中国矿业大学北京《高等数学上》2019-2020第一学年期末试题B
2019-2020学年高一上册数学期末模拟试卷附答案
2019-2020学年第一学期期末试卷高一数学一、填空题(本大题共14小題.每小题4分.共计56分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答題K 相应的位置上・)1.已知集合A={1, 2},集合B={G 1・，}・若AriB={2},则实数a 的值为 ___________________2・若戶5則点W ，si 讪位于第—象限.5. 函数/(x) = log 2(sin 2.r + l)的值域为 __________ •6. 若堀形的弧长为3”.圆心角为芋.则该扇形的而积为 _____________ •47. 若函数/(x) = 2x +x-2的零点在区何(匕£+l )awZ)中，则斤的值为 ______________ . 8. 已知慕函数y = x a 的图象经过点(2, V2),则cos (-彳”)的值为 ____________ ・9. 已知向=(sincos&)・ h =(2> •!)•若a //h .则 tan 20 = _____________________ . 10. 若2sina-3cos0 = -£, 2cosa-3sin0 = -£,则sin(a + 〃)= ____________________ . 11. 已知函数/(x)+ " xvl,若/⑴是定义在R 上的减函数，则实数aiog a x n 1的取值范围是3.若点P 是线段AB 上靠近A 的三等分点，则丽= AB.4. x 2-h x>0/(.r +> 则 /(-2)=12. 已知/(X)是定义在R上的偶曲数.且在(-00, 0］上单调递减.若/(1) = 0,则不等式/(In x) < 0的解集为 _______ .13. 在ZXABC中，已知B=y, |AB-AC|=2, HJ I JABAC的取值范用是 ______________ ・14. 已知肖疋(0, 1)时，函数y = (nvc^\)2的图^*j.v = .v + m的图象仃且只冇一个交点・则实数加的取值范国是_______ •二、解答题(本大題共6小題.共计64分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤15. (本題满分10分)已知向fia =(3・・4), h =(4, 3)・⑴求0-耳的值:(2)若(2a + b)丄(方+M),求实数*的值.16. (本題满分10分)已知函数/(x) = ln(g~ Y)(o e R)的定义域为集合A.函数g(x) = 2x + l的值域为集合B.X（1）当a=3时，求AUB：（2）若AC|B=0・求实数a的取值范围.17. （本題满分10分）已斶（0）弓且沙第哒限角，求下列各式的值.(1) tan(a -------- )；2 sin2 a +sin 2acos 2a418.（本題满分10分）设曲数f(x) = s\n((ox-- )+ COS(/T-QX)•其中0ve<3・ /(—) = 0.6 6(1)求函数/(x)的虽小正周期及单调増区何：(2)将换数/(x)的图彖上符点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变〉，再将得到的图彖向左平移兰个肌位，得到函数g(x)的图彖，求g(x)在辺)上的值域.4 4 419. (本题满分12分)如图.某校生物兴趣小组计划利用学校角落处一块空地隅出一个周长为10米的直角三角形ABC作为试验地.设ZABC=0, AABC的面枳为S.(1)求S关于0的函数关系式：(2)当刃为何值时.试验地的面枳虽大？求出该而积的虽大值.20. (本題满分12分)2已知me R 9函数/(x) = lg(/w + —).x(I)若函数g(x) = /(x) + lgx2有且仅有一个零点，求实数加的值:(2)设m>0.任取兀，x2e[t. f+2],若不等式|/(x,)-/(x2)|< 1 对任意0*1]恒成立，求加的取值范围.一、填空題：本大題共14小題.每小题4分，共计56分. 1. 2 2・二3.4. 35. [0,1]6.7. 0沁29.10.兰 2511. 3 27 12. 13・卜») 4 14. (0・l)U(3,z)6rt (「c) 二、解答題：本大題共6小Jffi,共计64分.2 ■*> 34亍 解苔时应頁出文字说明、证明过程或演算步棵.15.（木小题满分10分〉解：＜1） A | o - 61» 7(- D 2 + (-7)2 = 5^2. (2) 11]题意.2a + 6 = (】0.-5)・ a +肋=(3 +4 匕・4$3&) • V(2a + A) l(a + M)9 ••• (2么")(° + 肪)=10(3 + 4灯-5(-4 + 3切-0・解得* = -2・10分16.（本小题满分10分） :〉；。
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_18
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共60分）注意事项1.选择题必须用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故选C．2.已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵集合∴集合∵集合∴故选B3.某司机看见前方处有行人横穿马路，这时司机开始紧急刹车，在刹车过程中，汽车速度v是关于刹车时间t的函数，其图象可能是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】紧急刹车速度慢慢减小到零，而速度减小的速率越来越小.【详解】根据题意，司机进行紧急刹车，速度减少到零的过程中，速度减小的速率越来越小.故选：A【点睛】此题考查实际问题的函数表示，关键在于弄清速度关于时间的函数关系，变化过程.4. 函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】变形处理，分子分母同时除以，即可得解.【详解】故选：A【点睛】此题考查三角函数给值求值，构造齐次式利用同角三角函数的关系化简求值，属于基础题目.6.已知函数的图象的一个对称中心是，则的可能取值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解即可求得，结合选项即可得解.【详解】由题：函数的图象的一个对称中心是，必有，，当时，.故选：D【点睛】此题考查根据三角函数的对称中心求参数的值，关键在于熟练掌握三角函数图象和性质，以及对称中心特征的辨析.7.已知函数是定义在上奇函数，且当时，，则的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3【答案】D【解析】【分析】根据解析式求出，根据奇偶性可得.【详解】是定义在上的奇函数，当时，，则 .故选：D【点睛】此题考查根据奇偶性求函数值，关键在于熟练掌握奇偶性辨析，准确进行对数化简求值.8.在中，已知，那么一定是（）A. 直角三角形B. 正三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.【详解】，由正弦定理可得,由余弦定理得，化简得a=b，所以三角形为等腰三角形，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状，属于简单题.9.已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则的大小关系为 ( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题意知函数图像关于对称，即可知，再结合在上单调递增，得出，即可得出答案.详解：因为函数图像关于对称，所以，又在上单调递增，所以，即，故选B.点睛：这是一道关于函数的对称性和函数的单调性应用的题目，解题的关键是熟练掌握函数的对称性和单调性.10.设，则( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得到a＝cos2019°＝–cos39°，再根据39°∈（30°，45°）得到大致范围.【详解】a＝cos2019°＝cos（360°×5+180°+39°）＝–cos39°∵，∴可得：∈（，），＝.故选A．【点睛】这个题目考查了三角函数的诱导公式的应用，以及特殊角的三角函数值的应用，题目比较基础.11.