九年级中考数学一轮复习课件：第19课时 全等三角形
考点研究
第四章 三角形
第19课时 全等三角形
考点精讲
概念:两个能完全重合的三角形叫做全等 三角形 全等三角形
全等三角形的性质
全等三角形的判定
相等 ，对 1.全等三角形的对应边①________ 相等 应角②________
全等三角 形的性质
相等 ，面积 2.全等三角形的周长③________ 相等 中线、高线、角平分线、中 ④_______, 位线都相等
明确是证明哪两个三角形全等，需要哪些条件，然后根 据题目中给出的已知条件，探索有助于证明三角形全等 的信息，再结合全等三角形的判定方法（A的性质得出结论.
重难点突破 三角形全等的判定及性质(高频)
例（2015 重庆A卷）如图，在△ABD和 △FEC中，点B，C，D，E在同一直线
上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.
求证：∠ADB=∠FCE. 【思路分析】要证∠ADB=∠FCE,观察图形可知，这两 个角分别在△ABD与△FEC中，利用“SAS”易证其全 等，进而得角相等.
HL；（3）找另一条边SSS.
②已知一边和一角：（1）边为角的对边,则找任一 角AAS；（2）边为角的邻边①找角的另一边SAS，②找 边的另一角ASA，③找边的对角AAS. ③已知两角：（1）找夹边ASA；（2）找任一角对 边AAS.
2.利用全等知识证明两条线段或两个角相等的一般
思路为：看两条线段或两个角分别在哪两个三角形中，
1.两边及其⑤______ 夹角 分别相等的两个三角形全 等（简写为“边角边”或“SAS”）
夹边 分别相等的两个三角形全 2.两角及其⑥______ 等（简写为“角边角”或“ASA”） 全等 三角 形的 判定 对边 相 3.两角分别相等且其中一组等角的⑦______ 等的两个三角形全等（简写为“角角边”或 “AAS”） 4.三边分别相等的两个三角形全等（简写为 “边边边”或“SSS”） 一条直角边分别相等的两个直角三 5.斜边和⑧__________ 角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）
证明：∵BC=DE，
∴BC+CD=DE+CD， 即BD=EC. 在△ABD和△EFC中，
BD EC B E , AB FE
∴△ABD≌△FEC (SAS)，
∴∠ADB=∠FCE.
1.证明三角形全等的一般思路: ①如果已知两边：（1）找夹角 SAS；（2）找直角
中考数学复习 第19课时 全等三角形数学课件
条件
AB＝DE ③B__C_＝__E_F AC＝DF
∠B＝∠E BC＝EF ∠C＝∠F
第三页，共二十一页。
图示
类型
判定方法
条件
一般三角 形全等的 判定方法
两角及其一角 ⑥∠__B_＝__∠_E 所对的边对应 ∠C＝∠F
相等(AAS) AC＝DF
第九页，共二十一页。
模型
平移 +旋 转模 型
角平 分线 模型
图形示例
第十页，共二十一页。
模型
三垂直 模型
图形示例
第十一页，共二十一页。
重难点精讲优练 类型 1 全等三角形的相关证明与计算
练习(liànxí)1 如图，已知AC⊥BC， BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD. 求证：△ABC≌△BAD.
两边夹及角其⑦ _____(jiā_j_iǎo_) 对应
相等SA(S⑧ ______)
AB＝DE ∠A＝∠D AC＝DF
第四页，共二十一页。
图示
类型
判定方法
条件
直角三角形全 等的判定方法 一条直角边 （注：一般三 和⑨_斜__边___ 角形全等的判 分别对应相 定方法也适用 等(⑩_H__L__) 于直角三角形）
第十六页，共二十一页。
练习4 如图，已知AB⊥AC，AB＝ AC，DE经过点A，且CD⊥DE， BE⊥DE，垂足分别(fēnbié)为点D，E. 求证：△ADC≌△BEA.
