx+c C．y＝t2﹣2t+2 D．y＝x2+7.若二次函数的图象过，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.8.一学生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则铅球落地水平距离为（）A. B. C. D.9.已知抛物线经过三点，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.10.如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（）A.①②B.②③C.①②④D.②③④二、填空题(每题3分，共24分) 11．经过原点的抛物线与x轴交于另一点，该点到原点的距离为2，且该抛物线经过（3，3）点，则该抛物线的解析式为．12．若实数a、b满足a+b2=2，则a2+5b2的最小值为．13．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，若销售价每涨1元，则月销售量减少10千克．要使月销售利润达到最大，销售单价应定为元．14．已知直线y=﹣x+1与抛物线y=x2+k一个交点的横坐标为﹣2，则k= ．15．抛物线y=x2﹣2x﹣3与交y轴负半轴于C点，直线y=kx+2交抛物线于E、F 两点（E点在F点左边）．使△CEF被y轴分成的两部分面积差为5，则k的值为．16．若抛物线y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，则a的值为．17．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第象限．18．若二次函数y=x2-3x-4的图象如图所示，则方程x2-3x-4=0的解是__________；不等式x2-3x-4＞0的解集是______________；不等式x2-3x-4＜0的解集是________________．三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)19. 已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？20. 已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．21.在平面直角坐标系中，有抛物线y=x2+1，已知点A（0，2），P（m，n）是抛物线上一动点，过O、P的直线交抛物线于点D，若AP=2AD，求直线OP的解析式．22. 已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴，确定，，，的符号；求证：；当取何值时，，当取何值时．23. 如图，矩形的两边长，，点、分别从、同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．设运动时间为秒，的面积为．求关于的函数关系式，并写出的取值范围；求的面积的最大值．24.某工厂设门市部专卖某产品，该每件成本每件成本元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示：销售单位（元）…日销售量…假设每天定的销价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律．秋日销售量与销售价格之间满足的函数关系式；门市部原设定两名销售员，担当销售量较大时，在每天售出量超过件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行．设营业员每人每天工资为元，求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？（纯利润总销售-成本-营业员工资）参考答案一、选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C A B C C B A A 二、填空题11．y=x2﹣2x或y=x2+x．12．4．13．70．14．﹣1．15．﹣4．16．解：∵y＝（a+1）x2﹣（a+1）x+1与x轴有且仅有一个公共点，∴b2﹣4ac＝（a+1）2﹣4（a+1）＝a2﹣2a﹣3＝0，解得：a1＝3，a2＝﹣1，当a＝﹣1，则a+1＝0，故舍去．故答案为：3．17．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．故答案为：一．18．【答案】x1=4，x2=-1；x＞4或x＜-1；-1＜x＜4三.解答题19. 解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．20. 解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），∴，解得，，即a的值是1，b的值是﹣2．21.【答案】解：∵P（m，n）是抛物线y=x2+1上一动点，∴m2+1=n，∴m2=4n-4，∵点A（0，2），∴AP===n，∴点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，∵AP=2AD，∴PF=2DE，∴OF=2OE，设OE=a，则OF=2a，∴×（2a）2+1=2（a2+1），解得a=，∴a2+1=×2+1=，∴点D的坐标为（，），设OP的解析式为y=kx，则k=，解得k=，∴直线OP的解析式为y=x．【解析】根据点P在抛物线上用n表示出m2，再利用勾股定理列式求出AP，从而得到点P到点A的距离等于点P的纵坐标，过点D作DE⊥x轴于E，过点P作PF⊥x轴于F，根据AP=2AD判断出PF=2DE，得到OF=2OE，设OE=a，表示出OF=2a，然后代入抛物线解析式并列出方程求出a的值，再求出点D的坐标，最后利用待定系数法求一次函数解析式解答．22. 解：∵抛物线开口向下，∴，∵对称轴，∴，∵抛物线与轴的交点在轴的上方，∴，∵抛物线与轴有两个交点，∴；证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为，∴当时，；根据图象可知，当时，；当或时，．23. 解：∵，，，∴，即；由知，，∴，∵当时，随的增大而增大，而，∴当时，，即的最大面积是．24.解：经过图表数据分析，日销售量与销售价格之间的函数关系为一次函数，设，经过、，代入函数关系式得，，解得：，，故；设每件产品应定价元，利润为，当日销售量时，，解得：，由题意得，∵，∴取时，取得最大，元；当日销售量时，，解得：，由题意得，∵，∴取时，取得最大，元；综上可得：当每件产品应定价元，才能使每天门市部纯利润最大．。
