《层次分析法简介》
层次分析法(AHP法)
一致性检验是层次分析法 中非常重要的步骤，可以 保证分析结果的可靠性
04
CATALOGUE
层次单排序
特征向量法
总结词
通过计算判断矩阵的特征向量来确定各因素权重的方法。
详细描述
特征向量法是层次分析法中确定权重的一种常用方法。它基于线性代数原理，通过计算判断矩阵的特 征值和特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反映各因素之间的相对重要性，广泛应用于决 策分析和多目标优化等领域。
要点一
总结词
通过计算判断矩阵的最大特征值对应的特征向量来确定各 因素权重的方法。
要点二
详细描述
最大特征值法也是层次分析法中确定权重的一种常用方法 。它基于矩阵论原理，通过计算判断矩阵的最大特征值和 对应的特征向量，得到各因素的权重值。这种方法能够反 映各因素之间的相对重要性，并且在判断矩阵一致性检验 中具有重要作用。最大特征值法在多目标决策、系统评价 等领域有广泛的应用。
03
CATALOGUE
构造判断矩阵
标度定义
标度2
两个元素相比，前者比后者稍 重要
标度4
两个元素相比，前者比后者强 烈重要
标度1
两个元素相比，具有相同的重 要性
标度3
两个元素相比，前者比后者明 显重要
标度5
两个元素相比，前者比后者极 端重要
判断矩阵的构造
01
通过专家咨询、比较等方法，对每一层次各元素相对重要性给 出判断
02
将判断结果整理成矩阵形式
判断矩阵的元素aij表示第i个元素与第j个元素相对重要性的比值
03
判断矩阵的一致性检验
一致性检验是检验各元素 重要性判断是否具有逻辑 一致性
当CR<0.1时，认为判断 矩阵的一致性是可以接受 的；否则，需要对判断矩 阵进行调整
层次分析法概述
层次分析法一、层次分析法概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是美国运筹学家T. L. Saaty教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多方案或多目标的决策方法，它是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法，是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。
其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次结构。
在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
层次分析法特别适用于无结构问题的建模。
自1982年被介绍到我国以来，由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，以及其系统灵活简洁的优点，迅速地在我国社会经济各个领域内，如能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境保护、冲突求解及决策预报等领域得到了广泛的重视和应用。
二、层次分析法的基本思想基本思想层次分析法的采用先分解后综合的系统思想，整理、综合人们的主观判断，将所要分析的问题层次化，根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）、中间层（准则层）、最高层（总目标）。
把实际问题转化为分析同层因素间相对重要程度的权重值或相对优劣次序的问题，使定性分析与定量分析有机结合，实现定量化决策。
三、确定权重值的基本原理人们在进行社会、经济以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法
这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结 合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多目标、多准则又难 以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关 系后，最后进行简单的数学运算。计算简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。
2.定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世 界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑 的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。
3.指标过多时，数据统计量大，且权重难以确定
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计算步骤
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计算步骤
1.建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层， 绘出层次结构图。最高层是指决策的目的、要解决的问题。最低层是指决策时的备选方案。中间层是指考虑的因 素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
2.构造判断(成对比较)矩阵