第十七页，共二十一页。
练习(liànxí)4题
图
证明(zhèngmíng)：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°，∴∠CAD＋∠EAB＝90°，∠DCA
专题19 全等三角形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
专题19 全等三角形【知识要点】知识点1 全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形.特征：①形状相同。
②大小相等。
③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.小结：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。
书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。
全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。
变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
知识点2：全等三角形的判定（重点）注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；②全等三角形周长、面积相等．证题的思路（重点）：知识点3 角平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
【考查题型】考查题型一全等三角形的性质典例1．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【答案】B【详解】根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．变式1-1．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（）A．90B．120C．135D．180【答案】D【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360〬,∠5+∠7+∠8=180°，即∠1+∠2+∠3=360°-180°.【详解】∵图中是三个全等三角形，∴∠4=∠8, ∠6=∠7,又∵三角形ABC的外角和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360〬,又∠5+∠7+∠8=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°.故选D变式1-2．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC【答案】C【分析】通过全等三角形的性质进行逐一判断即可．【详解】A、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选：C．考查题型二全等三角形的判定-SSS∆≅∆的依据是典例2．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明COE DOE（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】根据角平分线的作法可知CO=DO，EO=EO，EC=ED，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可∆≅∆．证COE DOE【详解】解：由作法知CO=DO，EO=EO，EC=ED，∆≅∆（SSS），∴COE DOE故选：A．变式2-1．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）【答案】D【分析】画出平面直角坐标系，利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：△ABC 与△EFB 全等，点F 的坐标可以是：(4，﹣3)．故选：D ．变式2-2．如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =，求证：CB CD =．【答案】见解析【分析】连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，得到∠CAE=∠CAF ，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD ．【详解】解：连接AC ，∵AE=AF ，CE=CF ，AC=AC ，∴△ACE ≌△ACF （SSS ），∴∠CAE=∠CAF ，∵∠B=∠D=90°，∴CB=CD ．变式2-3．人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：AOB∠求作：AOB∠的平分线做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，（2）分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在AOB∠的内部相交于点C（3）画射线OC，射线OC即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为AOB∠的平分线．【答案】（1）①；（2）证明见解析【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC ≌△DOC，从而得到OC为AOB∠的平分线．【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为AOB∠的平分线；故答案为：①；（2）如图，连接MC 、NC ．根据作图的过程知，在△MOC 与△NOC 中，OM ON OC OC CM CN ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△MOC ≌△NOC （SSS ），∠AOC=∠BOC ，∴OC 为AOB ∠的平分线．考查题型三 全等三角形的判定-SAS典例3．如图，已知,AB DC ABC DCB =∠=∠．能直接判断ABC DCB △≌△的方法是（ ）A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定定理解答.【详解】在△ABC 和△DCB 中，AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴ABC DCB △≌△(SAS),故选：A.变式3-1．如图所示，将两根钢条AA’、BB’的中点O 连在一起，使AA’、BB’可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A’B’的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OA’B’的理由是（ ）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边【答案】A 【分析】根据线段中点的定义可得,AO A O BO B O ''==，进一步即可根据SAS 证明△OAB ≌△OA B ''，于是可得答案．【详解】解：∵点O 是AA '和BB '的中点，∴,AO A O BO B O ''==，在△OAB 和△OA B ''中，∵,,AO A O AOB A OB BO B O ''''=∠=∠=，∴△OAB ≌△OA B ''（SAS ）．故选：A ．变式3-2．如图，已知//AB CD ，AB CD =，BE CF =．求证：（1）ABF DCE ∆≅∆；（2）//AF DE ．