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二次函数自我评估（本试卷满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. y =2x ＋lB. y =（x ﹣l ）2﹣x 2C. y =5x 2D. y =22x 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数y =x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ） A. y =（x +3）2+1B. y =（x ﹣3）2﹣1C. y =（x +3）2﹣1D. y =（x ﹣3）2+13. 某抛物线的形状、开口方向与y =12x 2﹣4x +3相同，顶点坐标为（﹣2，1），则该抛物线的解析式为（ ） A ．y =12（x ﹣2）2+1 B ．y =12（x +2）2﹣1C ．y =12（x +2）2+1D ．y =-12（x +2）2+14. 二次函数y =ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，可知关于x 的方程ax 2+bx +c =0的所有根的积为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣5 D ．5第4题图 第8题图 第9题图 第10题图 5. 关于二次函数y =3（x +1）2﹣7的图象及性质，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴是x =1 B. 当x =﹣1时，y 取得最小值，且最小值为﹣7 C. 顶点坐标为（﹣1，7） D. 当x <﹣1时，y 随x 的增大而增大6. 某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x 元出售，可卖出（100﹣x ）件．若想获得最大利润，则售价x 应定为（ ）A ．35元B ．45元C ．55元D ．65元7. 一次函数y =bx +a （b ≠0）与二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D8. 板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动.如图是运动员击球过程中板球运动的轨迹示意图，板球在点A 处击出，落地前的点B 处被对方接住，已知板球经过的路线是抛物线，其解析式为y =132x 2+14x +1，则板球运行中离地面的最大高度为（ ）A. 1B.32C.83D. 49. 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4 cm ，BC =8 cm ，动点P 从点A 出发，沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动（不与点B 重合），同时动点Q 从点B 出发，沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动（不与点C 重合）.当四边形APQC 的面积最小时，经过的时间为（ ） A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s 10. 已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的顶点坐标是（﹣1，m ），与x 轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣m =2没有实数根；③3a +c ＞0.其中正确的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 抛物线y =x 2+2x +c 的对称轴是 . 12. 当a = 时，函数y =（a ﹣1）21a x＋x ﹣3是二次函数.13. 若二次函数y =x 2﹣4x +n 的图象与x 轴只有一个公共点，则实数n = .14. 点P 1（1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y =﹣x 2+2x +c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 .15. 如图，将抛物线y 1=（x +1）2﹣3向右平移2个单位长度得到抛物线y 2，则阴影部分的面积为 .第15题图 第16题图16. 圆形喷水池中心O 处有一雕塑OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的C ，D 为水柱的落水点.已知雕塑OA 的高为116米，水柱最高点与OA 的水平距离为5米，落水点C ，D 之间的距离为22米，则喷出水柱的最大高度为 米．三、解答题（本大题共8小题，共66分）17.（6分）已知二次函数y =x 2﹣4x +c 的图象经过点（3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '，若点P ′落在该二次函数的图象上，求n 的值． 18.（6分）已知二次函数y =x 2-4mx +3m 2（m ≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）若m>0，且两交点间的距离为2，求m 的值．19.（8分）购进一款防护PM 2.5的口罩，每件成本是5元，为了合理定价，投放市场试销，经调查可知，销售单价是10元时，每天的销量是50件，而销售单价每降低0.1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式； （2）求出销售单价定为多少元时，每天的利润最大，并求出最大利润. 20.（8分）如图，抛物线y =2x 2+bx ﹣2过点A （﹣1，m ）和B （5，m ）． （1）求b 和m 的值；（2）若抛物线与y 轴交于点C ，求△ABC 的面积．第20题图 第21题图 21.（8分）如图，已知抛物线L 1：y 1=34x 2，将抛物线平移后经过点A （﹣1，0），B （4，0）得到抛物线L 2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）已知P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．22.（8分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点坐标为（2，7）．（1）求b，c的值；（2）已知点A，B落在抛物线上，点A在第二象限，点B在第一象限.若点B的纵坐标比点A的纵坐标大3，设点B的横坐标为m，求m的取值范围．23.（10分）图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为24 m，在到点D的距离为6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m.以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离；（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m．①求出其中一条钢缆抛物线的解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．①②①②第23题图第24题图24.（12分）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B两点，顶点为C（1，﹣1），E为对称轴上一点，D，F为抛物线上的点（点D位于对称轴左侧），且四边形CDEF为正方形．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，求正方形CDEF的面积；（3）如图②，连接DF，与CE交于点M，与y轴交于点N.