如图，当参数时，连续函数的图象分别对应曲线和，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数单调递增判断，根据对于一切，恒成立得出．【详解】考虑函数，由图可得：当时，恒成立，即对于一切恒成立，所以，由图可得：对于一切，，即，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查根据函数图象判断比较参数的大小关系，求参数范围，关键在于准确分析函数图象所反映的性质．12.已知函数有且只有1个零点，则实数a的取值范围为（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】B【解析】【分析】分类讨论当时，当时，当时，分别讨论函数零点个数，即可得解.【详解】函数，当时，①，，无零点，②，方程要么无解，要么有解，如果有解，根据韦达定理两根之和，两根之积为1，即有两个正根，与矛盾，所以当时，函数不可能有且只有一个零点；当时，，有且仅有一个零点符合题意；当时，，一定有且仅有一个根，所以，必有在无解，下面进行讨论：当时，满足题意，即，当时，，有一个负根-1，不合题意，舍去，当时，根据韦达定理的两根之和一定有负根，不合题意舍去，综上所述：或.故选：B【点睛】此题考查根据分段函数零点个数求解参数的取值范围，关键在于准确进行分类讨论，结合韦达定理与根的分布求解参数范围.第二部分（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区城内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分13.下表表示y是x的函数，则该函数的定义域是______________，值域是__________________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）自变量的取值范围构成的集合就是定义域；（2）函数值的取值范围构成的集合就是值域.【详解】（1）由函数可得，函数的定义域为：；（2）由函数可得，函数值只有1,2,3,4，所以值域为：.故答案为：①；②【点睛】此题考查求函数定义域和值域，属于简单题，易错点在于书写形式出错，定义域值域应写成集合或区间的形式.14.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是_________．【答案】安．【解析】【分析】先由函数的最大值得出的值，再结合图象得出周期，得，最后再将代入解析式可得出答案．【详解】由图象可知，，且该函数的最小正周期，则，，当时，（安），故答案为安．【点睛】本题考查利用三角函数图象求值，求出解析式是关键，利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性．15.如图，在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，则_______，__________.【答案】 (1). (2).【解析】【分析】（1）根据直角三角形关系，在中即可求得；（2）在中，求出，结合（1），即可求解.【详解】（1）由题：在等腰直角中，，点D,E分别是BC的三等分点，在中，；（2）在中，，.故答案为：(1)； (2)【点睛】此题考查根据直角三角形关系求三角函数值，关键在于根据几何关系结合两角差的正切公式求解.16.已知满足，且当时，，则方程的所有实根之和为__________.【答案】6【解析】分析】根据解析式求出当时方程的根，结合对称性即可得到所有实根之和.【详解】满足，所以，即关于直线对称，当时，，当，得，当时，解得：，，根据对称性得：当时，方程也有三个根，满足，所以所有实根之和为6.故答案为：6【点睛】此题考查方程的根的问题，涉及分段函数和函数对称性，根据函数的对称性解决实根之和，便于解题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据角的终边上的点的坐标，求出，，结合二倍角公式即可得解；（2）根据诱导公式化简即可得解.【详解】（1）由题意知，，则（2）【点睛】此题考查根据三角函数定义求三角函数值，根据二倍角公式和诱导公式进行化简求值，关键在于熟练掌握相关公式，准确计算.18.已知集合（1）求；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到，求出或，即可得解；（2），即，分类讨论当时，当时，求出参数范围.【详解】（1）可化为则，即所以或，故.（2）由（1）知，由可知，，①当时，，②当时，，解得.综上所述，.【点睛】此题考查集合的基本运算，涉及补集运算和交集运算，根据集合运算关系判断包含关系，根据包含关系求参数的取值范围.19.已知函数是幂函数，且在上是减函数.（1）求实数m的值；（2）请画出的草图.（3）若成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得，结合单调性取舍；（2）根据幂函数的单调性作第一象限的图象，再根据奇偶性作y轴左侧图象；（3）根据奇偶性和单调性，等价转化为解.【详解】（1）由函数是幂函数，则，解得或，又因为在上是减函数，故.（2）由（1）知，，则的大致图象如图所示：（3）由（2）知，的图象关于y轴对称，且在上递减，则由，得，即，可得，解得,又的取值范围为.【点睛】此题考查幂函数的概念辨析，作幂函数的图象，根据单调性和奇偶性求解不等式，综合性较强，涉及转化与化归思想.20.小王投资1万元2万元、3万元获得的收益分别是4万元、9万元、16万元为了预测投资资金x（万元）与收益y万元）之间的关系，小王选择了甲模型和乙模型.（1）根据小王选择的甲、乙两个模型，求实数a,b,c,p,q,r的值（2）若小王投资4万元，获得收益是25.2万元，请问选择哪个模型较好？【答案】（1）；（2）甲模型更好.【解析】【分析】（1）根据待定系数法列方程组，，求解即可；（2）两种模型分别求出当时的函数值，比较哪个模型更接近25.2，即可得到更好的模型.【详解】（1）若选择甲模型，由题意得：，解得：，若选择乙模型，由题意得：解得：所以实数a,b,c,p,q,r的值为；（2）由（1）可得：甲模型为，乙模型为：，若选择甲模型，当时，，若选择乙模型，当时，，25.2与25更加接近，所以选择甲模型更好.【点睛】此题考查函数模型的选择，根据已知数据求解函数模型并选择更好的模型，关键在于准确计算，正确辨析.21.已知函数，且的最大值为2，其图象相邻对称轴的距离为2，并过点（1）求的值；（2）计算的值；【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根据最大值为2求出，根据相邻对称轴距离求出最小正周期得，结合过点，求得；（2）根据函数周期为4，只需求出，即可求解的值.【详解】（1）由题可知，因为的最大值为2，则有，又因为图象相邻对称轴的距离为2，所以，即所以，又的图象过点，则，即则有，又因为，则.（2）由（1）知其周期为，所以，故.【点睛】此题考查根据函数图象特征求函数解析式，根据函数的周期性求函数值以及函数值之和，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质.22.已知.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.【答案】（1）（2）或，（3）【解析】【分析】（1）根据对数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果；（2）先化简对数方程，再根据分类讨论方程根的情况，最后求得结果；（3）先确定函数单调性，确定最值取法，再化简不等式，根据二次函数单调性确定最值，解得结果.【详解】（1）当时，不等式解集为（2）①当时，仅有一解，满足题意；②当时，则，若时，解为，满足题意；若时，解为此时即有两个满足原方程的的根，所以不满足题意；综上，或，（3）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此即对任意恒成立，因为，所以在上单调递增，所以因此【点睛】本题考查对数不等式、对数方程、含参数方程以及一元二次不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属较难题.。
北京西城区高三期末数学试题答案
……………… 2 分 所以在样本中任取 1 个，这个出行人恰好不是青年人的概率 P(M ) 19 39 29 .