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．【分析】（1）先由平行线的性质得∠B=∠C ，从而利用SAS 判定△ABF ≌△DCE ；（2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC ，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF ，再由平行线的判定可得结论．【详解】证明：（1）∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C ，∵BE=CF ，∴BE-EF=CF-EF ，即BF=CE ，在△ABF 和△DCE 中，==AB CD B C BF CE =⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABF ≌△DCE （SAS ）；（2）∵△ABF ≌△DCE ，∴∠AFB=∠DEC ，∴∠AFE=∠DEF ，∴AF ∥DE ．变式3-3．已知：如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，//,,EA FB EA FB AB CD ==．（1）求证：E F ∠=∠；（2）若40,80A D ∠=︒∠=︒，求E ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【分析】（1）根据已知条件证明△ACE ≌△BDF ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形内角和定理求出结果.【详解】解：（1）∵AE ∥BF ，∴∠A=∠DBF ，∵AB=CD ，∴AB+BC=CD+BC ，即AC=BD ，又∵AE=BF ，∴△ACE ≌△BDF （SAS ），∴∠E=∠F ；（2）∵△ACE ≌△BDF ，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.考查题型四 全等三角形的判定-AAS典例4．如图，AB CD ⊥，且AB CD =.E 、F 是AD 上两点，CE AD ⊥，BF AD ⊥.若CE a =，BF b =，EF c =，则AD 的长为（ ）A ．a c +B ．b c +C ．a b c -+D ．a b c +-【答案】D【解析】如图,∵AB ⊥CD,CE ⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF ⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF ≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故选:D.变式4-1．如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，//FC AB ，若4AB =，3CF =，则BD 的长是( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2【答案】B 【分析】根据平行线的性质，得出A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，根据全等三角形的判定，得出ADE CFE ∆≅∆，根据全等三角形的性质，得出AD CF =，根据4AB =，3CF =，即可求线段DB 的长．【详解】∵//CF AB ，∴A FCE ∠=∠，ADE F ∠=∠，在ADE ∆和FCE ∆中A FCE ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADE CFE AAS ∆≅∆，∴3AD CF ==，∵4AB =，∴431DB AB AD =-=-=.故选B ．变式4-2．△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长【答案】A【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．变式4-3．如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE，即可得到结果；【详解】证明：∵AC是∠BAE的平分线，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠C＝∠E，AB＝AD．∴△BAC≌△DAE（AAS），∴BC＝DE．变式4-4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE =∠DBE ，再根据线段中点的定义得到AE =DE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF =BD ，推出四边形ADCF 是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC =90°，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DBE ，∵E 是线段AD 的中点，∴AE =DE ，∵∠AEF =∠DEB ，∴BDE FAE ≅△△（AAS ）；（2）证明：∵BDE FAE ≅△△，∴AF =BD ，∵D 是线段BC 的中点，∴BD =CD ，∴AF =CD ，∵AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵AB =AC ，∴AD BC ⊥，∴∠ADC =90°，∴四边形ADCF 为矩形．考查题型五 全等三角形的判定-ASA典例5．如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若▱ABCD 的周长为18，1.5OE =，则四边形EFCD 的周长为( )A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】C 【详解】∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，AD =BC ，AO =CO ，∴∠EAO =∠FCO ，∵在△AEO 和△CFO 中，AEO CFO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEO ≌△CFO ，∴AE =CF ，EO =FO =1.5，∵C 四边形ABCD =18，∴CD +AD =9，∴C 四边形CDEF =CD +DE +EF +FC =CD +DE +EF +AE =CD +AD +EF =9+3=12.故选C.变式5-1．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A．B ．6 C．D ．8【答案】A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长．【详解】解：如图，连接FC ，∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ，∴AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠F AO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =6，∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+22=62，∴CD=故选：A ．变式5-2．如图，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，且∠ABD ＝∠ACE .求证：BD ＝CE .【答案】见解析.