在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出 一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同 的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评 定等级。为要素与要素重要性比较结果，表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的 矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质：
层次分析法简介
在分配利润中，应拿出２５.１％给 职工发奖金，２１.８％用于扩建福 利设施，５３.１％引进人才和设 备．
大学生毕业选择单位
1 1 1 1 2 1 1 1/ 2 1 1 / 4 1 / 4 1 / 5 1 1 1/ 3 2 2 2 4 4 5 1 3 3 1/ 2 1 1/ 2 3 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1 1 1 1 1
层次分析法简介
层次分析法
在各领域以及日常生活中, 在各领域以及日常生活中,遇到一 些决策问题:选拔人才\评优\ 些决策问题:选拔人才\评优\工程 评标\选择旅游景点\购买衣服等. 评标\选择旅游景点\购买衣服等. 层次分析法－－定性和量化相结 合的较科学的方法，由美国著名 的运筹学专家萨迪提出的．
所以单位Ｃ 所以单位Ｃ１，单位Ｃ２，单位Ｃ３的得 单位Ｃ 单位Ｃ 分分别是０ ３５ ３５， ４０ ４０， ２５ ２５， 分分别是０.３５，０.４０，０.２５，故 该大学生应选择单位Ｃ 该大学生应选择单位Ｃ２．
层次分析法的基本步骤
１．建立层次结构 ２．构造成比较矩阵 ３．一致性检验
目标层---准则层; 准则层---方案层 目标层---准则层; 准则层---方案层
成对比矩阵是一致性矩阵，满足aij a jk = aik 如何检验一致性呢？ １）求Ａ的最大特征值 λ ． ２）若 λ = n ，则Ａ是一致性矩阵．否则Ａ 不是一致性矩阵，这时需检验可接受性． 如何检验呢？１）计算一致性指标 如何检验呢？１）计算一致性指标 CI = λ n n 1 ２）查表确定 RI n １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ RI ０ ０ ０.５８０.９０ １.１２ １.２４ １.３２ １.４１ １.４５ ３）计算一致性比例 CR = CI / RI 当 CR < 0.1 时，则Ａ的不一致是可接受的， 否则需修改Ａ
层次分析法
层次分析法1. 简介层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种常用的定性与定量相结合的多标准决策分析方法。
它由美国学者托马斯·L·萨亨于1970年提出，被广泛应用于各种决策问题中。
2. 原理层次分析法的基本思想是将复杂的决策问题分解为一系列具有层次结构的子问题，然后通过对这些子问题的比较与权重评估，最终得出整体问题的决策结果。
2.1 层次结构在层次分析法中，决策问题被组织成一个层次结构。
层次结构通常包括三个层次：目标层、准则层和方案层。
•目标层：表示决策问题的最终目标，通常只有一个。
•准则层：用于评价方案的一组准则，通常包括两个或更多的准则。
•方案层：表示可选择的方案，每个方案都和准则层有关联。
每个层次下面还可以有更多的子层次，形成一个完整的层次结构。
2.2 权重评估层次分析法通过对准则层的权重评估，来确定各个准则的重要性。
权重评估通常采用两两比较的方式，即对准则层中的两个准则进行比较，判断它们的相对重要性。
对两个准则的比较通常使用1至9的九分比较法，其中1表示相同重要性，3表示轻微重要性差异，5表示中等重要性差异，7表示强烈重要性差异，9表示极端重要性差异。
通过两两比较得到的比较矩阵可以利用特征向量法计算权重向量，从而确定准则层的权重。
2.3 方案评估在确定了准则层的权重后，可以利用这些权重对方案进行评估和排序。
通常使用两两比较法将方案与准则进行比较，得到方案层的比较矩阵。
然后，利用准则层的权重和方案层的比较矩阵计算加权矩阵，最终得到方案层的权重。
3. 应用场景层次分析法在各个领域中都有广泛的应用，尤其适用于以下情况：•多准则决策问题：当决策问题涉及到多个准则时，层次分析法可以帮助决策者合理权衡各个准则的重要性，从而做出最佳决策。
•项目评估与选择：当需要评估和选择多个候选项目时，层次分析法可以通过对项目的多个准则进行比较和权重评估，为项目选择提供科学依据。
层次分析法
层次分析法层次分析法是一种应用广泛的决策分析方法，它通过构建层次结构和比较矩阵，来对不同因素进行排序和权重分配，帮助决策者做出合理的决策。
本文将介绍层次分析法的基本原理、应用领域以及一些实际案例。
一、层次分析法的基本原理层次分析法由美国运筹学家托马斯·L·塞蒂提出，它是一种定性和定量相结合的分析方法，能够综合考虑多个因素的重要性和相互关系。
它的基本原理如下：1. 层次结构：将决策问题分解成多个层次，从上至下逐级细化。
顶层是目标层，中间层是准则层，最底层是方案层。
2. 比较矩阵：在每个层次内，通过构建比较矩阵来判断各因素之间的重要性。
比较矩阵是一个n×n的正互反矩阵，其中n是该层次因素的个数。
通过对各因素进行两两比较，得出相对重要性的判断。
3. 加权优先向量：通过对比较矩阵进行特征向量的计算，可以得到各个因素的权重。
特征向量是对比较矩阵的主特征值对应的特征向量，也称为特征向量法。
4. 一致性检验：通过一致性指标和一致性比率的计算，判断构建的比较矩阵是否合理。
一致性指标表示了矩阵的内部一致性程度，一致性比率则是对一致性指标进行归一化，判断是否满足一致性。
5. 综合评价：通过计算得出的权重，进行乘积运算和累加运算，得到方案的综合评价值。