100 50 ……………… 3 分
（Ⅱ）由题意， X 的所有可能取值为：0，1，2.
……………… 4 分
因为在 2018 年从 A 市到 B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取 1 人次，此人
(D)第 四 象 限
3.在△ABC 中,若a=6,A=60°,B=75°,则c=
(A)4
(B)2 2
(C)2 3
(D)2 6
4.设 x>y, 且 xy≠0, 则 下 列 不 等 式 中 一 定 成 立 的 是
(A)x1
1 >
y
(B)ln|x|>ln|y|
(C)2-x <2-y
(D)x2>y2
5.已知直线x+y+2=0与圆x2+y2+2x-2y+a=0有公共点,则实数a 的取值范围为
ABB1A1 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 AC1D ; (Ⅱ)求二面角 C-AC1-D 的余弦值; (Ⅲ)试判断直线 A1B1 与平面 AC1D 的位置关系,并加以证明.
北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷 高三数学 第 4 页 (共5页)
18.(本 小 题 满 分 13 分 )
(B)必 要 而 不 充 分 条 件
(C)充 要 条 件
(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件
7.紫 砂 壶 是 中 国 特 有 的 手 工 制 造 陶 土 工 艺 品 , 其 制 作 始 于 明 朝 正 德 年 间 .紫 砂 壶 的 壶 型 众
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_54
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题3分，共36分）1.已知全集，集合，，则集（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出可得.【详解】，故.故选：C.【点睛】本题考查集合的补和交，依据定义计算即可，此类问题属于基础题.2. 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A. {x|0≤x≤2}B. {x|1≤x≤2}C. {x|0≤x≤4}D. {x|1≤x≤4}【答案】A试题分析：找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集．解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}．故选A考点：交集及其运算．3.，则x=（）A. 2B. -2C.D. 0【答案】C【解析】【分析】，解得【详解】，解得.故选：C【点睛】本题考查绝对值方程的解法，属于简单题.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】按照完全平方公式展开即可.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查完全平方的展开式，属于简单题.5.下列函数是奇函数的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再用定义验证.【详解】对于A，函数的定义域为，该定义域不关于原点对称，故不是奇函数.对于B，函数的定义域为，令，则，故不是奇函数.对于C，令，其定义域为，，故为奇函数.对于D，令，其定义域为，且，故不是奇函数.故选：C.【点睛】函数奇偶性的判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.6.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式展开即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查平方差公式，属于简单题.7.的反函数是（）.A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】令，用表示后可得反函数.【详解】令，则，故.故选：A.【点睛】本题考查反函数的计算，一般地，令，再用表示后可得函数的反函数（注意把互换），注意当一个函数是单调函数时，它有反函数，本题为基础题.8.（）.A. 0B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算性质可得计算结果.【详解】，故选：B.【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：（1）；；（2）；；（3）．9.已知（表示不超过的最大整数），则（）.A. 0.7B. -0.3C. -11.3D. -10.3【答案】A【解析】【分析】计算后可得的值.【详解】，故，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，注意根据定义计算，本题属于基础题.10.命题“对任意，都有”否定为（）A. 对任意，使得B. 不存在，使得C. 存在，都有D. 存在，都有【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得所求命题的否定.【详解】命题“对任意，都有”的否定为“存在，都有”.故选：D.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.11.已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f （3）•g（3）＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax （a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f （3）•g（3）＜0即可选出答案．【详解】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.故选：C．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力．12.设，则（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】先求内层函数，将所求值代入分段函数再次求解即可【详解】，则故选：B【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题二、填空题（每小题3分，共12分）13.方程组的解集为______________.【答案】【解析】【分析】求出二元一次方程组的解，然后用列举法表示解集.【详解】解方程组得：所以方程的解集为：.故答案为：.【点睛】本题考查集合的表示法，注意方程组的解集是单元素的集合，不能把解集错写成.14.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】3【解析】【分析】由幂函数知,再代入求即可.【详解】因为幂函数,故,即过,故故故答案为3【点睛】本题主要考查幂函数的定义域运算,属于基础题型. 15.已知在定义域上为减函数，且，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可得，该不等式的解为的取值范围.【详解】因为在定义域上为减函数，故，即.故答案为：.【点睛】本题考查函数不等式，解决此类问题的基本方法是利用函数的单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，本题为基础题..16.________.【答案】【解析】【分析】先配方，再开方，注意的正负.【详解】因为，故，故原式.【点睛】本题考查对数值的大小比较，注意利用对数的运算性质把常数化成对数式，再利用对数函数的单调性来比较大小，本题属于基础题.三、解答题（写出相关步骤和结论，共52分）17.（1）计算-2，0，0，1，1的①平均数；②方差.（2）.【答案】（1）0，；（2）.【解析】分析】（1）利用公式可求平均数和方程.（2）利用指数幂的运算性质可求代数式的运算结果.【详解】（1）①-2，0，0，1，1平均数为，②方差为.（2）原式.【点睛】本题考查样本均值、样本方差以及指数幂的计算，本题属于基础题.18.（1）已知，用表示.（2）已知实数满足，试判断与的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把指数式化成对数式，再根据对数的运算性质计算即可.（2）利用对数函数的单调性可得和.【详解】（1）因为，故，又.（2）因为为上的增函数，故当时，有.因为为上的减函数，故.【点睛】本题考查对数的运算性质与指数式的大小比较，后者应根据指数函数的单调性来判断，本题属于基础题.19.求下列函数的定义域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不等式的解集为函数的定义域.（2）不等式的解集为函数的定义域.【详解】（1）由题设有，故即，故函数的定义域为.（2）由题设有即即，故函数的定义域为.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.20.已知函数.（1）若，求.（2）在直角坐标系中作出函数图象，并写出单调区间.【答案】（1）0，或2；（2）单调减区间：，单调增区间：和，图见解析.【解析】【分析】（1）就和分类讨论后可得值.（2）利用常见函数的图像可作的图像，由图像可得函数的单调区间.【详解】（1）当时，等价于，故或.当时，等价于，故.综上，所求的值为0，或2.（2）的图像的如图所示：故单调减区间：，单调增区间：和.【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的单调性问题、不等式问题、方程的解等问题.21.（1）判断函数（，且）的奇偶性，并给出证明.