2019年山东省青岛市高考数学一模试卷(文科)
2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合B＝{x∈N|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，5，6，7}B．{2，3，4，5}C．{2，3，5}D．{2，3}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝3+2i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量．如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数．在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一．根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A．493B．383C．183D．1234．（5分）调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出k的值为（）A．7B．6C．5D．46．（5分）在△ABC中，，，则（）A．B．C．D．7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7；数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A．13B．48C．78D．1568．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：9，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±8x9．（5分）某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．B．64﹣8πC．64﹣12πD．64﹣16π10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式是（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数，若a＝f（2），b＝f（3），c＝f（5），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b12．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．（﹣∞，0]∪D．（﹣∞，0）∪二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为．15．（5分）已知椭圆C：的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l 垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6，则椭圆C的方程为．16．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）在△ABC中，，BC＝3，，D为线段AC上的一点，E为BC 的中点．（Ⅰ）求∠ACB；（Ⅱ）若△BCD的面积为3，求DE的长度．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面PCD．（Ⅰ）证明：平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AB＝2，Q为线段PB的中点，求三棱锥Q﹣PCD的体积．19．（12分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在（175，225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．产品质量/毫克频数（165，175]3（175，185]9（185，195]19（195，205]35（205，215]22（215，225]7（225，235]5（Ⅰ）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附表：P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：）（Ⅱ）按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x（单位：百件）产品中，得到次品数量y（单位：件）的情况汇总如表所示：x（百件）0.52 3.545y（件）214243540根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝；）20．（12分）已知抛物线W：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在W上，AF的中点坐标为（2，2）．（Ⅰ）求抛物线W的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线W相切于点P（异于原点），与抛物线W的准线相交于点Q，证明：FP⊥FQ．21．（12分）已知函数，a≤1，e＝2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）当a≤0时，证明：函数f（x）只有一个零点；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数）；以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2：ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M和N两点（均异于点O），求线段MN 的长．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）对任意x∈R，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合B＝{x∈N|2≤x＜6}，则A∩B＝（）A．{1，2，3，5，6，7}B．{2，3，4，5}C．{2，3，5}D．{2，3}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合B＝{x∈N|2≤x＜6}＝{2，3，4，5}，∴A∩B＝{2，3，4，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝3+2i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数的运算．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：由（2﹣i）z＝3+2i，得＝．则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量．如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数．在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一．根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A．493B．383C．183D．123【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】11：计算题；5M：推理和证明．【分析】先阅读题意，再结合进位制进行简单的合情推理得：农民采摘的果实的个数是3×40+1×41+3×42+2×43＝183，得解【解答】解：由题意有：农民采摘的果实的个数是3×40+1×41+3×42+2×43＝183，故选：C．【点评】本题考查了进位制及进行简单的合情推理，属中档题4．（5分）调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】B7：分布和频率分布表．【专题】11：计算题；31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】利用该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图的性质直接求解．【解答】解：在①中，由该行业从业者学历分布饼状图得到：该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上，故①正确；在②中，由从事该行业岗位分布条形图得到：该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%，故②正确；在③中，由该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，无法得到该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．故③错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出k的值为（）A．7B．6C．5D．4【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由流程线循环4次，输出k．【解答】解：初始值k＝9，s＝1，是，第一次循环：s＝，k＝8，是，第二次循环：s＝，k＝7，是，第三次循环：s＝，k＝6，是，第四次循环：s＝，k＝5，否，输出k＝5．故选：C．【点评】本题考查程序框图的循环，属于简单题．6．（5分）在△ABC中，，，则（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由平面向量的基本定理得：：＝＝＝（）﹣＝，得解【解答】解：＝＝＝（）﹣＝，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属中档题．7．（5分）已知数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7；数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，则S13＝（）A．13B．48C．78D．156【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列通项公式求出a7＝6，从而b7＝a7＝6，再由S13＝＝13b7，能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，满足a3a11＝6a7，∴＝6a7，解得a7＝6∵数列{b n}为等差数列，其前n项和为S n，且b7＝a7，∴b7＝a7＝6，∴S13＝＝13b7＝13×6＝78．