【分析】先求出∠CAE ＝∠BAD 再利用ASA 证明△ABD ≌△ACE ，即可解答【详解】∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAE +∠CAE ＝90°，∠BAE +∠BAD ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD .又AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACE ，∴△ABD ≌△ACE (ASA).∴BD ＝CE .变式5-2．如图，点C 在线段BD 上，且AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC=DE ，求证：AB=CD ．【答案】详见解析【分析】根据AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，可以得到90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=，90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=，从而有ACB CED ∠=∠，可以验证ABC ∆和CDE ∆全等，从而得到AB =CD ．【详解】证明：∵AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥∴90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=∴90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=∴ACB CED ∠=∠在ABC ∆和CDE ∆中ACB CED BC DEABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABC ∆≌CDE ∆故AB CD =．考查题型六 全等三角形的判定-HL典例6．如图，∠B ＝∠E ，BF ＝EC ，AC ∥DF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【答案】证明见解析【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB ＝∠DFE ，进而利用全等三角形的判定定理ASA ，进而得出答案．【详解】证明：∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，∵BF ＝CE ，∴BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．变式6-1．已知：如图，AB=CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，AE=CF ．求证：△ABF ≌△CDE【答案】见解析.【分析】根据HL 即可判定Rt △ABF ≌Rt △CDE .【详解】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠AFB =∠CED =90°，∵AE=CF ，∴AF=CE ，在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CD AF CE=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ）.考查题型七 判定三角形全等的的条件典例7．如图，点E 在菱形ABCD 的AB 边上，点F 在BC 边的延长线上，连接CE ，DF ，对于下列条件：①BE CF =；②,CE AB DF BC ⊥⊥；③CE DF =；④BCE CDF ∠=∠，只选其中一个添加，不能确定BCE CDF ∆≅∆的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】C 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：四边形ABCD 是菱形，BC CD ∴=，//AB CD ，B DCF ∴∠=∠， ①添加BE CF =，()BCE CDF SAS ∴∆≅∆， ②添加CE AB ⊥，DF BC ⊥，90CEB F ∴∠=∠=︒，()BCE CDF AAS ∴∆≅∆， ③添加CE DF =，不能确定BCE CDF ∆≅∆； ④添加BCE CDF ∠=∠，()BCE CDF ASA ∴∆≅∆，故选：C ．变式7-1．如图，等腰△ABC 中，点D ，E 分别在腰AB ，AC 上，添加下列条件，不能判定ABE △≌ACD △的是（ ）A ．AD AE =B ．BE CD =C ．ADC AEB ∠=∠D ．DCB EBC ∠=∠【答案】B【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解： A 、若添加AD AE =，由于AB =AC ，∠A 是公共角，则可根据SAS 判定ABE △≌ACD △，故本选项不符合题意；B 、若添加BE CD =，不能判定ABE △≌ACD △，故本选项符合题意；C 、若添加ADC AEB ∠=∠，由于AB =AC ，∠A 是公共角，则可根据AAS 判定ABE △≌ACD △，故本选项不符合题意；D 、若添加DCB EBC ∠=∠，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠ABE =∠ACD ，由于∠A 是公共角，则可根据ASA 判定ABE △≌ACD △，故本选项不符合题意．故选：B ．变式7-2．如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证．．．．ABE △和ADF 一定全等的条件是（ ）A ．BAF DAE ∠=∠B ．EC FC =C ．AE AF =D ．BE DF =【答案】C 【分析】根据菱形的性质结合全等三角形的判定方法，对各选项分别判断即可得解．【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，BAD C ∠=∠，B D ∠=∠，如果BAF DAE ∠=∠，∴BAF EAF DAE EAF ∠∠∠∠-=-，即BAE DAF ∠=∠，∵BAE DAF AB DA B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABE △≅ADF (ASA )，故A 正确；如果EC=FC ，∴BC-EC=CD-FC ，即BE=DF ，∵AB DA B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE △≅ADF (SAS )，故B 正确；如果AE=AF ，∵AB=DA ，B D ∠=∠，是SSA ，则不能判定ABE △和ADF 全等，故C 错误；如果BE DF =，则AB DA B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABE △≅ADF (SAS )，故D 正确；故选：C．考查题型八全等三角形综合问题典例8．如图AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证AD=AE；（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）互相垂直，证明见解析【分析】（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°，△ACD和△ABE中，∵ADC AEBCAD BAE AB AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACD≌△ABE（AAS），∴AD=AE．（2）猜想：OA⊥BC．