（2）已知，求的最大值，以及取得最大值时的值.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2），此时.【解析】【分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再根据定义可判断函数为奇函数.（2）利用基本不等式可求函数的最大值以及何时取最大值.【详解】（1）证明：定义域为，它关于原点对称.，函数是奇函数.（2），，由基本不等式可以得到，，当且仅当时等号成立，故，此时.【点睛】函数奇偶性判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.求函数的最值，可利用函数的单调性，也可以利用基本不等式，后者需遵循“一正二定三相等”.2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（每小题只有一个选项是正确的，每小题3分，共36分）1.已知全集，集合，，则集（）A. B. C. D.【答案】C【解析】求出可得.【详解】，故.故选：C.【点睛】本题考查集合的补和交，依据定义计算即可，此类问题属于基础题.2. 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A. {x|0≤x≤2}B. {x|1≤x≤2}C. {x|0≤x≤4}D. {x|1≤x≤4}【答案】A【解析】试题分析：找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集．解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}．故选A考点：交集及其运算．3.，则x=（）A. 2B. -2C.D. 0【答案】C【解析】【分析】，解得【详解】，解得.故选：C【点睛】本题考查绝对值方程的解法，属于简单题.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】按照完全平方公式展开即可.【详解】.故选：D【点睛】本题主要考查完全平方的展开式，属于简单题.5.下列函数是奇函数的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再用定义验证.【详解】对于A，函数的定义域为，该定义域不关于原点对称，故不是奇函数.对于B，函数的定义域为，令，则，故不是奇函数.对于C，令，其定义域为，，故为奇函数.对于D，令，其定义域为，且，故不是奇函数.故选：C.【点睛】函数奇偶性的判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.6.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平方差公式展开即可.【详解】.故选：A【点睛】本题主要考查平方差公式，属于简单题.7.的反函数是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，用表示后可得反函数.【详解】令，则，故.故选：A.【点睛】本题考查反函数的计算，一般地，令，再用表示后可得函数的反函数（注意把互换），注意当一个函数是单调函数时，它有反函数，本题为基础题.8.（）.A. 0B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算性质可得计算结果.【详解】，故选：B.【点睛】对数的运算性质可以分类如下几类：（1）；；（2）；；（3）．9.已知（表示不超过的最大整数），则（）.A. 0.7B. -0.3C. -11.3D. -10.3【答案】A【解析】【分析】计算后可得的值.【详解】，故，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，注意根据定义计算，本题属于基础题.10.命题“对任意，都有”否定为（）A. 对任意，使得B. 不存在，使得C. 存在，都有D. 存在，都有【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得所求命题的否定.【详解】命题“对任意，都有”的否定为“存在，都有”.故选：D.【点睛】全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为.11.已知f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），若f（3）•g（3）＜0，那么f（x）与g （x）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，再由关系式f（3）•g（3）＜0即可选出答案．【详解】由指数函数和对数函数的单调性知，f（x）=ax，g（x）=logax（a＞0，且a≠1），在（0，+∞）上单调性相同，可排除B、D，再由关系式f（3）•g（3）＜0可排除A.故选：C．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，考查识图能力．12.设，则（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】先求内层函数，将所求值代入分段函数再次求解即可【详解】，则故选：B【点睛】本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题二、填空题（每小题3分，共12分）13.方程组的解集为______________.【答案】【解析】【分析】求出二元一次方程组的解，然后用列举法表示解集.【详解】解方程组得：所以方程的解集为：.故答案为：.【点睛】本题考查集合的表示法，注意方程组的解集是单元素的集合，不能把解集错写成.14.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】3【解析】【分析】由幂函数知,再代入求即可.【详解】因为幂函数,故,即过,故故故答案为3【点睛】本题主要考查幂函数的定义域运算,属于基础题型.15.已知在定义域上为减函数，且，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可得，该不等式的解为的取值范围.【详解】因为在定义域上为减函数，故，即.故答案为：.【点睛】本题考查函数不等式，解决此类问题的基本方法是利用函数的单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，本题为基础题..16.________.【答案】【解析】【分析】先配方，再开方，注意的正负.【详解】因为，故，故原式.【点睛】本题考查对数值的大小比较，注意利用对数的运算性质把常数化成对数式，再利用对数函数的单调性来比较大小，本题属于基础题.三、解答题（写出相关步骤和结论，共52分）17.（1）计算-2，0，0，1，1的①平均数；②方差.（2）.【答案】（1）0，；（2）.【解析】分析】（1）利用公式可求平均数和方程.（2）利用指数幂的运算性质可求代数式的运算结果.【详解】（1）①-2，0，0，1，1平均数为，②方差为.（2）原式.【点睛】本题考查样本均值、样本方差以及指数幂的计算，本题属于基础题.18.（1）已知，用表示.（2）已知实数满足，试判断与的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先把指数式化成对数式，再根据对数的运算性质计算即可.（2）利用对数函数的单调性可得和.【详解】（1）因为，故，又.（2）因为为上的增函数，故当时，有.因为为上的减函数，故.【点睛】本题考查对数的运算性质与指数式的大小比较，后者应根据指数函数的单调性来判断，本题属于基础题.19.求下列函数的定义域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不等式的解集为函数的定义域.（2）不等式的解集为函数的定义域.【详解】（1）由题设有，故即，故函数的定义域为.（2）由题设有即即，故函数的定义域为.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.20.已知函数.（1）若，求.（2）在直角坐标系中作出函数图象，并写出单调区间.【答案】（1）0，或2；（2）单调减区间：，单调增区间：和，图见解析.【解析】【分析】（1）就和分类讨论后可得值.（2）利用常见函数的图像可作的图像，由图像可得函数的单调区间.【详解】（1）当时，等价于，故或.当时，等价于，故.综上，所求的值为0，或2.（2）的图像的如图所示：故单调减区间：，单调增区间：和.【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的单调性问题、不等式问题、方程的解等问题.21.（1）判断函数（，且）的奇偶性，并给出证明.（2）已知，求的最大值，以及取得最大值时的值.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2），此时.【解析】【分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再根据定义可判断函数为奇函数.（2）利用基本不等式可求函数的最大值以及何时取最大值.【详解】（1）证明：定义域为，它关于原点对称.，函数是奇函数.（2），，由基本不等式可以得到，，当且仅当时等号成立，故，此时.【点睛】函数奇偶性判断，一般先看函数的定义域是否关于原点对称，其次看函数解析式是否满足奇偶性的定义，注意可利用定义域先化简函数解析式（便于观察），说明一个函数不是奇函数或不是偶函数，只要找一个与定义不相符合的反例即可.求函数的最值，可利用函数的单调性，也可以利用基本不等式，后者需遵循“一正二定三相等”.。
2019-2020学年北京海淀高三上学期数学期末考试试卷+答案解析+评分标准
（i）给出下列结论：
①曲线 C 为中心对称图形；
②曲线 C 为轴对称图形；
③当 m 1时，若点 P(x, y) 在曲线 C 上，则 | x | 1或 | y | 1.