故选：C．【点评】本题考查等比数列的前13项和的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）已知双曲线C：，O为坐标原点，过C的右顶点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于A，B，过C的右焦点且垂直于x轴的直线交C的渐近线于M，N，若△OAB与△OMN的面积之比为1：9，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±2x B．C．D．y＝±8x【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得＝2，即可求出渐近线方程．【解答】解：由三角形的面积比等于相似比的平方，则＝，∴＝9，∴＝2，∴C的渐近线方程为y＝±2x，故选：B．【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．B．64﹣8πC．64﹣12πD．64﹣16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5Q：立体几何．【分析】根据三视图知该几何体是一正方体，截去两个相同的圆柱体，结合图中数据求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图知，该几何体是棱长为4的正方体，截去两个半径为2的圆柱体，如图所示；结合图中数据，计算该几何体的体积为V＝43﹣•π•22•4＝64﹣8π．故选：B．【点评】本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图象与性质．【分析】根据图象确定A，同时确定函数的周期和ω，利用五点法求出φ的值即可得到结论．【解答】解：由图象知函数的最大值为A＝4，＝﹣（﹣）＝．即T＝＝，即ω＝，即f（x）＝4sin（x+φ），由五点对应法得×（﹣）+φ＝0，得φ＝，得f（x）＝4sin（x+），故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的求解，利用图象确定A，ω和φ的值是解决本题的关键．11．（5分）已知函数，若a＝f（2），b＝f（3），c＝f（5），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可以得出，从而得出c＜a，同样的方法得出a＜b，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：＝，，＝；∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故选：D．【点评】考查对数的运算性质，对数函数的单调性．12．（5分）已知函数，若方程f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．C．（﹣∞，0]∪D．（﹣∞，0）∪【考点】5B：分段函数的应用．【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出当x＞0时，函数的导数，研究函数的极值和图象，作出函数f（x）的图象，由数形结合进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，函数f′（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，即当x＝e时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（e）＝2e﹣elne＝2e﹣e＝e，当x≤0时，f（x）＝﹣x2﹣x＝﹣（x+）2+，作出函数f（x）的图象如图：要使f（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或＜a＜e，即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪，故选：D．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图．现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为．【考点】F1：归纳推理．【专题】11：计算题；5M：推理和证明．【分析】由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为＝，得解【解答】解：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S，则图（3）中阴影部分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为16S，由几何概型中的面积型可得：此点取自阴影部分的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】1：常规题型；11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求解．【解答】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由z＝﹣x+y，得y＝x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y＝x+z，当直线y＝x+z经过点A时，直线y＝x+z的截距最小，此时z最小，由，解得A（1，），此时z min＝+1＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．15．（5分）已知椭圆C：的离心率为，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6，则椭圆C的方程为．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件列出方程，求解a，b即可得到椭圆方程．【解答】解：椭圆C：的离心率为，可得＝．A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，当直线l垂直于x轴时，四边形APBQ的面积为6，2a×＝6，解得b＝，＝．a2＝b2+c2，解得a＝2，则椭圆C的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．16．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；21：阅读型；35：转化思想；4A：数学模型法；5U：球．【分析】分别计算出四棱锥P﹣ABCD的体积V和表面积S，利用公式计算出该四棱锥的内切球的半径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的体积为＝，如下图所示，易证PD⊥AD，PD⊥CD，P A⊥AB，PC⊥BC，所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积为，所以，四棱锥P﹣ABCD的内切球的半径为，因此，此球的最大表面积为．【点评】本题考查球体表面积的计算，考查计算能力，属于中等题．三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程．17．（12分）在△ABC中，，BC＝3，，D为线段AC上的一点，E为BC 的中点．（Ⅰ）求∠ACB；（Ⅱ）若△BCD的面积为3，求DE的长度．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理，，可求sin∠ACB，然后结合大边对大角可求∠ACB；（2）由s△BCD＝3，结合三角形的面积公式可求DC，然后在△CDE中，由余弦定理可得，DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CD×cos∠ACB，即可解得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得，，∴sin∠ACB＝＝，∵0＜∠ACB＜π，且AB＜BC，∴∠ACB＜A，∴∠ACB＝；（2）△BCD中，由s△BCD＝3可得，BC•DC sin∠ACB＝3，∴＝3，∴DC＝2，△CDE中，由余弦定理可得，DE2＝CE2+CD2﹣2CE•CD×cos∠ACB，＝＝，∴DE＝．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面PCD．（Ⅰ）证明：平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AB＝2，Q为线段PB的中点，求三棱锥Q﹣PCD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取PD的中点O，连接AO，由已知可得AO⊥PD，再由面面垂直的判定可得AO⊥平面PCD，得到AO⊥CD，由底面ABCD为正方形，得CD⊥AD，由线面垂直的判定可得CD⊥平面P AD，则平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AO⊥平面PCD，求出A到平面PCD的距离d＝AO＝，进一步求得Q到平面PCD的距离h＝，再由（Ⅰ）知，CD⊥平面P AD，得CD⊥PD，然后利用棱锥体积公式求解．【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点O，连接AO，∵△P AD为等边三角形，∴AO⊥PD，∵AO⊂平面P AD，平面P AD∩平面PCD＝PD，平面P AD⊥平面PCD，∴AO⊥平面PCD，∵CD⊂平面PCD，∴AO⊥CD，∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∵AO∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD，又∵CD⊂平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AO⊥平面PCD，∴A到平面PCD的距离d＝AO＝．∵底面ABCD为正方形，∴AB∥CD，又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD，∴A，B两点到平面PCD的距离相等，均为d，又Q为线段PB的中点，∴Q到平面PCD的距离h＝．由（Ⅰ）知，CD⊥平面P AD，∵PD⊂平面P AD，∴CD⊥PD，∴．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．