证明：连接OA、BC，∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠ADC=∠AEB=90°．在Rt △ADO 和Rt △AEO 中，∵OA OA AD AE ⎧⎨⎩＝＝ ∴Rt △ADO ≌Rt △AEO （HL ）．∴∠DAO=∠EAO ，又∵AB=AC ，∴OA ⊥BC ．变式8-1．如图，AC BC ⊥，DC EC ⊥，AC BC =．DC EC =，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：AE BD =；（2）求AFD ∠的度数．【答案】（1）见解析（2）90°【分析】（1）根据题意证明△ACE ≌△BCD 即可求解；（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到AFD ∠的度数．【详解】（1）∵AC BC ⊥，DC EC ⊥，∴∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE即∠ACE=∠BCD又AC BC =．DC EC =∴△ACE ≌△BCD∴AE BD =（2）∵△ACE ≌△BCD∴∠A=∠B设AE 与BC 交于O 点,∴∠AOC=∠BOF∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°∴∠BFO=∠ACO=90°故AFD ∠=180°-∠BFO=90°．变式8-2．如图，在△ABC 和△DCE 中，AC ＝DE ，∠B ＝∠DCE ＝90°，点A ，C ，D 依次在同一直线上，且AB ∥DE ．（1）求证：△ABC ≌△DCE ；（2）连结AE ，当BC ＝5，AC ＝12时，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）13【分析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS 以及勾股定理进行求解．【详解】解：（1）∵//AB DE∴BAC CDE ∠=∠在△ABC 和△DCE 中B DCE BAC CDE AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCE（2）由（1）可得BC =CE =5在直角三角形ACE 中13AE ===变式8-3．如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）78°．【分析】（1）由“SAS ”可证△BEF ≌△CDA ，可得∠D ＝∠2；（2）由（1）可得∠D ＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC ＝78°．【详解】证明：（1）在△BEF 和△CDA 中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CDA （SAS ），∴∠D ＝∠2；（2）∵∠D ＝∠2，∠D ＝78°，∴∠D ＝∠2＝78°，∵EF ∥AC ，∴∠2＝∠BAC ＝78°．变式8-4．如图，在三角形ABC 中，点D 是BC 上的中点，连接AD 并延长到点E ，使DE AD =，连接CE ．（1）求证：ABD ECD ∆≅∆（2）若ABD ∆的面积为5，求ACE ∆的面积．【答案】（1）详见解析；（2）10．【分析】（1）根据中点定义、对顶角相等以及已知条件运用SAS 即可证明；（2）先根据三角形中点的性质和全等三角形的性质得到ABD ACD S S =、ABD ECD S S =，再结合5ABD S =以及ACE ACD ECD S S S =+解答即可．【详解】证明：（1）∵D 是BC 的中点，∴BD=CD在△ABD 和△CED 中，BD CD ADB CED AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以ABD ECD ∆≅∆；(2)∵在△ABC 中，D 是BC 的中点∴ABD ACD S S =ABD ECD ∆≅∆ABD ECD S S ∴=∵5ABD S =5510ACE ACD ECD S S S ∴=+=+=．答：三角形ACE 的面积为10．考查题型九 角平分线的性质定理典例9．如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．10B ．7C ．5D ．4【答案】C 【解析】试题分析：如图，过点E 作EF ⊥BC 交BC 于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE 的面积等于1152522BC EF ⨯⨯=⨯⨯=,故答案选C ．变式9-1．如图，AB ∥CD ，AD 平分∠BAC ，若∠BAD=70°，则∠ACD 的度数为( )A ．40°B ．35°C ．50°D ．45°【答案】A 【解析】试题分析：已知AD 平分∠BAC ，∠BAD=70°，根据角平分线定义求出∠BAC=2∠BAD=140°，再由AB ∥CD ，所以∠ACD=180°﹣∠BAC=40°，故选A ．变式9-2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以点B 为圆心，以适当长为半径画弧交AB 、BC 于P 、Q 两点，再分别以点P ，Q 为圆心，大于12PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点N ，射线BN 交AC 于点D ．若AB ＝10，AC ＝8，则CD 的长是（ ）A ．2B ．2.4C ．3D ．4【答案】C 【分析】作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质得到DE DC ＝，设DE DC x ＝＝ ，根据ABD ∆的面积公式列方程计算即可．【详解】解：如图所示，作DE ⊥AB 于E ，∵10890AB AC C ∠︒＝，＝，＝ ，∴6BC ＝ ，由基本尺规作图可知，BD 是△ABC 的角平分线，∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴可设DE DC x ＝＝ ， ∴1122ABD SAB DE AD BC =⨯⨯=⨯⨯， 即11108622x x ⨯⨯=⨯⨯（﹣）， 解得3x = ，即3CD = ，故选C ．变式9-3．三条公路将A 、B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，那么这个公园应建的位置是（ ）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】C【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．【详解】在这个区域内修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，公园应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处.故选C.考查题型十角平分线的判定定理典例10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【详解】作DE⊥AB于E，∵AB=10，S△ABD =15，∴DE=3，∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=3，故选A.变式10-1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，60APB ∠=，⊙O 半径为2，则PA 的长为（ ）A ．3B ．4C ．D ．【答案】C 【分析】连接PO 、AO 、BO ，由角平分线的判定定理得，PO 平分∠APB ，则∠APO=30°，得到PO=4，由勾股定理，即可求出PA.