其中，所有正确结论的序号是
.
（ii）当 m 2 时，若曲线 C 所围成的区域的面积小于 ，则 m 的值可以是
.
（写出一个即可）
（5）在 (x 1 )5 的展开式中， x3的系数为
x
（A） -5
（B） 5
（C） (1)a < (1)b 33
（C） -10
（D） a2 > b2 （D）10
（6）已知平面向量 a, b, c 满足 a b c 0 ，且 | a || b || c | 1 ，则 a b 的值为
（A） - 1 2
（B） 1 2
（C） - 3 2
（D） 3 2
（7）已知 , , 是三个不同的平面，且 =m ， =n ，则“ m∥n ”是“ ∥ ”的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）已知等边△ ABC 边长为 3. 点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， AD 7 . 下列结论中错
（18）（本小题共 13 分）
如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAC 平面 ABC ，△ ABC 和 △VAC 均是等腰直角三角形， AB BC ， AC CV 2 ， M ， N 分别为VA , VB 的中点. （Ⅰ）求证： AB// 平面 CMN ； （Ⅱ）求证： AB VC ； （Ⅲ）求直线VB 与平面 CMN 所成角的正弦值.
（22）（本小题共 14 分） 给定整数 n(n 2) ，数列 A2n1：x1, x2 ,, x2n1 每项均为整数，在 A2n1 中去掉一项
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)_52
2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( ) A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M 三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题.22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共4页,22题,满分150分,考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上,并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷,草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,只交答题卡.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由可求出，再结合即可求得.【详解】解：因为，所以,又，所以，故选：B.【点睛】本题考查了集合的交、并、补的混合运算，属基础题.2.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量,满足等式,则四边形ABCD是( )A. 等腰梯形B. 正方形C. 菱形D. 平行四边形【答案】D【解析】【分析】由向量的减法运算可得，再结合相等向量的定义即可得解.【详解】解：由,得,即,故,得四边形ABCD是平行四边形，故选：D.【点睛】本题考查了向量的减法运算及相等向量，属基础题.3.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则函数的最小正周期是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换求出，再结合三角函数的周期的求法求解即可.【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象,则,即函数的最小正周期是，故选：C.【点睛】本题考查了函数图像的平移变换，重点考查了三角函数的周期，属基础题.4.函数零点所在的区间是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数单调递增和,得到答案.【详解】是单调递增函数,且,,所以的零点所在的区间为故选：【点睛】本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.5.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来探究函数的图象特征,如函数的图象大致是( )A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】由，可得是偶函数，且,,再判断即可得解.【详解】解：由，有，即是偶函数，则的图像关于轴对称，结合特殊值,,即可判断选项A符合题意，故选:A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及函数图像的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.6.若函数是幂函数,且在上单调递增,则( )A. B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解.【详解】解：因为函数是幂函数,所以,解得或.又因为在上单调递增,所以,所以,即,从而，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.7.设,,,则a,b,c的大小关系为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】结合指数幂及对数值的求法可得，得解.【详解】解：因为,,,所以.故选：B.【点睛】本题考查了求指数幂及对数值，属基础题.8.已知函数是定义在上的奇函数,则( )A. B. C. 2 D. 5【答案】B【解析】【分析】由函数，则其定义域关于原点对称且，再求解即可.【详解】解：由函数是定义在上的奇函数,则其定义域关于原点对称且，得,所以,即,则，故选：B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了求值问题，属基础题.9.在平面坐标系中,,,,是单位圆上的四段弧(如图),点在其中一段上,角以轴的非负半轴为始边,为终边,若,且,则所在的圆弧是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】假设点在指定象限,得到的符号,验证,是否成立即可【详解】若点在第一象限,则,,则,与题意不符,故排除A,B；若点在第二象限,则,,则,与题意不符,故排除C；故选：D【点睛】本题考查象限角的三角函数值的符号的应用,考查排除法处理选择题10.函数在R上单调递增,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数在R上单调递增,可得不等式组,求解即可得解.【详解】解：由函数在R上单调递增,则,得，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.11.在平行四边形中，点E，F分别在边，上，满足，，连接交于点M，若，则（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，将用向量表示，再由，把向量用向量表示，根据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为，所以.因为，所以.因为E，F，M三点共线，所以，所以.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.已知函数,若在区间内没有零点,则的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间内没有零点,可得，再结合求解即可.【详解】解：因为,,所以.因为在区间内没有零点,所以.解得.因为,所以,因为.所以或.当时;当时,，故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数则______.【答案】5【解析】【分析】先将代入解析式可得,再求即可【详解】由题,,所以故答案为：5【点睛】本题考查分段函数求值,考查指数、对数的运算14.已知角的终边经过点,则____________.【答案】【解析】【分析】结合三角函数的定义求解即可.【详解】解：因为，则,所以,故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.15.已知为第三象限角,则____________.【答案】【解析】【分析】由同角三角函数的关系可将原式变形为，再结合三角函数象限角的符号求解即可.