综合评价值越高，方案越优。
二、层次分析法的应用领域层次分析法在许多领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、环境科学、社会科学等。
下面是一些常见的应用领域：1. 投资决策：在投资决策中，可以将不同的投资方案作为方案层，通过比较各个方案的风险性、收益性等因素，来确定投资方向。
2. 供应链管理：在供应链管理中，可以将供应商的价格、质量、交货周期等因素作为准则层，通过比较不同供应商的重要性，来选择合适的供应商。
3. 项目评估：在项目评估中，可以将项目的成本、时限、风险等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来评估项目的可行性和优先级。
4. 人才选拔：在人才选拔中，可以将候选人的学历、工作经验、专业技能等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来确定最佳人选。
层次分析法简介
B层计算
• 对B1判别矩阵： max 3.1093 1 1/ 4 2 0.2243 CI 0.05465 B1 4 1 3 WB1 0.6196 1 / 2 1 / 3 1 RI 0.5800 0.1560 CR 0.0942 0.10 • 对B2判别矩阵： 2 2 3 1 0.3929 max 4.1386 1 / 2 1 0.3340 5 2 B2 CI 0.0426 WB1 1/ 2 1/ 5 1 2 0.1528 1 / 3 1 / 2 1 / 2 1 RI 0.9000 0.1149 CR 0.0513 0.1 • B1和B2矩阵都通过一致性检验。
层次分析法基本步骤
• • • • • 明确问题建立层次 构造判断矩阵 层次单排序 层次总排序 一致性检验
明确问题建立层次
• 对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类, 每类作为一个层次,按最高层(即目标层,表示解决问题的目 的)、若干有关的中间层(表示采用某种措施或根据某种准 则来实现预定目标所涉及的中间环节)和最低层(表示解决 问题的措施和方案)的形成排列起来形成一个层次结构图。
最大特征值的近似简化算法--根法
• （1）将B的元素按行相乘 • （2）所得乘积分别开m次方 • （3）将方根向量正规化即得排序所要求的 特征向量W m ( BW )i • （4）计算 *
i 1
mW i
应用示例
• 某企业进行决策时，确定其企业目标分经济目标和非经 济目标两类。并具体将其目标分为目标C1,目标C2,目标C3 和目标C4(如年利润增长10%，每年全国各地新开分支机构 5家，职工年收人年增20%,提高企业形象等)，并制定了三 项具体政策方案，如下图所示。今欲从中选择一种政策加 以实施。 经专家讨论给出各层判断矩阵。
层次分析法简单介绍
1
• 每次选取两个因素比较其对目 标A的影响权重；
判断矩阵元素的表示：
b11 b12
B
b21
b22
bn1 bn2
b1n
b2n
2
bnn
• 在 用 的影b影ij来响响表目程示标度yA之i与的比y因j值的素。比yi值、目yj中标，A
• n个被比较的因素构成一个两 两比较（成对比较）的判断 矩阵B
• 在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞 蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量 相结合的、系统化、层次化的分析方法。
• 应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、 行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人 才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思想
寻求层次分析法的生活背景：
综合的思维方式进行决策 。
2.实用型 • 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统
量化技术技术手段无法处理的实际问题。
3.简洁性 • 层次分析法的基本原理和步骤简洁明了，计算也非常简便，
并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。
层次分析法的局限性
1.方案局限性 • 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新
致性检验。（即最下层对最 上层总排序的权向量）
层次结构的模型的建立
将复杂问题分解为被人们称之为元素的组成部分。
这些元素又按其属性分成若干组，形成不同层次。 同一层次的元素作为准则对下一层次的某些元素 起支配作用，同时它又受上一层次元素的支配。
层次分析法的模型
层次分析法的模型
第一类
最高层，又称顶层、目标层
mn
层次排序
层次单排序
• 当判断矩阵满足一致性时，或者判断矩阵不一致 程度可接受时也可以允许特征向量作为权重向量；
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• 计算一致性率CR，当CR≤0.1时，认为两两比较矩阵的 一致性可以接受
所得商组成的新的矩阵称为标准两两比较矩阵 • 计算标准两两比较矩阵的每一行的评价值－权重
3）计算权向量并作一致性检验
一致性检验
• 由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的向量 称之为赋权和向量