【详解】解：连接PO 、AO 、BO ，如图：∵PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，∴PA AO ⊥，PB BO ⊥，AO=BO ，∴PO 平分∠APB ，∴∠APO=116022APB ∠=⨯︒=30°， ∵AO=2，∠PAO=90°，∴PO=2AO=4，由勾股定理，则PA ==故选：C.变式10-2．如图，已知P 是∠AOB 的平分线上的一点，∠AOB ＝60°，PD ⊥OA ，M 是OP 的中点，点C 是OB 上的一个动点，若PC 的最小值为3 cm ，则MD 的长度为( )A ．3cmB ．C ．2cmD ．【答案】A 【分析】根据垂线段最短、角平分线的性质求出PD ，根据直角三角形的性质解答．【详解】作PC ⊥OB 于C ，则此时PC 最小，∵P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PD ⊥OA ，PC ⊥OB ，∴PD=PC=3，∠AOP=30°，∴OP=2PD=6，∵PD ⊥OA ，M 是OP 的中点，∴DM=12OP=3， 故选A ．变式10-3．如图，已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】①证明△BAD ≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD ≌△CAE 可得∠ABF=∠ACF ，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF 证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A 作AM ⊥BD 、AN ⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE ，证得AM=AN,即AF 平分∠BFE,即可判定；④由AF 平分∠BFE结合BF CF⊥即可判定．【详解】解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE 在△BAD和△CAE中AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N ∵△BAD≌△CAE∴S△BAD=S△CAE,∴1122BD AM CE AN ⋅=⋅∵BD=CE∴AM=AN∴AF平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF 平分∠BFE ，BF CF ⊥ ∴45AFE ∠=︒故④正确．故答案为C ．。
安徽省2014年中考数学专题复习课件 第19课时 相似三角形及其应用
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第19课时┃ 相似三角形及其应用
皖 考 探 究
探究一 比例线段
命题角度： 1．比例线段； 2．黄金分割在实际生活中的应用； 3．平行线分线段成比例定理．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第19课时┃ 相似三角形及其应用
例 1 [2013· 上海] 如图 19－1，已知在△ABC 中，点 D、 E、F 分别是边 AB、AC、BC 上的点，DE∥BC，EF∥AB， 且 AD∶DB＝3∶5，那么 CF∶CB 等于 （ A）
皖考解读 考点聚焦 皖考探究 当堂检测
第19课时┃ 相似三角形及其应用
考点7 相似三角形的应用
几何图 形的证 明与计算 相似三角 形在实际 生活中的 应用
证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的 面积等． 首先根据题中的条件，找出相似三角形，再利 用相似三角形的性质解答. (1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形 求解； (2)测量底部可以到达的物体的高度； (3)测量底部不可以到达的物体的高度； (4)测量河的宽度.
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第1：(1)先找两对对应角相 等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断夹相等的角的两 边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对 应成比例．
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第19课时┃ 相似三角形及其应用
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
当堂检测
第19课时┃ 相似三角形及其应用
例 3 [2013· 南充] 如图 19－3， 等腰梯形 ABCD 中， AD∥BC， AD＝3， BC＝7， ∠B＝60°， P 为 BC 边上一点(不与 B， C 重合)， 过点 P 作∠APE＝∠B，PE 交 CD 于 E. (1)求证：△APB∽△PEC； (2)若 CE＝3，求 BP 的长．
第四单元三角形(新)中考数学第一轮中考考点复习公开课PPT2
第四单元 三角形（新）中考数学第一轮 中考考点复习教学PPT- 2-PPT执教课件【推荐】
命题的真假：正确的命题是_真__命__题___，错误的命题是 _假___命__题__．判断一个命题为假命题时，只需举出一个反例；要 论证一个命题是真命题时，则需要加以推理和证明．
AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF.
证明：∵AD＝BE， ∴AD－BD＝BE－BD，∴AB＝ED.
∵AC∥EF，∴∠A＝∠E.
∠C＝∠F， 在△ABC 和△EDF 中， ∠A＝∠E，
AB＝ED， ∴△ABC≌△EDF(AAS)，∴BC＝DF.
1．三角形的有关概念及分类
定 义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所
第四单元 三角形（新）中考数学第一轮 中考考点复习教学PPT- 2-PPT执教课件【推荐】
第四单元 三角形（新）中考数学第一轮 中考考点复习教学PPT- 2-PPT执教课件【推荐】
特 征：任意一个三角形都有三条角平分线，这三条角 平分线交于三角形内一点，这一点叫做三角形的_内__心___．
规 律：(1)三角形两条角平分线的交点一定在第三条角 平分线上．
(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是_A_C__＝__B_C__．
【解析】添加AC＝BC.∵△ABC的两条高线AD，BE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°.在△ ADC和△ BEC中，
∠ ∠AC＝DC∠＝C∠，BEC，∴△ADC≌△BEC(AAS)． AC＝BC，
5．[2019·山西]如图，已知点B，D在线段AE上，AD＝BE，
逆命题：若命题2与命题1的题设、结论正好相反，则这样 的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命 题，那么另一个命题叫做它的逆命题．
中考数学第一轮总复习全等三角形课件
第3题图
第三节 全等三角形
返回目录
解法二：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F，(1分) 在△ADE与△CFE中，
∠A＝∠ECF
∠ADE＝∠F ，(3分)
DE=FE ∴△ADE≌CFE(AAS)，(5分) ∴AE＝CE.(6分)
解法三：∵FC∥AB， ∴∠ADE＝∠F，(1分) 在△ADE和△CFE中，
∠A=∠ECD,AB=CD.