【详解】解：，又为第三象限角,则，故原式，故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数象限角的符号问题，重点考查了同角三角函数的关系，属基础题.16.定义在R上的偶函数满足,且当时,,则的零点个数为____________.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系，函数的零点个数等价于函数的图像与函数的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R上的偶函数满足,所以的图象关于直线对称,画出时，部分的图象如图,在同一坐标系中画出的图象,由图可知：当时,有5个交点,又和都是偶函数,所以在上也是有5个交点,所以的零点个数是10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.已知集合或,.(1)当时,求;(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1)或;(2).【解析】【分析】（1）计算，或，再计算得到答案.（2）根据得到，故或，计算得到答案.【详解】(1)因为,所以,即,当时,或,所以或.(2)因为,所以, ,则或,即或,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.18.已知角的终边经过点,求下列各式的值.（1）;（2）.【答案】（1）-2 （2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义可得，再结合同角三角函数的商数关系即可得解.（2）由同角三角函数的平方关系及诱导公式化简即可得解.【详解】解:（1）由角的终边经过点,可知,则.（2）由已知有，所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义及同角三角函数的关系，重点考查了运算能力，属基础题.19.已知函数（且）.（1）判断并证明奇偶性;（2）求使的的取值范围.【答案】（1）奇函数,证明见解析（2）当时,;当时,【解析】分析】（1）先判断函数的定义域关于原点对称，再判断，得解.（2）由对数函数的单调性求解对数不等式即可.【详解】解:（1）由,得,解得,即函数的定义域为,显然关于原点对称.又,所以是定义域上的奇函数.（2）由,得,即,当时,不等式等价于,解得,当时,不等式等价于,解得,综上,当时, 的取值范围为;当时, 的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了对数不等式的解法，属中档题.20.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业,积极响应国家要求,探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量,可由函数模型给出,其中n是指改良工艺的次数.（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型;（2）依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过,试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据:取）【答案】（1）（2）6次【解析】【分析】（1）先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可；（2）结合题意解指数不等式即可.【详解】解:（1）由题意得,,所以当时,,即,解得,所以,故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.（2）由题意可得,,整理得,,即,两边同时取常用对数,得,整理得,将代入,得,又因为,所以.综上,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题.21.已知函数的最大值是2,函数的图象的一条对称轴是,一个对称中心是.（1）求的解析式;（2）已知B是锐角,且,求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数图像的性质及函数的最值列方程，分别求出即可；（2）由B是锐角，结合求解即可.【详解】解:（1）设的最小正周期为T,∵图象的一条对称轴是,一个对称中心是,,,,,,∴.图象的一条对称轴是,,.,.又∵的最大值是2,∴,从而.（2）∵,∴,又，∴,∴.∴.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了三角函数求角问题，属中档题. 22.已知函数，其中为自然对数的底数.(1)证明:在上单调递增；(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）用增函数定义证明；（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．【详解】（1）设，则，∵，∴，，∴，即，∴在上单调递增；（2）总存在，对任意都成立，即，的最大值为，是偶函数，在是增函数，∴当时，，∴，整理得，，∵，∴，即，∴，∴．即取值范围是．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．。
北京市海淀区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
北京市海淀区 2019-2020 学年上学期期末考试高一数学试题本试卷共 100分.考试时间 90分钟.三题号分数一二1516 17 18一.选择题：本大题共 8小题, 每小题 4分,共 32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集U{1,2,3,4},A {1,2},B {2,3},则 () B（ ）A UA.{2,3}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,2,3,4} 2.代数式s in120 cos210的值为（）3 43 3 D.1A.B.C.424,b 3.已知向量 (1,1), ( , 2), 若a 共线,则实数 的值为 （（））a b x x x2 A. 1 B.2 C.1或 2 D.1或21 4.函数 f (x)的定义域为 lgx 1A.(0,)B.(0,1) (1,) C.(1,)D.(0,10) (10,)5.如图所示,矩形 中, AB4, 点 E 为 AB 中点, C AB C D D 若 D E A C ,则| DE| （ ）B A5 E 2 3 C.3D.2 2A. B. 216.函数 ( ) f xl og 的零点所在的区间是 （ ） x 4x41 1A.(0, )B.( ,1)C.(1,2 )D.(2,4) 2 2π7.下列四个函数中，以π 为最小正周期，且在区间( ,π) 上为减函数的是（ ） 2A.y2|s inx | B.y s in2x C.y 2|cosx | D.y c os2x| x| a | x a |8.已知函数 f (x),则下列说法中正确的是 （ ）A.若a( ) 1 ，则 f x 恒成立 B.若 f (x) 1恒成立，则aC.若a0 ，则关于的方程 xf (x) a 有解(x) a 有解，则0 a 1D.若关于 的方程 f x二.填空题：本大题共 6小题, 每小题 4分,共 24分.把答案填在题中横线上. (1, 3),则9. 已知角 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴，终边经过点cos ____.10.比较大小：s in1cos1(用“ ”,“ ”或“ ”连接).B P11.已知函数 ( ) 1 3 , (,1) ,则 f 的值域为. f x x x (x) O1 4A12.如图，向量 BP 则____.x yBA,若OP x OA+yOB,13.已知sin t an 1，则cos____.π(x) [t ,t 1] (x) s in x，任取 t R ，记函数 , 上的最大值为 M 最小值为 m ，记14.已知函数 f 在区间 f 2 t t h(t) M m . 则关于函数h(t)有如下结论：tt(t ) ①函数h 为偶函数；2 (t ) ②函数h 的值域为[1 ,1]；2(t ) ③函数h 的周期为2 ；1 3 (t ) ④函数h 的单调增区间为 [2k ,2k ],k Z .22其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）三.解答题:本大题共 4小题,共 44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分 10分）已知函数 f (x) x bx c ，其中 b ,c为常数.2 （Ⅰ）若函数 f （Ⅱ）若对任意 xR(x )在区间[1,)上单调，求 的取值范围； bf (1 x) f (1 x ) f (x)的图象经过点(c ,b )，，都有 成立，且函数求 的值. b ,c 16.