• 每个赋权和向量的分量分别除以对呀的特征向量的分量 • 计算出上一步的平均值，记为λmax • 计算一致性指标CI
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
方案层
P1 桂林
P2 黄山
P3 北戴河
例1 国家 实力分析
国民 收入
国家综合实力
军事 力量
科技 水平
社会 稳定
例2 工作选择
美、俄、中、日、德等大国 工作选择
贡
收
发
声
关
献
入
展
誉
系
对外 贸易
位 置
供选择的岗位
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
要是矩阵运算。
层次分析法
原理
• 根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解 为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影 响以及隶属关系将因素按不同层次组合，形成一 个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结 为最低层相对与最高层的相对重要权值的确定或 相对优劣次序的排定
Байду номын сангаас
层次分析法简介
分解
建立
层次分析法简介
• 层次分析方法是指依据序标度，将系统因素 按支配关系分组以形成有序的递阶层次结构， 通过两两比较判断的方式确定每一层次中因 素的相对重要性，然后在递阶层次结构内进 行合成以得到决策因素相对于目标的重要性 的总顺序，从而为决策提供确定性的判据。
• 层次结构：（1）目标层（G）；（2）准则 层（P）；（3）方案层（S）
经济代价 B1
过河的代价 A
社会代价 B2
环境代价 B3
投 操 冲冲 交 居 汽 对 对
入 作 击击 通 民 车 水 生
资 维 渡生 拥 搬 排 的 态
金 护 船活 挤 迁 放 污 的
C1 C2 业 方 C5 C6 物 染 破
C3 式
C7 C8 坏
C4
C9
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D2
（2）过河代价层次结构
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）求各个方案的优劣次序
3）计算权向量并作一致性检验
计算权重
• 先求出两两比较矩阵每一列的总和 • 把两两比较矩阵的每一元素除以相应列的总和，
层次分析法简介
层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪70年代提出的 一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定 量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比 较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的 定量依据。
层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确 定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主
w2
wn
wn
w n
Ci :Cj aij
选 择 旅 游 地
A(aij)nn,aij0,ajia1ij
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）求各个方案的优劣次序
1）建立层次分析结构模型
层次结构： （1）目标层（G）； （2）准则层（P）； （3）方案层（S）
例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.
（2）建立逆对称矩阵
CI5.07350.018 51
成对比较阵 和权向量
元素之间两两对比，对比采用相对尺度
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
w1
w1
w2
A
w1
w
n
w 1
w1 w2 w2 w2
wn w2
w1
wn
经济效益 B1
过河的效益 A
社会效益 B2
节 收岸 当 建安 交 自
省 入间 地 筑全 往 豪
时 C2 商 商 就 可 沟 感
间
业 业 业 靠 通 C8
C1
C3 C4 C5 C6 C7
环境效益 B3
舒进 美
适出 化
C9
方 便
C11
C1
0
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡 江河、海峡 方案的抉择
4）求各个方案的优劣次序
2）构造成对比较阵
A、确定权系数 其设线x1性,x组2,…合x：n为对应各因素的决策变量。 y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数。 w1,w2, … wn是权重系数，其满足： wi0 ,
2）构造成对比较阵
（1）成对比较 （重从要x1程,x度2,…）x的n中大任小取，x按i与照xj以比下较标它度们给对x于i/xyj贡赋献值： xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大” 当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
实际问题
多个因素
层次结构
确定 诸因素的相 计算 对重要性
判断
权向量
综合决策
层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。