求证：∠B=∠D.
证明：∵点C是AE的中点， ∴AC＝CE.(2分) 在△ABC和△CDE中，
AC＝CE
∠A＝∠ECD
AB=CD ∴△ABC≌△CDE(SAS)，(4分)
∴∠B＝∠D.(6分)
第14题图
第三节 全等三角形
15. (2014昆明卷16题5分)已知:如图,点A、B、C、D在同一直线
返回目录
3. (2016昆明卷16题6分·源于人教八上P45第12题)如图，点D是AB上一点，DF交
AC于点E,DE=FE,FC∥AB.
求证:AE=CE.
证明：解法一：∵FC∥AB，
∴∠A＝∠ACF，(1分)
在△ADE和△CFE中， ∠A＝∠ACF
∠AED＝∠CEF ，(3分)
DE=FE ∴△ADE≌△CFE(AAS)，(5分) ∴AE＝CE.(6分)
∴BC＝DF.
第5题图
返回目录
第三节 全等三角形
返回目录
6. （2018曲靖卷17题7分）如图，在 ABCD的边AB，CD上截取线段AF，CE，使
AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上的两点，且EM=FN，连接AN,CM.
(1)求证：△AFN≌△CEM;
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠AFN＝∠CEM.(1分) 在△AFN和△CEM中，
备战九年级中考数学一轮复习第19课 全等三角形(全国通用)
(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．(HL)
3.(1)如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，AC ＝DF，BF＝EC.求证：△ABC≌△DEF；
证明：由题知AB＝DE， AC＝DF，BF＝EC ∴BF＋FC＝EC＋CF， 即BC＝EF ∴△ABC≌△DEF(SSS)
(2)如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝CF. 求证：DF＝BE；
DG
DC
∴△BDG≌△ADC(SAS)
∴BG＝AC，∠BGD＝∠C
又∵∠ADB＝∠ADC＝90°，E，F分别是BG，AC的中点．
∴DE＝ 1 BG＝EG，DF＝ 1 AC＝AF
2
2
∴DE＝DF，∠EDG＝∠EGD＝∠C，∠FDA＝∠FAD
∵∠C＋∠DAF＝90°
∴∠EDG＋∠FDA＝90°
∴DE⊥DF
(2)解：∵AC＝10 ∴DF＝5 ∴在等腰Rt△EDF中，EF＝ 2 DF＝5 2.
20．(202X·牡丹江)如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB
的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，
F，连接EM.则下列结论中：
①BF＝CE；
②∠AEM＝∠DEM；
③AE－CE＝ 2 ME；
∴∠BDE＝∠C＝69°
17．(202X·齐齐哈尔)如图，已知在△ABD和△ABC中， ∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使 △ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是_A_C_＝__A_D__．(只 填一个即可)
C组
18．(202X·温州)如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝
∴AE＝ AC2 CE2 25 144 ＝13.
19．(齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD ＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点． (1)求证：DE＝DF，DE⊥DF； (2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—全等三角形
∴ = ，∠ = ∠，
∵∠ + ∠ = 180°，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠，
∴ ∥ ．
考点一 全等三角形及其性质
题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
【对点训练1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，、相交于点，且△ ≌△ ，在上，在
1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形.
考点一 全等三角形及其性质
题型01 利用全等三角形的性质求角度
【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△ ≌△ ，若∠ = 50°, ∠ = 40°，则∠1的度数为
5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或
“HL”）．
【小技巧】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素
（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有
（
）
A．40°
Hale Waihona Puke B．25°C．15°D．无法确定
【对点训练1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ ≌△ ，∠ = 75°，∠ = 30°，则∠的
度数为（
A．105°
）
B．80°
C．75°
D．45°
考点一 全等三角形及其性质
题型02 利用全等三角形的性质求长度
【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ ≅△ ，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若 =
中考数学专题复习课件(第19讲_三角形与全等三角形)
(4)(2010· 广州)在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，若 BC＝5，则 DE 的长是 ( ) A．2.5 B．5 C．10 D．15
(5)(2010· 济宁 )若一个三角形三个内角度数的比为 2∶3∶4，那么这个三角形是( A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
例 精 析
考 点 知 识 精 讲
举 一 反 三
考 点 训 练
目录
首页
上一页
下一页
末页
考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
目录
首页
上一页
下一页
末页
(1)(2010· 山西 )现在四根木棒，长度分别为 4 cm、6 cm、8 cm、10 cm，从中任取三 考 ) 点 根木棒，能组成三角形的个数为( 知 A．1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 识 精 (2)(2009· 锦州)如图，∠BDC＝98° ，∠C＝38° ，∠ B＝23° ，∠A 的度数是( ) 讲 A．61° B．60° C．37° D．39°
目录
首页
上一页
下一页
末页
考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析
3．证明三角形全等的思路 找夹角 (1)已知两边 找直角 找另一边 (2)已知一边一角
找夹角的另一边 边为角的邻边时找夹边的另一角 找边的对角
边为角的对边时，找另一角
举 一 反 三
找夹边 (3)已知两角 找任意一边 1判定三角形全等必须有一组对应边相等 ； ．．．．． 2判定三角形全等时不能错用 “SSA”“ AAA”来判定 .