（本小题满分 12 分）已知函数.)f (x) s in (2x 3 （Ⅰ）请用“五点法”画出函数 f (x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的 数值，再画图）；（Ⅱ）求函数 f (x)的单调递增区间；x [0, ] （Ⅲ）当 时，求函数 f (x)的最大值和最小值2及相应的 的值.xy1xO 117.（本小题满分 12 分）已知点 A(1,0),B (0,1)，点 P(x , y)y x 1上的一个动点. 为直线（Ⅰ）求证：APB 恒为锐角；（Ⅱ）若四边形 ABP Q 为菱形，求 B Q AQ 的值.18.（本小题满分 10 分）已知函数 f(x)的定义域为[0,1]，且 f (x)的图象连续不间断. 若函数 f (x) mR满足：对于给定的 （m0 m 1( )( ) ），存在 [0,1 ]，使得 ( ) ( )，则称 f x 具有性质 P m .x m f x f x m 且 0 0 0 1 1（Ⅰ）已知函数 ( ) ( )2， x [0,1]，判断 f (x) 是否具有性质 ( ) ，并说明理由；P f x x2 3 14x 1, 0 x , 431 4（Ⅱ）已知函数 ( ) 4 1, f x x, 若 f (x)具有性质 P(m)，求 的最大值； m x 43 4x 5, x 1. 4（Ⅲ）若函数 f(x )的定义域为[0,1]，且 f (x) 的图象连续不间断，又满足 f (0) f (1)，1N * k 2 且f (x) 求证：对任意k，函数 具有性质 ( ). P k北京市海淀区 2019-2020学年上学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（本大题共 8小题,每小题 4分,共 32分）题号 答案1 C2 A3 D4 D5 B6 C7 A8 D二、填空题（本大题共 4小题,每小题 4分） 三 、解答 题题 共 题,共 分) 1(2,1) 9． 10． 13． 11. (本大 6 小 80 212．1 21 514．③④215.（ 本满 分说明：14题答案如果只有③或④，则给 2分，错写的不给分小 题 10分）解：(I)因为函数 f (x) x 2 bx c ，b所以它的开口向上，对称轴方程为………………2分x 2 bb因为函数 f (x) 在区间[ ,) 上单调递增，所以 1，22所以 ………………………4分b 2 （Ⅱ）因为， f ( 1 x) f ( 1 x)所以函数 的对称轴方程为 ，所以b 2………………………6分 ………………………8分 ………………………10分f (x) x 1 又因为函数 的图象经过点 ，所以有 (c , b) c 2 2c c f (x) 2即 ，所以 或 c3c 2 0 2c 2 c 116．（本小题满分 12分）12x x (X )．填表：解：（I ） 令 X ，则 3 2 312x6 123632X22y1010………………………2分y1O1………………4分x（Ⅱ）令2k 2x 2k (k Z)………………………6分232x k12(k Z)解得k125[k ,k ](k Z)的单调增区间为s in(2x )所以函数y31212………………………8分（Ⅲ）因x[0,]为，所以，2x[0,](2x)[………………10分,]332333x 0y sin(2x )取得最小值所以当2x，即时，时，；332x y s in(2x )当2x，即取得最大值1……………………12分3212317.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点P(x,y)在直线y所以PA (1x,1x),PB (x,2x)，x 1上，所以点P(x,x 1)………………………1分123所以PA PB2x2x22(x x1)=2[(x)2]0………………………3分………………………4分224PA PB所以cos P A,PB|PA||PB|若A,P,B三点在一条直线上，则PA//PB，得到(x1)(x2)(x1)x0，方程无解，所以APB0…………………5分所以APB恒为锐角.………………………6分（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k（Ⅱ）因为四边形 为菱形，ABP Q 所以 | AB | | BP |，即 2 x (x 2) ………………………8 分 ………………………9 分22 化简得到 ，所以 ，所以 x 2 2x 1 0 x 1 P(1,0) 设Q(a,b) ，因为 ，P Q BAa 0所以 ，所以 ………………………11 分………………………12 分(a 1,b) ( 1, 1) b 1 B Q AQ (0,2) (1,1) 218.（本小题满分 10 分）1 2 [0,1 ] x [0, ] 0 解：（Ⅰ）设 x ，即 3 30 1 1 1 1f (x ) (x ) (x ) 令 f (x ) 0 , 则 22 3 2 3 2 0 0 0 1 2[0, ] 解得 x , 3 30 1所以函数 f (x) 具有性质 P( )………………………3 分 31（Ⅱ） m 的最大值为212 1 2x0 首先当m 时，取 1 1 1f ( ) 1 f (x m) f ( ) f (1)1则 f (x ) 0 ， 2 2 20 1P( ) f (x) 所以函数 假设存在具有性质 ………………………5 分21 2m 1，使得函数 具有性质 f (x) P(m) 11 m则0 当 x 21 0f (x ) 1, f (x m) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1)， ， 0 2 0 0 0 0 0 1 (0,1 m]f (x ) 1, f (x m ) 1 f (x ) f (x m) 时， x m ( ,1]， ，当 x 2 0 0 0 0 0 0[0,1 m]f (x ) f (x m)，使得所以不存在 x1所以， 的最大值为m………………………7 分2（Ⅲ）任取 N*,k 2k x [0, k 1] 1f (x ) f (x) 设 g(x) ，其中kk 1则有g(0) f ( ) f (0) k1 2 1 g( ) f ( ) f ( ) k k k 2 3 2 g( ) f ( ) f ( ) k k k……t t 1 t g( ) f ( ) f ( ) k k k k……k 1 k 1 g( ) f (1) f ( ) k k以上各式相加得：1 tk 1 g(0) g( ) ... g( ) ... g( ) f (1) f (0) 0k k k1 当 g(0), g( ),..., g( k 1 ig( ) 0,i {0,1,2,...,k 1} )中有一个为 时，不妨设为 ， 0 k k k i 即 g( ) ki 1 if ( ) f ( ) 0k k k 1P( )f (x) 则函数 具有性质 k 1当 g(0), g( ),..., g(k 1 )均不为 时，由于其和为 ，则必然存在正数和负数， 0 0k k i jj i , j {0,1,2,...,k 1}，不妨设 g( ) 0,g( ) 0, 其中ik ki j( , ) k k由于 g(x) 是连续的，所以当 时，至少存在一个 x j i 0i j ( , ) k k（当时，至少存在一个 xj i） 00 使得 g(x ) 0，f (x1) f (x ) 0即 g(x ) 0 k0 0 1所以，函数 f (x) 具有性质 P( )………………………10 分k。
2019—2020(1)高等数学(i)期末试卷a卷(专升本)