（12分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在（175，225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．产品质量/毫克频数（165，175]3（175，185]9（185，195]19（195，205]35（205，215]22（215，225]7（225，235]5（Ⅰ）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计附表：P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：）（Ⅱ）按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x（单位：百件）产品中，得到次品数量y（单位：件）的情况汇总如表所示：x（百件）0.52 3.545y（件）214243540根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝；）【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据直方图求出2×2列联表即可；（Ⅱ）求出相关系数，从而求出回归方程，代入x的值判断即可．【解答】解：（Ⅰ）由乙流水线样本的频率分布直方图可知：合格品的个数为：100×（1﹣0.04）＝96，故2×2列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200故K2＝≈1.418＜2.072，故在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关；（Ⅱ）由已知可得：＝（0.5+2+3.5+4+5）＝3，＝（2+14+24+35+40）＝23，x i y i＝0.5×2+2×14+3.5×24+4×35+5×40＝453，＝0.52+22+3.52+42+52＝57.5，由回归直线的系数公式得：＝＝＝＝8.64，故＝﹣＝23﹣8.64×3＝﹣2.92，故＝x+a＝8.64x﹣2.92，当x＝20时，y＝169.88＜180，符合题意，故按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产2000件的任务．【点评】本题考查了2×2列联表，考查求回归方程问题以及函数代入求值，是一道常规题．20．（12分）已知抛物线W：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在W上，AF的中点坐标为（2，2）．（Ⅰ）求抛物线W的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线W相切于点P（异于原点），与抛物线W的准线相交于点Q，证明：FP⊥FQ．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点坐标，得到A的坐标，然后求解p即可得到抛物线方程．（Ⅱ）先求导，可得直线l的方程，求点Q的坐标，根据向量的运算和向量的数量积即可证明【解答】解：（Ⅰ）抛物线W：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，），点A在W上，AF 的中点坐标为（2，2），可得A（4，4﹣），可得：16＝2p（4﹣），解得：p＝4．则C的方程为：x2＝8y．证明：（Ⅱ）由y＝x2，可得y′＝x，设点P（x0，x02），则直线l的方程为y﹣x02＝x0（x﹣x0），即y＝x0x﹣x02，令y＝﹣2，得Q（，﹣2）∴＝（x0，x02﹣2），＝（，﹣4）∴•＝x0•﹣4（x02﹣2）＝0，∴FP⊥FQ．【点评】本题考查了抛物线的方程，直线方程，向量的运算等基础知识，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题21．（12分）已知函数，a≤1，e＝2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）当a≤0时，证明：函数f（x）只有一个零点；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4G：演绎法；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）首先求解导函数，然后利用导函数研究函数的单调性即可证得题中的结论；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的结论分类讨论研究函数的极值点确定实数a的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知：f’（x）＝1﹣e x+ax．令g（x）＝1﹣e x+ax，g’（x）＝a﹣e x．当a≤0，g’（x）＜0，所以f'（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减．因为f’（0）＝0，所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（0）＝0，故f（x）只有一个零点．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a≤0不合题意．当0＜a＜1时，因为x∈（﹣∞，lna），g′（x）＞0；x∈（lna，+∞），g′（x）＜0．又因为f'（0）＝0，所以f’（lna）＞0；又因为．因为函数．所以φ（a）＞φ（1）＝1＞0，即．所以存在，满足f’（x1）＝0．所以．此时f（x）存在两个极值点x1，0，符合题意．当a＝1时，因为x＝（﹣∞，0），g’（x）＞0；x＝（0，+∞），g’（x）＜0；所以g（x）≤g（0）＝0；所以f'（x）≤0，即f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，所以f（x）无极值点，不合题意．综上可得：0＜a＜1．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性与零点，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为其中α为参数）；以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2：ρ＝4sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l与曲线C1和曲线C2分别交于M和N两点（均异于点O），求线段MN 的长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；（Ⅱ）设M，N的极坐标并分别代入C1，C2可得ρ1，ρ2，再利用|MN|＝|ρ1|+|ρ2|可得．【解答】解：（Ⅰ）因为曲线C1的参数方程为（α为参数），所以C1的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5①，在极坐标系中，将代入①得ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，化简得，C1的极坐标方程为：ρ＝4cosθ+2sinθ②．（Ⅱ）因为直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），且直线l与曲线C1和和曲线C2分别交于M，N，可设M（ρ1，），N（ρ2，），将M（ρ1，）代入②得ρ1＝4cos+2sin＝4×（﹣）+2×＝﹣，将N（ρ2，）代入曲线C2：ρ＝4sinθ得ρ2＝4sin＝4×＝2．所以|MN|＝|ρ1|+|ρ2|＝|﹣|+2＝3．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|，a∈R．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）+x＞0；（Ⅱ）对任意x∈R，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32：分类讨论；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）a＝1时函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+1|，去掉绝对值，分段讨论求不等式f（x）+x＞0的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式求得f（x）的最大值f（x）max，把f（x）≤3恒成立化为f（x）max≤3，求出解集即可．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|＝|x﹣2|﹣|x+1|，①当x≤﹣1时，f（x）＝﹣（x﹣2）+（x+1）＝3，不等式f（x）+x＞0可化为3+x＞0，解得x＞﹣3，所以﹣3＜x≤﹣1；②当﹣1＜x＜2时，f（x）＝﹣（x﹣2）﹣（x+1）＝﹣2x+1，不等式f（x）+x＞0可化为﹣x+1＞0，解得x＜1，所以﹣1＜x＜1；当x≥2时，f（x）＝（x﹣2）﹣（x+1）＝﹣3，不等式f（x）+x＞0可化为x﹣3＞0，解得x＞3，所以x＞1；综上，不等式f（x）+x＞0的解集为{x|﹣3＜x＜1或x＞3}；（Ⅱ）因为f（x）＝|x﹣2|﹣|x+a|≤|（x﹣2）﹣（x+a）|≤|a+2|，所以f（x）max＝|a+2|，对任意x∈R，f（x）≤3恒成立，所以|a+2|≤3，所以﹣3≤a+2≤3，解得﹣5≤a≤1，所以实数a的取值范围是[﹣5，1]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试卷附答案解析
）
A. 13 【答案】C 【解析】
B. 48
C. 78
D. 156
【分析】
由等比数列的性质可得 a7＝6，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和． 【详解】等比数列{an}中，a3a11＝a72， 可得 a72＝6a7，解得 a7＝6，
1
数列{bn}是等差数列中 b7＝a7＝6，根据等差数列的前 n 项和与等差中项的性质得到：S13＝2×13（b1+b13） ＝13b7＝13b7 代入求得结果为：78. 故选：C．
( ) = 13������������−23������������，������������ = ������������−������������，代入上式得到������������ = 13������������−23������������ = 13������������−23 ������������−������������ = 13������������−23������������.