若P为抛物线上一点，Q为直线BN上一点，且P，Q两点均位于直线DF下方，当△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P的坐标．题报第②期 二次函数自我评估参考答案答案详解三、17. 解：（1）将（3，0）代入y =x 2﹣4x +c ，得9﹣12+c =0，解得c =3. 所以该二次函数的解析式为y =x 2﹣4x +3.（2）点P （4，n ）向上平移2个单位长度得到点P '（4，n +2）. 将P ′（4，n +2）代入y =x 2﹣4x +3，得16﹣16+3= n +2，解得n =1．18.（1）证明：令y =0，则x 2-4mx +3m 2=0（m ≠0）.因为Δ=（-4m ）2﹣4×3m 2=4m 2>0，所以方程x 2-4mx +3m 2=0（m≠0）有两个不等的实数根.所以无论m 取何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. （2）解：解方程x 2-4mx +3m 2=0，得x 1=m ，x 2=3m .所以函数y =x 2-4mx +3m 2的图象与x 轴两个交点的坐标为（m ，0），（3m ，0）.因为m >0，两交点间距离为2，所以3m-m =2，解得m =1． 19. 解：（1）根据题意，得y =（x ﹣5）105050.1x -⎛⎫+⨯⎪⎝⎭=﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）.所以每天的销售利润y （元）与销售单价x （元）之间的函数解析式是y =﹣50x 2+800x ﹣2750（5≤x ≤10）. （2）由（1），知y =﹣50x 2+800x ﹣2750=﹣50（x ﹣8）2+450.因为﹣50<0，5≤x ≤10，所以当x =8时，y 有最大值，最大值为450. 所以销售单价定为8元时，每天的利润最大，最大利润是450元．20. 解：（1）因为A （﹣1，m ），B （5，m ）是抛物线y =2x 2+bx ﹣2上的两点，所以对称轴为x=15222b -+-=⨯，得b =﹣8.所以抛物线的解析式为y =2x 2﹣8x ﹣2.将A （﹣1，m ）代入y =2x 2﹣8x ﹣2，得m =2+8﹣2=8.（2）令x=0，得y =﹣2，所以点C 的坐标为（0，﹣2）.所以OC =2. 因为A （﹣1，8），B （5，8），所以AB =6.所以S △ABC =12×6×（2+8）=30． 21. 解：（1）设抛物线L 2的解析式为y=34x 2+bx+c. 将A （﹣1，0），B （4，0）代入，得3041240b c b c ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，，解得943.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以抛物线L 2的解析式为y=34x 294-x-3.（2）存在PD =2OC ． 理由：设P 239344a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，D 234a a ⎛⎫⎪⎝⎭，，所以PD=223933444a a a ---=934a +，OC=3．由934a +=2OC=6，解得a=43或a=-4.所以点P 的坐标为41433⎛⎫ ⎪⎝⎭，-或（﹣4，18）． 22. 解：（1）因为抛物线y =﹣x 2+bx +c 的顶点坐标为（2，7），所以对称轴为x=()21b-⨯-=2，解得b =4.所以y =﹣x 2+4x +c.将（2，7）代入y =﹣x 2+4x +c ，得﹣4+8+c =7，解得c =3.所以b 的值是4，c 的值是3. （2）因为y =﹣x 2+4x +3的顶点坐标为（2，7），所以抛物线开口向下，对称轴为x =2.令x =0，得y =3，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）.所以点（0，3）关于对称轴的对称点为（4，3）. 因为点A ，B 落在抛物线上，点A 在第二象限，点B 在第一象限，点B 的纵坐标比点A 的纵坐标大3，所以将y =6代入y =﹣x 2+4x +3，得﹣x 2+4x +3=6，解得x =1或x =3.所以m 的取值范围是0<m <1或3<m <4.第22题图（共享2021-2022学年第二学期答案页第8期大报第20期“专项五”3题答案） 23. 解：（1）由题意，得F （6，-1.5）. 设抛物线的解析式为y 1=a 1x 2.将F （6，-1.5）代入，得62·a 1=-1.5，解得a 1=124-. 所以抛物线的解析式为y 1=124-x 2.当12x =时，y 1=-6，所以桥拱顶部离水面的距离为6 m ． （2）①由题意，得右侧抛物线的顶点为（6，1）.设右侧抛物线的解析式为y 2=a 2（x-6）2+1.将H （0，4）代入，得a 2（0-6）2+1=4，解得a 2=112. 所以右侧抛物线的解析式为y 2=112（x-6）2+1. ②设彩带的长度为h m ，则h =y 2-y 1=112（x-6）2+1-2124x ⎛⎫-⎪⎝⎭=18x 2–x+4=18（x–4）2+2. 因为18>0，所以h 有最小值.当x=4时，h 取得最小值，为2.所以彩带长度的最小值是2 m ．24. 解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）2﹣1.将A （﹣1，0）代入，得a =14，所以y =14x 2-12x -34.（2）如图①，过点F 作FR ⊥EC 于点R . 设F 2113424t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则R 2113424t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1，，所以RC =2111424t t -+，RF =t ﹣1. 因为四边形CDEF 是正方形，所以RF =RC .所以2111424t t -+=t ﹣1.所以t =1（舍去）或t =5.所以F （5，3）.所以RF =4.所以CF 2=32.所以正方形CDEF 的面积是32. （3）令y=0，则14x 2-12x -34=0，解得x=-1或x=3.所以B （3，0）. 由（2）可得N （0，3），M （1，3），所以直线BN 的解析式为y =﹣x +3.设Q （m ，3﹣m ），如图②，过点Q 作QG ⊥DF 于点G ，作PT ⊥DF 于点T .因为△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，所以MP =QM ，∠TMP +∠GMQ =90°，∠TMP +∠TPM =90°.所以∠TPM =∠GMQ .所以△MTP ≌△QGM .所以PT =MG ，MT =QG .所以PT =MG =m ﹣1，MT =QG =m.所以P （1﹣m ，4﹣m ）.因为点P 在抛物线上，所以4﹣m =14（1﹣m ）2-12（1﹣m ）-34，解得m =﹣2±因为m ＞0，所以m =﹣2+所以P (3--.所以当△MPQ 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形时，点P 的坐标为(3--．① ② 第24题图。