北京联合大学基础部《高等数学(I)》课程 期末考试（2019—2020学年 第一学期） 本科5 专科□A 卷5B 卷□C 卷□ （考试时间90分钟）题号 一 二 三 四 五 六 七 总分分数一、 单项选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）得分 评阅人1、若23)1ln(lim0=+→xkx x ，则=k ( ).（Ａ）3 （Ｂ） 6 （Ｃ） 2 （Ｄ） 1 2、设 xxx f ln )(=，则=′)1(f ( ). （Ａ）1− （Ｂ）2 （Ｃ） 1 （Ｄ）0 3、若函数3e ax y x =+在0=x 处取得极值，则a =( ). （Ａ）3（Ｂ）0 （Ｃ） 2 （Ｄ） 3−4、函数32()391f x x x x =−−+的凸区间是 ( ).（Ａ）(,1]−∞ （Ｂ）(,2]−∞− （Ｃ）[1,)+∞ （Ｄ） [0,2] 5、311d x x+∞=∫( ). （Ａ）+∞ （Ｂ）1 （Ｃ）12（Ｄ） 0 6、(3)d ba f x x ′=∫( ).（Ａ）(3)(3)f b f a − （Ｂ） ()()f b f a −（Ｃ）1[(3)(3)]3f b f a − （Ｄ） 1[()()]3f b f a −北京联合大学基础部二、求下列极限（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）得分 评阅人1、621lim 2xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠ 2、20(e 1)d limsin 3xt x tx x→−∫三、求下列函数的导数或微分（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）得分 评阅人1、设函数x x y x arctan )1(e 23++=，求.d ,y y ′2、设函数)(x y y =是由方程0sin 23=−+y y x 所确定的隐函数，求xyd d .3、求由参数方程2ln(1)1x t t y t =−+⎧⎨=+⎩所确定函数)(x y y =的导数x y d d ，.d d 22x y北京联合大学基础部四、计算下列不定积分（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）得分 评阅人1、2(13ln )d x x x +∫2、cos d x x x ∫五、计算下列定积分（本大题共2个小题，每小题7分，共14分）得分评阅人 1、4x ∫2、设3e ,1()2,1x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，求31(1)d .f x x −∫北京联合大学基础部六、应用题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）得分 评阅人1、已知某工艺品是由曲线2y x =与直线2y x =所围成的平面图形D 绕x 轴旋转而成的旋转体.(1)求图形D 的面积.(2)求该工艺品的体积.2、设有一曲线形构件，该曲线()y f x =过点(0,2)，且满足微分方程32e x y y ′−=，求该曲线方程.七、解答题（本大题共1个小题，共6分）得分 评阅人1、若()f x 在π[0,]4上连续，且π240π()sec 2()d 2f x x f x x ⋅=−∫，求π40()d f x x ∫及()f x .。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中国矿业大学(北京)
《高等数学A1》试卷（B 卷）
得分：
一、填空题（每空3分，共30分）
1．极限=+-→)21ln(arctan lim 30x x
x x 1
6
-
2. 设x e x f arctan )(=，则微分=
)(x df 21x
x
e
dx e
+ 3．函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠-+=0,0,1
sin )(2x a x x
e x x
f ax 在0=x 处连续，则=a 1- 4．设)(x y y =是由方程1+=+x e xy y
确定的隐函数，则=)0(''y 3- 5．设x
e x x
f 2)(=，则=)0()
100(f
99
1002⋅
6. 抛物线x x y +=2在点)0,1(-处的曲率为2
7. 若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-，则=b 3
8. =+⎰-
xdx x x cos )(22
π
π 2-π
9. 已知⎰
+='C x dx x
x f 2)
(ln ，则=)(x f C e x +2 10. 以x Ce y x += 为通解的微分方程是.01'=-+-x y y
二、计算（每小题6分，共12分）
1、求极限2013sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+++ 解：原式=x
x x x x 1
cos
sin 3lim
21
20+→=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+→
→x x x x x x 1cos lim sin 3lim 2100
=2
3
2、设
()2arctan ln 1x t y t t =⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，求dy dx ，22dx y d . 解: 222
21
11211t dy
t t t dx
t -
+==+-+，()()22222122(1)111t t d y t t dx t '+-=
=
+-+ 三、（6分）设方程
y =
确定y 是x 的函数，求'y .
解:取对数得：()()211
ln ln 1ln 2ln arcsin 339
y x x x =
-+-- 方程两边同时求导得：
121111131329arcsin y y x x x -'=⋅+⋅---，得 21111131329arcsin y x x x ⎫
-'=⋅
+⋅---
四、计算题（共14分）
1. （7分）求不定积分1
sin 2cos dx x x
⎰ 解: 2
2111csc sec sin 2cos 2sin cos 2dx dx x xdx x x x x ==⎰⎰⎰ ()111
csc tan csc tan tan csc cot 222
xd x x x x x x dx =
=⋅-⋅-⋅⎰⎰ 1111
csc tan csc csc tan ln csc cot 2222
x x xdx x x x x C =⋅+=⋅+-+⎰
2. （7分）设()cos ,01,01x
x x x f x x e <⎧⎪=⎨≥⎪+⎩，求
()⎰
-2
1dx x f .
解:
()()21
1
01
1011cos 1x
f x dx f t dt x xdx dx e ---==++⎰⎰
⎰⎰
=()0
1
0101
10101sin sin sin 111x x
x x e xd x dx x x xdx d e e e -------+=--+++⎰⎰⎰⎰ =1
11cos1sin1ln 2
e -+---
五、(8分) 求函数x e x x f -=2)(的单调增减区间、极值和凹凸区间、拐点。
解：x e x x y --=)2('2, 0'=y 得,0=x 或2
)24(''2+-=-x x e y x ，0''=y 得22±=x .
列表知：单增区间]2,0[，单减区间),0,(-∞),2[+∞
凹区间：),22(),22,(+∞+--∞，凸区间：]22,22[+- 极小值为：0)0(=f ，极大值为：24)2(-=e f
拐点：))22(,22(),)22(,22(222222--+-++--e e
六、（8分）计算两条抛物线2
2,x y x y ==在第一象限所围图形的面积，并求该
平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.
面积3211
1
2
30
000211
333
A x dx x x =-=-=⎰
⎰
体积()
11
252
1
12
20
0032510
x x V dx x dx π
π
πππ=-=⋅-⋅=⎰⎰
七、（共14分） 1、(7分) 求方程
x
x
x y dx dy sin =
+ 满足条件 1==πx y 的解。
解：此方程为一阶线性微分方程，
x
x
x Q x x P sin )(,1)(=
= 由公式，通解为
()
.cos 'sin '1sin x x C xdx C x dx e x x C e y x dx
x dx -=+=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+⎰=⎰⎰-
代入初始条件，得.1'-=πC 故
.cos 1x
x y --=π
2、(7分) 设)(x f 在],0[a 上连续，在),0(a 内可导，且0)(=a f ，证明存在一点
),0(a ∈ξ，使得 .0)(')(=+ξξξf f
证明：设()()F x xf x =， 则()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()()0,(0)0F a af a F ===， 由洛尔定理，存在(0,)a ξ∈使得'()0F ξ= 即'()()0f f ξξξ+=
八、（8分）证明：当,2e b a e <<< ).(4ln ln 222a b e a b ->-- 证：令x e x x f 224ln )(--=，),(2e e x ∈ 则24ln 2)('--=
e x x
x f 0ln 12
)(''2
<-=x x x f 所以)('x f 单调递减，当),(2e e x ∈时有，.0)(')('2=>e f x f 所以)(x f 单调递增，).()(a f b f >即： ).(4ln ln 222a b e a b ->--。