2019 年青岛市高三年级教学质量检测
数学（文科）试题
2019.03
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合������ = {1,2,3,4,5,6,7}，集合������ = {������ ∈ ������|2 ≤ ������ < 6}，则������ ∩ ������ = （ ）
【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到
2
从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故 得到③错误. 故答案为：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题． 5.执行如图所示的程序框图，则输出������的值为（ ）
2019届山东省高三第一次大联考数学(文)试题(解析版)
2019届山东省高三第一次大联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则的元素个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】根据两个函数图像交点的个数确定的元素个数.【详解】由幂函数的图像可以知道，它们有三个交点，所以集合有三个元素.选D.【点睛】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.考查直观想象能力.属基础题2．若复数满足，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先由得到，再由复数除法运算，即可得出结果.【详解】因为，所以，故的虚部为.故选D.【点睛】本题考查了复数的运算、复数的虚部的概念，突显了对数学运算、基本概念的考查. 解答本题首先要了解复数的虚部的概念，其次要能熟练进行复数的四则运算.3．设是不共线的向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】将转化为相互垂直，转化为模长相等，即可得出结果.【详解】，可知以为邻边的平行四边形为矩形，可知两条对角线不一定垂直，当，可知以为邻边的平行四边形为菱形，不一定是矩形，所以不一定成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的几何性质、充分与必要条件的基本概念，熟记充分条件与必要条件的概念以及向量的数量积即可，属于基础题型.4．已知向量的夹角为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据向量夹角公式求，再根据二倍角公式得结果.【详解】因为，所以.选A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.5．已知直线与圆相交于两点，为坐标原点，则的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】结合图像，先确定为等腰三角形，根据题意得到腰长和顶角，代入面积公式即可得出结果.【详解】由题意直线，圆均过原点，通过图形观察可知为等腰三角形，且，，所以.故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，结合圆的特征以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.6．已知抛物线的焦点为，上一点在轴上的投影为，为坐标原点.若的面积为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由题意，不妨设在第一象限，再由的面积为，求出，根据在抛物线上，求出，最后由即可求出结果.【详解】由对称性可知，不妨设在第一象限，，即，因为在抛物线上，即，解得，由抛物线定义，故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，熟记抛物线的结构特征以及抛物线定义即可，属于基础题型.7．我国现代著名数学家徐利治教授提出：图形的对称性是数学美的具体内容.如图，一个圆的外切正方形和内接正方形构成一个优美的几何图形，正方形所围成的区域记为Ⅰ，在圆内且在正方形外的部分记为Ⅱ，在圆外且在大正方形内的部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先要将小正方形旋转度，由此看出大正方形与小正方形边长的比值，进而得到面积比，从而可确定概率间的关系.【详解】将小正方形旋转度，图像转化为:由图像易知：小正方形的面积是大正方形面积的一半，所以.则选A.【点睛】本题考查了几何概型，着重考查了利用相似比求面积比，突显了对数学抽象与直观想象的考查.8．设，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题首先根据指数函数的单调性得出，然后根据对数函数的单调性得出，最后根据对数的换底公式进一步判断的大小关系即可得出结果.【详解】，，所以最小，所以，所以选B. 【点睛】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质、不等式的性质，以及函数与方程的思想，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于基础题型.9．如图，在中，点在边上，且,,,的面积为，则线段的长度为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先由, 的面积为，得到的面积；进而求出，再由余弦定理求出，最后在中，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】因为, 的面积为，所以的面积为，则,即.在中，，所以，又因为，，，所以，.所以在中，，即，所以选C.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.10．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：，相关系数为.则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.【详解】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.11．设函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先由函数解析式判断出函数的奇偶性，以及单调性，再由，，结合函数单调性，即可求出结果.【详解】易知函数为奇函数，且在上为增函数，又因为，由，得，即，解得，故选B.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性、单调性，以及不等式的解法，熟记函数的奇偶性和单调性、以及不等式的解法即可，属于常考题型.12．如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将、、分别对应重合为，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先由题意可知，两个锥体叠加后得到的是三棱柱，根据三棱锥的对称性得出空间直线的垂直、平行关系，即可得出结果.【详解】由于正四棱锥和一个正三棱锥，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：点对应正四棱锥的上底面中心，点对应另一正四棱锥的上底面中心，由图形可知拼成一个三棱柱，设为的中点，由此可知，又因为平面，所以，因为，，所以.故选A.【点睛】本题考查了空间几何体的叠加，重点考查了几何体的“割”与“补”，突显了对数学抽象和数学建模的考查，熟记空间中线面位置关系即可，属于常考题型.二、填空题13．已知函数在点处的切线方程为___________.【答案】【解析】先由解析式求出，再对函数求导，求出切线斜率，进而可得出结果.【详解】,∴在点处的切线方程为，即. 【点睛】本题考查了导数的四则运算、切线的斜率与切点处导数的关系，重点考查了导数的乘法运算，突显了对数学运算的考查.14．网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体最大侧棱长为_________.【答案】【解析】首先要能将三视图还原成立体图形，再由勾股定理求棱长，即可得出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥，其中底面为等腰直角三角形，，，故，取中点，，即最大棱长为.【点睛】本题考查了几何体的三视图，重点考查了主视图、左视图、俯视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，以及空间线面垂直的判定与性质，突显了对数学抽象和直观想象的考查.15．关于的不等式组表示的平面区域为，若平面区域内存在点，满足，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】先由约束条件作出可行域，再由题意可得，过定点的动直线与平面区域有公共点，结合图像即可得出结果.【详解】画出平面区域为图中阴影部分区域，其中，，而表示过定点的动直线，又题意可转化为：过定点的动直线与平面区域有公共点，也即与线段相交，所以，而，，即.【点睛】本题考查了线性规划问题，重点考查了可行域、目标函数、最优解的概念，属于常考题型.16．已知函数的图象关于点对称，且在上有且只有三个零点，则的最大值是_________.【答案】【解析】根据函数在上有且只有三个零点，可得，求出，再由，从大到小依次取验证即可得出结果.【详解】依题意，，当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有四个零点，函数的零点可由求得，有四个零点，不符合条件.当时，，，所以，所以或，因为，所以，函数的零点可由求得，有三个零点，函数的零点可由求得，有三个零点，综上，的最大值是.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质、函数的零点，熟记正弦函数的周期性、对称性等即可，属于常考题型.三、解答题17．已知数列，，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意①当为奇数时，根据求出通项公式；②当为偶数时，根据求出通项公式，最后再综合两种情况即可得出结果.(2)根据并项求和的方法求和即可得出结果.【详解】(1)①当为奇数时，.②当为偶数时，.综上，. (2)∵.