举 一 反 三
考 点 训 练
中考数学复习第19课时全等三角形课件
练习1 如图，已知AC⊥BC， BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC ＝BD. 求证：△ABC≌△BAD. 练习1题图
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB＝BA AC＝BD，
∴△ABC≌△BAD(HL)．
练习2 如图，已知AB，CD相交于点O，
∠ B＝ ∠ E ⑥ ______ ∠C＝ ∠F AC＝DF
图示
两角及其 一角所对 的边对应 一般三 相等(AAS) 夹角 角形全 等的判 两边及其 AB ＝ DE SAS 定方法 ⑦ ∠A＝ ________
类型
直角三角 形全等的 判定方法 （注：一 般三角形 全等的判 定方法也 适用于直
判定方 法 一条直 角边和 斜边 ⑨ ______ HL 分别对 应相等 (⑩ _____)
线)相等、周长相等、面积相等．
2．判定
类型
判定方法
条件
图示
一般三 角形全 等的判 定方法
三条边分 AB＝DE BC＝EF 别对应相 ③______ 等(SSS) AC＝DF 两角及其 夹边 ④______ ASA 对应相等 (⑤______) ∠ B＝ ∠E BC＝EF ∠ C＝
类型
判定方法
条件
第一部分 夯实基础 提分多
第三单元 函数
第19课时 全等三角形
基础点巧练妙记
基础点 1 全等三角形的性质及判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质
(1)全等三角形的对应边①______，对应角②______； 相等 相等 (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位
＝AC，DE经过点A，且CD⊥DE， BE⊥DE，垂足分别为点D，E. 求证：△ADC≌△BEA. 练习4题图
【2014中考复习方案】(河北专版)中考数学复习权威课件：19全等三角形
类型
第19课时┃全等三角形
冀 考 探 究
探究一 全等三角形性质与判定的综合应用
命题角度： 1. 利用 SSS，ASA，AAS，SAS，HL 判定三角形全等； 2. 利用全等三角形的性质解决线段或角之间的关系与计算问题． [2013· 永州] 如图 19－1，M 是△ABC 的边 BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN 于点 N，延长 BN 交 AC 于点 D，已知 AB＝10， BC＝15，MN＝3. (1)求证：BN＝DN； (2)求△ABC 的周长．
图 19－1
冀考解读 考点聚焦 冀考探究
第19课时┃全等三角形
解 ∠DAN. ∵BN⊥AN 于点 N，∴∠ANB＝∠AND＝90°. 又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN. ∴BN＝DN. (2)∵M 为边 BC 的中点，∴BM＝CM. 又由(1)BN＝DN，MN＝3，∴CD＝2MN＝6. ∵△ABN≌△ADN，AB＝10，∴AD＝AB＝10. ∴△ABC 的周长＝10＋10＋6＋15＝41. (1) 证明 ： ∵AN 平分∠BAC ，∴∠ BAN ＝
冀考解读 考点聚焦 冀考探究
第19课时┃全等三角形
(3)如图③，当点 P 在线段 BA(或 AB)的延长线上时， 此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．
图 19－3
冀考解读
考点聚焦
冀考探究
第19课时┃全等三角形
解 (1)AE∥BF QE＝QF (2)QE＝QF. 证明：如图①，延长 FQ 交 AE 于点 D. 由题意 AE∥BF，∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4， AQ＝BQ， ∴△AQD≌△BQF， ∴QD＝QF. ∵AE⊥CP，∴QE 为 Rt△FDE 斜边 FD 的中线． ∴QE＝QF.