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，熟记等差数列的通项公式以及前n项和公式，结合并项求和的思想即可求解，属于常考题型.18．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.(1)证明：平面；(2)若点是棱上一点，且平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析；(2).【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明即可；(2)首先要将线面平行即平面转化为线线平行，从而确定点的位置，最后利用比例关系将所求三棱锥的体积转化为其它棱锥的体积，进而可得出结果. 【详解】(1)因为是等腰梯形，所以，即，即，，所以，又因为，，，所以平面；(2)因为平面，，所以，所以，所以，即，所以平面，又因为平面，平面平面，平面，所以，即，所以.【点睛】本题考查线面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查体积公式应用，熟记线面垂直的判定定理和性质定理以三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.19．下表是年个重点城市（序号为一线城市，其它为非一线城市）的月平均收入与房价对照表，根据表中数据并适当修正，得到房价中位数与月平均收入的线性回归方程是，我们把根据房价与月平均收入的线性回归方程得到的房价称为参考房价，若实际房价中位数大于参考房价，我们称这个城市是“房价偏贵城市”.序月评房价参考序月评房价参考序月评房价参考号价收入中位数房价号价收入中位数房价号价收入中位数房价1106706782211708117327257042170811479215972 210015525845118012706513918194762270651874115780 39561509004573213702716286194042370271053815324 48798307293657614697416667182042469741206914688 574241092620088156920974317760256920233314040 67825267142490016690310627181202669031358213836 77770397232424017688429000173882768842212613608 8775015114240001866547979165842866541220710848 97723177272367619664812500169202966481247210776 107635130122262020660812298162003066081640610286(1)计算城市的参考房价；(2)从个一线城市中随机选取个城市进行调研，求恰好选到一个“房价偏贵城市”的概率；(3)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为一线城市与该城市为“房价偏贵城市”有关？一般城市非一线城市总计房价偏贵城市不是房价偏贵城市总计附参考公式及数据：，其中.0.1000.0500.012.7063.841 6.635【答案】(1)；(2)；(3)见解析.【解析】（1）将代入，即可求出结果；(2)用列举法分别列举“这五个城市中选取个”以及“其中恰好有一个房价偏贵城市”所包含的基本事件，基本事件的个数比即是所求概率；(3)根据题中数据先完善列联表，再由求出，结合临界值表即可得出结果.【详解】(1)城市的参考房价为：；(2)一线城市中，城市是房价偏贵城市，不是房价偏贵城市，从这五个城市中选取个的所有可能有：，，，，，，，，，共十种，其中恰好有一个房价偏贵城市的情形有：，，，，，，所以恰好选到一个房价偏贵城市的概率.(3)一般城市非一线城市总计房价偏贵城市 3 9 12不是房价偏贵城市 2 16 18总计 5 25 30，所以我们没有的把握认为是否是一线城市与该城市是否是房价偏贵城市有关.【点睛】本题考查了线性回归分析、古典概率、独立性检验，熟记古典概型的概率计算公式，以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.20．椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点.已知当时，，且的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求过点且圆心在轴上的圆的方程.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由当时，，且的面积为，得到，进而求出，求解即可得到，，从而可得椭圆方程；(2) 当时，，代入椭圆方程，求出点坐标，进而可得线段的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程.【详解】(1)由已知得：当时，，此时，所以，，所以椭圆的方程为. (2)当时，，代入椭圆的方程得：，所以，，所以，线段的中点坐标，线段的中垂线方程为，令，即圆心坐标为，所以半径，因此所求圆的方程为：.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考题型.21．已知函数（为常数，且）(1）当时，求函数的单调区间；(2）若函数在区间上有唯一的极值点，求实数和极值的取值范围.【答案】(1) 函数的递增区间是，递减区间是；(2)【解析】(1）先对函数求导，将代入导函数，解导函数对应的不等式，即可求出结果；(2）先记，根据函数在区间上有唯一的极值点，可得函数图像是开口向下的抛物线，且，从而可得的范围，再由，以及在上单调递增，即可求出的取值范围.【详解】(1)（，当时，由解得，所以函数的递增区间是，递减区间是；(2)记，，函数在区间上有唯一极值点，则函数图像是开口向下的抛物线，且，即，所以的取值范围是，，所以，因为在上单调递增，且时，，，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的计算、导数的应用，考查了函数与方程思想、数形结合思想，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及极值等，属于常考题型.22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.为曲线上的动点，点在射线上，且满足.（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；（Ⅱ）首先根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.【详解】（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，由题设知.所以，即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为.（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程，代入得：，，设方程两根为，则分别是对应的参数，所以.【点睛】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.23．已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；（Ⅱ）首先利用绝对值不等式定理得到函数的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.【详解】（Ⅰ）不等式为，可以转化为：或或，解得或，所以原不等式的解集是或.（Ⅱ），所以或，解得或.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.。
山东省青岛市2019届高三一模考试数学(文)试卷(PDF版)
青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）答案第1页（共6页）2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．B AC C C A C B B BD D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．91614．321516．(14π-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AB BC =∠∠·······························3分所以sin sin 2AB AACB BC ∠∠==······························································4分又AB BC <，所以ACB A ∠<∠，所以4ACB π∠=··························································································6分（2）在BCD ∆中，由3BCD S ∆=得：1sin 32BCD S BC DC ACB ∆=∠=所以DC =··························································································8分在CDE ∆中，由余弦定理得2222cos DECE DC CE DC ACB =+-∠··········11分所以2DE = (12)分青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）答案第2页（共6页）18．（本小题满分12分）证明：（1）取PD 的中点O ，连结AO因为PAD ∆为等边三角形，所以AO PD ⊥····························································································2分又因为AO ⊂平面PAD ，平面PAD 平面PCD PD =，平面PAD ⊥平面PCD 所以AO ⊥平面PCD因为CD ⊂平面PCD所以AO CD ⊥········································4分因为底面ABCD 为正方形所以CD AD⊥因为AO AD A = ，所以CD ⊥平面PAD ，又因为CD ⊂平面ABCD所以平面PAD ⊥平面 ABCD ；······································································6分（2）由（1）得AO ⊥平面PCD所以A 到平面PCD的距离d AO ==··························································8分因为底面ABCD 为正方形所以//AB CD又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD所以,A B 两点到平面PCD 的距离相等，均为d又Q 为线段PB 的中点，所以Q 到平面PCD 的距离322d h ==··························································10分由（1）知，CD ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以CD PD⊥所以1112233223Q PCD PCD V S h -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=········································12分AB C D P O Q青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）答案第3页（共6页）19．（本小题满分12分）解：（1）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100(10.04)96⨯-=所以，22⨯列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200································································3分所以222()200(924968) 1.418 2.072()()()()10010018812n ad bc K a b a c b d c d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯····5分所以，在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关····························································································6分（2）由已知可得：0.52 3.54535x ++++==；214243540235y ++++==；510.52214 3.524435540453i i i x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑；522222210.52 3.54557.5i i x==++++=∑··························································8分由回归直线的系数公式，51522222222154535323108ˆ8.64(0.52 3.545)5312.55i ii i i x y x y b xx ==-⋅-⨯⨯====++++-⨯-∑∑ˆ238.643 2.92a y bx=-=-⨯=-所以ˆˆ8.64 2.92ybx a x =+=-······································································11分当20x =（百件）时，8.6420 2.92169.88180y =⨯-=<,符合有关要求所以按照公司的现有生产技术设备情况，可以安排一小时生产2000件的任务.·······12分青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）答案第4页（共6页）20．（本小题满分12分）解：（1）由题知F (0,)2p ，············································································1分设A 2(,)2A A x x p，因为AF 的中点坐标为(2,2)，所以20222222A A x x p p +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪=⎩，解得：4,4A x p ==························································5分所以抛物线W 的方程为：28x y =···································································6分（2）由218y x =，得1'y x =，设点2001(,)8P x x ，则直线l 的方程为()20001184y x x x x -=-，即为2001148y x x x =-，令2y =-，得20016(,2)2x Q x --，·····································································9分所以2001(,2)8FP x x =- ，20016(,4)2x FQ x -=- 所以FP FQ ⋅= 2200001614(2)028x x x x -⨯--=，所以FP FQ ⊥···························································································12分21．（本小题满分12分）解：（1）由题知:()1x f x e ax'=-+令()1,()x x g x e ax g x a e '=-+=-··································································2分当0,a ≤()0,g x '<所以()f x '在(,)-∞+∞上单调递减········································4分因为(0)0f '=，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，所以()(0)0f x f ≤=，故()f x 只有一个零点 (6)分青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）答案第5页（共6页）（2）由（1）知:0a ≤不合题意······································································7分当01a <<时，因为(,ln ),()0;(ln ,),()0;x a g x x a g x ''∈-∞>∈+∞<又因为(0)0,f '=所以(ln )0;f a '>又因为11(0a f e a-'-=-<因为函数a a a 1ln )(+=ϕ，)1,0(,0111)(22∈<-=-='a a a a a a ϕ，所以01)1()(>=>ϕϕa ，即a a ln 1<-所以存在11(,ln )x a a ∈-，满足1()0f x '=所以11(,),()0;(,0),()0;(0,),()0;x x f x x x f x x f x '''∈-∞<∈>∈+∞<此时()f x 存在两个极值点1,0x ，符合题意······················································10分当1a =时，因为(,0),()0;(0,),()0;x g x x g x ''∈-∞>∈+∞<所以()(0)0g x g ≤=；所以()0f x '≤，即()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以()f x 无极值点，不合题意······································································11分综上可得：01a <<····················································································12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解：（1）因为曲线1C的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（其中α为参数）所以1C 的普通方程为22(2)(1)5x y -+-=①····················································2分在极坐标系中，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入①得24cos 2sin 0ρρθρθ--=,化简得，1C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+② (5)分青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）答案第6页（共6页）（2）因为直线l 的极坐标方程为3(R)4πθρ=∈，且直线l 与曲线1C 和曲线2C 分别交于,M N ，则可设1233(,),(,)44M N ππρρ将13(,)4M πρ代入②得1334cos 2sin 4()24422ππρ=+=⨯-+⨯=-·······7分将23(,4N πρ代入曲线2:4sin C ρθ=得234sin 442πρ==⨯=················9分所以12||||||||MN ρρ=+=+=··············································10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解:（1）当1a =时，()|2||1|f x x x x x+=--++①当1x ≤-时，()(2)(1)30f x x x x x x +=--+++=+>，解得3x >-所以31x -<≤-··························································································2分②当12x -<<时，()(2)(1)10f x x x x x x +=---++=-+>，解得1x <所以11x -<<·····························································································4分③当2x ≥时，()(2)(1)30f x x x x x x +=--++=->，解得3x >所以3x >所以不等式()0f x x +>的解集为(3,1)(3,)-+∞ ··············································6分（2）因为()|2||||(2)()||2|f x x x a x x a a =--+≤--+=+所以()|2|max f x a =+···················································································8分因为对任意R x ∈，()3f x ≤恒成立所以|2|3a +≤所以323a -≤+≤，所以51a -≤≤所以实数a 的取值范围为[5,1]- (10)分。
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试题
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）试题2019.3第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。
【1】已知集合}7654321{，，，，，，=A ，集合}62|{<≤∈=x x B N ，则=B A （ ） （A ）}765321{，，，，， （B ）}5432{，，， （C ）}532{，， （D ）}32{， 【2】已知i 为虚数单位，复数z 满足i z i 23)2(+=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【3】“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量。
如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数。
在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一。
根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）（A ）493 （B ）383 （C ）183 （D ）123 【4】调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示。
给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30％；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生。
其中正确的个数为（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 【5】执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4【6】在ABC ∆中，2=，2=，则（ ）（A ）3231-=（B ）3231+= （C ）CB CA DE 3132-=（D ）CB CA DE 3132+= 【7】已知数列}{n a 为等比数列，满足71136a a a =；数列}{n b 为等差数列，其前n 项和为n S ，且77a b =，则=13S （ ）（A ）13 （B ）48 （C ）78 （D ）156【8】已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x ，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C的渐近线于B A ,，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于N M ,，若OAB ∆与OMN ∆的面积之比为9:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）（A ）x y 2±= （B ）x y 22±= （C ）x y 32±= （D ）x y 8±= 【9】某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）（A ）3864π-（B ）π864- （C ）π1264- （D ）π1664- 【10】已知函数),2,0,0)(sin()(R ∈<>>+=x A x A x f πϕωϕω在一个周期内的图象如图所示，则)(x f y =的解析式是（ ）（A ）)43sin(4)(π-=x x f （B ）)334sin(4)(π+=x x f （C ）)43sin(4)(π+=x x f （D ）)334sin(4)(π-=x x f【11】已知函数xxx f ln )(=，若)2(f a =，)3(f b =，)5(f c =，则c b a ,,的大小关系是（ ） （A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b c a << （D ）b a c <<【12】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-=0,230,ln 2)(2x x x x x x x x f ，若方程a a x f ()(=为常数)有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）)0,(-∞ （B ）),169(e （C ） ]0,(-∞],169[e （D ） )0,(-∞),169(e 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【市级联考】山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试题(解析版)
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）试题2019.03 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题干得到集合B的元素，再由集合交集的概念得到结果.【详解】集合，集合，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点.【详解】复数满足,在复平面内对应的点位：，在第一象限.故答案为：A.【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限．②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A. 493B. 383C. 183D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．4.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.【详解】k=9,s=1,,进入循环得,,k=8,再进入循环,,k=7,进入循环得到，不满足判断框的条件，故此时输出k值，得到k=5.故答案为：C.【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．6.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则得到，再由向量的减法法则，以和为基底表示向量.【详解】根据向量的减法法则得到,又因为，，故得到，，代入上式得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试卷(解析版)
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）试题2019.03 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题干得到集合B的元素，再由集合交集的概念得到结果.【详解】集合，集合，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点.【详解】复数满足,在复平面内对应的点位：，在第一象限.故答案为：A.【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限．②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A. 493B. 383C. 183D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．4.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.【详解】k=9,s=1,,进入循环得,,k=8,再进入循环,,k=7,进入循环得到，不满足判断框的条件，故此时输出k值，得到k=5.故答案为：C.【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．6.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则得到，再由向量的减法法则，以和为基底表示向量.【详解】根据向量的减法法则得到,又因为，，故得到，，代入上式得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
2019年山东省高考文科数学试卷及答案解析（word版）
数学试卷2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学本试卷分第Ｉ卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分，考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：１.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第Ｉ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. . 在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知,,a b R i Î是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=(A) 34i -(B) 34i +(C) 43i-(D) 43i+(2) 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=££，则AB =(A) (0,2](B) (1,2)(C) [1,2)(D) (1,4)(3) 函数21()log 1f x x =-的定义域为的定义域为(A) (0,2) (B) (0,2] (C) (2,)+¥ (D) [2,)+¥ (4) 用反证法证明命题：“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是做的假设是 (A) 方程30x ax b ++=没有实根没有实根(B) 方程30x ax b ++=至多有一个实根实根 (C) 方程30x ax b ++=至多有两个实根至多有两个实根(D) 方程30x ax b ++=恰好有两个实根实根(5) 已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<， 则下列关系式恒成立的是则下列关系式恒成立的是 (A) 33x y > (B) sin sin x y > (C) 22ln(1)ln(1)x y +>+(D) 221111x y >++ (6) 已知函数log ()(,0,1)a y x c a c a a =+>¹为常数，其中的图象如右图，则下列结论成立的是立的是(A) 0,1a c >> (B) 1,01a c ><< (C) 01,1a c <<> (D) 01,01a c <<<< (7) 已知向量(1,3),(3,)a b m ==. 若向量,a b 的夹角为6p ，则实数m = (A) 23 (B) 3 (C) 0 (D) 3- (8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的xEO顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试题(解析版)
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）试题2019.03 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】现根据题干得到集合B的元素，再由集合交集的概念得到结果.【详解】集合，集合，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点.【详解】复数满足,在复平面内对应的点位：，在第一象限.故答案为：A.【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限．②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A. 493B. 383C. 183D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．4.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.【详解】K=9,s=1,,进入循环得,,k=8,再进入循环,,k=7,进入循环得到，不满足判断框的条件，故此时输出k值，得到k=5.故答案为：C.【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．6.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据向量减法的三角形法则得到，再由向量的减法法则，以和 为基底表示向量.【详解】根据向量的减法法则得到,又因为，，故得到，，代入上式得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
山东省青岛市2019届高三3月第一次模拟考试 数学(文)试题
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学(文科)试题2019．03本试题卷共6页。
23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
☆祝考试顺利☆注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7A =，集合{}26B x N x A B =∈≤<⋂=，则A ．{}1,2,3,5,6,7B ．{}2,3,4,5C ．{}2,3,5D ．{}2,3 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(2－i)z=3+2i ，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量．如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数．在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一．根据图示可知，农民采摘的果实的个数是A ．493B ．383C ．183D ．1234．调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形图，如图所示．给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30％；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生．其中正确的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为A ．7B ．6C ．5D ．4 6．在△ABC 中，2,2AD DB CE EA ==，则A ．1233DE CA CB =- B ．1233DE CA CB =+ C ．2133DE CA CB =-D ．2133DE CA CB =+ 7．已知数列{}n a 为等比数列，满足31176a a a =；数列{}n b 为等差数列，其前n 项和为n S ，且7713,=b a S =则A ．13B ．48C ．78D ．1568．已知双曲线()2222:10,0x y C a b O a b-=>>，为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若△OAB 与△OMN 的面积比为1：9，则双曲线C 的渐近线方程为A ．2y x =±B ．y =±C ．y =±D ．8y x =±9.某几何体的三视图如图所示(其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧)，则该几何体的体积为 A. 8643π-B. 648π-C. 6412π-D. 6416π-10．已知函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，则()y f x =的解析是A. ()4sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()44sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. ()4sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()44sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11．已知函数()()()()ln 2,3,5,,,x f x a f b f c f a b c x====，若则的大小关系是 A. b c a <<B. b a c <<C. a c b <<D. c a b << 12．已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()f x a =（a 为常数）有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．9,16e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(]9,0,16e ⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦D ．()9,0,16e ⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．13．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是_________．14．已知,x y 满足约束条件202401x y x y z x y x -≤⎧⎪+-≤=+⎨⎪≥⎩，则的最小值为_________．15. 已知椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6，则椭圆C 的方程为___________.16．在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，且PD=1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题。
2019年3月青岛市高三一模文科文科数学参考答案
·······························
3
分
所以 sin ACB AB sin A 2 ······························································ 4 分
BC
2
又 AB BC ，所以 ACB A ，
A
B
所以平面 PAD 平面 ABCD ；······································································ 6 分
（2）由（1）得 AO 平面 PCD
所以 A 到平面 PCD 的距离 d AO 3 ··························································8 分
所以 ACB ·························································································· 6 分 4
（2）在 BCD 中，由 SBCD
3 得： SBCD
1 2
BC
DC sin ACB 3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题~21 题为必
考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答．
（一）必考题：共 60 分． 17. （本小题满分 12 分）
解：（1）在
ABC
中，由正弦定理得：
sin
AB ACB
BC sin A
所以 K 2
n(ad bc)2